人教版九年級數(shù)學(xué)上冊24.1.2 垂直于弦的直徑（課件）

24.1

圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.2垂直于弦的直徑24.1.2垂直于弦的直徑1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對稱圖形；2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它

解決一些簡單的計(jì)算、證明和作圖問題；（重點(diǎn)）3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)24.1.2垂直于弦的直徑問題：你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為

37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為

7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？導(dǎo)入新課24.1.2垂直于弦的直徑問題1在紙上任意畫一個(gè)⊙O，沿⊙O的一條直徑將⊙O折疊，你發(fā)現(xiàn)了什么？O圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓所在平面內(nèi)任意一條過圓心的直線.

講授新課24.1.2垂直于弦的直徑講授新課垂徑定理及其推論(1)圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？(2)

你是怎么得出結(jié)論的？圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.用折疊的方法●O說一說24.1.2垂直于弦的直徑問題2已知：如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，垂足為E.求證：AE=EB，（或）.·OABDEC證明：連接OA，OB，OA=OB.△OAB為等腰三角形，所以底邊AB上的高OE所在直線CD是AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線CD對稱.24.1.2垂直于弦的直徑同理，如果點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線CD的垂線，與⊙O相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線CD也對稱，所以⊙O關(guān)于直線CD對稱.當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，AE與BE重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，

與

重合，與重合.因此AE=EB，，.P·OABDECQ24.1.2垂直于弦的直徑溫馨提示：垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.垂徑定理·OABCDP垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，(條件)

推導(dǎo)格式：∴AP=BP，

(結(jié)論)歸納總結(jié)24.1.2垂直于弦的直徑想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)?/p>

AB，CD都不是直徑OABCABOEABDCOEABOCDE24.1.2垂直于弦的直徑可運(yùn)用垂徑定理的幾種常見圖形：ABOCDEABOCDABODCABOC歸納總結(jié)24.1.2垂直于弦的直徑例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm.·OABE解析：連接

OA.

∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16(cm).16∴(cm).24.1.2垂直于弦的直徑例2

如圖，⊙O的弦

AB＝8cm，直徑

CE⊥AB于

D，DC＝2cm，求半徑

OC的長.·OABECD解：連接

OA.∵

CE⊥AB于

D，∴設(shè)

OC=OA=xcm，則

OD=x-

2，根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑

OC的長為

5cm.x2=42+(x-2)2，24.1.2垂直于弦的直徑

如果把垂徑定理(垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧)的結(jié)論與題設(shè)交換一條，命題還是真命題嗎？

①過圓心(是直徑)；

②垂直于弦；③平分弦；

④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？思考探索24.1.2垂直于弦的直徑DOABEC舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為

E

③AE=BE④24.1.2垂直于弦的直徑證明猜想如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑

CD

平分弦

AB

于點(diǎn)

E.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE解：(1)連接

AO、BO，則

AO=BO.又∵AE=BE，∴∠AEO=∠BEO=90°.∴

CD⊥AB.∴△AOE≌△BOE(SSS).(2)由垂徑定理可得

與

相等嗎？

與

相等嗎？為什么？24.1.2垂直于弦的直徑證明舉例思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？

如果不能，請舉出反例.

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.垂徑定理的推論特別說明：·OABCD歸納總結(jié)圓的兩條直徑是互相平分的.24.1.2垂直于弦的直徑證明：作直徑MN⊥AB，如圖.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.則=，=（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。?∴－=－.∴=.例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求證：=..MCDABON24.1.2垂直于弦的直徑

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，并構(gòu)造半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.24.1.2垂直于弦的直徑歸納總結(jié)問題：趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？24.1.2垂直于弦的直徑解得R≈27.3.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.3m.∴

R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如圖，過橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點(diǎn)

C，交弦

AB于點(diǎn)

D，則

CD=7.23m.由垂徑定理，得

AD=AB=18.5m，設(shè)⊙O的半徑為

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得24.1.2垂直于弦的直徑1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.已知⊙O的直徑

AB=20cm，∠BAC=30°，則弦

AC=

cm.

3.已知⊙O的半徑為

10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

.14cm或2cm當(dāng)堂練習(xí)24.1.2垂直于弦的直徑D·OABCE4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求證：四邊形

ADOE是正方形．證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴四邊形

ADOE為矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四邊形

ADOE為正方形.∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.24.1.2垂直于弦的直徑

5.如圖，在以

O

為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦

AB

交小圓于

C，D

兩點(diǎn).你認(rèn)為

AC和

BD

相等嗎？為什么？解：AC=BD.理由如下：

過點(diǎn)

O作

OE⊥AB，垂足為

E.則

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法總結(jié)：解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，這是一種常見輔助線的添法．24.1.2垂直于弦的直徑垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條