2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【原卷版】(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,則m=()A.-32 B.23 C.-122.(5分)如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0 B.BE C.AD D.CF3.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下列兩個向量,能作為基底向量的是()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)4.(5分)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則OP+OQ=()A.OH B.OG C.EO D.FO5.(5分)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為()A.65 B.85 C.2 6.(5分)(多選題)(2023·漳州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=3DC,點(diǎn)M滿足CM=2MD,N是BC的中點(diǎn).設(shè)AB=a,AD=b,則下列等式正確的是()A.BD=a-b B.AC=13a+C.BM=-89a+b D.AN=23a+7.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,則向量OB的坐標(biāo)是.

8.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),則與9.(5分)(2023·九江模擬)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且滿足3AE=AC,BE交AD于點(diǎn)F,設(shè)BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λ+μ=;AFAD=10.(10分)(2023·泰安模擬)如圖,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.設(shè)AB=a,(1)用a,b表示BC,MN;(2)若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且AP=512a+14b.求證:M,P,N三點(diǎn)共線,并指明點(diǎn)P【加練備選】(多選題)(2023·重慶模擬)如圖,AB=2AE,AC=3AD,線段BD與CE交于點(diǎn)F,記AB=a,AC=b,則()A.DE=12a-13b B.DE=-12aC.AF=35a+215b D.AF=25a11.(10分)(2023·信陽模擬)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐標(biāo);(3)已知D(3,5),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點(diǎn)按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,求點(diǎn)A的坐標(biāo).【能力提升練】12.(5分)已知AD,BE分別是△ABC的邊BC,AC上的中線,且AD=a,BE=b,則BC=()A.13a+23b B.23aC.23a+43b D.43a13.(5分)若{α,β}是平面內(nèi)一個基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(x,y)為向量γ在基底{α,β}下的坐標(biāo).已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標(biāo)為.

14.(10分)如圖所示,在△ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.(1)試用向量a,b表示BD,AE;(2)若AE交BD于點(diǎn)O,求AOOE及BOOD【解題指南】(2)由A,O,E三點(diǎn)共線,得到AO=λ3a+2λ3b,由B,O,D三點(diǎn)共線,得到AO=(1-μ)a+μ3b,列出方程λ3a+2λ3b=(1-μ2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【解析版】(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,則m=()A.-32 B.23 C.-12【解析】選A.根據(jù)題意,a=(1,m),b=(2,-3),若a∥b,則有2×m=1×(-3),解得m=-322.(5分)如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0 B.BE C.AD D.CF【解析】選D.由于BA=DE,因此BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF.3.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下列兩個向量,能作為基底向量的是()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)【解析】選BD.A選項(xiàng),零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作為基底.B選項(xiàng),因?yàn)?1≠-12,所以e1,eC選項(xiàng),e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作為基底D選項(xiàng),因?yàn)?3≠14,則e1,e24.(5分)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則OP+OQ=()A.OH B.OG C.EO D.FO【解析】選D.在方格紙上作出OP+OQ,如圖所示,連接FO,則容易看出OP+OQ=FO.5.(5分)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為()A.65 B.85 C.2 【解析】選B.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),因?yàn)镃A=λCE+μDB,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以-解得λ=65,μ=26.(5分)(多選題)(2023·漳州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=3DC,點(diǎn)M滿足CM=2MD,N是BC的中點(diǎn).設(shè)AB=a,AD=b,則下列等式正確的是()A.BD=a-b B.AC=13a+C.BM=-89a+b D.AN=23a+【解析】選BC.對于A,BD=AD-AB=b-a,A錯誤;對于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a對于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-8對于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+7.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,則向量OB的坐標(biāo)是.

【解析】由點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.設(shè)點(diǎn)B(x,y),則(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,答案:(4,7)8.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),則與【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1OP2-OP1=OP=2OP2-OP=32與OP同向的單位向量為OPOP=(35,-45),反向的單位向量為(-35答案:(35,-45)和(-359.(5分)(2023·九江模擬)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且滿足3AE=AC,BE交AD于點(diǎn)F,設(shè)BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λ+μ=;AFAD=【解題指南】根據(jù)向量共線定理表示出AD,AF,從而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,AFAD【解析】設(shè)AF=mAD,BF=nBE,根據(jù)向量共線定理,得AF=mAD,AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,所以AF=n3AC+(1-n)又因?yàn)锳D=12(AB+AC所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB得n3=m代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB則有λ+μ=-12,AFAD=答案:-1210.(10分)(2023·泰安模擬)如圖,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.設(shè)AB=a,(1)用a,b表示BC,MN;【解析】(1)依題意,BC=AC-AB=b-a,MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3(2)若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且AP=512a+14b.求證:M,P,N三點(diǎn)共線,并指明點(diǎn)P【解析】(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-又AP=512a+14b,所以AP=1212+12=1,故M,P,N三點(diǎn)共線,且P是MN【加練備選】(多選題)(2023·重慶模擬)如圖,AB=2AE,AC=3AD,線段BD與CE交于點(diǎn)F,記AB=a,AC=b,則()A.DE=12a-13b B.DE=-12aC.AF=35a+215b D.AF=25a【解析】選AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a設(shè)AF=xa+yb,EF=EA+AF=(x-12)a+ybEC=EA+AC=-12a+b因?yàn)镋F∥EC,所以x-12同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b,DF∥DB,x1聯(lián)立解得x=25,y=15,所以AF=25a+111.(10分)(2023·信陽模擬)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)λ的值;【解析】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.因?yàn)锳,E,C三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)k,使得AE=kEC,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因?yàn)閑1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,所以1+2k解得k=-12,λ=-3(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐標(biāo);【解析】(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2(3)已知D(3,5),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點(diǎn)按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,求點(diǎn)A的坐標(biāo).【解析】(3)因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,所以AD=BC,設(shè)A(x,y),則AD=(3-x,5-y),因?yàn)锽C=(-7,-2),所以3-解得x=10即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,7).【能力提升練】12.(5分)已知AD,BE分別是△ABC的邊BC,AC上的中線,且AD=a,BE=b,則BC=()A.13a+23b B.23aC.23a+43b D.43a【解析】選C.因?yàn)锽C=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,且EC=12AC,DC=可得BC=b+12AC,AC=a+所以BC=b+12(a+1整理得BC=23a+4313.(5分)若{α,β}是平面內(nèi)一個基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(x,y)為向量γ在基底{α,β}下的坐標(biāo).已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標(biāo)為.

【解析】因?yàn)閍在基底{p,q}下的坐標(biāo)為(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+所以a在基底{m,n}下的坐標(biāo)為(0,2).答案:(0,2)14.(10分)如圖所示,在△ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.(1)試用向量a,b表示BD,AE;【解題指南】(1)根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則,求解即可;【解析】(1)由AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD,可得BD=AD-AB=13AC-AB=13bAE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC(2)若AE交BD于點(diǎn)O,求AOOE及BOOD