2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-拓展拔高4-極值點(diǎn)偏移問題【課件】VIP

拓展拔高4極值點(diǎn)偏移問題【高考考情】極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣,導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性.極值點(diǎn)偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中,這類題往往對(duì)思維要求較高,過程較為煩瑣,計(jì)算量較大,難度大.【研究對(duì)象】一般地,證明兩數(shù)x1,x2之和(之積)的不等式問題,常涉及函數(shù)的極值點(diǎn)偏移.解決極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵是消元,有時(shí)待證的結(jié)論需要利用不等式轉(zhuǎn)化變形.

視角一

極值點(diǎn)偏移問題之消參減元、比值代換[例1]已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(x>0),a為常數(shù),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1≠x2).證明:x1x2>e2.

視角二

極值點(diǎn)偏移問題之消參減元、差值代換[例2]若函數(shù)f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1+x2<-2lna.

思維升華差值換元法的解題策略(1)取差構(gòu)元:記s=t2-t1,則t2=t1+s,利用該式消掉t2.(2)巧解消參:利用g(t1)=g(t2),構(gòu)造方程,解之,利用s表示t1.(3)構(gòu)造函數(shù):依據(jù)消參之后所得不等式的形式,構(gòu)造關(guān)于s的函數(shù)G(s).(4)轉(zhuǎn)化求解:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(s)的單調(diào)性和最值,從而證得結(jié)論.

x(-∞,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

所以F'(x)≥0,所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又因?yàn)镕(1)=0,所以x>1時(shí),F(x)>F(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),h(x)>h(2-x),則h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因?yàn)閤1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1∈(-∞,1),因?yàn)閔(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得證.思維升華對(duì)稱構(gòu)造法,主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和(積)相關(guān)的不等式問題.其解題要點(diǎn)如下:(1)定函數(shù)極值點(diǎn):利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0;(2)構(gòu)造函數(shù):根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x);(3)判斷單調(diào)性:利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性;(4)比較大小:判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù),并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系;(5)轉(zhuǎn)化:利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將f(x)與f