福建省福州市福清市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市福清市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名，考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號﹒第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答．在試題卷上作答，〖答案〗無效﹒3．考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回．第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為（位移單位：，時間單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，所以，所以該質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度是.故選：.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)依次為，則的一個通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)依次為，即，所以的一個通項(xiàng)公式為．故B正確；對A，代入，，故A錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D錯誤；故選：B.3.已知為遞增的等差數(shù)列，，則（）A.3 B. C.3或5 D.或〖答案〗A〖解析〗為遞增的等差數(shù)列，則.由，得出，，聯(lián)立方程組，解得.故選：A.4.函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依據(jù)原函數(shù)圖象可看出①當(dāng)x<0時，函數(shù)y=f(x)遞增，所以此時f′(x)>0，y=f′(x)的圖象在x軸上方；②當(dāng)x>0時，函數(shù)y=f(x)遞減，所以f′(x)<0，y=f′(x)的圖象在x軸下方故選D.5.已知等比數(shù)列，，，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知數(shù)列為等比數(shù)列，則，，則，則，所以，故選：B.6.已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗定義域?yàn)?，，?dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，故不會有2個零點(diǎn)，舍去，當(dāng)時，令得，，令得，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，又趨向于0時，趨向于負(fù)無窮，趨向于正無窮時，趨向于負(fù)無窮，要想函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則f(a)=alna-1>0，解得故選：D7.數(shù)列滿足，則的前8項(xiàng)和為（）A.-4 B.0 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗，，，，，所以.故選：C.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以對任意成立，即對任意成立，令，則，因?yàn)?，所以，令，即，解得或因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時取得最大值為，所以.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對B，為上的減函數(shù)，故B正確；對C，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對D，在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)取得最大值時， D.〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，則，，所以，公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯，B正確；因?yàn)?，，?shù)列是遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，最大，故C正確；因?yàn)?，，所以，故D錯.故選：AD.11.已知函數(shù)有且僅有三個不同的零點(diǎn)分別為，則（）A.的范圍是 B.的范圍是C. D.〖答案〗BD〖解析〗，令，解得或，當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以f0極小值=1>0此時函數(shù)只有一個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，f0極大值=1>0，要使有三個不同的零點(diǎn)，則，解得，故A錯誤，B正確；因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有三個不同的零點(diǎn)分別為，則即有，，，故C錯誤，D正確.故選：BD.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______〖答案〗81〖解析〗根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，所以，即，解得.故〖答案〗為：81.13.若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上恒為負(fù)數(shù)，則的〖解析〗式可以為______（寫出符合條件的一個即可）．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，其定義域?yàn)?，，顯然其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且其在上單調(diào)遞減，則，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）．14.已知數(shù)列滿足，則______，的通項(xiàng)公式為______〖答案〗①7②（也可以填：或者)〖解析〗令得，由得，令得，由得；方法一：由①得②，②①得，又由，當(dāng)為奇數(shù)時，，由，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以；方法二：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；故〖答案〗為：7；（也可以填：或者)四、解答題：本大題共5小題，共7分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求在的最值．解：（1）因?yàn)?，所以，即曲線在處的切線斜率為0．由，得切點(diǎn).故所求的切線方程為．（2）方法一：由（1）得，．令得．當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．故當(dāng)時，取得最小值為．又，因?yàn)椋屎瘮?shù)在上的最大值為，最小值為1．方法二：由（1）得，．令得．又，且故函數(shù)在上的最大值為，最小值為1．16.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．又，故是首?xiàng)為2，公比為2等比數(shù)列．（2）由（1）可得，即．.所以的前項(xiàng)和為.17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得．令，得，?dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處有極小值，無極大值．（2）由及，得恒成立．令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.記數(shù)列的前項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時，，則，故，即，當(dāng)時，有，即，故是公差、首項(xiàng)均為的等差數(shù)列，故．（2）由（1）得，故，則．因?yàn)?，故，又在上單調(diào)遞減，故隨的增大而增大，故，綜上，．19.已知函數(shù)．（1）若與互為反函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，證明：；（3）若，且，證明：．解：（1）因?yàn)橥椎闹笖?shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以的反函數(shù)為，所以．（2）當(dāng)時，，