中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練(河南專用)壓軸幾何證明題及相關(guān)輔助線做法(原卷版+解析)

壓軸幾何證明題及相關(guān)輔助線做法 復(fù)雜幾何證明題作為壓軸題出現(xiàn)難度較大，通常有三個(gè)小問，前兩問中等難度，第三問較難。綜合考查幾何相關(guān)定義性質(zhì)和初中階段涉及的幾何輔助線做法，題型靈活多變，需要學(xué)生有一定的幾何基礎(chǔ)，掌握中線倍長、一線三等角、角含半角等幾何模型?！局R點(diǎn)1-手拉手】手拉手模型的識別：頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，共頂點(diǎn)；方法：等邊等角證明全等；結(jié)論：（1）兩個(gè)等腰三角形的腰分別與拉手線相連組成的三角形全等（2）拉手線相等 （3）拉手線交角的度數(shù)等于等腰三角形頂角的度數(shù) （4）等腰三角形的頂點(diǎn)與拉手線交點(diǎn)的連線平分這個(gè)交角的鄰補(bǔ)角1、等邊三角形共頂點(diǎn)等邊△ABC與等邊△DCE，B、C、E三點(diǎn)共線．連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F，BD交AC于點(diǎn)G，AE交DC于點(diǎn)H，連結(jié)CF、GH，結(jié)論：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH為等邊三角形．2、等腰直角三角形共頂點(diǎn)等腰Rt△ABC與等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如圖1，連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F，連結(jié)FC、AD、BE，結(jié)論：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如圖2，若G、I分別為BE、AD的中點(diǎn)，則GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE3、等腰三角形共頂點(diǎn)等腰△ACB與等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．連結(jié)BD，AE交于點(diǎn)F，則結(jié)論：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．例題1、已知，?ACB和?DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE,BD交于點(diǎn)O，AE與DC交于點(diǎn)O，AE與DC交于點(diǎn)M。BD與AC交于點(diǎn)N，求證AE=BD變式練習(xí)1、如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接CE、BD、CD,∠BDC=60°，（1）求證BD=CE;（2）求∠DCE的度數(shù)； 變式練習(xí)2、如圖，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，現(xiàn)把兩個(gè)三角形的點(diǎn)C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，連接BE，AD交于點(diǎn)M.（1）求證：BE=AD；（2）求∠BMD的度數(shù)（用含α的式子表示）.【知識點(diǎn)2-角含半角】1．等腰直角三角形角含半角

如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E在BC上且∠DAE＝45°

（1）△BAE∽△ADE∽△CDA

（2）BD2＋CE2＝DE2．證明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，

所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋轉(zhuǎn)法）：如圖1，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連結(jié)EF．則∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，

所以△ADE∽△FAE（SAS）．

所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．（旋轉(zhuǎn)只是思想，輔助線：做AD垂直AM且AD=AM，連接DC）

方法二（翻折法）：如圖2，作點(diǎn)B

關(guān)于AD

的對稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，DF，EF．因?yàn)椤螧AD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，

又因?yàn)椤螧AD＝∠DAF，

則∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，

所以△FAE∽△CAE（SAS）．

所以EF＝EC．

而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，

所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．例題1、已知△ABC為等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的點(diǎn)，∠MCN=45°，求證：AM2+BN2=MN2.變式練習(xí)1、如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個(gè)等量關(guān)系；變式練習(xí)2、閱讀下面材料小明同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)，借助旋轉(zhuǎn)變換可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°．求證：BE+DF=EF；如圖2，小明延長CB至G，使得BG=DF，則形成一組旋轉(zhuǎn)三角形…（1）請你沿著小明同學(xué)的思路繼續(xù)完成他的證明過程；參考小明同學(xué)的解題思路解答下面兩個(gè)問題：（2）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；圖1 圖2 圖3【知識點(diǎn)3-“Y”形】如圖，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形來解題。如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，CP，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP'A，則△BPP'是等邊三角形；△APP'的形狀由AP，BP，CP的長度決定．（2）如圖，正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，CP，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BP'A，則△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形狀由AP，BP，CP的長度決定．注意：在做這類題時(shí)旋轉(zhuǎn)是解題思路而不是輔助線做法，所以解題步驟可以寫作角相等線段長度相等，通過構(gòu)造一對全等三角形達(dá)到旋轉(zhuǎn)的目的。例題1、如圖，△ACB為等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的長。變式練習(xí)1、閱讀下列材料:數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一個(gè)問題:如圖1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°，點(diǎn)D、E在AB上,且AD=BE,DG⊥CE垂足為G,DG的延長線與BC相交于點(diǎn)F,探究線段AD、BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考,交流了自己的想法:小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)∠BCE與∠BDF存在某種數(shù)量關(guān)系小強(qiáng):“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)圖1中有一條線段與CE相等”;小偉:“通過構(gòu)造三角形,證明三角形全等,進(jìn)而可以得到線段AD、BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系”.……老師:“保留原題條件,再過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H,DH與CE相交于點(diǎn)M(如圖2).如果給出DG和GF的數(shù)量關(guān)系，就可以求最后結(jié)果了圖1 圖2（1）在圖1中找出與線段CE相等的線段,并證明;（2）探究線段AD、BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;（3）若DGGF＝n，求DM變式練習(xí)2、閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，求∠APB的度數(shù)。（2）請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題。如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證EF2=BE2+CF2圖1圖2 變式練習(xí)3、如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，求OF的長度?！局R點(diǎn)4-一線三等角】方法：找角→定線→構(gòu)相似一線穿直角：【結(jié)論】：若AB＝AC，則△ABE≌△CAD若AB＝ｋAC，則△ABE～△CAD一般模型：同側(cè)型 異側(cè)型【結(jié)論】：①若∠１＝∠２＝∠３，則△ACE～△BED若∠１＝∠２＝∠３，則△ACE～△BED例題1、直線CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°則BE_____________CF，EF_____________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立;（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請?zhí)岢鯡F、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）變式練習(xí)1、已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的負(fù)半軸上，且OA=1，OB=3.（1）如圖1，以A為直角頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC.求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，PA為腰作等腰直角△APQ，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，那么PO?QE的值會(huì)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變嗎?如果改變，請說明理由，如果不變，請求出PO?QE的值是多少?變式練習(xí)2、在△ABC中,點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時(shí)，圖中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以明;若不存在，請說明理由;（2）如圖2,當(dāng)DE=kDF(其中0＜k＜1)時(shí),若∠A=90°,AF=m，求BD的長。(用含k,m的代數(shù)式表示 變式練習(xí)3、如圖（1），在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)于于．

（1）求證：①；②．

（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，具有怎樣的等量關(guān)系？說出你的猜想，并證明你的猜想．（1）（2）1、閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交于點(diǎn)F，BG⊥小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠BAE與∠DAC相等．”小偉：“通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系．”……老師：“保留原題條件，延長圖1中的BG，與AC相交于點(diǎn)H（如圖2），可以求出AHHC的值．（1）求證：∠BAE＝∠DAC；（2）探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示），并證明；（3）直接寫出AHHC的值（用含k2、閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求證：AC=AD．小明發(fā)現(xiàn)，除了直接用角度計(jì)算的方法外，還可以用下面兩種方法：方法1：如圖2，作AE平分∠CAB，與CD相交于點(diǎn)E．方法2：如圖3，作∠DCF=∠DCB，與AB相交于點(diǎn)F．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法，證明AC=AD．用學(xué)過的知識或參考小明的方法，解決下面的問題：（2）如圖4，△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，點(diǎn)F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延長DC、FE，相交于點(diǎn)G，且∠DGF=∠BDE．①在圖中找出與∠DEF相等的角，并加以證明；②若AB=kDF，猜想線段DE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．3、如圖1，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，BE＝CE，點(diǎn)G在線段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．（1）填空：與∠CAG相等的角是；（2）用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如圖2），求ACAB4、如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，BD=BA，點(diǎn)F在BE上，F(xiàn)A=FE，∠AFE=∠ABD.（1）在圖1中找出與∠EBC相等的角，并證明；（2）求證∠BEA=∠BED；（3）如圖2，連接FD，點(diǎn)M在EF上，∠EDM+∠EDF=180°，AE=kDE，求AFME 圖1 圖2 壓軸幾何證明題及相關(guān)輔助線做法 復(fù)雜幾何證明題作為壓軸題出現(xiàn)難度較大，通常有三個(gè)小問，前兩問中等難度，第三問較難。綜合考查幾何相關(guān)定義性質(zhì)和初中階段涉及的幾何輔助線做法，題型靈活多變，需要學(xué)生有一定的幾何基礎(chǔ)，掌握中線倍長、一線三等角、角含半角等幾何模型?！局R點(diǎn)1-手拉手】手拉手模型的識別：頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，共頂點(diǎn)；方法：等邊等角證明全等；結(jié)論：（1）兩個(gè)等腰三角形的腰分別與拉手線相連組成的三角形全等（2）拉手線相等 （3）拉手線交角的度數(shù)等于等腰三角形頂角的度數(shù) （4）等腰三角形的頂點(diǎn)與拉手線交點(diǎn)的連線平分這個(gè)交角的鄰補(bǔ)角1、等邊三角形共頂點(diǎn)等邊△ABC與等邊△DCE，B、C、E三點(diǎn)共線．連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F，BD交AC于點(diǎn)G，AE交DC于點(diǎn)H，連結(jié)CF、GH，結(jié)論：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH為等邊三角形．2、等腰直角三角形共頂點(diǎn)等腰Rt△ABC與等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如圖1，連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F，連結(jié)FC、AD、BE，結(jié)論：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如圖2，若G、I分別為BE、AD的中點(diǎn)，則GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE3、等腰三角形共頂點(diǎn)等腰△ACB與等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．連結(jié)BD，AE交于點(diǎn)F，則結(jié)論：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．例題1、已知，?ACB和?DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE,BD交于點(diǎn)O，AE與DC交于點(diǎn)O，AE與DC交于點(diǎn)M。BD與AC交于點(diǎn)N，求證AE=BD【解析】證明∵△ACB和△DCE都是等腰三角形∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BC,DC=EC∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD變式練習(xí)1、如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接CE、BD、CD,∠BDC=60°，（1）求證BD=CE;（2）求∠DCE的度數(shù)； 【解析】（1）①證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD，即∠EAC=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴BD=CE.②∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC=∠ADB=α，∵△ADE是等邊三角形∴∠AED=∠ADE=60°， 又∵∠BDC=60°， ∴∠AEC+∠ECD=60°，∠BDC+∠ADC+∠CDE=60°，∴∠CED=60°-α，∠EDC=α∴∠ECD=180°-∠ECD-∠EDC=120°變式練習(xí)2、如圖，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，現(xiàn)把兩個(gè)三角形的點(diǎn)C重合，且使∠BCA=∠DCE=α，連接BE，AD交于點(diǎn)M.（1）求證：BE=AD；（2）求∠BMD的度數(shù)（用含α的式子表示）.【解析】（1）證明：∠BCA=∠DCE∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE∠BCE=∠ACD在BCE和ACD中，BCEACD(SAS)BE=AD(2)由（1）知.BCEACD(SAS)∠CBE=∠CAD∠ANM=∠BNC∠AMB=∠ACB=a∠BMD=180°-∠AMB=180°-a【知識點(diǎn)2-角含半角】1．等腰直角三角形角含半角

如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E在BC上且∠DAE＝45°

（1）△BAE∽△ADE∽△CDA

（2）BD2＋CE2＝DE2．證明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，

所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋轉(zhuǎn)法）：如圖1，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連結(jié)EF．則∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，

所以△ADE∽△FAE（SAS）．

所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．（旋轉(zhuǎn)只是思想，輔助線：做AD垂直AM且AD=AM，連接DC）

方法二（翻折法）：如圖2，作點(diǎn)B

關(guān)于AD

的對稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，DF，EF．因?yàn)椤螧AD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，

又因?yàn)椤螧AD＝∠DAF，

則∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，

所以△FAE∽△CAE（SAS）．

所以EF＝EC．

而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，

所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．例題1、已知△ABC為等腰三角形∠ACB=90°，M、N是AB上的點(diǎn)，∠MCN=45°，求證：AM2+BN2=MN2.【解析】作∠DCA=∠NCB，截取DC=NC，連接AD、MD∵△ABC是等腰直角三角形∴CA=CB，∠B=∠CAB=45°在△DCA和△NCB中CD=CN∴△DCA≌△NCB（SAS）∴AD=BN，∠DAC=∠B=45°∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=90°∴△DAM是直角三角形∵∠DCA+∠ACM=∠NCB+∠ACM=∠ACB-∠MCN=45°∴∠DCM=∠NCM在△DCM和△NCM中CD=CN∴△DCM≌△NCM（SAS）∴DM=NM在Rt△ADM中，DM2=AD2+AM2∴AM2+BN2=MN2變式練習(xí)1、如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個(gè)等量關(guān)系；【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABM=∠ADN=45°．把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM′．連結(jié)NM′．則DM′=BM，AM′=AM,∠ADM′=∠ABM=45°，∠DAM′=∠BAM．∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,∠DAM′+∠DAF=45°,∠M′AN=∠MAN=45°.．∴△AM′N≌△AMN．∴M′N=MN．在△DM′N中，∠M′DN=∠AND+∠ADM′=90°,∴M'∴MN2=變式練習(xí)2、閱讀下面材料小明同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)，借助旋轉(zhuǎn)變換可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°．求證：BE+DF=EF；如圖2，小明延長CB至G，使得BG=DF，則形成一組旋轉(zhuǎn)三角形…（1）請你沿著小明同學(xué)的思路繼續(xù)完成他的證明過程；參考小明同學(xué)的解題思路解答下面兩個(gè)問題：（2）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)，AE交BD于F，探索BF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；圖1 圖2 圖3【答案】（2）2AF2=DF2+BF2【解析】解：（1）延長CB至G，使得BG=DF，連接AG∵四邊形ABCD是正方形 ∴∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADF中AB=AD∴△ABG≌△ADF（SAS）∴AG=AF，∠BAG=∠DAF∵∠BAF+∠BAG=90°即∠GAF=90°∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AGE和△AFE中AG=AF∴△AGE≌△AFE（SAS）∴EG=EF，即BE+BG=EF∴BE+DF=EF（2）過點(diǎn)A作AG⊥AF，且AG=AF∴FG2=AF2+AG2=2AF2 ∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°∴∠BAD-∠DAF=∠FAG-∠DAF∴∠BAF=∠DAG在△ABF和△DAG中AB=AD∴△ABF≌△DAG（SAS）∴BF=DG，∠ADG=∠ABF=45°∴∠FDG=90°∴FG2=FD2+DG2∴2AF2=DF2+BF2【知識點(diǎn)3-“Y”形】如圖，在三角形中形成“Y”形，可以利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形來解題。如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，CP，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP'A，則△BPP'是等邊三角形；△APP'的形狀由AP，BP，CP的長度決定．（2）如圖，正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，CP，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BP'A，則△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形狀由AP，BP，CP的長度決定．注意：在做這類題時(shí)旋轉(zhuǎn)是解題思路而不是輔助線做法，所以解題步驟可以寫作角相等線段長度相等，通過構(gòu)造一對全等三角形達(dá)到旋轉(zhuǎn)的目的。例題1、如圖，△ACB為等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的長。【答案】AP=3【解析】將△CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得BC與AC重合，點(diǎn)P與點(diǎn)D是對應(yīng)點(diǎn)，∴PC=DC，∠DCA=∠CBP，∴∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22∵PB=AD=1，∵∠CPB=∠CDA=135°,∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3變式練習(xí)1、閱讀下列材料:數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一個(gè)問題:如圖1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°，點(diǎn)D、E在AB上,且AD=BE,DG⊥CE垂足為G,DG的延長線與BC相交于點(diǎn)F,探究線段AD、BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考,交流了自己的想法:小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)∠BCE與∠BDF存在某種數(shù)量關(guān)系小強(qiáng):“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)圖1中有一條線段與CE相等”;小偉:“通過構(gòu)造三角形,證明三角形全等,進(jìn)而可以得到線段AD、BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系”.……老師:“保留原題條件,再過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H,DH與CE相交于點(diǎn)M(如圖2).如果給出DG和GF的數(shù)量關(guān)系，就可以求最后結(jié)果了圖1 圖2（1）在圖1中找出與線段CE相等的線段,并證明;（2）探究線段AD、BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;（3）若DGGF＝n，求DM【答案】（1）DF＝CE（2）AD2+BD2＝2DF2 （3）n【解析】（1）DF＝CE，證明：如圖1，連接CD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，DG⊥CE，∴∠A＝∠B＝12（180°﹣∠ACB）＝45°，∠∵AD＝BE，AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∠DFC＝90°﹣∠BCE，∴∠DCB＝∠DFC，∴DC＝DF，∴CE＝DF；（2）結(jié)論：AD2+BD2＝2DF2，證明：如圖2，過點(diǎn)C作CD'⊥CD，截取CD'＝CD，連接BD'，DD'，∴∠DCD'＝90°，∴∠BCD'＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，∵AC＝BC，CD＝CD'，∴△ACD≌△BCD'（SAS），∴BD'＝AD，∠CBD'＝∠A＝45°，∴∠ABD'＝∠ABC+∠CBD'＝90°，∴CD2+CD'2＝DD'2＝BD2+BD'2，∴AD2+BD2＝2DF2；（3）如圖2，連接CD，由（1）知，CD＝CE，∵DH⊥BC，∴CH＝FH，∠DHC＝∠DHF＝90°，設(shè)CH＝FH＝a，GF＝b，∴CF＝2a，DG＝nb，DF＝（n+1）b，∵DF⊥CE，∴∠DGC＝∠FGC＝90°，∴∠DHF＝∠CGF＝90°，∵∠DFH＝∠CFG，∴△DFH∽△CFG，∴DFCF∴（n+1）b2a∴ba∵∠DMG＝∠CMH，∠DGC＝∠DHC＝90°，∴△DMG∽△CMH，∴DMCM=變式練習(xí)2、閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，求∠APB的度數(shù)。（2）請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題。如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證EF2=BE2+CF2圖1圖2 【答案】（1）150°（2）EF2=BE2+FC2【解析】（1）過點(diǎn)A作∠P′AP=60°，且AP′=AP，連接P′C∴△APP′為等邊三角形PP′=AP=3,∠AP′P=60°，∵∠P′AC+∠CAP=60°∠BAP+∠CAP=60°∴∠P′AC=∠BAP∵AP′=AP、AB=AC∴△P′AC≌△BAP∴CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，∵CP′=4，PP′=3，PC=5∴△PP′C為直角三角形,且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；（2）如圖2,過點(diǎn)A作AE′⊥AE，且AE′=AE，連接CE′，F(xiàn)E′，∵∠E′AC+∠EAC=90°∠BAE+∠EAC=90°∴∠E′AC=∠BAE∵AE′=AE、AB=AC∴△E′AC≌△BAE∴∠ACE′=∠B∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC?∠EAF=45°，∴∠EAF=∠E′AF，∴△EAF≌△E′AF(SAS)，∴E′F=EF，∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2.變式練習(xí)3、如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，求OF的長度?！敬鸢浮?【解析】如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，∵Rt△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG和△OCF中，OB=OC∴△OBD≌△OCF（SAS）∴OG=OF,∠BOG=∠COF∴OG⊥OF在Rt△BCE中，BC=DC=6,DE=2EC，∴EC=2∴BE=BC∵BC2=BF·BE，則62=BF·210，得BF=9∴EF=BE-BF=1∵CF2=BF·EF∴CF=3∴GF=BF-BG=BF-CF=6在等腰直角三角形OGF中，OF2=12∴OF=6【知識點(diǎn)4-一線三等角】方法：找角→定線→構(gòu)相似一線穿直角：【結(jié)論】：若AB＝AC，則△ABE≌△CAD若AB＝ｋAC，則△ABE～△CAD一般模型：同側(cè)型 異側(cè)型【結(jié)論】：①若∠１＝∠２＝∠３，則△ACE～△BED若∠１＝∠２＝∠３，則△ACE～△BED例題1、直線CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°則BE_____________CF，EF_____________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立;（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請?zhí)岢鯡F、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）【答案】（1）①BE=CF，EF=|BE-AF|②EF=|BE-AF|（2）EF=BE+AF【解析】解：（1）①易證△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，EF=|BE-AF|②∠α+∠BCA=180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；證明：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠BCA=180°∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中∠EBC=∠ACF，∠BEC=∠AFC，BC=AC∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF-CE=BE-AF當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證：EF=AF-BE∴EF=|BE-AF|；故答案為∠α+∠BCA=180°（2）EF=BE+AF證明：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA， 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠BCA=180°∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，∴可證△BEC≌△CFA(AAS)∴AF=CE,BE=CF,∵EF=CE+CF∴EF=BE+AF變式練習(xí)1、已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的負(fù)半軸上，且OA=1，OB=3.（1）如圖1，以A為直角頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC.求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，PA為腰作等腰直角△APQ，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，那么PO?QE的值會(huì)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變嗎?如果改變，請說明理由，如果不變，請求出PO?QE的值是多少?【答案】（1）C(?4，?1)(2)OP?QE=1，始終保持不變【解析】（1）如圖1，過C作CD⊥x軸于D∵∠BAC=90°，∠AOB=90°∴∠1=∠2在△CDA與△AOB中∠AOP=∠PRQ∠2=∠1AP=PQ∴△CDA≌△AOB(AAS)∴AD=OB=3，CD=OA=1∴OD=4∴C(?4，?1)（2）(PO?QE)的值不會(huì)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變，且OP?QE=1.理由如下如圖2，過點(diǎn)Q作QR⊥y軸于R.則四邊形QEOR是矩形∴QE=OR∵∠APQ=90°∴∠1=∠2在△APO與△PQR中∠AOP=∠PRQ∠2=∠1AP=PQ∴△OPA≌△RQP(AAS)∴OA=PR∴OR=OP?PR=OP?OA∴OP?OR=OA=1，即OP?QE=1，始終保持不變變式練習(xí)2、在△ABC中,點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時(shí)，圖中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以明;若不存在，請說明理由;（2）如圖2,當(dāng)DE=kDF(其中0＜k＜1)時(shí),若∠A=90°,AF=m，求BD的長。(用含k,m的代數(shù)式表示 【答案】（1）BE=AB（2）BD=km【解析】（1）存在，BE=AB證明：如圖1，在BC上取一點(diǎn)M，使BD=BM，連接DM∵∠AFE=∠BDE,∠BDE+∠ADE=180°∴∠AFE+∠ADE=180°∴∠A+∠DEF=180°∵∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠DEB=180°,∠ADF+∠BDF=180°,∴∠DEC=∠BDF,∠ADF=∠DEB∵∠DEC=∠EDB+∠B,∠BDF=∠EDB+∠EDF,∴∠B=∠EDF∵BM=BD,DE=DF，∴∠BDM=∠BMD=，∠DFE=∠DEF=∴∠BMD=∠DEF∴∠BMD+∠A=180°∵∠BMD+∠DME=180°,∴∠DME=∠A又DE=DF,∠ADF=∠MED∴△DME≌△FAD(AAS)∴ME=AD.∴BM+ME=BD+DA.∴BE=AB

（2）如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N。∵∠A=90°,∴∠DNB=∠DNE=∠A=90°由(1),知∠ADF=∠DEB∴△DNE∽△FAD，∴ND∵DE=kFD,AF=m,.ND=kAF=km.∵△DNE∽△FAD,∠NDE=∠AFD∵∠AFE=∠BDE,∴∠AFE一∠AFD=∠BDE-∠NDE,即∠DFE=∠BDN。由(1),知∠B=∠EDF.∴△BDN∽△DFE∴BD∵DE=kDF,∴BN=kBD.在Rt△BND中,BD2=BN2+ND2即BD2=(kBD)2+(km)2∴BD∴BD=km1變式練習(xí)3、如圖（1），在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)于于．

（1）求證：①；②．

（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，具有怎樣的等量關(guān)系？說出你的猜想，并證明你的猜想．（1）（2）【答案】（2）AD=CE=DE+DC=DE+BE【解析】（1）①在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE＝90°∵∠BCA＝90°∴∠ACD+∠ECB＝90°∴∠DAC＝∠BCE∵AC＝BC∴△ADC≌△CEB（AAS）②由①得DC=BE；AD=CE∴DE=DC+CE=AD+BE（2）在Rt△ADC中，∠ACD+∠CAD＝90°∵∠BCA＝90°∴∠ACD+∠ECB＝90°∴∠DAC＝∠BCE∵AB＝BC∴△ADC≌△CEB（AAS）∴DC=BE；AD=CE∴AD=CE=DE+DC=DE+BE1、閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中22＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交于點(diǎn)F，BG⊥小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠BAE與∠DAC相等．”小偉：“通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系．”……老師：“保留原題條件，延長圖1中的BG，與AC相交于點(diǎn)H（如圖2），可以求出AHHC的值．（1）求證：∠BAE＝∠DAC；（2）探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示），并證明；（3）直接寫出AHHC的值（用含k【分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)可求解；（2）由直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得AF＝FC，AF＝BF，通過證明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）通過證明△ABH∽△ACB，可得AB2＝AC×AH，設(shè)BD＝m，AB＝km，由勾股定理可求AC的長，可求AH，HC的長，即可求解．【答案】（2）BGAC=12k 【解答】（1）∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE∴∠BAE＝∠DAC（2）設(shè)∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β∴∠ABC＝∠ADB＝α+β∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC∴∠EAC＝2β∵AF平分∠EAC∴∠FAC＝∠EAF＝β∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β∴AF＝FC，AF＝BF∴AF＝12BC＝∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°∴△ABG∽△BCA∴BG∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB∴△ABF∽△BAD∴ABBD=BFAB，且AB＝kBD，AF＝∴k＝BC2AB，即∴BG（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC∴△ABH∽△ACB∴AB∴AB2＝AC×AH設(shè)BD＝m，AB＝km，∵AB∴BC＝2k2m∴AC＝BC∴AB2＝AC×AH（km）2＝km4k2?∴AH＝km∴HC＝AC﹣AH＝km4k2?1﹣km4k∴AH2、閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求證：AC=AD．小明發(fā)現(xiàn)，除了直接用角度計(jì)算的方法外，還可以用下面兩種方法：方法1：如圖2，作AE平分∠CAB，與CD相交于點(diǎn)E．方法2：如圖3，作∠DCF=∠DCB，與AB相交于點(diǎn)F．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法，證明AC=AD．用學(xué)過的知識或參考小明的方法，解決下面的問題：（2）如圖4，△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，點(diǎn)F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延長DC、FE，相交于點(diǎn)G，且∠DGF=∠BDE．①在圖中找出與∠DEF相等的角，并加以證明；②若AB=kDF，猜想線段DE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【分析】（1）方法一：如圖2中，作AE平分∠CAB，與CD相交于點(diǎn)E．想辦法證明△AEC≌△AED即可；方法二：如圖3中，作∠DCF=∠DCB，與AB相交于點(diǎn)F．想辦法證明∠ACD=∠ADC即可；（2）①如圖4中，結(jié)論：∠DEF=∠FDG．理由三角形內(nèi)角和定理證明即可；②結(jié)論：BD=k?DE．如圖4中，如圖延長AC到K，使得∠CBK=∠ABC．首先證明△DFE∽△BAK，推出DFAB=DEBK=【答案】（2）①∠DEF=∠FDG． ②BD=k?DE【解析】（1）方法一：如圖2中，作AE平分∠CAB，與CD相交于點(diǎn)E．∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°，∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．方法二：如圖3中，作∠DCF=∠DC