滬教版八年級數學下冊期中期末滿分沖刺卷特訓11特殊平行四邊形動態(tài)幾何壓軸題(原卷版+解析)

特訓11特殊平行四邊形動態(tài)幾何壓軸題一、解答題1．如圖1，正方形的邊長為1，為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交、、于點、、．(1)①求證：；②連接、、，直接寫出四邊形的面積S的取值范圍．(2)如圖2，若垂足為的中點，連接，交于點，連接，求的度數．(3)如圖3，當垂足在正方形的對角線上時，作，垂足為，點在邊上運動過程中，的長度是否變化？若不變，求出的長；若變化，說明變化規(guī)律．2．在矩形中，，，、是直線上的兩個動點，分別從、兩點同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為秒，其中．(1)如圖1，、分別是、中點，當四邊形是矩形時，求的值．(2)若、分別從點、沿折線，運動，與相同的速度同時出發(fā)．①如圖2，若四邊形為菱形，求的值；②如圖3，作的垂直平分線交、于點、，當四邊形的面積是矩形面積的，則的值是________．③如圖4，在異于、所在矩形邊上取、，使得，順次連接，請直接寫出四邊形周長的最小值：________．3．如圖①，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBE'（點A的對應點為點C）．延長AE交CE'于點F，連接DE．猜想證明：(1)四邊形BE'FE的形狀是______；(2)如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE的數量關系并加以證明；(3)如圖①，若AB＝15，CF＝3，求DE的長．4．如圖，正方形ABCD的頂點C處有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，連接AP，BE．（1）若點E在BC上時，如圖1，線段AP和BE之間的數量關系是；（2）若將圖1中的△CEP順時針旋轉使P點落在CD上，如圖2，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）在（2）的基礎上延長AP，BE交于F點，若DP＝PC＝2，求BF的長．5．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EFAB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．6．如圖所示，在正方形ABCD中，點E是邊AB上一動點(不與A，B重合)，延長BA至點F，使AF=BE，連接CE，DF．(1)判斷四邊形CEFD的形狀，并說明理由；(2)如圖①，連接AC，過點E作EH⊥AC，垂足為點H．①證明：AH=EH；②若BE：AE=1：，求∠BCE的度數；③如圖②，連接FH，在點E的運動過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，請說明理由．7．已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．8．如圖1所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構成一個大的長方形．現將小長方形繞點C順時針旋轉至，旋轉角為．(1)當點恰好落在邊上時，點到邊的距離為____________，旋轉角____________；(2)如圖2，G為的中點，且，求證：；(3)小長方形繞點C順時針旋轉一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉角的值；若不能，說明理由．9．如圖，四邊形為菱形，，，點E為邊上動點（不含端點）點B關于直線的對稱點為點F，點H為中點．（1）若，求的長；（2）作，垂足為G，當時，求的度數；（3）在（2）的條件下，設射線交于M，求的長．10．如圖1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC邊上取點E，使BE＝AB，將△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD．（1）求證：四邊形AEFD是菱形；（2）如圖2，將△DCF繞點D旋轉至△DGA，連接GE，求線段GE的長；（3）如圖3，設P、Q分別是EF、AE上的兩點，且∠PDQ=67.5°，試探究線段PF、AQ、PQ之間的數量關系，并說明理由．11．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E為對角線AC上的動點（點E不與A，C重合），連接BE，將射線EB繞點E逆時針旋轉120°后交射線AD于點F．（1）如圖1，當AE＝AF時，求∠AEB的度數；（2）如圖2，分別過點B，F作EF，BE的平行線，且兩直線相交于點G．①試探究四邊形BGFE的形狀，并求出四邊形BGFE的周長的最小值；②連接AG，設CE＝x，AG＝y(tǒng)，請直接寫出y與x之間滿足的關系式，不必寫出求解過程．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現將紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．①當點P與點A重合時，∠DEF=°，當點E與點A重合時，∠DEF=°．②當點E在AB上時，點F在DC上時(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長．（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖3)，當AM=DE時，請求出線段AE的長度．（3）若點P落在矩形的內部(如圖4)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．13．如圖1，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．（1）求證：EB=GD且EB⊥GD；（2）若AB=2，AG=，求的長；（3）如圖2，正方形AEFG繞點A逆時針旋轉連結DE，BG，與的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．14．如圖．四邊形ABCD、BEFG均為正方形．（1）如圖1，連接AG、CE，請直接寫出AG和CE的數量和位置關系（不必證明）．（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉角（），如圖2，直線AG、CE相交于點M．①AG和CE是否仍然滿足（1）中的結論？如果是，請說明理由：如果不是，請舉出反例：②連結MB，求證：MB平分．（3）在（2）的條件下，過點A作交MB的延長線于點N，請直接寫出線段CM與BN的數量關系．15．圖1，在正方形中，，為線段上一點，連接，過點作，交于點．將沿所在直線對折得到，延長交于點．（1）求證：．（2）若，求的長．（3）如圖2，延長交的延長線于點，若，記的面積為，求與之間的函數關系式．16．如圖1，正方形CEFG繞正方形ABCD的頂點C旋轉，連接AF，點M是AF中點．（1）當點G在BC上時，如圖2，連接BM、MG，求證：BM=MG；（2）在旋轉過程中，當點B、G、F三點在同一直線上，若AB=5，CE=3，則MF=；（3）在旋轉過程中，當點G在對角線AC上時，連接DG、MG，請你畫出圖形，探究DG、MG的數量關系，并說明理由．17．如圖，在等腰中，，點E在AC上且不與點A、C重合，在的外部作等腰，使，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．請直接寫出線段AF，AE的數量關系；將繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖，連接AE，請判斷線段AF，AE的數量關系，并證明你的結論；若，，在圖的基礎上將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉一周的過程中，當平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度．18．如圖1，將紙片沿中位線折疊，使點的對稱點落在邊上，再將紙片分別沿等腰和等腰的底邊上的高線、折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.(1)將紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形，則操作形成的折痕分別是線段______和______；______.(2)紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形，若，，求的長；(3)如圖4，梯形紙片滿足，，，，.小明把該紙片折疊，得到疊合正方形.請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出、的長.19．在正方形中，，點為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交，，于點，，．(1)①如圖1，判斷線段與之間的數量關系，并說明理由；(2)如圖2，若垂足為的中點，連接，交于點，連接，則______．(3)若垂足在對角線上，正方形的邊長為．①如圖3，若，，則______；②如圖4，連接，將沿著翻折，點落在點處，的中點為，則的最小值為______．20．在菱形中，，是直線上一動點，以為邊向右側作等邊（A，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．(1)如圖1，當點在線段上，且點在菱形內部或邊上時，連接，則與的數量關系是________，與的位置關系是________；(2)如圖2，當點在線段上，且點在菱形外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)當點在直線上時，其他條件不變，連接，若，，請直接寫出的面積．21．如圖1，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段和相交于點．(1)求證：，．(2)若，，求的長．(3)如圖2，正方形繞點逆時針旋轉，連結、，與的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．22．已知：正方形中，，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交，或它們的延長線于點，當繞點A旋轉到時如圖，易證．(1)當繞點A旋轉到時如圖，線段，和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．(2)當繞點A旋轉到如圖的位置時，線段，和之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．(3)圖中若，，求的面積為______．23．（探索發(fā)現）如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點A順時針旋轉，點與點重合，得到，連接．(1)試判斷之間的數量關系，并寫出證明過程；(2)如圖①如果正方形的邊長為4，求三角形的周長；(3)如圖②，點分別在正方形的邊的延長線上，，連接，請寫出之間的數量關系，并寫出證明過程．24．已知矩形中，，是邊上一點，連接，將沿著直線折疊得到．(1)若；①如圖1，若點在邊上，的長為；②、、三點在同一直線上時，求的長；(2)如圖3，當點是的中點時，此時點落在矩形內部，延長交于點，若點是的三等分點，求的長．25．在學習了正方形后，數學小組的同學對正方形進行了探究，聰明的你也加入探究吧：(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC邊上任意一點（點E不與B，C重合），點F在線段AE上，過點F的直線MN⊥AE，分別交AB，CD于點M，N．此時，①∠AEB與∠AMN有什么數量關系？（直接寫出即可）②AE與MN之間又有什么數量關系？并說明理由；(2)如圖2：當點F為AE中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線BD，MN與BD交于點G，連接BF，此時有結論：BF＝FG，請利用圖2做出證明．(3)如圖3：當點E為直線BC上的動點時，如果（2）中的其他條件不變，直線MN分別交直線AB，CD于點M，N，請你繼續(xù)探究線段BF與FG之間的數量關系．并證明你的結論．26．點是線段上的動點，分別以，為邊在的同側作正方形與正方形．(1)如圖，連結、，判斷與的位置關系和數量關系，并證明．(2)如圖，將正方形繞點逆時針旋轉，使得點落在線段上，交于點，若，，求．(3)如圖，將方形繞點旋轉至如圖的位置，且，連結，作的角平分線交于點，請寫出、、之間的數量關系，并證明．特訓11特殊平行四邊形動態(tài)幾何壓軸題一、解答題1．如圖1，正方形的邊長為1，為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交、、于點、、．(1)①求證：；②連接、、，直接寫出四邊形的面積S的取值范圍．(2)如圖2，若垂足為的中點，連接，交于點，連接，求的度數．(3)如圖3，當垂足在正方形的對角線上時，作，垂足為，點在邊上運動過程中，的長度是否變化？若不變，求出的長；若變化，說明變化規(guī)律．【答案】(1)①見解析；②四邊形的面積S的取值范圍為(2)(3)不變，【分析】（1）①過點B作于點F．由正方形的性質結合所作輔助線可得出四邊形MBFN為平行四邊形，即得出MN=BF，，從而得出，進而可證明．即可利用“ASA”證明，得出AE=BF，從而證明AE=MN；②由，可得出，再根據，即得出，從而得出；（2）連接AF，過點F作，分別交AD，BC于點H，I．由所作輔助線即可得出，．由BD是正方形ABCD的對角線，可得出，即證明是等腰直角三角形，得出HD=HF，AH=FI．再根據線段垂直平分線的判定和性質得出AF=FE．即可利用“HL”證明，得出，從而可求出，即可求出；（3）過點P作于點Q，于點G，延長MN，使PF=PN，連接AF、BF、AN，過點N作，交BD于點K．由所作輔助線結合題意易求出，即可利用“ASA”證明，得出，從而得出，進而可證明，即可利用“SAS”證明，得出，即說明F，B，C三點共線．由平行線的性質和等腰三角形的性質可證明出DH=HK．又可證明(ASA)，得出BP=PK，從而得出．（1）①證明：由正方形的性質可知，，．如圖，過點B作于點F．∴四邊形MBFN為平行四邊形，∴MN=BF，，∴．∵，∴．∴在和中，∴(ASA)，∴AE=BF，∴AE=MN；②∵，∴，∵E為邊BC上一點（不與點、重合），∴．∵正方形的邊長為1，∴，，∴，∴；（2）如圖，連接AF，過點F作，分別交AD，BC于點H，I，∵四邊形ABCD是正方形，∴．∵，∴，∴四邊形ABIH為矩形，∴，．∵BD是正方形ABCD的對角線，∴，∴是等腰直角三角形，∴HD=HF，AH=FI．∵MN是AE的垂直平分線，∴AF=FE．∴在Rt和Rt中，∴(HL)，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（3）PH的長度不變，理由如下：過點P作于點Q，于點G，延長MN，使PF=PN，連接AF、BF、AN，過點N作，交BD于點K，∵四邊形ABCD是正方形，∴．∵，，∴，．∵，∴．又∵，∴(ASA)，∴．又∵，∴．∵PF=PN，，∴AF=AN，∴，∴，∴．又∵AB=AD，∴(SAS)，∴，∴，∴F，B，C三點共線．∵，∴，，∴DN=KN．又∵，∴DH=HK．∵，∴．又∵，PN=PF，∴(ASA)，∴BP=PK，∴．【點睛】本題考查正方形的性質，矩形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，綜合性強，困難題型．正確的作出輔助線是解題關鍵．2．在矩形中，，，、是直線上的兩個動點，分別從、兩點同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為秒，其中．(1)如圖1，、分別是、中點，當四邊形是矩形時，求的值．(2)若、分別從點、沿折線，運動，與相同的速度同時出發(fā)．①如圖2，若四邊形為菱形，求的值；②如圖3，作的垂直平分線交、于點、，當四邊形的面積是矩形面積的，則的值是________．③如圖4，在異于、所在矩形邊上取、，使得，順次連接，請直接寫出四邊形周長的最小值：________．【答案】(1)或(2)①7；②；③【分析】（1）連接交于點，根據矩形的性質，得到，分點在點上方和點在點下方兩種情況進行討論，即可求出的值；（2）①連接交于點，結合菱形的性質和矩形的性質證明，從而證出直線是線段的垂直平分線，設，則，在中，利用勾股定理求出的值，求出的值，即可求解的值；②連接、，根據題意求出四邊形的面積，證明四邊形是平行四邊形，推出，求出，再根據即可求出的值；③作關于的對稱點為點，連接、，過點作的垂線，交延長線于點，當、、三點共線時，的值最小，即的值最小，最小值為的長度，此時四邊形周長最小，根據勾股定理即可求解．【解析】（1）解：連接交于點，如圖所示∵四邊形是矩形，，∴∵、分別是、中點∴，∵四邊形是矩形∴∴當點在點上方時，當點在點下方時，∵速度均為每秒2個單位長度∴的值為或（2）解：①連接、，交于點，如圖所示∵四邊形為菱形∴，，，∵，∴∵矩形∴在和中∵∴∴∴∴直線是線段的垂直平分線∴設，則在中，∴，解得：∴∴的值為7②連接、，如圖所示∵四邊形的面積是矩形面積的∴四邊形的面積為：∵是的垂直平分線∴，由①可得：，由題意可得：，∴∴同理可得：∴∴四邊形是平行四邊形∴由題意可得：∵∴，解得：∴當四邊形的面積是矩形面積的，則的值是，故答案是：；③作關于的對稱點為點，連接、，過點作的垂線，交延長線于點，如圖所示由②可得：四邊形是平行四邊形∴四邊形周長∵對稱∴∴當、、三點共線時，的值最小，即的值最小，最小值為的長度，此時四邊形周長最小∵∴∵=∴四邊形周長最小值為．故答案是：．【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、垂直平分線的性質、勾股定理、最值等知識點，解題的關鍵是熟記特殊四邊形的性質，在解題中靈活運用．3．如圖①，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBE'（點A的對應點為點C）．延長AE交CE'于點F，連接DE．猜想證明：(1)四邊形BE'FE的形狀是______；(2)如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE的數量關系并加以證明；(3)如圖①，若AB＝15，CF＝3，求DE的長．【答案】(1)正方形(2)CF＝FE'(3)【分析】（1）由旋轉的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四邊形BE′FE是正方形；（2）過點D作DG⊥AE于點G，由DA＝DE得AG＝AE，再證明△ADG≌△BAE，且由四邊形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可證得結論；（3）過點D作DG⊥AE于點G，由旋轉及四邊形BE′FE是正方形可得如下關系：AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，在Rt△BAE中根據勾股定理求出BE、AE的長，由（1）可知，△ADG≌△BAE，得到DG＝BE，AG＝BE，再由勾股定理求出DE的長．【解析】（1）四邊形BE′FE是正方形．理由如下：由旋轉得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四邊形BE′FE是矩形，由旋轉得，BE′＝BE，∴四邊形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，證明：如圖2，過點D作DG⊥AE于點G，則∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，在△ADG和△BAE中，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四邊形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋轉得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．（3）如圖3，過點D作DG⊥AE于點G，∵BE＝FE′，CF＝3，∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝，∴(BE+3)2+BE2＝()2，解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合題意，舍去），∴AE＝9+3＝12，由（2）得，△ADG≌△BAE，∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，∵∠DGE＝90°，∴DE＝＝＝．【點睛】此題考查了正方形的性質與判定、旋轉的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，解題的關鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，構造全等三角形．4．如圖，正方形ABCD的頂點C處有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，連接AP，BE．（1）若點E在BC上時，如圖1，線段AP和BE之間的數量關系是；（2）若將圖1中的△CEP順時針旋轉使P點落在CD上，如圖2，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）在（2）的基礎上延長AP，BE交于F點，若DP＝PC＝2，求BF的長．【答案】（1）AP=BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）首先說明A，P，C三點共線，設正方形ABCD的邊長為1，CE=x，根據正方形和等腰直角三角形的性質求出AP和BE的長，即可判斷；（2）過點B作BH⊥BE，且BH=BE，連接AH，EH，證明△ABH≌△BEC，得到AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，從而證明四邊形AHEP是平行四邊形，同理可得AP=EH=BE；（3）過B，D分別作AF的垂線，垂足為K，M，證明△ABK≌△DAM，得到BK=AM，求出AP，在△ADP中利用面積法求出DM，可得AM和BK，再利用勾股定理求出BF即可．【解析】解：（1）∵點E在BC上，△PEC為等腰直角三角形，∴PE=CE，∠PCE=45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴A，P，C三點共線，設正方形ABCD的邊長為1，CE=x，∴PE=x，PC=x，AC=，∴AP=AC-PC=，BE=BC-CE=1-x，∴AP=BE；（2）成立，如圖，過點B作BH⊥BE，且BH=BE，連接AH，EH，∵∠ABC=∠EBH=90°，∴∠CBE+∠ABE=∠ABH+∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABH，又∵BH=BE，AB=BC，∴△ABH≌△BEC（SAS），∴AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，∴∠AHE=∠AHB-∠EHB=∠CEB-45°，∵∠HEP=360°-∠CEB-∠HEB-∠CEP=360°-∠CEB-45°-90°=225°-∠CEB，∴∠AHE+∠HEP=∠CEB-45°+225°-∠CEB=180°，∴AH∥PE，∴四邊形AHEP是平行四邊形，∴AP=EH=BE；（3）如圖，過B，D分別作AF的垂線，垂足為K，M，∵∠BAD=∠BAK+∠DAM=90°，∠ABK+∠BAK=90°，∴∠ABK=∠DAM，又∵AB=AD，∠AKB=∠AMD=90°，∴△ABK≌△DAM（AAS），∴BK=AM，∵四邊形ABCD是正方形，DP=PC=2，∴AD=CD=4，∠AHE=90°，∴AP=，∴S△ADP=，∴，∴，∴AM=，由（2）可知：△EBH為等腰直角三角形，HE∥AP，∴∠KBF=∠HBE=45°，∴∠F=45°，∴BF==．【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．5．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EFAB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．【答案】（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）由折疊的性質得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行線的性質得出∠BPF＝∠EFP，證出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出結論；（2）①由矩形的性質得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由對稱的性質得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；②當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE＝1cm；當點P與點A重合時，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【解析】（1）證明：∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點B與點E關于PQ對稱，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EFAB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四邊形BFEP為菱形；（2）解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵點B與點E關于PQ對稱，∴CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝cm，∴菱形BFEP的邊長為cm；②當點Q與點C重合時，如圖2：點E離點A最近，由①知，此時AE＝1cm；當點P與點A重合時，如圖3所示：點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm，∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、折疊的性質、菱形的判定、平行線的性質、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．6．如圖所示，在正方形ABCD中，點E是邊AB上一動點(不與A，B重合)，延長BA至點F，使AF=BE，連接CE，DF．(1)判斷四邊形CEFD的形狀，并說明理由；(2)如圖①，連接AC，過點E作EH⊥AC，垂足為點H．①證明：AH=EH；②若BE：AE=1：，求∠BCE的度數；③如圖②，連接FH，在點E的運動過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，請說明理由．【答案】(1)平行四邊形，證明詳見解析；(2)①詳見解析；②22.5°；③不變，．【分析】（1）由AF=BE，得出AB=EF．由正方形的性質得出CD=AB=BC，CD∥AB，即可證出四邊形CEFD是平行四邊形；（2）①由正方形的性質，得到∠EAH=45°，由∠AHE=90°，則△AEH是等腰直角三角形，即可得到AH=EH；②由等腰三角形的性質，得到，則BE=EH，然后證明△BCE≌△HCE，即可得到答案；③由，∠EAH=∠HEA=45°，得到△ACE∽△EFH，即可得到．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC，CD∥AB．∵AF=BE，∴AB=EF．∴CD=EF，CD∥EF．∴四邊形CEFD是平行四邊形．（2）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAH=45°，∵EH⊥AC，∴∠AHE=90°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AH=EH；②∵△AEH是等腰直角三角形，∴，∵BE：AE=1：，∴，∴，∵CE=CE，∠B=∠CHE=90°，∴△BCE≌△HCE（HL），∴∠BCE=∠HCE，∵∠BCH=45°，∴∠BCE=22.5°；③由△AEH是等腰直角三角形，∴∠EAH=∠HEA=45°，在等腰直角△ABC中，有，∵，∴；∵，∴，∴，∴△ACE∽△EFH，∴；∴的值不變，．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定、等腰直角三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．7．已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．【答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①連接，證明，，證明是等腰直角三角形，即可得證；②延長交于點，連接，證明，，得出，根據等邊對等角，設，，根據外角的性質得出，即可證明；（2）連接，根據，當在上時，最大，，當在上時，最小，，即可求解．【解析】（1）①如圖，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴,，∴，∵為的中點，∴，則，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②，證明：如圖，延長交于點，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，∵落在對角線的延長線上，∴，∴，∴在的延長線上，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，在中，,∴，∴，，∴，∵，，∴，設，，∴，，∵，∴，即，∴；（2）如圖，連接，∵∴當在上時，如圖，此時最大，，由（1）可知是等腰直角三角形，∵，，∴，，∴∴，∴當在上時，最小，同理可得是等腰直角三角形，此時，綜上所述，．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，三角形三邊關系，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用，綜合運用以上知識是解題的關鍵．8．如圖1所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構成一個大的長方形．現將小長方形繞點C順時針旋轉至，旋轉角為．(1)當點恰好落在邊上時，點到邊的距離為____________，旋轉角____________；(2)如圖2，G為的中點，且，求證：；(3)小長方形繞點C順時針旋轉一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉角的值；若不能，說明理由．【答案】(1)1，30(2)見解析(3)能，為或【分析】（1）根據矩形的性質可知點到邊的距離等于F到邊的距離，即DF=1，可知點到邊的距離為1；根據旋轉的性質得，即可判定，然后根據平行線的性質即可得到；（2）由G為BC中點可得CG=CE，然后根據“SAS”可判斷，則；（3）根據正方形的性質得CB=CD，而，則和為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當和為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當和為銳角三角形時，可計算得到α=315°．【解析】（1）解：由題意可知，當點恰好落在邊上時，點到邊的距離等于F到邊的距離，即DF=1，∴點到邊的距離為：1，∵CE=1，，∴在中，，∵，∴，故答案為：1，30；（2）證明：∵G為中點，∴，∴，∵長方形繞點C順時針旋轉至，∴，∴，在和中，∵∴，∴；（3）能，理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵，∴和為腰相等的兩等腰三角形，當時，，當和為鈍角三角形時，則旋轉角=，當和為銳角三角形時，，則=，即旋轉角的值為135°或315°時，和全等．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了旋轉的性質、正方形的性質、矩形的性質以及三角形全等的判定與性質，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系是解此題的關鍵．9．如圖，四邊形為菱形，，，點E為邊上動點（不含端點）點B關于直線的對稱點為點F，點H為中點．（1）若，求的長；（2）作，垂足為G，當時，求的度數；（3）在（2）的條件下，設射線交于M，求的長．【答案】（1）1；（2）；（3）1【分析】（1）如圖1中，證明點與重合，可得結論．（2）如圖2中，連接．證明是等腰直角三角形，可得結論．（3）如圖3中，證明，過點作交的延長線于，在上取一點，使得，連接（見左邊圖），求出，可得結論．【解析】解：（1）如圖1中，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，此時點與重合，．（2）如圖2中，連接．是等邊三角形，，，，，，，，．（3）如圖3中，由翻折可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，過點作交的延長線于，在上取一點，使得，連接，，，設，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形角的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．10．如圖1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC邊上取點E，使BE＝AB，將△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD．（1）求證：四邊形AEFD是菱形；（2）如圖2，將△DCF繞點D旋轉至△DGA，連接GE，求線段GE的長；（3）如圖3，設P、Q分別是EF、AE上的兩點，且∠PDQ=67.5°，試探究線段PF、AQ、PQ之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）PQ2＝PF2+AQ2，理由見解析【分析】（1）根據平移的性質得到AE∥DF，AE＝DF，則由此判斷四邊形AEFD是平行四邊形，然后由：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，證得結論；（2）根據勾股定理，即可求解；（3）如下圖，作輔助線，構建三角形全等，證明△PDQ≌△GDQ，得PQ＝GQ，在Rt△AGQ中，根據勾股定理可得結論．【解析】（1）由平移，得AE∥DF，AE＝DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵矩形ABCD，∴∠B=90°，∵BE=AE＝，∴AE＝4，又∵AE＝AD＝4，∴四邊形AEFD是菱形．（2）由（1）得：△ABE是等腰直角三角形∴∠AEB=45°，∵AE∥DF，∴∠F=∠AEB=45°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB=45°，∴∠GAE=90°，∵△DCF繞點D旋轉得到△DGA，∴GA=CF＝，∴．（3）PF、AQ、PQ之間的數量關系為：PQ2＝PF2+AQ2．理由如下：由（2）得：∠AEB=45°，∴∠ADF=∠AEF=135°，∵AD＝DF，∴將△DFP繞點D逆時針旋轉135°得△DAG，連GQ，如圖，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F=45°，∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ=67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ而DG＝DP，DQ為公共邊，∴△PDQ≌△GDQ，∴PQ＝GQ，∴PQ2＝PF2+AQ2．【點睛】本題目是四邊形的綜合題型，難度偏高，涉及的知識點有旋轉、平移、菱形的判定、勾股定理、三角形全等等重要中考的考點，熟練掌握這些知識點的綜合運用是解答本題的關鍵．11．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E為對角線AC上的動點（點E不與A，C重合），連接BE，將射線EB繞點E逆時針旋轉120°后交射線AD于點F．（1）如圖1，當AE＝AF時，求∠AEB的度數；（2）如圖2，分別過點B，F作EF，BE的平行線，且兩直線相交于點G．①試探究四邊形BGFE的形狀，并求出四邊形BGFE的周長的最小值；②連接AG，設CE＝x，AG＝y(tǒng)，請直接寫出y與x之間滿足的關系式，不必寫出求解過程．【答案】（1）45°；（2）①四邊形BEFG是菱形，8；②y＝（0＜x＜12）【分析】（1）利用等腰三角形的性質求出∠AEF即可解決問題．（2）①證明四邊形BEFG是菱形，根據垂線段最短，求出BE的最小值即可解決問題．②如圖2﹣1中，連接BD，DE，過點E作EH⊥CD于H．證明△ABG≌△DBE（SAS），推出AG＝DE＝y(tǒng)，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，推出DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，根據DE2＝EH2+DH2，構建方程求解即可．【解析】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）①如圖2中，連接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∵EB＝EF，∴四邊形BEFG是菱形，∴當BE⊥AC時，菱形BEFG的周長最小，此時BE＝AB?sin30°＝2，∴四邊形BGFE的周長的最小值為8．②如圖2﹣1中，連接BD，DE，過點E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y(tǒng)，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，∴DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴y2＝x2+（4﹣x）2，∴y2＝x2﹣12x+48，∴y＝（0＜x＜12）．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現將紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．①當點P與點A重合時，∠DEF=°，當點E與點A重合時，∠DEF=°．②當點E在AB上時，點F在DC上時(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長．（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖3)，當AM=DE時，請求出線段AE的長度．（3）若點P落在矩形的內部(如圖4)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．【答案】（1）①90，45；②；（2）0.6；（3）1．【分析】（1）①當點與點重合時，是的中垂線，可得結論；當點與點重合時，如圖2，則平分；②如圖3中，證明得，根據一組對邊平行且相等得：四邊形是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得為菱形，當時，設菱形的邊長為，根據勾股定理列方程得：，求出的值即可；（2）連接，由折疊性質可證，設．根據全等性質用x表示出線段關系，再由中可列方程求解；（3）如圖，當與重合，點在對角線上時，有最小值，根據折疊的性質求，由勾股定理求，所以．【解析】解：（1）①當點與點重合時，是的中垂線，，當點與點重合時，此時，故答案為：90，45．②如圖2中，設與交于點，由折疊知垂直平分．，，矩形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，當時，設菱形邊長為，則，在中，，，菱形的周長．（2）如圖3中，連接，設．由折疊知，，，，，，，，，在中，解得．．（3）如圖中，連接，，．，，，此時的最小值，，，當與重合時，的值最小，由折疊得：，由勾股定理得：，，當，，共線時，有最小值，，則的最小值是1．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質、菱形的性質和判定、勾股定理、折疊的性質，熟練掌握折疊的性質是關鍵，本題難度適中，注意運用數形結合的思想．13．如圖1，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．（1）求證：EB=GD且EB⊥GD；（2）若AB=2，AG=，求的長；（3）如圖2，正方形AEFG繞點A逆時針旋轉連結DE，BG，與的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)；(3)不變，與的面積之差為0【分析】(1)在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB，從而△EAB≌△GAD，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；(2)設BD與AC交于點O，由AB=AD=2，在Rt△ABD中求得DB，在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得結果；(3)作BQ⊥GA交GA的延長線于Q，作DP⊥EA交EA于P，可證得∠1=∠2，根據“AAS”可判斷△PDA≌△QBA，所以PD=BQ，然后根據三角形面積公式得到，保持不變．【解析】(1)如圖1，∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，∴AG=AE，AB=AD，∠EAG=90°，∠DAB=90°，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，∴∠GAD=∠EAB，在△EAB和△GAD中，，∴EAB≌GAD(SAS)，∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，∵∠EOH=∠AOG，∴∠EHG=∠EAG=90°，∴EB=GD且EB⊥GD；(2)如圖2，連接BD，BD與AC交于點O，∵AB=AD=2，在RtABD中，，∴AO=DO=，∴，∴；(3)不變，．理由如下：作BQ⊥GA交GA的延長線于Q，作DP⊥EA交EA于P，如圖3，正方形ABCD和正方形AEFG中，∠EAG=∠DAB=90°，AD=AB，∴∠EAD+∠BAG+∠EAG+∠DAB=360，則∠BAG=180°-∠EAD，∵∠1=90°-∠EAD，∠2=∠BAG-90°=180°-∠EAD-90°=90°-∠EAD，∴∠1=∠2，在△PDA和△QBA中，，∴△PDA≌△QBA(AAS)，∴DP=BQ，∵，，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質及全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形外角的性質、三角形面積公式，作出輔助線，利用三角形全等是解題的關鍵．14．如圖．四邊形ABCD、BEFG均為正方形．（1）如圖1，連接AG、CE，請直接寫出AG和CE的數量和位置關系（不必證明）．（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉角（），如圖2，直線AG、CE相交于點M．①AG和CE是否仍然滿足（1）中的結論？如果是，請說明理由：如果不是，請舉出反例：②連結MB，求證：MB平分．（3）在（2）的條件下，過點A作交MB的延長線于點N，請直接寫出線段CM與BN的數量關系．【答案】（1）AG=EC，AG⊥EC；（2）①滿足，理由見解析；②見解析；（3）CM=BN．【分析】（1）由正方形BEFG與正方形ABCD，利用正方形的性質得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得證；（2）①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解決問題；②過B作BP⊥EC，BH⊥AM，由全等三角形的面積相等得到兩三角形面積相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角兩邊距離相等的點在角的平分線上得到BM為角平分線；（3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到BQ=BN，接下來證明BQ=CM，即要證明三角形ABQ與三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由三角形ANM為等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性質得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證．【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：∵正方形BEFG，正方形ABCD，∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABG和△BEC中，，∴△ABG≌△BEC（SAS），∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，延長CE交AG于點M，∴∠BEC=∠AEM，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC，AG⊥EC；（2）①滿足，理由是：如圖2中，設AM交BC于O．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC，在△ABG和△CEB中，，∴△ABG≌△CEB（SAS），∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG⊥EC．②過B作BP⊥EC，BH⊥AM，∵△ABG≌△CEB，∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，∴EC?BP=AG?BH，∴BP=BH，∴MB平分∠AME；（3）CM=BN，理由為：在NA上截取NQ=NB，連接BQ，∴△BNQ為等腰直角三角形，即BQ=BN，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN為等腰直角三角形，即AN=MN，∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN，在△ABQ和△BCM中，，∴△ABQ≌△BCM（SAS），∴CM=BQ，則CM=BN．【點睛】此題考查了正方形，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線的判定，熟練掌握正方形的性質是解本題的關鍵．15．圖1，在正方形中，，為線段上一點，連接，過點作，交于點．將沿所在直線對折得到，延長交于點．（1）求證：．（2）若，求的長．（3）如圖2，延長交的延長線于點，若，記的面積為，求與之間的函數關系式．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）先證，再據ASA證明△ABP≌△BCQ，可證得BP=CQ；（2）連接，先證，得到，設AN=x，用x表示出ND；再求出DQ和的值，再在RT△NDQ中用勾股定理列方程求解；（3）作QG⊥AB于G，先證MB=MQ并設其為y，再在RT△MGQ中用勾股定理列出關于x、y的方程，并用x表示y；用y表示出△MBQ的面積，用x表示出△的面積．最后據用x、y表示出S，并把其中的y用x代換即可．【解析】（1）在正方形ABCD中，，，，，，，．（2）在正方形ABCD中連接，如下圖：由折疊知BC=，又AB=BC，∠BAN=90°∴，，，，，，，設，，，，，．（3）如下圖，作，垂足為，由（1）知∵∠MBQ=∠CQB=∠MQB∴BM=MQ設，則．，，，故．【點睛】此題綜合考查了正方形性質、三角形全等，勾股定理等知識點，其關鍵是要熟練掌握相關知識，能靈活應用．16．如圖1，正方形CEFG繞正方形ABCD的頂點C旋轉，連接AF，點M是AF中點．（1）當點G在BC上時，如圖2，連接BM、MG，求證：BM=MG；（2）在旋轉過程中，當點B、G、F三點在同一直線上，若AB=5，CE=3，則MF=；（3）在旋轉過程中，當點G在對角線AC上時，連接DG、MG，請你畫出圖形，探究DG、MG的數量關系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）DG=MG，理由見解析．【分析】(1)連接MG并延長交AB于N點，證明△ANM≌△FGM后得到MG=MN，AN=CG，進而得到BN=BG，得到△ANG為等腰直角三角形，即可證明MG=MB.(2)分兩種情況畫出圖形再利用(1)中的思路結合勾股定理即可求解.(3)先畫出圖形，然后證明△ADG≌△ABG，得到DG=BG，又△BMG為等腰直角三角形，故而得到DG=BG=MG.【解析】解：(1)連接MG并延長交AB于N點，如下圖所示：∵GF∥AN，∴∠NAM=∠GFM，在△ANM和△FGM中，，∴△ANM≌△FGM(ASA)，∴MG=MN，CG=GF=AN，∴AB-AN=BC-CG，∴NB=GB，∴△NBG為等腰直角三角形，又M是NG的中點，∴由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知：故有：MG=MB.(2)分類討論：情況一：當B、G、F三點在正方形ABCD外同一直線上時，延長MG到N點，并使得MG=MN，連接AN，BN，∴，∴△AMN≌△FMG(SAS)，∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM，∴AN∥GF，∴∠NAB+∠ABG=180°，又∠ABC=90°，∴∠NAB+∠CBG=90°，又在△BCG中，∠BCG+∠CBG=90°，∴∠NAB=∠BCG，∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)，∴BN=BG，∠ABN=∠CBG，∴∠ABC=∠NBG=90°，∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°，在Rt△BCG中，，過M點作MH⊥BG于H點，∴△MHB為等腰直角三角形，∴MH=BH=HG=BG=2，在Rt△MFH中，，情況二：當B、G、F三點在正方形ABCD內同一直線上時，如下圖所示，延長MG到MN，并使得MG=MN，連接NA、NB，同情況一中證明思路，，△AMN≌△FMG(SAS)，∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM，∴AN∥GF，∴∠NAB=∠ABG，又∠ABG+∠GBC=90°，∠GBC+∠BIF=90°，∴∠BIF=∠ABG，又∠BIF=∠BCG，∠ABC=∠NAB，∴∠NAB=∠GCB，∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)，∴BN=BG，∠ABN=∠CBG，∴∠ABC=∠NBG=90°，∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°，在△BCG中，，過M點作MH⊥BG于H點，∴△MHB為等腰直角三角形，∴MH=BH=HG=BG=2，∴HF=HG-GF=2-1=1，在Rt△MFH中，，綜上得：或(3)由題意作出圖形如下所示：DG、MG的數量關系為：DG=MG，理由如下：∵G點在AC上∴∠DAG=∠BAG=45°在△ADG和△ABG中：，∴△ADG≌△BAG(SAS)，∴DG=BG，又由(2)中的證明過程可知：△MBG為等腰直角三角形，∴BG=MG，∴DG=MG，所以：DG=MG.【點睛】本題考查了正方形的旋轉、三角形的全等、勾股定理等知識，難度很大，關鍵是要能正確做出圖形，利用數形結合的思想，熟練的使用正方形的性質是解題的關鍵.17．如圖，在等腰中，，點E在AC上且不與點A、C重合，在的外部作等腰，使，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．請直接寫出線段AF，AE的數量關系；將繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖，連接AE，請判斷線段AF，AE的數量關系，并證明你的結論；若，，在圖的基礎上將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉一周的過程中，當平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度．【答案】（1），證明見解析；（2）①②或．【分析】（1）如圖①中，結論，只要證明是等腰直角三角形即可；（2）①如圖②中，結論：，連接EF，DF交BC于K，先證明≌再證明是等腰直角三角形即可；②分兩種情形a、如圖③中，當時，四邊形ABFD是菱形；、如圖④中當時，四邊形ABFD是菱形分別求解即可．【解析】（1）如圖①中，結論：．理由：四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，，，是等腰直角三角形，．（2）①如圖②中，結論：．理由：連接EF，DF交BC于K．四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，是等腰直角三角形，．②如圖③中，當時，四邊形ABFD是菱形，設AE交CD于H，∵AC=AD，CE=DE，AE=AE，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠DEH=∠CEH，∵ED=EC，EH=EH，∴△DHE≌△CHE（SAS），∴∠EHD=∠EHC，∴，∴，∴，如圖④中當時，四邊形ABFD是菱形，同理可求，綜上所述，滿足條件的AE的長為或．【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考常考題型．18．如圖1，將紙片沿中位線折疊，使點的對稱點落在邊上，再將紙片分別沿等腰和等腰的底邊上的高線、折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.(1)將紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形，則操作形成的折痕分別是線段______和______；______.(2)紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形，若，，求的長；(3)如圖4，梯形紙片滿足，，，，.小明把該紙片折疊，得到疊合正方形.請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出、的長.【答案】（1）AE，GF，1：2（2）AD=13（3）7或或5【分析】（1）由圖可直接得到第一、二空答案，根據折疊的性質可得△AEH與△ABE面積相等、梯形HFGA與梯形FCDG面積相等，據此不難得到第三空答案；（2）對圖形進行點標注，如圖所示：首先根據勾股定理求得FH的長，再根據折疊的性質以及請到的知識可得AH=FN，HD=HN，然后根據線段和差關系即可得到AD的長；（3）根據題目信息，動手這一下，然后將結合畫出來，再結合折疊的性質以及勾股定理的知識分析解答即可．【解析】解：（1）根據題意得：操作形成的折痕分別是線段AE、GF；由折疊的性質得：△ABE≌△AHE，四邊形AHFG≌四邊形DCFG，∴△ABE的面積=△AHE的面積，四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積，∴S矩形AEFG=S平行四邊形ABCD，∴S矩形AEFG：S平行四邊形ABCD=1：2；故答案為AE，GF，1：2；（2）∵四邊形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，∴FH==13，由折疊的性質得：AD=FH=13；由折疊的對稱性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN．易得△AEH≌CGF，所以CF=AH，所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13．（3）有3種折法，如圖4、圖5、圖6所示：①折法1中，如圖4所示：由折疊的性質得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，∵四邊形EFMB是疊合正方形，∴BM=FM=4，∴GM=CM==3，∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；②折法2中，如圖5所示：由折疊的性質得：四邊形EMHG的面積=梯形ABCD的面積，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，∴GH=CD=5，∵四邊形EMHG是疊合正方形，∴EM=GH=5，正方形EMHG的面積=52=25，∵∠B=90°，∴FM=BM==3，設AD=x，則MN=FM+FN=3+x，∵梯形ABCD的面積=（AD+BC）×8=2×25，∴AD+BC=，∴BC=-x，∴MC=BC-BM=-x-3，∵MN=MC，∴3+x=-x-3，解得：x=，∴AD=，BC=-=；③折法3中，如圖6所示，作GM⊥BC于M，則E、G分別為AB、CD的中點，則AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的邊長EF=GF=4，GM=FM=4，CM==3，∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，∴AD=5．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質，正方形的性質、勾股定理、梯形面積的計算、解方程等知識，本題綜合性強，有一定難度．19．在正方形中，，點為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交，，于點，，．(1)①如圖1，判斷線段與之間的數量關系，并說明理由；(2)如圖2，若垂足為的中點，連接，交于點，連接，則______．(3)若垂足在對角線上，正方形的邊長為．①如圖3，若，，則______；②如圖4，連接，將沿著翻折，點落在點處，的中點為，則的最小值為______．【答案】(1)；理由見解析(2)(3)①；②【分析】（1）過點作分別交、于點、，證出四邊形為平行四邊形，得出，證明得出，即可得出結論；（2）連接，過點作，分別交、于點、，證出是等腰直角三角形，，，證明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出結論；（3）①過點分別作垂足分別為，則，證明，設，根據，求得，即可得出；②連接交于點，則的直角頂點在上運動，設點與點重合時，則點與點重合；設點與點重合時，則點的落點為，由等腰直角三角形的性質得出，當點在線段上運動時，過點作于點，過點作交延長線于點，連接，證明得出，證明得出，，由正方形的性質得出，易得出，得出，，得出，故，點在線段上運動；過點作，垂足為，即可得出結果．【解析】（1）∵四邊形是正方形，，，，過點作分別交、于點、，如圖所示：四邊形為平行四邊形，，，，，，，在和中，，（），，；（2）連接，過點作，分別交、于點、，如圖所示：四邊形是正方形，四邊形為矩形，，，，是正方形的對角線，，是等腰直角三角形，，，是的垂直平分線，，在和中，，（），，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．（3）①解：如圖所示，過點分別作垂足分別為，則在正方形對角線上，，是等腰直角三角形，，，又，，，，設，，，解得：，則，故答案為：．連接交于點，如圖所示：則的直角頂點在上運動，設點與點重合時，則點與點重合；設點與點重合時，則點的落點為，，，，當點在線段上運動時，過點作于點，過點作交延長線于點，連接，點在上，，在和中，，（），，，，，，，，，，，，，，，，由翻折性質得：，在和中，，（），，'，是正方形的對角線，，則，，，，故，點在線段上運動；過點作，垂足為，點為的中點，，則的最小值為．【點睛】本題考查了正方形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．20．在菱形中，，是直線上一動點，以為邊向右側作等邊（A，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．(1)如圖1，當點在線段上，且點在菱形內部或邊上時，連接，則與的數量關系是________，與的位置關系是________；(2)如圖2，當點在線段上，且點在菱形外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)當點在直線上時，其他條件不變，連接，若，，請直接寫出的面積．【答案】(1)(2)（1）中結論仍然成立，證明見解析(3)或【分析】（1）連接，延長交于H，證明，得到，再證明，即可得到：，再由，即可證明；（2）連接，與交于點，證明，得到，再證明，即可得到：，再由即可證明；（3）分兩種情形：當點P在的延長線上時或點P在線段的延長線上時，連接交于點O，由，根據勾股定理求出的長即得到的長，再求的長及等邊三角形的邊長可得結論．【解析】（1）解：如圖，連接，延長交于H，如圖所示，∵四邊形是菱形，，∴，都是等邊三角形，，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證是等邊三角形，∴，∴，即，又∵，∴．故答案為：；（2）解：（1）中結論仍然成立，理由如下：如圖，連接，如圖所示，∴，為等邊三角形，在和中，，又∵，∴，∴，∴，，設與交于點H，同理可得，∴，又∵，∴．（3）解：如圖3中，當點P在的延長線上時，連接交于點O，連接，作于F，如圖所示，∵四邊形是菱形，∴，平分，∵，∴，∴，∴，∴，由（2）知，∵，，∴，由（2）知，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴；如圖4中，當點P在的延長線上時，∵，，∴，∴，∴，∴；綜上所述，的面積為或．【點睛】此題是四邊形的綜合題，重點考查菱形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，解題的關鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，將菱形的性質與三角形全等的條件聯系起來，此題難度較大，屬于考試壓軸題．21．如圖1，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段和相交于點．(1)求證：，．(2)若，，求的長．(3)如圖2，正方形繞點逆時針旋轉，連結、，與的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)；(3)與的面積之差不變，且．【分析】（1）根據證明，得，再根據三角形內角和定理和對頂角相等可得；（2）由，在中求得，從而得和的長，最后利用勾股定理即可求得結果；（3）如圖3，過A作于P，過C作于Q，先證明，得，可得，從而得結論．【解析】（1）證明：如圖1，∵四邊形和是正方形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖2，連接與交于點M，∵，在中，，∴，∴，∴；（3）解：與的面積之差不變，且，如圖3，過A作于P，過C作交其延長線于Q，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，又，∴，∴．【點睛】本題是四邊形的綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積等知識，本題綜合性強，難度適中，證明三角形全等是解決問題的關鍵．22．已知：正方形中，，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交，或它們的延長線于點，當繞點A旋轉到時如圖，易證．(1)當繞點A旋轉到時如圖，線段，和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．(2)當繞點A旋轉到如圖的位置時，線段，和之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．(3)圖中若，，求的面積為______．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）分別證明、，根據全等三角形的性質解答；（2）由（1）的證明方法相同，證明即可；（3）根據題意求出的面積，根據全等三角形的性質解答．【解析】（1）解：猜想：，證明如下：如圖，在的延長線上，截取，連接，∵在和中，∴，，，，，，，，∵在和中，，，又，；（2）解：，證明如下：如圖，在上截取，連接，∵和中，，，，，即，，，∵在和中，∴，，，；（3）解：∵，，的面積為：，則的面積為．故答案為：．【點睛】本題為四邊形的綜合題，涉及知識點有正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的判定和性質等．在（1）中證得是解題的關鍵，在（2）中構造三角形全等是解題的關鍵．23．（探索發(fā)現）如圖①，四邊形是正方形，分別在邊上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點A順時針旋轉，點與點重合，得到，連接．(1)試判斷之間的數量關系，并寫出證明過程；(2)如圖①如果正方形的邊長為4，求三角形的周長；(3)如圖②，點分別在正方形的邊的延長線上，，連接，請寫出之間的數量關系，并寫出證明過程．【答案】(1)，證明見詳解；(2)8；(3)，證明見詳解