滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02銳角三角函數(shù)之余弦重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題02銳角三角函數(shù)之余弦重難點(diǎn)專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海九年級(jí)一模）在中，，那么等于（）A． B． C． D．2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定3．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，則cosB==（）A． B． C． D．4．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C=90o，AC=3，AB=4，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果把∠C為直角的各邊的長(zhǎng)都擴(kuò)大到原來的2倍，那么銳角A的各三角比的值（）A．都擴(kuò)大到原來的2倍 B．都縮小到原來的一半C．都沒有變化 D．有些有變化第II卷（非選擇題）二、解答題6．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)其他模擬）已知：如圖所示，P是∠MAN的邊AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B是邊AM上的一個(gè)定點(diǎn)，以PA為半徑作圓P，交射線AN于點(diǎn)C，過B作直線使∥AN交圓與D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)），聯(lián)結(jié)CE并延長(zhǎng)，交射線AM于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求證：BG＝EG；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)△BEF是以BF為腰的等腰三角形時(shí)，求經(jīng)過B、E兩點(diǎn)且半徑為的圓O與圓P的圓心距．7．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持．（1）求證：；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（3）連接，交線段于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．8．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，點(diǎn)P由點(diǎn)D出發(fā)沿著DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)，點(diǎn)M由點(diǎn)B出發(fā)沿著BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度也是為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，且MN∥BC，交DB于點(diǎn)Q，交DC于點(diǎn)N，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0<x<2.5）（1）求證：△BMQ∽△DCB；（2）設(shè)△PMQ的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）聯(lián)結(jié)PN在上述運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形PNCBM的面積是否發(fā)生變化？①請(qǐng)直接寫出結(jié)論（改變或不改變）②如果“不變”，那么五邊形PNCBM的面積是多少？（直接寫出結(jié)果，不需要證明）9．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)月考）已知，，，（如圖），點(diǎn)，分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、E都不與點(diǎn)B重合），連接AC、AE使得，射線交射線于點(diǎn)，設(shè)，.（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求AF的長(zhǎng).（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域.（3）連接交于點(diǎn)，若是等腰三角形，直接寫出的值.10．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延長(zhǎng)線與射線OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.設(shè)OP＝x，△CPF的面積為y.(1)求證：AP＝OQ；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)△OPE是直角三角形時(shí)，求線段OP的長(zhǎng)．11．(2023·上海靜安區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E．設(shè)BP=x．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）設(shè)⊙O的半徑為y，當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如果AC是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，求⊙O與⊙P的圓心距OP的長(zhǎng)．12．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)為B．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，且位于頂點(diǎn)上方，設(shè)它的縱坐標(biāo)為m，聯(lián)結(jié)AM，用含m的代數(shù)式表示∠AMB的余切值；（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上．原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，如果OP=OQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．13．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，上的一點(diǎn)在邊的垂直平分線上，．（1）求證：；（2）如果，，求的值．14．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在第一象限的反比例函數(shù)圖像上，AB的延長(zhǎng)線與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為6、2，AB=．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．15．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)．（1）求拋物線項(xiàng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，求的值．16．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由位置運(yùn)動(dòng)到與底面CD垂直的位置時(shí)的示意圖，已知米，米，(參考數(shù)據(jù)：)（1）求的長(zhǎng)（2）若米，求兩點(diǎn)的距離（精確0.01)17．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．三、填空題18．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，線段交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_______．19．(2023·上海金山區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A與邊BC上的點(diǎn)A′重合時(shí)，那么∠AA′B的余弦值等于_____．20．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△中，，，垂足為，若，，那么的值為______．21．(2023·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，已知在中，，點(diǎn)G是的重心，，，那么______．22．(2023·上海寶山區(qū)·九年級(jí)一模）已知等腰梯形上底為5，高為4，底角的余弦值為，那么其周長(zhǎng)為______．23．(2023·上海閔行區(qū)·九年級(jí)一模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的連線與x軸的正半軸的夾角為，那么_________．24．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)為__．25．(2023·上海市川沙中學(xué)南校九年級(jí)期中）已知中，則邊的長(zhǎng)度為____________．專題02銳角三角函數(shù)之余弦重難點(diǎn)專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海九年級(jí)一模）在中，，那么等于（）A． B． C． D．答案:B分析：作出草圖，根據(jù)銳角的正弦=列式即可．【詳解】解：如圖，∵∠C=90°，

∴cosA=．

故選：B．

．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定答案:B分析：如圖，畫出簡(jiǎn)圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCA=90°，根據(jù)∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多邊形的中心角為90°，即可求出多邊形的邊數(shù)．【詳解】如圖，OA、OC分別為此多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，AB為邊長(zhǎng)，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多邊形的中心角為90°，∴此多邊形的邊數(shù)=360°÷90°=4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及三角函數(shù)的定義，熟練掌握余弦的定義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．3．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，則cosB==（）A． B． C． D．答案:C分析：直接利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C=90o，AC=3，AB=4，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．答案:B分析：按照銳角三角函數(shù)的定義求各函數(shù)值即可．【詳解】解：如圖，由勾股定理可得BC=選項(xiàng)A，，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，故正確；選項(xiàng)C，，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，故錯(cuò)誤；故應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)定義，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)銳角三角函數(shù)定義解題．5．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果把∠C為直角的各邊的長(zhǎng)都擴(kuò)大到原來的2倍，那么銳角A的各三角比的值（）A．都擴(kuò)大到原來的2倍 B．都縮小到原來的一半C．都沒有變化 D．有些有變化答案:C分析：根據(jù)正弦、余弦、正切的定義即可得．【詳解】在中，，，，則當(dāng)各邊的長(zhǎng)都擴(kuò)大到原來的2倍，銳角A的各三角比的值都沒有變化，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦、余弦、正切的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、解答題6．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)其他模擬）已知：如圖所示，P是∠MAN的邊AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B是邊AM上的一個(gè)定點(diǎn)，以PA為半徑作圓P，交射線AN于點(diǎn)C，過B作直線使∥AN交圓與D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)），聯(lián)結(jié)CE并延長(zhǎng)，交射線AM于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求證：BG＝EG；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)△BEF是以BF為腰的等腰三角形時(shí)，求經(jīng)過B、E兩點(diǎn)且半徑為的圓O與圓P的圓心距．答案:（1）見解析；（2）y＝x﹣3+，定義域是x＞；（3）圓O與圓P的圓心距為或．分析：（1）證明△FBG∽△FAP，得出比例線段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作PK⊥DE于K，過點(diǎn)A作AQ⊥DE于點(diǎn)Q，連接PE，由銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性質(zhì)得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分兩種情況畫出圖形，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）證明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：過點(diǎn)P作PK⊥DE于K，過點(diǎn)A作AQ⊥DE于點(diǎn)Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四邊形APKG為矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB?cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，當(dāng)圓P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，過B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四邊形QAHB為矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定義域是x＞；（3）當(dāng)△BEF是以BF為腰的等腰三角形時(shí)，連結(jié)OG，直線OG交AC于V，當(dāng)BF=EF時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，∴2x﹣5＝，整理得,兩邊平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圓O的半徑為，在Rt△BOG中，BO=，根據(jù)勾股定理∴OG＝，∴EK=∴PV＝KG=3-GE=3-=，當(dāng)圓心O在BE下方時(shí)，在Rt△PO2V中，由勾股定理∴O2P＝，當(dāng)圓心O在BE上方時(shí)，∴OP＝．綜合以上可得OP的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，列函數(shù)解析式，定義域，等腰三角形判定與性質(zhì)，解無理方程，掌握三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，列函數(shù)解析式，定義域，等腰三角形判定與性質(zhì)，解無理方程，圓心距，利用輔助線準(zhǔn)確構(gòu)圖是解題關(guān)鍵．7．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持．（1）求證：；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（3）連接，交線段于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．答案:（1）證明見解析；（2）；（3）或分析：（1）根據(jù)，得，，即可得．（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的概念得出，求出，再根據(jù)，列出函數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可．（3）先證，再分3種情況討論，分別求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1），∴，，∴．（2），∴又點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，∴，又在中，又，由勾股定理得：BC=10D為AB中點(diǎn)，∴BD=5，DE=，由勾股定理得：BE=，可得，，．（3），∴，又∵，∴，∴為等腰三角形時(shí)，亦為等腰三角形．若，，，解得．若，，解得．③若，，此種情況舍去．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，正確和熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)得到各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8．(2023·上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，點(diǎn)P由點(diǎn)D出發(fā)沿著DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)，點(diǎn)M由點(diǎn)B出發(fā)沿著BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度也是為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，且MN∥BC，交DB于點(diǎn)Q，交DC于點(diǎn)N，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0<x<2.5）（1）求證：△BMQ∽△DCB；（2）設(shè)△PMQ的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）聯(lián)結(jié)PN在上述運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形PNCBM的面積是否發(fā)生變化？①請(qǐng)直接寫出結(jié)論（改變或不改變）②如果“不變”，那么五邊形PNCBM的面積是多少？（直接寫出結(jié)果，不需要證明）答案:（1）見詳解，（2）當(dāng)0<x≤2.5時(shí)PQ=5-2x，S△MPQ=；（3）①不變，②．分析：（1）由MN∥BC，可得NQ∽△DCB，由AB∥DC，可得△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ，（2）過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，設(shè)BE=a，則DE=5-a，由勾股定理a=，再求CE，由△DNQ∽△DCB，可得,∵DC=DB，∴BM=BQ=x,DP=x，0<x≤2.5時(shí)PQ=5-2x，利用面積公式求S△MPQ即可，（3）①不變，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，則∠GBQ=∠FPQ=，用BC為底，BC邊上的高BG求面積S平行四邊形BCNM=2BQ?cos，以MN為底，PH為高求面積S△MNP=，把它求和S五邊形PNCBM=S平行四邊形BCNM+S△MNP證明定值即可，②過D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，由勾股定理DK=，由DK∥PH∥BG，可推出∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，用三角函數(shù)定義求即可．【詳解】（1）∵M(jìn)N∥BC，∠DNQ=∠C，∠NDQ=∠CDB，∴△DNQ∽△DCB，∵AB∥DC，∴∠MBQ=∠NDQ，∠NQB=∠NQD，∴△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ；（2）過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，設(shè)BE=a，則DE=5-a，由勾股定理DC2-DE2=BC2-BE2，即25-（5-a）2=4-a2，a=，CE=，由△DNQ∽△DCB，，∵DC=DB，∴BM=BQ=x，DP=x，2x=5，x=2.5,當(dāng)0<x≤2.5時(shí)PQ=5-2x，S△MPQ=，（3）①不變，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，則∠GBQ=∠FPQ=，BG=BQ?cos，，S平行四邊形BCNM=BC×BG=2BQ?cos，S△MNP=，S五邊形PNCBM=S平行四邊形BCNM+S△MNP=2BQ?cosα+=（2BQ+PQ）?cos，∵BQ=DP，∴2BQ+PQ=DP+PQ+QB=AB=5，S五邊形PNCBM=5cos，與x無關(guān)，故五邊形面積不變，②過D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，在Rt△DBK中，由勾股定理DK=，∵DK∥PH∥BG，∴∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，，S五邊形PNCBM=5cos=．故答案為：S五邊形PNCBM=．【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)較多，難度比較大，涉及的知識(shí)有等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，勾股定理等，是動(dòng)點(diǎn)中的綜合運(yùn)用題型，掌握所學(xué)知識(shí)，并能靈活運(yùn)用．9．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)月考）已知，，，（如圖），點(diǎn)，分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、E都不與點(diǎn)B重合），連接AC、AE使得，射線交射線于點(diǎn)，設(shè)，.（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求AF的長(zhǎng).（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域.（3）連接交于點(diǎn)，若是等腰三角形，直接寫出的值.答案:（1）；（2）；（3）或或.分析：過點(diǎn)作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AN的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得CN的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)AD//BC，AD=BC即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B=∠D，進(jìn)而可證明△ABC∽△ADF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AF的長(zhǎng)；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等量代換可得，進(jìn)而可證明△ABC∽△ABE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，可用x表示出BE、CE的長(zhǎng)，根據(jù)平行線分線段成比例定理可用x表示出的值，根據(jù)可得y與x的關(guān)系式，根據(jù)x>0，CE>0即可確定x的取值范圍；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三種情況，根據(jù)BE=及線段的和差關(guān)系，分別利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于N，∵AB=5，，∴在中，=5×=3，∴AN===4，∵BC=x=4，∴CN=BC-BN=4-3=1，在中，，∵AD=4，BC=x=4，∴AD=BC，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵，∴△ABC∽△ADF，∴，∴解得：，（2）∵，∴，∵，∴，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△ABE，∴，∴，∵AD//BC，∴，∴，∵x>0，CE=>0，∴0<x<5，∴，（3）①如圖，當(dāng)PA=PD時(shí)，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延長(zhǎng)GP交BM于N，∵PA=PD，AD=4，∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，∵AD//BE，∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠AEB，∴PB=PE，∴BN=EN=BE=，∵，AB=5，∴BH=AB·cos∠ABH=3，∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，∴四邊形AHNG是矩形，∴HN=AG=2，∴BN=BH+HN=3+2=5，∴=5，解得：x=.②如圖，當(dāng)AP=AD=4時(shí)，作AH⊥BM于H，∴∠ADB=∠APD，∵AD//BM，∴∠ADB=∠DBC，∵∠APD=∠BPE，∴∠DBC=∠BPE，∴BE=PE=，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BH=3，AH=4，∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，解得：x=，③如圖，當(dāng)AD=PD=4時(shí)，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，∴∠DAP=∠DPA，∵AD//BM，∴∠DAP=∠AEB，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠AEB，∴BP=BE=，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BH=3，AH=4，∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，∴四邊形AHND是矩形，∴DN=AH=4，HN=AD=4，中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，解得：x=，綜上所述：x的值為或或.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.10．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延長(zhǎng)線與射線OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.設(shè)OP＝x，△CPF的面積為y.(1)求證：AP＝OQ；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)△OPE是直角三角形時(shí)，求線段OP的長(zhǎng)．答案:（1）詳見解析；（2）y＝，x的取值范圍為<x<10；（3）線段OP的長(zhǎng)為8.分析：（1）連接OD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得出∠AOC＝∠ODC，再利用邊角邊的判斷定理可證明△AOP≌△ODQ，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明AP＝OQ.（2）過點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G.根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可證明△PFC∽△PAO，利用三角函數(shù)的計(jì)算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面積，再利用相似三角形面積之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分別取點(diǎn)F與點(diǎn)D和點(diǎn)C重合時(shí)，利用垂徑定理和相似三角形的性質(zhì)可求出x的值，因?yàn)辄c(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合，即可得出X的取值范圍．（3）根據(jù)題意可知，當(dāng)△POE為直角三角形時(shí)，可分三種情況討論：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分別討論三種情況OP的長(zhǎng)，并取符合（2）中x的取值范圍的結(jié)果．【詳解】(1)證明：連結(jié)OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，∴∠AOC＝∠ODC.在△AOP和△ODQ中，∴△AOP≌△ODQ，∴AP＝OQ.(2)作PH⊥OA，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G.由cos∠AOC=可得OH＝x，再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，則S△AOP＝=3x.∵CD∥AB，∴△PFC∽△PAO，∴，∴=.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，OP＝10.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，∵cos∠OCG＝＝cos∠AOC＝，∴CG＝8，∴CD＝16.∵，∴解得x＝.又∵點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合，∴x的取值范圍為<x<10.(3)解：當(dāng)∠POE＝90°時(shí)，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；當(dāng)∠OPE＝90°時(shí)，則∠APO＝90°，∴OP＝AO·cos∠COA＝8；當(dāng)∠OEP＝90°時(shí)，此種情況不存在．∴線段OP的長(zhǎng)為8.【點(diǎn)睛】本題結(jié)合三角形相似考查了幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題，動(dòng)點(diǎn)問題要注意運(yùn)動(dòng)的范圍，此外第三問中只是說△OPE是直角三角形，并未指明哪個(gè)角是直角，需要分類討論.11．(2023·上海靜安區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E．設(shè)BP=x．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）設(shè)⊙O的半徑為y，當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如果AC是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，求⊙O與⊙P的圓心距OP的長(zhǎng)．答案:（1）9；（2），定義域：0＜x≤3；（3）或解析：試題分析：（1）作AH⊥BC于H，根據(jù)已知條件和銳角三角函數(shù)的定義即可求得BH=2，根據(jù)勾股定理求得AH的長(zhǎng)，在分局勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可；(2)作OI⊥AB于I，聯(lián)結(jié)PO，可得AO=4.5，Rt△AIO中，求得AI=1.5，IO=3，即可得PI=-x，在Rt△PIO中，根據(jù)勾股定理求得，又因⊙P與⊙O外切，可得，所以-x，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E，即可得定義域?yàn)?＜x≤3；（3）分①當(dāng)E與點(diǎn)A不重合時(shí)和②當(dāng)E與點(diǎn)A重合時(shí)兩種情況求AP的長(zhǎng)即可.試題解析：（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，那么BC=9，HC=9-2=7，，﹒（2）作OI⊥AB于I，聯(lián)結(jié)PO，AC=BC=9，AO=4.5，∴∠OAB=∠ABC，∴Rt△AIO中，，∴AI=1.5，IO=，∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=，∴Rt△PIO中，，∵⊙P與⊙O外切，∴，∴=，∵動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E．∴定義域：0＜x≤3；（3）由題意得：∵點(diǎn)E在線段AP上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，∴⊙O與⊙P相交∵AO是⊙O半徑，且AO＞OI，∴交點(diǎn)E存在兩種不同的位置，OE=OA=①當(dāng)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，AE是⊙O的弦，OI是弦心距．∵AI=1.5，AE=3，∴點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，，，，IO=，②當(dāng)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，，∴或．點(diǎn)睛：本題是四邊形與圓的綜合題，考查的知識(shí)點(diǎn)有平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、切線的性質(zhì)，解決第（1）（2）問時(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，解決第（3）問時(shí)，要注意分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.12．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)為B．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，且位于頂點(diǎn)上方，設(shè)它的縱坐標(biāo)為m，聯(lián)結(jié)AM，用含m的代數(shù)式表示∠AMB的余切值；（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上．原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，如果OP=OQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．答案:（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，3）．（2）cot∠AMB=m﹣2．（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．【詳解】試題分析：（1）依據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可求得b的值，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）過點(diǎn)A作AC⊥BM，垂足為C，從而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；（3）由平移后拋物線的頂點(diǎn)在x軸上可求得平移的方向和距離，故此QP=3，然后由點(diǎn)QO=PO，QP∥y軸可得到點(diǎn)Q和P關(guān)于x對(duì)稱，可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)代入平移后的解析式可求得對(duì)應(yīng)的x的值，則可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．試題解析：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，∴x=﹣=1，即=1，解得b=2．∴y=﹣x2+2x+c．將A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．（2）如圖所示：過點(diǎn)A作AC⊥BM，垂足為C，則AC=1，C（1，2）．∵M(jìn)（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．（3）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，∴拋物線向下平移了3個(gè)單位．∴平移后拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．∵OP=OQ，∴點(diǎn)O在PQ的垂直平分線上．又∵QP∥y軸，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱．∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣．將y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.13．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，上的一點(diǎn)在邊的垂直平分線上，．（1）求證：；（2）如果，，求的值．答案:（1）見解析；（2）分析：（1）由，得出，可證得，進(jìn)而證得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可推得，根據(jù)等量代換即可解得；（2）作DE⊥AB于E，由垂直平分，求出，，由勾股定理求出AH，設(shè)，則，再由勾股定理求出AD，然后由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）證：，，又，，，又是的垂直平分線，，，．（2）作垂直平分，垂直平分，，在中，在中，設(shè)，則．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的定義，難度不大，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B在第一象限的反比例函數(shù)圖像上，AB的延長(zhǎng)線與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為6、2，AB=．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．答案:（1）；（2）．分析：（1）如圖，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥y軸，BE⊥x軸，可證∠ACO=∠ABH，由點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；（2）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，根據(jù)點(diǎn)A、B在第一象限的反比例函數(shù)圖像上,則點(diǎn)A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此題即可得解．【詳解】解：（1）如圖，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥y軸，BE⊥x軸，垂足分別為D、E，AD、BE相交于點(diǎn)H．∵BE∥y軸，∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90°．∵點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為6、2，∴AH=4．在Rt△ABH中，∵BH=．∴．（2）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)點(diǎn)A（6，），則B（2，），∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及求銳角的三角函數(shù)值，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)并能結(jié)合反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出函數(shù)表達(dá)式與角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．15．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)．（1）求拋物線項(xiàng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，求的值．答案:（1）(1，4)；（2）分析：(1)拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)兩點(diǎn)，可求解析式，把解析式配方變?yōu)轫旤c(diǎn)式，求頂點(diǎn)D，(2)讓y=0,求出A點(diǎn)坐標(biāo)，過D作DE⊥x軸于E，則E點(diǎn)可求，連AD，在在Rt△ADE中AE，DE可求，用勾股定理求AD，利用正弦函數(shù)定義求即可．【詳解】(1)拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)兩點(diǎn)，把B、C兩點(diǎn)代入得，解得，∴y=-x2+2x+3，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴D(1,4)，(2)y=0,-x2+2x+3=0，∴(x+1)(x-3)=0，∴x+1=0或x-3=0，∴x=-1或x=3，∴A(-1,0)，過D作DE⊥x軸于E，則E(1,0)，在Rt△ADE中，AE=1-(-1)=2，DE=4，∴AD=，∴Sin∠DAE=．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線頂點(diǎn)，∠DAB的正弦，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求拋物線解析式，確定拋物線頂點(diǎn)，會(huì)求與x軸交點(diǎn)，用對(duì)稱軸，AD及x軸圍成Rt△，用正弦定義解決問題．16．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由位置運(yùn)動(dòng)到與底面CD垂直的位置時(shí)的示意圖，已知米，米，(參考數(shù)據(jù)：)（1）求的長(zhǎng)（2）若米，求兩點(diǎn)的距離（精確0.01)答案:（1）0.8；（2）1.04m分析：（1）已知AC與BD，求AB，為此過D作BE⊥AC于E，可求AE，由∠ABE已知，利用30角所對(duì)直角．邊等于斜邊的一半，可求AB即可，（2）過N作NF⊥MO交射線MO于F點(diǎn)，則FN∥EB，∠ONF=α=30°，利用外角有∠M=∠MNO=∠FON=30o，在30oRt△OFN中，OF=ON，易求MF，利用Rt△MFN中MN=即可．【詳解】（1）過B作BE⊥AC于E，則四邊形CDBE為矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米，∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米，在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米，（2）過N作NF⊥MO交射線MO于F點(diǎn)，則FN∥EB，∴∠ONF=α=30°，∵ON=0,6米，∴OF=ON=0,3米，∵OM=ON=0.6米，∴MF=0.9米，∴∠FON=90o-30o=60o，∴∠M=∠MNO=∠FON=30o，在Rt△MFN中，MN=．【點(diǎn)睛】本題考查求斜面長(zhǎng)，MN長(zhǎng)，關(guān)鍵是掌握把要求的線段置于Rt△中,用三角函數(shù)來解決問題．17．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．答案:分析：利用勾股定理求得CD和AB的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)的定義求得cos∠B的值，即可求解．【詳解】∵AD=BD，∴∠BAD=∠B，∵∠C=90°，AD=BD=5，AC=4，∴CD==3，∴BC=CD+BD=8，∴AB=，∴cos∠BAD=cos∠B=．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，涉及勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三、填空題18．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，線段交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_______．答案:2或分析：分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，則，利用銳角三角函數(shù)先求解，，，設(shè)，再表示，再利用勾股定理求解即可得到答案；當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過作于，先證明：，再證明設(shè)，利用的銳角三角函數(shù)可得利用勾股定理求解可得答案．【詳解】解：是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，，設(shè)則，，即：當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過作于，同理可得：，，，，設(shè)由，當(dāng)，不合題意，舍去．綜上：的長(zhǎng)為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．19．(2023·上海金山區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A與邊BC上的點(diǎn)A′重合時(shí)，那么∠AA′B的余弦值等于_____．答案:．分析：作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD＝DC＝BC＝3，利用勾股定理求出AD，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而可得的余弦值．【詳解】解：如圖，作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝4，BC＝6，