考點24 排列與組合（核心考點講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點講與練（新高考專用）解析版

考點24排列與組合(核心考點講與練)

i.排列與組合的概念

名稱定義

排列從〃個不同元素中取出按照一定的順序排成一列

組合勿(加W〃)個不同元素合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

(1)從n個不同元素中取出0個元素的所有排列的個數(shù),叫做從〃個不同元素中取出m

個元素的排列數(shù).

(2)從〃個不同元素中取出必個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出小

個元素的組合數(shù).

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

n!

⑴A〃一〃（771）（〃2）…（〃/〃+］）=z、［.

m）!

/、A：〃（〃一1）（〃一2）…（/7-1+1）

公式（2）C-八#一t

nAm

n!

—,z、?（〃，/〃￡N,且辰〃）.特別地C〃一1

m!（―一））！

（1）0!=1；A：=〃！.

性質(zhì)

（2）c：=cnC+F+CF1

1.求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排

捆綁法

列

插空對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元

法素排列的空當(dāng)中

定序問

題

對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法處

理

間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法

2.兩類有附加條件的組合問題的解法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另

外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與

“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用直

接法分類復(fù)雜時，用間接法求解.

3.排列、組合問題的求解方法與技巧

⑴特殊元素優(yōu)先安排；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步；（3）排列、組合混合問題先選

后排；（4）相鄰問題捆綁處理；（5）不相鄰問題插空處理；（6）定序問題倍除法處

理；（7）分排問題直排處理；（8）“小集團”排列問題先整體后局部；（9）構(gòu)造模

型；（10）正難則反，等價條件.

4.解答排列、組合綜合問題的一般思路和注意點

（1）一般思路：“先選后排”，也就是把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進(jìn)行排

列.

（2）注意點：①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，元素?zé)o序是組合問題，元素有

序是排列問題.

②對于有多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步,

這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法.

排列

1.（2021哈六中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理））用1,2,3,4,5,6六個數(shù)字組成六位

數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰且1、2必須相鄰，則滿足要求的六位數(shù)共有（）個

A.72B.96C.120D.288

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，按1和2兩個數(shù)按“12”的順序和“21”的順序捆綁，利用插空法可得

答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，1和2必須相鄰，將“12”或“21”看成一個整體與4、6全排列，

排好后，要求奇數(shù)互不相鄰，則有3個空位可選，再將“3”和“5”插入到3個空位中，

有ZHA：=72種排法，即有72個符合條件的六位數(shù)；

故選：A.

2.（2021湖南省永州市高三上第一次適應(yīng)性考試）永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘

南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁

鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》

與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（）

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】利用插空法求解即可.

【詳解】第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個節(jié)目排列，

有彳：=24種排法；

第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個節(jié)H的間隙或者兩端，有20種

插法；

所以共有24x20=480種不同的安排方法.

故選：A

3.（2021新疆喀什地區(qū)莎車縣一中高三上期中）7個人排成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、

乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）

A.480種B.720種C.960種D.1200種

【答案】C

【分析】甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個元素，與除去丙和丁以外的共4個元素進(jìn)行

全排列，其中甲和乙之間還有一個排列，根據(jù)內(nèi)和丁不相鄰，把形成的五個空選兩個排列丙

和丁.得到結(jié)果.

【詳解】解：由題意知，

甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個元素，

與除去丙和丁以外的共4個元素進(jìn)行全排列，其中甲和乙之間還有一個排列，

把形成的五個空選兩個排列丙和丁，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有492席=960種.

故選：C.

更自組合

1..某中學(xué)為了發(fā)揮青年志原者模范帶頭作用，利用周末開展青年志愿者進(jìn)社區(qū)服務(wù)活動.

該校決定成立一個含有甲、乙兩人的4人青年志愿者社區(qū)服務(wù)團隊，現(xiàn)把4人分配到A和8兩

個社區(qū)去服務(wù)，若每個社區(qū)都有志愿者，每個志愿者只服務(wù)一個社區(qū)，且甲、乙兩人不同在

一個社區(qū)的分配方案種類有（）

A.4B.8C.10D.12

答案】B

【分析】分兩種情況討論，A和3兩個社區(qū)一個社區(qū)1個志愿者，另一個社區(qū)3個志愿者，

以及A和B兩個社區(qū)分別有兩個志愿者，即得解

【詳解】由題意，分情況討論，若A和。兩個社區(qū)一個社區(qū)1個志愿者，另一個社區(qū)3個志

愿者，則只需讓甲或乙單獨去一個社區(qū)即可，共2x2二4種情況；

若A和H兩個社區(qū)分別有兩個志愿者，則共有C；x2=4種情況；

因此共：4?4.8種不同的分配方案

故選：B

2.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，

每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組

合，排列，乘法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先

從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個元

素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4:

種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后

利用先選后排思想求解.

詹向排列組合的綜合運用

1.從將標(biāo)號為1,2,3,--9的9個球放入標(biāo)號為1,2,3,…，9的9個盒子里，每個

盒內(nèi)只放一個球，恰好3個球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法種數(shù)為（）

A.84B.168C.240D.252

【答案】B

【分析】先確定標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不一致的3個球，是組合問題，可得其排法數(shù)，進(jìn)而

分折可得三個標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不一致的排法數(shù)，由分步計數(shù)原理，計算可得結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，先確定標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不一致的3個球，

即從9個球中取出3個，有C；利而這3個球的排法有2X1X1=2種，

則共有2C；=168種，

故選:B.

【點睛】方法點睛:有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才

能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中

要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，

既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.

2.（2021寧夏銀川一中高三上學(xué)期第二次月考）有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8

人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方

法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排入順序不變可用倍縮法，

再由分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】解：從后排8人中抽2人有C；種方法；

將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對順序不變有三種，

A：

由分步乘法計數(shù)原理可得：共有C：?爺=28x6x5=840種，

故選：C.

3.（2021江蘇省南通市海安高三第一次月考）為了更好的了解黨的歷史，宣傳黨的知識，

傳頌英雄事跡.某校團支部6人組建了黨史宣講，歌曲演唱，詩歌創(chuàng)作三個小組，每組2

人，其中甲不會唱歌，乙不能勝任詩歌創(chuàng)作，則組建方法有（）種

A.60B.72C.30D.42

【答案】D

【分析】分別求得將6人平均分3個不同組的種數(shù)，甲在歌曲演唱小組的種數(shù)，乙在歌曲詩

歌創(chuàng)作小組的種數(shù)，以及甲在歌曲演唱小組且乙在歌曲詩歌創(chuàng)作的種數(shù)，即可求解.

?4=90種,

【詳解】由題意，將6人平均分3個不同組,"下"

此時有華

甲在歌曲演唱小組,?&=30種,

乙在歌曲詩歌創(chuàng)作小組,此時有?片=30種,

甲在歌曲演唱小組且乙在歌曲詩歌創(chuàng)作有A：=12種,

故共有90-30-30+12=42種.

故選:D.

1.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰

球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)I,每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，

則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個項H中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組

合，排列，乘法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先

從5名志愿者中任選2人，組成個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元

素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!

種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后

利用先選后排思想求解.

2.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)H））4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名

同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

【答案】36

【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合

和乘法計數(shù)原理得解.

【詳解】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)

至少安排1名同學(xué)

，先取2名同學(xué)看作一組，選法有：C：=6

現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：用=6

根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36種

故答案為：36.

【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使

用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

一、單選題

1.（2022?全國?模擬預(yù)測）若從甲、乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長1人，

副組長1人，普通組員2人到北京冬奧會花樣滑冰場館服務(wù)，且要求女志愿者甲不能做正組

長，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為（）

A.210B.390C.555D.660

【答案】C

【分析】分為四種情況即可得出答案，第一種4人均從6名男志愿者中選取，第二種女志愿

者甲被選中且乙沒有被選中，第三種女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，第四種女志愿者甲

、乙均被選中.

【詳解】若4人均從6名男志愿者中選取，則不同的選法種數(shù)為C；1cC；=180：

若女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為C；C；+C；CC：=180；

若女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為C：C；x2=12（）：

若女志愿者甲、乙均被選中，則不同的選法種數(shù)為C；+C：C；x2=75.

所以滿足題意的不同選法種數(shù)為180+180+120+75=555.

故選：C.

2.（2021?全國?模擬預(yù)測）為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思

想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、

主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行.若中心

組學(xué)習(xí)必須安排在前2個階段，且主題班會、主題團日安排的階段相鄰，則不同的安排方案

共有（）

A.12種B.28種C.20種D.16種

【答案】C

【分析】分中心組學(xué)習(xí)在第1階段和第2階段分別求解，再利用分類加法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】若中心組學(xué)習(xí)安排在第1階段，則其余四種活動的安排方法有12（種）：若

中心組學(xué)習(xí)安排在第2階段，則主題班會、主題團日可安排在第3,4階段或者第4,5階段，

專題報告會、黨員活動日分別安排在剩下的2個階段，不同的安排方法有2&A；=8（種）.故

共有12+8=20種不同的安排方案，

故選：C.

3.（2022?廣東汕頭?一模）有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù).冬奧

會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服

務(wù)，則每個項目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（）

9324

A.—B.-C.—D.一

164279

【答案】D

【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個項目進(jìn)行排列，可求出每個項目至

少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù),再求出4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務(wù)

的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可

【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有C：=6種分法，

然后將3個項目全排列，共有閥=6種排法，

所以每個項目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)為6x6=36種，

因為4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)34=81種，

所以每個項目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率為3二6=一4，

819

故選：D

4.（2022?山東濰坊?一模）第十三屆冬殘奧會于2022年3月4日至3月13日在北京舉行.

現(xiàn)從4名男生，2名女生中選3人分別擔(dān)任冬季兩項、單板滑雪、輪椅冰壺志愿者，且至多

有1名女生被選中，則不同的選擇方案共有（）.

A.72種B.84種C.96種D.124種

【答案】C

【分析】先分有一名女生和沒有女生兩種情況選出自愿者，然后再排列.

【詳解】第一步，選出的自愿者中沒有女生共=4種，只有一名女生共C：C；=12種;

第二步，將三名志愿者分配到三項比賽中共有A；=6.

所以，不同的選擇方案共有（12+4）x6=96種.

故選：C

5.（2022?重慶?一模）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺

4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同

的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組

合，排列，乘法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先

從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元

素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!

種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后

利用先選后排思想求解.

6.（2022?重慶市求精中學(xué)校一模）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥

物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)

代設(shè)計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會,某學(xué)校決定派小明和小

李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物,

且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】分為三人組中包含小明和小李和不包含小明和小李兩類，分別計算方案種數(shù)即可得

結(jié)果.

［詳解】由題意可知應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組，

當(dāng)三人組中包含小明和小李時，安裝方案有C；&=6種：

當(dāng)三人組中不包含小明和小李時，安裝方案有用=2種，共計有6+2=8種，

故選:A.

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸

入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴(yán)峻、復(fù)雜.某地區(qū)安排4B,C,D,￡?五名同

志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且4,6兩人安排在同一個地區(qū)，

C,〃兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（)

A.30種B.36種C.42種D.64種

【答案】A

【分析】由題意可得，分兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人和兩個地區(qū)各分1人，另一

個地區(qū)分3人兩種情況，對兩種情況的種數(shù)求和，即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人時，總數(shù)有=12種；

②當(dāng)兩個地區(qū)各分1人，另一個地區(qū)分3人時，總數(shù)有C；?父=18種.

故滿足條件的分法共有12+18=30種.

故選：A

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為迎接2021年9月15日-9月27日的第十四屆全國運動

會，某單位準(zhǔn)備組織一場混合雙打比賽，現(xiàn)從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中

各選2名選手進(jìn)行一場混合雙打比賽，則不同的選擇方法有（）

A.150種B.300種C.450種D.600種

【答案】B

【分析】由題意知先從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中各選2名選手，由于進(jìn)

行一場混合雙打比賽，再使女乒乓球愛好者要在男乒乓球愛好者上排列，根據(jù)分步計數(shù)原理

得到結(jié)果.

【詳解】由題意知從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中各選2名選手，共有

種結(jié)果，

???由于進(jìn)行一場混合雙打比賽，

A兩名女乒乓球愛好者要在兩名男乒乓球愛好者上排列，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有C/CX=300種結(jié)果，

故選：B.

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“女排精神”是中國女子排球隊頑強戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神

的總概括，她們在世界杯排球賽中憑著頑強戰(zhàn)斗、勇敢拼搏的精神，五次獲得世界冠軍，為

國爭光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本舉行，中國隊以上屆冠軍的身份

出戰(zhàn)，最終以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的成績成功衛(wèi)冕世界杯冠軍，為中華人民共和國70華誕

獻(xiàn)上最及時的賀禮.朱婷連續(xù)兩屆當(dāng)選女排世界杯MVP,她和顏妮、丁霞、王夢潔共同入選最

佳陣容，賽后4人和主教練郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中間，她們4人隨機站于

兩側(cè)，則朱婷和王夢潔站于郎平同一側(cè)的概率為（）

【答案】B

【分析】利用排列組合與概率的定義，進(jìn)行計算即可

【詳解】4人和主教練郎平站一排合影留念，郎平站在最中間，她們4人隨機站于兩側(cè)，則

不同的排法有C；A；A；=24種，若要使朱婷和王夢潔站于郎平同一側(cè)，則不同的排法有

,,81

2A：A；=8種，所以所求概率P=—=一

243

故選：B

二、多選題

10.（2022?江蘇常州?高三期末）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進(jìn)行

著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（）

A.A；x況B.A：xA：

c.D.C；XA；+C：X(6『

【答案】ACD

【分析】選項ACD均可以對其每一步的方法數(shù)進(jìn)行合理解釋，而選項B方法總數(shù)錯誤，不能

對其每一步的方法數(shù)進(jìn)行合理解釋.

【詳解】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有閥個方法，上面一

格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有￡個方法，故共有&￡=48個不同方法.

正確；

選項B：A：X%=144.方法總數(shù)不對.錯誤；

選項C：表示先對中間兩格涂顏色.從4種顏色取2種，共有&個方法，上下兩格都是從

與中間兩格不同的顏色中取出個，有A；個方法.故共有/（聞了=48個不同方法.正確;

選項D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個剩下的顏色取2種，共有

個不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個剩下的顏色取2種，共有

《國曷個不同方法.綜合①②可知方法總數(shù)為：C：&+C：（M）2=48個不同方法.

正確.

故選：ACD

11.（2022?重慶市朝陽中學(xué)高三開學(xué)考試）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭

州亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排，則以下說法錯誤的

是（）

A.若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為5"

B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為4C：

C.每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四

項工作，則不同安排方案的種數(shù)是閥+C；河

D.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方

法數(shù)為用

【答案】ABD

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理判斷A、B,對開車的人員分類討論利用分步乘法計數(shù)原理

及分類加法計數(shù)原理判斷C,按照部分平均分組法判斷D；

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,安排5人參加4項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有45種

安排方法，故A錯誤；

對于8,根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4

項工作，有禺種安排方法，故8錯誤；

對于C,根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊

中選出1人開車，則有+種安排方法，C正確；

對于。，分2步分析：需要先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三

組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項工作,有A；種情況，則有蜀種安排方法,D

錯誤；

故選：ABD.

三、填空題

12.（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校二模（理））某地區(qū)突發(fā)傳染病公共衛(wèi)生事件,

廣大醫(yī)務(wù)工作者逆行而上，紛紛志愿去一線抗擊疫情.某醫(yī)院呼吸科共有4名醫(yī)生，6名護(hù)

士，其中1名醫(yī)生為科室主任，1名護(hù)土為護(hù)士長.根據(jù)組織安排，從中選派3人去支援抗疫

一線，要求醫(yī)生和護(hù)士均有，且科室主任和護(hù)士長至少有1人參加，則不同的選派方案共有

_____種.

【答案】51

【分析】對于特殊元素科室主任和護(hù)士長分類討論，分別求出各種情況的選派方案數(shù)，再相

加即可；

【詳解】解：選派3人去支援抗疾一線，方案有下列三種情況：

（1）科室主任和護(hù)士長都參加，有G=8（種）選派方案，

（2）科室主任參加，護(hù)士長不參加，有。；+。卜以=25（種）選派方案，

（3）科室主任不參加，護(hù)土長參加，有C-C；+C；=18（種）選派方案，

故符合條件的選派方案有8+25+18=51（種）.

故答案為：51

13.（2022?湖南岳陽?一模）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節(jié)目制成一個節(jié)目單，

其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節(jié)目單有種.（結(jié)果用數(shù)字作答）

【答案】36

【分析】先考慮相聲、跳舞相鄰的情況，再考慮考慮相聲節(jié)目與小品、跳舞都相鄰的情形,

利用捆綁法與間接法可求得結(jié)果.

【詳解】先考慮相聲、跳舞相鄰的情況，只需將相聲、跳舞這兩個節(jié)目進(jìn)行捆綁，形成一個

大元素，

然后再將這個“大元素”與其它三個節(jié)目進(jìn)行排序，共有A；A：=48種排法.

接下來考慮相聲節(jié)目與小品、跳舞都相鄰的情形，需將相聲與小品、跳舞這三個節(jié)目進(jìn)行捆

綁，

其中相聲節(jié)目位于中間，然后將這個“大元素”與其它兩個節(jié)目進(jìn)行排序，

此時共有A；A；=12種排法.

綜上所述，由間接法可知，共有48-12=36種不同的排法.

故答案為：36.

14.（2022?湖南湖南?二模）一次考試后,學(xué)校準(zhǔn)備表彰在該次考試中排名前10位的同學(xué)，

其中有2位是高三（1）班的同學(xué)，現(xiàn)要選4人去“表彰會”上作報告，若高三（1）班的2

人同時參加，則2人作報告的順序不能相鄰，則要求高三（1）班至少有1人參加的作報告

的方案共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】3024

【分析】就高三（1）有1人參加還是有2人參加分類計數(shù)后可得正確的結(jié)果.

【詳解】若高三（1）班只有1人參加，則有C；C；&=2688種不同的方案；

若高三（1）班2人都參加，則有用卷=336種不同方案，故共有3024種不同的方案.

故答案為：3024

15.（2022?浙江?模擬預(yù)測）某九位數(shù)的各個數(shù)位由數(shù)字1,2,3組成，其中每個數(shù)字各

出現(xiàn)3次，且數(shù)字1和數(shù)字2不能相鄰，則符合條件的不同九位數(shù)的個數(shù)是用數(shù)字作

答）

【答案】92

【分析】排好三個3后，將剩下的三個1和三個2進(jìn)行分組，利用插空法，分類討論不同分

組下的情況，再由分類加法計數(shù)原理計算.

【詳解】由題意，先排三個3,則有C；=l種情況，剩下的三個1和三個2分組，若分為4組：

1,2,11,22或1,1,1,222或2,2,2,111,插空得A：+2A：=32種；若分為3組：111,2,22或222,1,11,

插空得2閥=48種；若分為2組：111,222,插空得&=12,所以共有

C；x（M+24+2國+4）=32+48+12=92種.

故答案為：92

16.（2022?江西鷹潭?一模（理））2021年12月，南昌最美地鐵4號線開通運營，甲、乙、

丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場三個地方游覽，每人只能去

一個地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為.

【答案】65

【分析】利用間接法，利用分步計數(shù)原理求出沒有限制的方案數(shù)，排除沒人去人民公園的方

案數(shù)，即得.

【詳解】由題可知沒有限制時，每人有3種選擇，則4人共有，種，

若沒人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有24種，

故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有34-24=81-16=65種.

故答案為：65.

17.（2022?浙江溫州?高三開學(xué)考試）將標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6個球放入A,B,C

三個盒子，每個盒子放兩個球，其中1號球不放4盒子中，2號和3號球都不放6盒子中，

則共有種不同的放法（用數(shù)字作答）.

【答案】27

【分析】按照I號球是否放在6盒子分類，結(jié)合.

【詳解】若1號球放在6盒子中，共有C；C：=18種放法；

若1號球放在6■盒子中，共有C；C；=9種放法；

所以共有放法總數(shù)為18+9=27.

故答案為：27.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）現(xiàn)有15個省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個班級，

其中1班至少2個名額，2班、4班每班至少3個名額，3班最多2個名額，則共有—

種不同分配方案.

【答案】85

【分析】由3班最多2個名額，3班有2、或1個，或。個名額三種情況，然后其余的情況

先分給1班1個名額，2班、4班每班各2個名額，再將剩下的分給1,2,4班，每班至少一

個名額，用隔板法可求解.

【詳解】由3班最多2個名額，3班有2、或1個，或。個名額三種情況.

(1)、當(dāng)3班有2個名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的8

個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.

相當(dāng)于將8個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別

得到一組，有。=21種分法.

(2)、當(dāng)3班有1個名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的9

個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.

相當(dāng)于將9個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別

得到一組，有C；=28種分法.

(3)、當(dāng)3班沒有分得名額時，先給1班1個名額，2班、4班各2個名額，然后將剩下的

10個名額分給1班、2班和4班，每個班至少一個名額.

相當(dāng)于將10個元素排成一排，在中間加入2個隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別

得到?組，有仁=36種分法.

所以一共有21+28+36=85種不同的分配方案.

故答案為：85.

【點睛】本題考查隔板法的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題.

19.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事

先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最

下面的一個燈籠中的謎語來猜(無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉)，則這10條燈謎依次被

選中的所有不同順序方法數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】25200

【分析】由題意可知，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜，所

以本題是定序問題，故結(jié)合倍縮法即可求出結(jié)果.

【詳解】一共有10條燈謎，共有然種方法，由題意可知而其中按2,3,3,2組成的4列

相對位置不變,所以結(jié)合倍縮法可知共有=25200種，也即是這10條燈謎依次被

4；看父耳

選中的所有不同順序方法有25200種

故答案為：252（X）.

20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現(xiàn)需要全

部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是

（用數(shù)字作答）.

【答案】90

【分析】根據(jù)有六個集裝箱，需要全部裝運，得到醴種取法，再根據(jù)每次只能從其中一堆

取最上面的一個集裝箱，由排列中的定序問題求解.

【詳解】因為有六個集裝箱，需要全部裝運，共有父=720種取法，

又因為每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，

由排列中的定序問題，可知不同的取法有二條3=丁=90種.

故答案為：90.

【點睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，還考查了分析問題求解問題的能力，屬于中檔題.

21.（2022?河北保定?一模）2022年北京冬奧會的某滑雪項目中有三個不同的運動員服務(wù)

點,現(xiàn)需將10名志愿者分配到這三個運動員服務(wù)點處,每處需要至少2名至多4名志愿者，

則不同的安排方法一共有種.

【答案】22050

【分析】由題意可得分配到三個運動員服務(wù)點處的志愿者數(shù)目為2,4,4或3,3,4,然后

根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理可求得結(jié)果

【詳解】根據(jù)題意得，這10名志愿者分配到三個運動員服務(wù)點處的志愿者數(shù)目為2,4,4

或3,3,4,

所以不同的安排方法一共警G&+華G.8=22050,

故答案為：22050

22.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所

著.該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、

五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計數(shù).某中學(xué)

研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)

算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個人收

集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有種.

【答案】126

【分析】按甲收集資料的種數(shù)分類討論，先確定甲收集資料的種數(shù)剩下的分成三組分給乙、

丙、丁三人收集.

【詳解】據(jù)題意，甲可收集1種或2種資料.

第一類，甲收集1種，則乙、丙、丁中有一人收集2種，另兩人各收集1種，有C；C：&=108

種；

第二類，甲收集2種，則乙、丙、丁每人各收集1種，有用=18種.

所以不同的分工收集方案種數(shù)共有108+18=126種.

故答案為：126.

23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）清華大學(xué)有6名同學(xué)準(zhǔn)備在北京2022年冬奧會期間擔(dān)任

志愿者，去46兩個場館進(jìn)行工作.現(xiàn)需制定工作方案，將6人分成2組，每組3人，每組

各指定一名組長，再將兩組分別指派到46兩個場館，則不同的工作方案數(shù)為.

【答案】180

【分析】先根據(jù)平均分組問題將6人分成兩組，再選出各組隊長，最后分配到兩個場館即可.

【詳解】解：根據(jù)平均分組問題將6人分成兩組，每組3人，有空_=10種不同的分法；

2

再選各組的組長，有C；?C；=9種情況，

最后將兩組分配到48兩個場館，則有厘=2種可能，

所以，根據(jù)乘法原理得共有C空?C；?C；?&=180種不同的方案.

故答案為：180

24.（2022?貴州貴陽?一模（理））在2022年北京冬奧會和冬殘奧會城市志愿者的招募項

目中，有一個“國際服務(wù)”項目截止到2022年1月25II還有8個名額空缺，需要分配給3

個單位，則每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是.

【答案】12

【分析】首先確定各單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應(yīng)用全排列求每種方式的分配方

法數(shù)，即可得結(jié)果.

【詳解】各單位名額互不相同，則8個名額的分配方式有｛1,2,5｝、｛1,3,4｝兩種,

對于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個單位的方法有國種，

所以每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)為2A；=12種.

故答案為：12.

25（2022?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁4個小球放入編號分別為A,B,C,D

的四個盒子中，恰好只有一個空盒，若乙只能放入A盒，甲不能放入力盒，則分配方法共

有種.（用數(shù)字作答）

【答案】26

【分析】。為空盒時，。中放一個球時，。中放兩個球時，依次計算即可得出結(jié)果.

【詳解】。為空盒時，若A中只有一個球時A中有兩個球時，則方法數(shù)為

.用=12,

D中放一個球時，只能為丙或丁，若A中只有一個球時，另外兩個球放入一個盒中C；,A

中有兩個球時C\-C\,則方法數(shù)為C；??C；+G）=12,

。中放兩個球時，只能是丙丁，甲放入氏C中的一個，方法數(shù)為C；=2.

綜上方法數(shù)為12+12+2=26種.

故答案為：26

26（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》

、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣

研讀，若甲乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則5名同學(xué)所有可能的選擇有.

【答案】54

【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲選擇了《春秋》，②甲沒有選擇《春秋》，分析每

種情況下的分法數(shù)目，由加法原理計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，甲選擇了《春秋》，乙有3種選法，將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有大=6

種情況，則此時有3x6=18種分法;

②，甲沒有選擇《春秋》，則甲的選法有3種，乙的選法有2種，將剩下的三本書全排列，

對應(yīng)丙、「、戊3人，有用=6種情況，則此時有3x2x6=36種分法；

則一共有18+36=54種選法.

故答案為：54.

考點24排列與組合（核心考點講與練）

考點考向

1.排列與組合的概念

名稱定義

排列從〃個不同元素中取出按照一定的順序排成一列

組合R(加個不同元素合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

(1)從〃個不同元素中取出〈垃個元素的所有排列的個數(shù),叫做從〃個不同元素中取出勿

個元素的排列數(shù).

(2)從〃個不同元素中取出加個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出m

個元素的組合數(shù).

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

Z?!

(1)A〃一干(〃1)(〃2)…(〃加+1)—(、［.

(nm)!

A：n(77—1)(Z7-2)…(〃-m+1)

公式(2)C：--.

AVmml

n1

—.z、1(〃，加，且特別地c〃一1

加(〃一M!GN-

(1)0!=1；A，=〃！.

性質(zhì)

Zn\p?_fyn—m_p?l1

l乙，5—5；L/J+1-

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排

捆綁法

列

插空對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元

法素排列的空當(dāng)中

定序問

題

對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法處

理

間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法

2.兩類有附加條件的組合問題的解法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另

外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與

“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用直

接法分類復(fù)雜時，用間接法求解.

3.排列、組合問題的求解方法與技巧

⑴特殊元素優(yōu)先安排；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步；（3）排列、組合混合問題先選

后排；（4）相鄰問題捆綁處理；（5）不相鄰問題插空處理；（6