廣東省佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題有：.故選：D.2.在數(shù)列中，若，則（）A.17 B.23 C.25 D.41〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D3.已知函數(shù)，則的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，排除選項(xiàng)A、D；當(dāng)時(shí)，，所以，故排除選項(xiàng)B.故選：C4.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2，反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．若取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），則當(dāng)時(shí)，需要（）步“雹程”？A.13 B.16 C.19 D.21〖答案〗B〖解析〗時(shí)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出：共需經(jīng)過16個(gè)步驟變成1.故選：B5.已知函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)且與曲線在該點(diǎn)切線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，又，所以所求直線方程為，即.故選：B6.用半徑為的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，當(dāng)容器的容積最大時(shí)（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，體積為，那么，因此，，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，取得極大值，并且這個(gè)極大值即是最大值．把代入，得（負(fù)值舍去），由，解得，即圓心角為弧度時(shí)，容器的容積最大.故選：A.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且恒成立，則不等式的解集為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因?yàn)榧?，則，所以在上單調(diào)遞增，故若，即，即，由單調(diào)性可得，，所以不等式的解集為.故選：B.8.經(jīng)過曲線與的公共點(diǎn)，且與曲線和的公切線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，消去整理得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程組的解為，即曲線與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)與和分別相切于，，而，，，，，解得，，即公切線的斜率為，故與垂直的直線的斜率為，所以所求直線方程為，整理得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若則（）A. B.若，則C.時(shí)，的最小值為27 D.最大時(shí)，〖答案〗ABC〖解析〗對于A，首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，若，則一定大于零，不符合題意，所以，，故A正確；對于B，由，，可得，即，解得，故B正確；對于C，，，所以時(shí)，的最小值為27，故C正確；對于D，由A可知，因?yàn)?，，可知，即?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.數(shù)列1，1，2，3，5，8，13…是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契在他寫的《算盤全數(shù)》中提出的，所以它常被稱作斐波那契數(shù)列．該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它的前面兩個(gè)數(shù)的和．記斐波那契數(shù)列為，其前項(xiàng)和為，則（）A. B.是偶數(shù)C. D.〖答案〗AB〖解析〗依題意可得，，，，，，，，，，可得A正確；由上述計(jì)算，觀察分析發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列的數(shù)字是按照奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)這三個(gè)一組循環(huán)排列的，而，可得是偶數(shù)，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗易知，故，故，則，而對于，兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)得，故可視為以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，故，其前項(xiàng)和為，對于A，顯然，故A正確，對于B，顯然，故B正確，對于C，顯然，故C錯(cuò)誤，對于D，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則_________．〖答案〗〖解析〗由題，所以，則.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)在處取得極小值，且，若值域?yàn)椋瑒t其定義域可以為_____________．（寫出一個(gè)符合條件的即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗由題意知，，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，且，所以，解得，所以，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，且，令，則，解得，若滿足的值域?yàn)?，則定義域可以為.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一)14.若數(shù)列滿足，若，抽去數(shù)列的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、、第項(xiàng)、，余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為_________________．〖答案〗〖解析〗由，得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)?shù)膱D象與軸相切時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．解：（1）由題意設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，所以；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，所以.16.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，即，故?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，所以；（2）由（1），當(dāng)時(shí)，，所以，又適合上式，所以，所以，所以，．17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以公比，由，即，解得，所以；由，得，兩式相減，得，所以，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故.（2）由（1）知，，，所以，，，兩式加減，得，所以.18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，且是的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最小值．解：（1）因?yàn)椋瑒t，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，即，且，，所以，所以，令，則，所以，可得函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，且，此時(shí)，即時(shí)，取得最小值.19.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式對于恒成立，求的最大值；（2）已知，證明：．解：（1）由不等式對于恒成立，知