2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第三章素能培優(yōu)（二）含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第三章考情分析：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)圖象的對稱性是必考點，通常會綜合考查，出現(xiàn)在選填題中．考點難度2023Ⅰ卷T4單調(diào)性易Ⅱ卷T4奇偶性易2022Ⅰ卷T12奇偶性、對稱性難Ⅱ卷T8奇偶性、周期性難2021Ⅰ卷T13奇偶性易Ⅱ卷T8奇偶性、周期性難考向一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性例1(1)(2023·菏澤模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集為()A．(－2，4] B．(－3，5]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]答案C解析因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（a－2）＝0，,2b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因為y＝x3與y＝2x在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，所以f(x)在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等價于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq\f(5,2)<x≤2，即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故選C.(2)(2024·珠海二中階段考試)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)x1，x2，都有eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)>0，記a＝f(1)，b＝eq\f(f（－2）,2)，c＝eq\f(f（3）,3)，則()A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜cC．c＜b＜a D．b＜c＜a答案B解析對任意兩個不相等的正數(shù)x1，x2，不妨設(shè)x1＞x2，因為eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)＞0，則x2f(x1)－x1f(x2)＞0，所以eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1x2)＝eq\f(f（x1）,x1)－eq\f(f（x2）,x2)>0，即eq\f(f（x1）,x1)>eq\f(f（x2）,x2)，令g(x)＝eq\f(f（x）,x)，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則g(1)＜g(2)＜g(3)，所以f(1)<eq\f(f（2）,2)<eq\f(f（3）,3)，因為f(x)為偶函數(shù)，則f(1)<eq\f(f（－2）,2)<eq\f(f（3）,3)，即a＜b＜c.故選B.(1)利用偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反、奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，實現(xiàn)不等式的等價轉(zhuǎn)化．(2)注意偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)的應(yīng)用．1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]答案D解析因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(0，2)時，f(x)>0；當(dāng)x∈(－2，0)∪(2，＋∞)時，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－2≤x－1≤0或x－1≥2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,0≤x－1≤2或x－1≤－2))或x＝0，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3]．故選D.2．(2023·開封模擬)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x2>x1≥0，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，且f(2)＝4，則不等式f(x)>2|x|的解集為()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(0，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析對任意的x2>x1≥0，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，則eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)－2＝eq\f([f（x2）－2x2]－[f（x1）－2x1],x2－x1)>0，令g(x)＝f(x)－2|x|，則g(x)＝f(x)－2|x|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以g(－x)＝f(－x)－2|－x|＝f(x)－2|x|＝g(x)，即g(x)＝f(x)－2|x|為偶函數(shù)，又g(2)＝f(2)－2×|2|＝0，由f(x)>2|x|，可得g(x)＝f(x)－2|x|>0，即g(|x|)>g(2)，所以|x|>2，所以f(x)>2|x|的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故選D.考向二函數(shù)的奇偶性與周期性例2(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋2)為偶函數(shù)，f(2x＋1)為奇函數(shù)，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．f(－1)＝0C．f(2)＝0 D．f(4)＝0答案B解析因為函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)，因為函數(shù)f(2x＋1)為奇函數(shù)，則f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因為f(2x＋1)為奇函數(shù)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三個選項未知．故選B.(2)(2024·浙江名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)為偶函數(shù)，若f(0)＝0，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(k＝1))f(k)＝111，則n的值為()A．107 B．118C．109 D．110答案D解析對任意的x∈R，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2可得f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，所以f(x＋3)＝f(x－1)，則f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期為4，因為f(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(2－x)＝f(2＋x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則f(1)＝f(3)，因為f(1)＋f(3)＝2，則f(1)＝f(3)＝1，因為f(0)＋f(2)＝2且f(0)＝0，則f(2)＝2，所以f(1)＋f(2)＝3，因為f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，且111＝4×27＋3，因為eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(k＝1))f(k)＝27×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝111，故n＝4×27＋2＝110.故選D.利用函數(shù)的奇偶性和周期性把所求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)．(2024·湖南名校聯(lián)盟入學(xué)摸底考試)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x＋3)＝f(1－x)，f(0)＝－2，則eq\o(∑,\s\up7(2023),\s\do7(k＝1))f(k)＝________．答案2解析因為f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，可得f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＋f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝0，所以eq\o(∑,\s\up7(2023),\s\do7(k＝1))f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]－f(2024)＝－f(0)＝2.考向三函數(shù)的周期性與對稱性例3(多選)(2024·東莞第四高級中學(xué)檢測)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))恒成立．當(dāng)x∈[2，3]時，f(x)＝x.則下列四個命題中正確的是()A．f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)B．f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱C．當(dāng)x∈[－3，－2]時，f(x)＝－xD．當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝3－|x＋1|答案ACD解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))得f(x)＝f(x＋2)，即f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)，故A正確；∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(x＋2)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故B錯誤；當(dāng)x∈[－3，－2]時，－x∈[2，3]，則f(－x)＝－x＝f(x)，即此時f(x)＝－x，x∈[－3，－2]，故C正確；當(dāng)x∈[0，1]時，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，x∈[0，1]．∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，當(dāng)x∈[－2，－1]時，x＋2∈[0，1]，此時f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x∈[－1，0]，,x＋4，x∈[－2，－1），))當(dāng)x∈[－2，－1)時，f(x)＝3－|x＋1|＝3＋x＋1＝x＋4，當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝3－|x＋1|＝3－x－1＝2－x，故D正確．故選ACD.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆．(多選)(2024·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，且滿足f(x＋3)＝f(1－x)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C．函數(shù)f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)D．若函數(shù)g(x)滿足g(x)＋f(x＋3)＝2，則eq\o(∑,\s\up7(2024),\s\do7(k＝1))g(k)＝4048答案ABD解析因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，所以函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，故A正確；因為f(x＋1)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故B正確；因為f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故C錯誤；因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(1)＋f(3)＝0，f(0)＋f(2)＝0，因為g(x)＋f(x＋3)＝2，所以g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝2－f(3)＋2－f(4)＋2－f(5)＋2－f(6)＝8－[f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝8－[f(3)＋f(0)＋f(1)＋f(2)]＝8，所以eq\o(∑,\s\up7(2024),\s\do7(k＝1))g(k)＝506×[g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)]＝4048，故D正確．故選ABD.考向四與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的新定義問題例4(多選)德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈?RQ，))其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集．關(guān)于函數(shù)f(x)有如下四個命題，其中正確的是()A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)B．?x1，x2∈?RQ，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)恒成立C．任取一個不為零的有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對任意的x∈R恒成立D．不存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形答案ACD解析對于A，若x∈Q，則－x∈Q，滿足f(x)＝f(－x)；若x∈?RQ，則－x∈?RQ，滿足f(x)＝f(－x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，A正確．對于B，取x1＝π∈?RQ，x2＝－π∈?RQ，則f(x1＋x2)＝f(0)＝1，f(x1)＋f(x2)＝0，故B錯誤．對于C，若x∈Q，則x＋T∈Q，滿足f(x)＝f(x＋T)；若eq\a\vs4\al(x∈?RQ)，則x＋T∈?RQ，滿足f(x)＝f(x＋T)，故C正確．對于D，△ABC要為等腰直角三角形，只可能有如下四種情況：①如圖1，直角頂點A在直線y＝1上，斜邊在x軸上，此時點B，點C的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知|x1－x2|＝1，那么點A的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；②如圖2，直角頂點A在直線y＝1上，斜邊不在x軸上，此時點B的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；③如圖3，直角頂點A在x軸上，斜邊在直線y＝1上，此時點B，點C的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則BC中點的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；④如圖4，直角頂點A在x軸上，斜邊不在直線y＝1上，此時點A的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點B的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點B的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形，故D正確．故選ACD.解決與函數(shù)有關(guān)的新定義問題的策略(1)聯(lián)想背景：有些題目給出的新函數(shù)是以熟知的初等函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)為背景定義的，可以通過閱讀材料，聯(lián)想和類比、拆分或構(gòu)造，將新函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本初等函數(shù)進(jìn)行求解．(2)緊扣定義：對于題目定義的新函數(shù)，通過仔細(xì)閱讀，分析定義以及新函數(shù)所滿足的條件，圍繞定義與條件來確定解題的方向，然后準(zhǔn)確作答．(3)巧妙賦值：如果題目所定義的新函數(shù)滿足的條件是函數(shù)方程，可采用賦值法，求得特殊函數(shù)值或函數(shù)解析式，再結(jié)合掌握的數(shù)學(xué)知識與方程思想來解決問題．(4)構(gòu)造函數(shù)：有些新定義型函數(shù)可看成是由兩個已知函數(shù)構(gòu)造而成的．(多選)對于實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定義函數(shù)f(x)＝x－[x]，則()A．f(3)＝1B．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)C．方程f(x)＝eq\f(1,2)在x∈[0，1)上僅有一個解D．函數(shù)f(x)是增函數(shù)答案BC解析由題意知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(…,x＋1，－1≤x<0，,x，0≤x<1，,x－1，1≤x<2，,…))畫出分段函數(shù)的圖象，如圖所示．對于A，由定義可得f(3)＝3－[3]＝3－3＝0，故A不正確；對于B，由圖象可知函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\f(1,2)的圖象在x∈[0，1)上有一個交點，即方程f(x)＝eq\f(1,2)在x∈[0，1)上僅有一個解，故C正確；對于D，由圖象可知f(0)＝f(1)，所以函數(shù)f(x)不是增函數(shù)，故D不正確．故選BC.第1講函數(shù)的概念及其表示[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.3.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.4.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．1．函數(shù)的定義前提設(shè)A，B是兩個eq\x(\s\up1(01))非空的實數(shù)集對應(yīng)關(guān)系對于集合A中的eq\x(\s\up1(02))任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有eq\x(\s\up1(03))唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的eq\x(\s\up1(04))定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的eq\x(\s\up1(05))值域．3．函數(shù)的三要素：eq\x(\s\up1(06))定義域、eq\x(\s\up1(07))對應(yīng)關(guān)系和eq\x(\s\up1(08))值域．4．同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)的eq\x(\s\up1(09))定義域相同，且eq\x(\s\up1(10))對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．5．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：eq\x(\s\up1(11))解析法、eq\x(\s\up1(12))列表法、eq\x(\s\up1(13))圖象法．6．分段函數(shù)(1)定義：若函數(shù)在定義域的不同子集上，因eq\x(\s\up1(14))對應(yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)定義域和值域：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．(3)注意點：分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．雙勾函數(shù)定義圖象y＝ax＋eq\f(b,x)(ab>0)1．下列關(guān)于x，y的關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x－4)＋eq\r(3－x)B．y2＝4xC．y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,1－2x，x≤1))答案D解析對于A，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,3－x≥0，))解得x∈?，所以y不是x的函數(shù)；對于B，當(dāng)x>0時，有兩個y與x對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)；對于C，當(dāng)x＝1時，有兩個y與x對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)；對于D，滿足y是x的函數(shù)．故選D.2．(多選)(人教A必修第一冊習(xí)題3.1T2改編)下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()A．y＝x－1與y＝eq\r(（x－1）2)B．y＝eq\r(x－1)與y＝eq\f(x－1,\r(x－1))C．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1D．y＝(eq\r(3,x))3與y＝x答案CD解析對于A，y＝x－1與y＝eq\r(（x－1）2)＝|x－1|的對應(yīng)關(guān)系不同，兩函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B，y＝eq\r(x－1)的定義域為[1，＋∞)，y＝eq\f(x－1,\r(x－1))的定義域為(1，＋∞)，定義域不同，兩函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于C，兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)；對于D，y＝(eq\r(3,x))3＝x的定義域為R，y＝x的定義域為R，定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同，兩函數(shù)是同一個函數(shù)．故選CD.3．(2024·重慶一中月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))則f(f(3))的值為________．答案－7解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))則f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7.4．(人教A必修第一冊習(xí)題3.1T11改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是________，值域是________，其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是________．(注：圖中f(x)的圖象與直線x＝3無限靠近但無公共點)答案[－3，0]∪(1，3)(0，＋∞)(0，1)∪(4，＋∞)解析求f(x)的定義域可看f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)的取值構(gòu)成的集合，易知為[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)的取值構(gòu)成的集合，易知為(0，＋∞)；作直線y＝m，可知當(dāng)m∈(0，1)∪(4，＋∞)時，直線y＝m與f(x)的圖象有唯一公共點，所以只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是(0，1)∪(4，＋∞)．5．(2023·合肥模擬)若f(eq\r(x)＋1)＝x－1，則f(x)＝________．答案x2－2x，x≥1解析令eq\r(x)＋1＝t，則x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1.多角度探究突破考向一函數(shù)的定義域角度求具體函數(shù)的定義域例1(1)(2023·常州一模)函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),log2（x－3）)的定義域為________．答案(3，4)∪(4，＋∞)解析函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),log2（x－3）)有意義，需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－2|－1≥0，,x－3>0，,x－3≠1，))解得x>3且x≠4，故函數(shù)f(x)的定義域為(3，4)∪(4，＋∞)．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－12，0]解析因為函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定義域是R，所以ax2＋ax－3≠0對任意實數(shù)x都成立．當(dāng)a＝0時，顯然成立；當(dāng)a≠0時，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(－12，0]．1．求具體函數(shù)的定義域的策略根據(jù)函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)，求解不等式(組)即可；對實際問題，既要使函數(shù)解析式有意義，又要使實際問題有意義．2．使函數(shù)解析式有意義的常見限制條件(1)分式型eq\f(1,f（x）)要滿足f(x)≠0.(2)根式型eq\r(2n,f（x）)(n∈N*)要滿足f(x)≥0.(3)冪函數(shù)型[f(x)]0要滿足f(x)≠0.(4)對數(shù)型logaf(x)(a>0，且a≠1)要滿足f(x)>0.(2024·江門棠下中學(xué)月考)函數(shù)f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,\r(9－x2))的定義域為()A．(－3，0]∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)C．[0，3) D．(0，3)答案C解析∵f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,\r(9－x2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,9－x2>0，))解得0≤x<3，故函數(shù)f(x)的定義域為[0，3)．故選C.角度求抽象函數(shù)的定義域例2(1)(2023·河南頂級名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1－x,x)，f(x＋1)的定義域為M，f(2x)的定義域為N，則()A．M＝N B．M∩N＝?C．M?N D．N?M答案B解析由eq\f(1－x,x)＞0，解得0＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的定義域是(0，1)．由0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，所以f(x＋1)的定義域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1得0＜x＜eq\f(1,2)，所以f(2x)的定義域N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))))，所以M∩N＝?.故選B.(2)已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________．答案[－1，2]解析因為y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，所以x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1，2]．(2023·衡水模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，4]，則函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定義域是()A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3]答案C解析由題意，函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，4]，即x∈[0，4]，則函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤4，,x－1＞0，,x－2≠0，))解得1＜x≤3且x≠2，所以函數(shù)y＝eq\f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定義域是(1，2)∪(2，3]．故選C.考向二求函數(shù)的解析式例3(1)(2023·哈爾濱模擬)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，則f(x)的解析式為________________．答案f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)解析(換元法)令eq\f(2,x)＋1＝t(t>1)，則x＝eq\f(2,t－1)，所以f(t)＝lgeq\f(2,t－1)(t>1)，所以f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)．(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)＝________．答案2x＋eq\f(8,3)或－2x－8解析(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8，))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________．答案eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)解析(解方程組法)在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f（x）·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).求函數(shù)解析式的四種方法1.若f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝x2－x＋3解析設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－x＋3.2．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，則f(x)＝________．答案－x＋eq\f(1,4)解析由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，,f（－x）＋3f（x）＝－2x＋1，))得f(x)＝－x＋eq\f(1,4).3．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)＝________．答案x2－2(x≥2或x≤－2)解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．多角度探究突破考向三分段函數(shù)角度分段函數(shù)求值問題例4(2023·衡水中學(xué)調(diào)研)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,2－x，x<0.))(1)求f(g(2))與g(f(2))；(2)求f(g(x))與g(f(x))的解析式．解(1)由已知條件可得g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)當(dāng)x>0時，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；當(dāng)x<0時，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.所以f(g(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x>0，,x2－4x＋3，x<0.))當(dāng)x>1或x<－1時，f(x)>0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；當(dāng)－1<x<1時，f(x)<0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.所以g(f(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x>1或x<－1，,3－x2，－1<x<1.))分段函數(shù)求值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定所求值的自變量屬于哪一個區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應(yīng)的解析式求值．(2)當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點．(2024·河南省“頂尖計劃”第一次考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x，x≤0，,log3x，x>0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝________．答案3解析因為eq\f(1,3)>0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq\f(1,3)＝－1，又－1<0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝f(－1)＝31＝3.角度分段函數(shù)與方程、不等式問題例5(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，則a＝()A．0或1 B．－1或1C．0或－2 D．－2或－1答案D解析令f(a)＝t，則f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，當(dāng)t＝0時，即f(a)＝0，顯然a≤0，因此a＋2＝0?a＝－2；當(dāng)t＝1時，即f(a)＝1，顯然a≤0，因此a＋2＝1?a＝－1.綜上所述，a＝－2或a＝－1.(2)(2024·蘇州常熟中學(xué)階段考試)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1，0) D．(－∞，0)答案D解析根據(jù)題意作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象知，滿足f(x＋1)<f(2x)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0.故選D.解決分段函數(shù)與方程、不等式問題的基本策略(1)分類討論：根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討論，根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(取值范圍)是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．(2)數(shù)形結(jié)合：解決分段函數(shù)問題時，通過畫出函數(shù)的圖象，對代數(shù)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象直觀地分析判斷，可以快速準(zhǔn)確地解決問題．1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＞a，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，－1)解析當(dāng)a≥0時，f(a)＝eq\f(1,2)a－1，由f(a)＞a，解得a＜－2，矛盾；當(dāng)a＜0時，f(a)＝eq\f(1,a)，由f(a)＞a，解得a＜－1.所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1)．2．(2023·北京第101中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,log2x，x>0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________；方程f(－x)＝eq\f(1,2)的解是________．答案－2－eq\r(2)或1解析由解析式知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝log2eq\f(1,4)＝－2.因為f(－x)＝eq\f(1,2)，所以當(dāng)－x≤0，即x≥0時，2－x＝eq\f(1,2)，得x＝1，符合題意；當(dāng)－x>0，即x<0時，log2(－x)＝eq\f(1,2)，得x＝－eq\r(2)，符合題意．所以f(－x)＝eq\f(1,2)的解是－eq\r(2)或1.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·廣州模擬)設(shè)函數(shù)y＝eq\r(16－x2)的定義域為A，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為B，則A∩B＝()A．(1，4) B．(1，4]C．[－4，1) D．(－4，1)答案C解析因為函數(shù)y＝eq\r(16－x2)的定義域為{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故選C.2．中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯作：“函數(shù)”，沿用至今．為什么這么翻譯？書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個對應(yīng)法則：①y＝log2|x|；②y＝x＋1；③y＝2|x|；④y＝x2.其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析在①中，當(dāng)x＝±1時，y＝log21＝0?N，故①不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；在②中，當(dāng)x＝－1時，y＝－1＋1＝0?N，故②不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；在③中，任取x∈M，總有y＝2|x|∈N，故③能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；在④中，任取x∈M，總有y＝x2∈N，故④能構(gòu)成從M到N的函數(shù)．故選B.3．(2023·鎮(zhèn)江模擬)若函數(shù)y＝f(2x)的定義域為[－2，4]，則y＝f(x)－f(－x)的定義域為()A．[－2，2] B．[－2，4]C．[－4，4] D．[－8，8]答案C解析因為函數(shù)y＝f(2x)的定義域為[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－4，8]，對于函數(shù)y＝f(x)－f(－x)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤8，,－4≤－x≤8，))解得－4≤x≤4，因此函數(shù)y＝f(x)－f(－x)的定義域為[－4，4]．故選C.4．(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(1－x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，則f(x)＝()A.eq\f(1,（x－1）2)－1(x≠0) B.eq\f(1,（x－1）2)－1(x≠1)C.eq\f(4,（x－1）2)－1(x≠0) D.eq\f(4,（x－1）2)－1(x≠1)答案B解析令t＝1－x，則x＝1－t，且x≠0，則t≠1，可得f(t)＝eq\f(1－（1－t）2,（1－t）2)＝eq\f(1,（t－1）2)－1(t≠1)，所以f(x)＝eq\f(1,（x－1）2)－1(x≠1)．故選B.5．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x答案B解析二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，可設(shè)二次函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a－b＝5，))解得a＝3，b＝－2，所以二次函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝3x2－2x.故選B.6．(2024·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)＝()A．2 B.eq\r(2)C．1 D．0答案B解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．因為f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此時f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq\r(a＋2)，所以a＝eq\r(a＋2)，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不滿足a＝eq\r(a＋2)，舍去)，所以f(a)＝eq\r(2).7．若函數(shù)y＝eq\f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋2))的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案D解析要使函數(shù)的定義域為R，則ax2－4ax＋2>0恒成立．①當(dāng)a＝0時，不等式為2>0，恒成立；②當(dāng)a≠0時，要使不等式恒成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－4a）2－4·a·2<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a（2a－1）<0，))解得0<a<eq\f(1,2).由①②得0≤a<eq\f(1,2).故選D.8．(2024·寶雞實驗高級中學(xué)質(zhì)檢)取整函數(shù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列關(guān)于“取整函數(shù)”的命題中，為真命題的是()A．?x∈R，[2x]＝2[x]B．?x，y∈R，[x]＝[y]，則x－y≥1C．?x∈R，[2x]＝2[x]D．?x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]答案C解析當(dāng)x＝1.5時，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A為假命題；設(shè)[x]＝[y]＝k∈Z，則k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，∴x－y<1，故B為假命題；當(dāng)x＝2時，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C為真命題；當(dāng)x＝0.5，y＝0.6時，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D為假命題．二、多項選擇題9．(2024·濟(jì)寧調(diào)研)下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnxB．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2C．f(x)＝x0，g(x)＝eq\f(1,x0)D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)答案CD解析對于A，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為{x|x>0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一個函數(shù)；對于B，f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一個函數(shù)；對于C，f(x)＝x0＝1的定義域為{x|x≠0}，g(x)＝eq\f(1,x0)＝1的定義域為{x|x≠0}，兩函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)；對于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)．故選CD.10．下列函數(shù)中，滿足f(18x)＝18f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x答案ABD解析若f(x)＝|x|，則f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，則f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，則f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不滿足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，則f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故選ABD.11．(2024·廣元中學(xué)月考)具有性質(zhì)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．下列函數(shù)滿足“倒負(fù)”變換的是()A．y＝x－eq\f(1,x) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（0<x<1），,0（x＝1），,－\f(1,x)（x>1）)) D．y＝－x3＋eq\f(1,x3)答案ACD解析對于A，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，滿足“倒負(fù)”變換；對于B，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x≠－f(x)，不滿足“倒負(fù)”變換；對于C，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（0<x<1），,0（x＝1），,\f(1,x)（x>1），))滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，滿足“倒負(fù)”變換；對于D，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－eq\f(1,x3)＋x3，滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，滿足“倒負(fù)”變換．故選ACD.三、填空題12．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：x123f(x)231x123g(x)321則f(g(1))的值為________；滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．答案12解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.當(dāng)x＝1時，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不滿足f(g(x))>g(f(x))；當(dāng)x＝2時，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，滿足f(g(x))>g(f(x))；當(dāng)x＝3時，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不滿足f(g(x))>g(f(x))，∴當(dāng)x＝2時，f(g(x))>g(f(x))成立．13．(2024·重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,x2－1，x≤1，))則不等式f(x)<f(x＋1)的解集為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析當(dāng)x≤0時，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等價于x2－1<(x＋1)2－1，解得－eq\f(1,2)<x≤0；當(dāng)0<x≤1時，x＋1>1，此時f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴當(dāng)0<x≤1時，恒有f(x)<f(x＋1)；當(dāng)x>1時，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等價于log2x<log2(x＋1)，此時也恒成立．綜上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).14．已知函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))＋2feq\