人教新版九年級上學(xué)期《22. 3 實際問題與二次函數(shù)》同步練習(xí)卷

人教新版九年級上學(xué)期《22.3實際問題與二次函數(shù)》

同步練習(xí)卷

一.選擇題（共10小題）

1.一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線

運動，當(dāng)球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入

籃框內(nèi).已知籃圈中心距離地面高度為3.05m,在如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系中，下列說法正確的是（）

^KO.3-5）

k-4洲一＞1

A.此拋物線的解析式是y=-1X2+3.5

5

B.籃圈中心的坐標(biāo)是（4,3,05）

C.此拋物線的頂點坐標(biāo)是（3.5,0）

D.籃球出手時離地面的高度是2m

2.如圖，拋物線y=L（x+2）（x-8）與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

4

頂點為M,以AB為直徑作G）D.下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線x=3；

②。D的面積為16兀；③拋物線上存在點E,使四邊形ACED為平行四邊形；

④直線CM與。D相切.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正

方形組成，且每個小正方形的種植方案相同.其中的一個小正方形ABCD如圖

乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方

形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖象大致是（）

甲乙

-3O.517V

3。5樂

A.11

130.5^--30P]

c.^r^

）-0|；0.5*x

4.如圖，已知拋物線％=-x2+l,直線丫2=-x+l,當(dāng)X任取一值時，X對應(yīng)的函

數(shù)值分別為yi?y2.若V件丫2,取Vi，V2中的較小值記為M；若yi=y2>記

M=y.y2.例如:當(dāng)x=2時，yi=-3,y2=-1,yi<y2>此時M=-3.下列判斷

中：

①當(dāng)xVO時，M=yi；

②當(dāng)x>0時，M隨x的增大而增大；

③使得M大于1的x值不存在；

④使得M=L的值是-返或工，

222

其中正確的個數(shù)有（)

y

5.如圖，RtAOAB的頂點A（-2,4）在拋物線y=ax2±,將RtAOAB繞點0

順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到aOCD,邊CD與該拋物線交于點P,則點P的坐標(biāo)為

（）

A.（亞，后）B.（2,2）C.（亞，2）D.（2,揚

6.如圖，兩條拋物線yi=-*x2+l,丫2=卷乂2-1與分別經(jīng)過點（-2,0）,（2,0）

且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（）

C.10

7.如圖，點A,B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4,4）,拋物線y=a（x-m）2+n

的頂點在線段AB上運動（拋物線隨頂點一起平移），與x軸交于C、D兩點（C

在D的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為-3,則點D的橫坐標(biāo)最大值為（）

x

A._3B.1C.5D.8

8.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=ZACB=90°,AB=AD,AC=4BC,設(shè)CD的長為

x,四邊形ABCD的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

B.y=—2Cv-22D.y=—2

25XxC.5x

9.圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在I時，拱頂（拱橋洞的

最高點）離水面2m,水面寬4m.如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線

的關(guān)系式是（

圖(1)

y=--x2D.y=-x2

22

10.如圖，已知：正方形ABCD邊長為1,E、F、G、H分別為各邊上的點，且

AE=BF=CG=DH,設(shè)小正方形EFGH的面積為s,AE為x,則s關(guān)于x的函數(shù)圖

二.填空題（共10小題）

11.如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m,水面下降2m,水

面寬度增加m.

12.飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解

析式是y=60t-1>t2.在飛機著陸滑行中，最后4s滑行的距離是m.

13.在一空曠場地上設(shè)計一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m,拴住小狗的

10m長的繩子一端固定在B點處，小狗在不能進入小屋內(nèi)的條件下活動，其

可以活動的區(qū)域面積為S（n?）.

（1）如圖1,若BC=4m,貝|S=m2.

（2）如圖2,現(xiàn)考慮在（1）中的矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△

CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC

的變化過程中，當(dāng)S取得最小值時，邊BC的長為m.

ADAD

圖1圖2

14.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1）,完全開啟后，水流路

線呈拋物線，把手端點A,出水口B和落水點C恰好在同一直線上，點A至

出水管BD的距離為12cm,洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高

10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點D和杯子上底面中心

15.某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，

每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元（a>0）.未來30天，這款時裝將

開展“每天降價1元"的夏令促銷活動，即從第1天起每天的單價均比前一天

降1元.通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時裝單價每降1元，每天銷量增加4件.在

這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）

的增大而增大，a的取值范圍應(yīng)為.

2

16.如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)yi=x?（x?0）與y2=三-（x20）的

3

圖象于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交yi的圖象于點D,直線DE〃AC,

交丫2的圖象于點E,則還=.

17.如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于

A、B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m,AB=36m,D、E為拱橋底部的

兩點，且DE〃AB,點E到直線AB的距離為7m,則DE的長為m.

18.如圖，拋物線y=ax?+c（a<0）交x軸于點G,F,交y軸于點D,在x軸上

方的拋物線上有兩點B,E,它們關(guān)于y軸對稱，點G,B在y軸左側(cè)，BA±

0G于點A,BCLOD于點C,四邊形OABC與四邊形ODEF的面積分別為6和

10,則4ABG與4BCD的面積之和為

19.如圖，在aABC中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,動點P從點A開始沿

邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊

BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）.如果P、Q分別從A、B同時

出發(fā)，那么經(jīng)過秒，四邊形APQC的面積最小.

20.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易

的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高

1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點

距地面的距離為米.

三.解答題（共20小題）

21.如圖，已知拋物線y=-x?+bx+c與一直線相交于A（1,0）、C（-2,3）兩

點，與y軸交于點N,其頂點為D.

（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求AAPC的面積的最大值及

此時點P的坐標(biāo)；

(3)在對稱軸上是否存在一點M,使aANM的周長最小.若存在，請求出M

點的坐標(biāo)和^ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由.

備用圖

22.如圖，拋物線y=x?+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使△ACM的周長最??？若存在，請求

出M點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)拋物線上有一個動點P,當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時.滿足S

APAB=8,并求出此時P點的坐標(biāo).

23.如圖1,拋物線y=ax?+bx+4過A(2,0),B(4,0)兩點，交y軸于點C,

過點C作x軸的平行線與拋物線上的另一個交點為D,連接AC、BC.點P是

該拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m(m>4).

(1)求該拋物線的表達式和NACB的正切值；

(2)如圖2,若NACP=45°,求m的值；

(3)如圖3,過點A、P的直線與y軸于點N,過點P作PMLCD,垂足為M,

直線MN與x軸交于點Q,試判斷四邊形ADMQ的形狀，并說明理由.

24.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+3的圖象與x軸分別交于A(1,0),B(3,0)

兩點，與y軸交于點C

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)點D為拋物線的頂點，試判斷4BCD的形狀，并說明理由；

(3)將直線BC向上平移t(t>0)個單位，平移后的直線與拋物線交于M,N

兩點(點M在y軸的右側(cè))，當(dāng)^AMN為直角三角形時，求t的值.

25.如圖，以D為頂點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C,

直線BC的表達式為y=-x+3.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在直線BC上有一點P,使PO+PA的值最小，求點P的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點Q,使得以A、C、Q為頂點的三角形與4BCD相似？

若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

26.如圖，拋物線y=ax?+bx-4經(jīng)過A(-3,0),B(5,-4)兩點，與y軸交

于點C,連接AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求證：AB平分NCAO；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得△ABM是以AB為直角邊的直角三

角形，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx-2與x軸交于點A、B(點A

在點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0,-2),OB=4OA,tanZBCO=2.

(1)求A、B兩點的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點M、N分別是線段BC、AB上的動點，點M從點B出發(fā)以每秒逅個單位

2

的速度向點C運動，同時點N從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動，

當(dāng)點M、N中的一點到達終點時，兩點同時停止運動.過點M作MP_l_x軸于

點E,交拋物線于點P.設(shè)點M、點N的運動時間為t(s),當(dāng)t為多少時，

△PNE是等腰三角形？

28.為響應(yīng)荊州市"創(chuàng)建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩

形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m,另外

三邊由36m長的柵欄圍成.設(shè)矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB=xm,面

積為yn?（如圖）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）若矩形空地的面積為160m2,求x的值；

（3）若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵（每種植物的

單價和每棵栽種的合理用地面積如下表）.問丙種植物最多可以購買多少棵？

此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由.

甲乙丙

單價（元/棵）141628

合理用地（n？/棵）0.410.4

29.某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團隊抓住商機，購進一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后

出售，每袋成本3元.試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（袋）與銷售單價x（元）

之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，其中3.5WxW5.5,另外每天還

需支付其他各項費用80元.

銷售單價X（元）3.55.5

銷售量y（袋）280120

（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為多少元？

（3）設(shè)每天的利潤為w元，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大

利潤是多少元？

30.某市計劃在十二年內(nèi)通過公租房建設(shè)，解決低收入人群的住房問題.已知前

7年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x（第

x年）的關(guān)系構(gòu)成一次函數(shù)，（1WXW7且x為整數(shù)），且第一和第三年竣工投

入使的公租房面積分別為絲和工百萬平方米；后5年每年竣工投入使用的公

62

租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x（第x年）的關(guān)系是y=-Lx+①（7

84

VxW12且x為整數(shù)）.

（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面積可解決20萬人的住房問題，如果人

均住房面積，最后一年要比第6年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的

公租房面積可解決多少萬人的住房問題？

（2）受物價上漲等因素的影響，已知這12年中，每年竣工投入使用的公租房的

租金各不相同，且第一年，一年38元/m2,第二年，一年40元/m2,第三年，

一年42元/n?,第四年，一年44元/n?.…以此類推，分析說明每平方米的年

租金和時間能否構(gòu)成函數(shù)，如果能，直接寫出函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，假設(shè)每年的公租房當(dāng)年全部出租完，寫出這12年中每

年竣工投入使用的公租房的年租金W關(guān)于時間x的函數(shù)解析式，并求出W的

最大值（單位：億元）.如果在W取得最大值的這一年，老張租用了58m2的

房子，計算老張這一年應(yīng)交付的租金.

31.已知拋物線y=ax?+bx+c過點A（0,2）.

（1）若點（-血，0）也在該拋物線上，求a,b滿足的關(guān)系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（X1，yi）,N（X2，丫2）都滿足：當(dāng)X1<X2<

0時，（X1-X2）（yi-y2）>0；當(dāng)0Vxi〈X2時，（Xi-X2）（yi-y2）<0.以原

點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B,C,且4ABC有一個

內(nèi)角為60。.

①求拋物線的解析式；

②若點P與點0關(guān)于點A對稱，且0,M,N三點共線，求證：PA平分NMPN.

32.已知:如圖，拋物線y=ax?+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A（0,6）,B（6,0）,

C（-2,0）,點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.

（1）求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點P運動到什么位置時，4PAB的面積有最大值？

(3)過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D,再過點P做PE〃x軸交拋物線于

點E,連結(jié)DE,請問是否存在點P使aPDE為等腰直角三角形？若存在，求

出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

33.如圖，拋物線y=a(x-1)(x-3)(a>0)與x軸交于A、B兩點，拋物線

上另有一點C在x軸下方，且使△OCAsz^OBC.

(1)求線段OC的長度；

(2)設(shè)直線BC與y軸交于點M,點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的

解析式；

(3)在(2)的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC

面積最大？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

34.綜合與探究

如圖，拋物線y=1x2」x-4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y

33

軸交于點C,連接AC,BC.點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的

橫坐標(biāo)為m,過點P作PM_Lx軸，垂足為點M,PM交BC于點Q,過點P作

PE〃AC交x軸于點E,交BC于點F.

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo)；

(2)試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂

點的三角形是等腰三角形.若存在，請直接寫出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由；

(3)請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值.

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+2x+c與x軸交于A(-1,0),B

(3,0)兩點，與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小，求出點M的坐標(biāo)；

(3)試探究：在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點，AC為直角邊

的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，

36.為早日實現(xiàn)脫貧奔小康的宏偉目標(biāo)，我市結(jié)合本地豐富的山水資源，大力發(fā)

展旅游業(yè)，王家莊在當(dāng)?shù)卣闹С窒?，辦起了民宿合作社，專門接待游客，

合作社共有80間客房.根據(jù)合作社提供的房間單價x(元)和游客居住房間

數(shù)y(間)的信息，樂樂繪制出y與x的函數(shù)圖象如圖所示：

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）合作社規(guī)定每個房間價格不低于60元且不超過150元，對于游客所居住的

每個房間，合作社每天需支出20元的各種費用，房價定為多少時，合作社每

天獲利最大？最大利潤是多少？

37.已知拋物線y=a（x-1）?過點（3,1）,D為拋物線的頂點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0,1）,且NBDC=90。，求點C的坐

4

標(biāo);

（3）如圖，直線y=kx+4-k與拋物線交于P、Q兩點.

①求證：NPDQ=90°；

②求△PDQ面積的最小值.

38.如圖，拋物線經(jīng)過原點。（0,0）,點A（1,1）,點B自，0）.

（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA,過點A作ACJ_OA交拋物線于C,連接。C,求△AOC的面積;

（3）點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接OM,過點M作MN±OM交x軸

于點N.問：是否存在點M,使以點O,M,N為頂點的三角形與（2）中的

△AOC相似，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

yy

w用圖

39.如圖，點P為拋物線y=1x2上一動點.

4

（1）若拋物線y=Lx?是由拋物線y=l（x+2）2-1通過圖象平移得到的，請寫

44

出平移的過程；

（2）若直線I經(jīng)過y軸上一點N,且平行于x軸，點N的坐標(biāo)為（0,-1）,過

點P作PM1I于M.

①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F,使得PM=PF恒成立？若存

在，求出點F的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

②問題解決：如圖二，若點Q的坐標(biāo)為（1,5）,求QP+PF的最小值.

40.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸相交于點A（-1,0）、B（3,0）、C

（0,3）,D是拋物線的頂點，E是線段AB的中點.

（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標(biāo)；

（2）F（x,y）是拋物線上的動點：

①當(dāng)x>l,y>0時，求4BDF的面積的最大值;

②當(dāng)NAEF=NDBE時，求點F的坐標(biāo).

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同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

—.選擇題（共10小題）

1.一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線

運動，當(dāng)球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入

籃框內(nèi).已知籃圈中心距離地面高度為3.05m,在如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系中，下列說法正確的是（）

B.籃圈中心的坐標(biāo)是（4,3.05）

C.此拋物線的頂點坐標(biāo)是（3.5,0）

D.籃球出手時離地面的高度是2m

【分析】A、設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+3.5,依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此

可得a的值；

B、根據(jù)函數(shù)圖象判斷；

C、根據(jù)函數(shù)圖象判斷；

D、設(shè)這次跳投時，球出手處離地面hm,因為（1）中求得y=-02x2+3.5,當(dāng)x=

-2,5時，即可求得結(jié)論.

【解答】解：A、???拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,3.5）,

可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+3.5.

?籃圈中心（1.5,3.05）在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入上式，得3.05=aX1.52+3.5,

?a__1

5

/.y=--X2+3.5.

5

故本選項正確；

B、由圖示知，籃圈中心的坐標(biāo)是(1.5,3.05),

故本選項錯誤；

C、由圖示知，此拋物線的頂點坐標(biāo)是(0,3.5),

故本選項錯誤；

D、設(shè)這次跳投時，球出手處離地面hm,

因為(1)中求得y=-0.2x2+35,

...當(dāng)x=-2.5時，

h=-0.2X(-2.5)2+3.5=2.25m.

,這次跳投時，球出手處離地面2.25m.

故本選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出二次函

數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想，難度不大，能夠結(jié)合題意利用二次函

數(shù)不同的表達形式求得解析式是解答本題的關(guān)鍵.

2.如圖，拋物線y=1(x+2)(x-8)與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

4

頂點為M,以AB為直徑作。D.下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線x=3；

②。D的面積為16兀；③拋物線上存在點E,使四邊形ACED為平行四邊形；

④直線CM與。D相切.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】①根據(jù)拋物線的解析式得出拋物線與x軸的交點A、B坐標(biāo)，由拋物線

的對稱性即可判定；

②求得OD的直徑AB的長，得出其半徑，由圓的面積公式即可判定，

③過點C作CE〃AB,交拋物線于E,如果CE=AD,則根據(jù)一組對邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形即可判定；

④求得直線CM、直線CD的解析式通過它們的斜率進行判定.

【解答】解：,在y](x+2)(x-8)中，當(dāng)y=0時，x=-2或x=8,

二點A(-2,0)、B(8,0),

拋物線的對稱軸為x=Z坦=3,故①正確；

2

???OD的直徑為8-(-2)=10,即半徑為5,

.,.OD的面積為25“故②錯誤；

在y=L(x+2)(x-8)=—x2-—x-443>當(dāng)x=0時y=-4,

442

.,.點C(0,-4),

當(dāng)y=-4時，—X2-—x-4=-4,

42

解得:Xi=0、X2=6,

所以點E(6,-4),

則CE=6,

VAD=3-(-2)=5,

.?.ADWCE,

二四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯誤；

*.'y=—x2--x-4=—(x-3)2--,

4244

.?.點M(3,-空)，

4

設(shè)直線CM解析式為y=kx+b,

b=-4

將點C(0,-4)、M(3,-絲)代入,

得：3k+b二號’

4

解得：-

b=-4

所以直線CM解析式為y=--5.x-4；

4

設(shè)直線CD解析式為丫=0^+塾

n=-4

將點C(0,-4)、D(3,0)代入，得:

3m+n=0

所以直線CD解析式為y=lx-4,

3

由-之義烏=-1知CM1CD于點C,

43

，直線CM與。D相切，故④正確；

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的頂點坐標(biāo)

的求法和對稱軸，平行四邊形的判定，點是在圓上還是在圓外的判定，切線

的判定等.

3.某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正

方形組成，且每個小正方形的種植方案相同.其中的一個小正方形ABCD如圖

乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方

形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖象大致是()

甲乙

【分析】先求出^AEF和aDEG的面積，然后可得到五邊形EFBCG的面積，繼而

可得y與X的函數(shù)關(guān)系式.

2

【解答】解：SAAEF=—AEXAF=1X,SADEG=—DGXDE=1X1X(3-x)=旦，

22222

S五邊形EFBCG=S正方杉ABCD-S^AEF-S^DEG=9--^-X2-3cx=--i-x2+-i-x+-^-，

22222

貝ijy=4X(-1X2+^X+A5.)=-2X2+2X+30,

222

VAE<AD,

：.x<3,

綜上可得:y=-2X2+2X+30(0<X<3).

故選：A.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是求出y與x的函數(shù)

關(guān)系式，對于有些題目可以不用求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)走勢或者特殊點的值

進行判斷.

4.如圖，已知拋物線丫產(chǎn)-x2+l,直線丫2=-x+1,當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函

數(shù)值分別為ynV2.若v件Vz，取yi?V2中的較小值記為M；若yi=y2,記

M=yx=y2.例如:當(dāng)x=2時，y1=-3,y2=-1,yi<y2,此時M=-3.下列判斷

①當(dāng)xVO時，M=yi；

②當(dāng)x>0時，M隨x的增大而增大;

③使得M大于1的x值不存在;

④使得M4的值是一坐或上

其中正確的個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用函數(shù)圖象，進而結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)增減性以及函數(shù)值的意義

分別分析得出即可.

【解答】解：???當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi，丫2.若V6V2,取

yi，丫2中的較小值記為M；若yi=y2，記M=yi=y2.

二①當(dāng)x<0時，由圖象可得yi〈y2，故乂=丫1；故此選項正確；

②當(dāng)l>x>0時，yi>y2，M=y2,直線y2=-x+1中y隨x的增大而減小，故M隨

x的增大而減小，此選項錯誤；

③由圖象可得出：M最大值為1,故使得M大于1的x值不存在，故此選項正

確；

④當(dāng)-lVxVO,M=1時，即yi=-x2+l=L,

22

解得：x尸-返，x①（不合題意舍去），

22

當(dāng)OVxVl,M=!時，即丫2=-x+l=L,

22

解得：X』

2

故使得M=2的值是-返或工，此選項正確.

222

故正確的有3個.

故選：C.

V

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合以及函數(shù)增減性等知識，正確

利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵.

5.如圖，RtAOAB的頂點A(-2,4)在拋物線y=ax2±,將RtAOAB繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OCD,邊CD與該拋物線交于點P,則點P的坐標(biāo)為

C.(加,2)D.(2,V2)

【分析】首先根據(jù)點A在拋物線y=ax2上求得拋物線的解析式和線段0B的長,

從而求得點D的坐標(biāo)，根據(jù)點P的縱坐標(biāo)和點D的縱坐標(biāo)相等得到點P的坐

標(biāo)即可;

【解答】解：：RtAOAB的頂點A(-2,4)在拋物線丫=2*2上,

.?.4=aX(-2)2,

解得:a=l

?■?解析式為y=x2,

VRtAOAB的頂點A(-2,4),

，OB=OD=2,

,/RtAOAB繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OCD,

，CD〃x軸，

...點D和點P的縱坐標(biāo)均為2,

.?.令y=2,得2=X2,

解得:X=±W，

,點P在第一象限，

.?.點P的坐標(biāo)為：（后，2）

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解題過程中首先求得直線的解析式,

然后再求得點D的縱坐標(biāo)，利用點P的縱坐標(biāo)與點D的縱坐標(biāo)相等代入函數(shù)

的解析式求解即可.

6.如圖，兩條拋物線yi=-*x2+l,丫2=-1^2-1與分別經(jīng)過點（-2,0）,（2,0）

且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（）

A.8B.6C.10D.4

【分析】兩函數(shù)差的絕對值乘以兩條直線的距離即可得到所求的陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，

???兩解析式的二次項系數(shù)相同，

兩拋物線的形狀完全相同，

二兩條拋物線是上下平移得到，

由平移性質(zhì)得兩個黃色陰影部分的面積相等，

/.Vi-y=-—x2+l-（-—x2-1）=2；

222

陰影=（yi-丫2）*|2-（-2）=2X4=8,

故選：A.

【點評】本題主要考查能否正確的判斷出陰影部分面積，而解答此題.

7.如圖，點A,B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4,4）,拋物線y=a（x-m）2+n

的頂點在線段AB上運動(拋物線隨頂點一起平移)，與x軸交于C、D兩點(C

【分析】當(dāng)C點橫坐標(biāo)最小時，拋物線頂點必為A(1,4),根據(jù)此時拋物線的

對稱軸，可判斷出CD間的距離；

當(dāng)D點橫坐標(biāo)最大時，拋物線頂點為B(4,4),再根據(jù)此時拋物線的對稱軸及

CD的長，可判斷出D點橫坐標(biāo)最大值.

【解答】解：當(dāng)點C橫坐標(biāo)為-3時，拋物線頂點為A(1,4),對稱軸為x=l,

此時D點橫坐標(biāo)為5,則CD=8；

當(dāng)拋物線頂點為B(4,4)時，拋物線對稱軸為x=4,且CD=8,故C(0,0),D

(8,0)；

由于此時D點橫坐標(biāo)最大，

故點D的橫坐標(biāo)最大值為8；

故選：D.

【點評】能夠正確地判斷出點C橫坐標(biāo)最小、點D橫坐標(biāo)最大時拋物線的頂點

坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=ZACB=90°,AB=AD,AC=4BC,設(shè)CD的長為

x,四邊形ABCD的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()

「22

C.D.y=—2

5Xx

【分析】四邊形ABCD圖形不規(guī)則，根據(jù)已知條件，將aABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)

90。到4ADE的位置,求四邊形ABCD的面積問題轉(zhuǎn)化為求梯形ACDE的面積問

題；根據(jù)全等三角形線段之間的關(guān)系，結(jié)合勾股定理，把梯形上底DE,下底

AC,高DF分別用含x的式子表示，可表示四邊形ABCD的面積.

【解答】解：作AELAC,DE_LAE,兩線交于E點，作DF_LAC垂足為F點，

,/ZBAD=ZCAE=90°,即ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZDAE

/.ZBAC=ZDAE

XVAB=AD,ZACB=ZE=90°

/.△ABC^AADE(AAS)

，BC=DE,AC=AE,

設(shè)BC=a,則DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a,

CF=AC-AF=AC-DE=3a,

在Rt^CDF中，由勾股定理得，

CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=x2,

解得：a=三，

5

y=S四邊形ABCD=S梯柩ACDE=￡X(DE+AC)XDF

=—X(a+4a)X4a

2

=10a2

【點評】本題運用了旋轉(zhuǎn)法，將求不規(guī)則四邊形面積問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積,

充分運用了全等三角形，勾股定理在解題中的作用.

9.圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在I時，拱頂（拱橋洞的

最高點）離水面2m,水面寬4m.如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線

的關(guān)系式是（）

【分析】由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，可設(shè)此函

數(shù)解析式為：y=ax2,利用待定系數(shù)法求解.

【解答】解：設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2,aWO；

那么（2,-2）應(yīng)在此函數(shù)解析式上.

則-2=4a

即得a=-1,

2

那么y=-lx2.

2

故選：C.

【點評】根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵在于找到

在此函數(shù)解析式上的點.

10.如圖，已知：正方形ABCD邊長為1,E、F、G、H分別為各邊上的點，且

AE=BF=CG=DH,設(shè)小正方形EFGH的面積為s,AE為x,則s關(guān)于x的函數(shù)圖

象大致是（）

A.B.

【分析】根據(jù)條件可知AAEH公ABFE絲ACGF絲ADHG,設(shè)AE為x,貝UAH=1-x,

根據(jù)勾股定理EH2=AE2+AH2=X2+(1-X)2,進而可求出函數(shù)解析式，求出答案.

【解答】解：???根據(jù)正方形的四邊相等，四個角都是直角，且AE=BF=CG=DH,

，可證△AEH之Z\BFE絲4CGF烏ZWIHG.

設(shè)AE為x,則AH=l-x,根據(jù)勾股定理，得

EH2=AE2+AH2=X2+(1-x)2

即s=x2+(1-X)2.

s=2x2-2x+l,

所求函數(shù)是一個開口向上，

對稱軸是直線X=l.

2

,自變量的取值范圍是大于0小于1.

故選：B.

【點評】本題需根據(jù)自變量的取值范圍，并且可以考慮求出函數(shù)的解析式來解決.

二.填空題(共10小題)

11.如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m,水面下降2m,水

面寬度增加(4及-4)m.

【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把

y=-2代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案.

【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB,縱軸y通過AB中點。且

通過C點，則通過畫圖可得知0為原點,

拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A,B兩點，0A和0B可求出為AB的一半2米,

拋物線頂點C坐標(biāo)為（0,2）,

通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=ax?+2,其中a可通過代入A點坐標(biāo)（-2,0）,

到拋物線解析式得出：a=-0.5,所以拋物線解析式為y=-05x2+2,

當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)y=-2時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交

的兩點之間的距離，

可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：

-2=-0.5X2+2,

解得：x=±2&,所以水面寬度增加到4y米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了（4立

-4）米，

故答案為：4^2-4.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函

數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.

12.飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解

析式是y=60t-1>t2.在飛機著陸滑行中，最后4s滑行的距離是24m.

【分析】由于飛機著陸，不會倒著跑，所以當(dāng)y取得最大值時，t也取得最大值，

求得t的取值范圍即可，結(jié)合取值范圍求得最后4s滑行的距離.

【解答】解：當(dāng)y取得最大值時，飛機停下來，

則y=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600,

此時t=20,飛機著陸后滑行600米才能停下來.

因此t的取值范圍是04W20；

即當(dāng)t=16時，y=576,

所以600-576=24（米）

故答案是:24.

【點評】此題考查二次函數(shù)的實際運用，運用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或

配方法是解題關(guān)鍵.

13.在一空曠場地上設(shè)計一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m,拴住小狗的

10m長的繩子一端固定在B點處，小狗在不能進入小屋內(nèi)的條件下活動，其

可以活動的區(qū)域面積為S（m2）.

（1）如圖1,若BC=4m,則S=88An?.

（2）如圖2,現(xiàn)考慮在（1）中的矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△

CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC

的變化過程中，當(dāng)S取得最小值時，邊BC的長為1m.

~2-

ADAD

圖1圖2

【分析】（1）小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的之圓，以C為圓

4

心、6為半徑的工圓和以A為圓心、4為半徑的工圓的面積和，據(jù)此列式求解

44

可得；

（2）此時小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的巨圓，以A為圓心、

4

x為半徑的工圓、以C為圓心、10-X為半徑的皿圓的面積和，列出函數(shù)解

4360

析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：（1）如圖1,拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點處，小狗

可以活動的區(qū)域如圖所示：

圄1

由圖可知，小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的3圓，以C為圓心、

4

6為半徑的工圓和以A為圓心、4為半徑的工圓的面積和，

44

S=-XR*102+—*11*62+—?R?42=88n,

444

故答案為：88兀；

(2)如圖2,

圖2

設(shè)BC=x,則AB=10-x,

/.S=—?^?102+—?n*x2+-^-*n*(10-x)2

44360

=—(x2-5x+250)

3

=2L(x-旦)24325兀，

324

當(dāng)x="時，S取得最小值，

2

BC=—,

2

故答案為：”.

2

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)繩子的長度結(jié)合圖形

得出其活動區(qū)域及利用扇形的面積公式表示出活動區(qū)域面積.

14.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1),完全開啟后，水流路

線呈拋物線，把手端點A,出水口B和落水點C恰好在同一直線上，點A至

出水管BD的距離為12cm,洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高

10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點D和杯子上底面中心

E,則點E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為24-8出cm.

圖1

【分析】先建立直角坐標(biāo)系，過A作AG_LOC于G,交BD于Q,過M作MPJ_

AG于P,根據(jù)△ABQSAACG,求得C(20,0),再根據(jù)水流所在拋物線經(jīng)過

點D(0,24)和B(12,24),可設(shè)拋物線為y=ax?+bx+24,把C(20,0),B

(12,24)代入拋物線，可得拋物線為y=-9x2+2x+24,最后根據(jù)點E的縱

205

坐標(biāo)為10.2,得出點E的橫坐標(biāo)為6+8M，據(jù)此可得點E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距

離.

【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，過A作AGLOC于G,交BD于Q,

過M作MP±AG于P,

由題可得，AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,

；.RtZ\APM中,MP=8,故DQ=8=OG,

二BQ=12-8=4,

由BQ〃CG可得，AABQ^AACG,

???BQ_一AQ,gn4_-12,

CGAGCG36

ACG=12,OC=12+8=20,

AC(20,0),

又二水流所在拋物線經(jīng)過點D(0,24)和B(12,24),

二可設(shè)拋物線為y=ax2+bx+24,

把C(20,0),B(12,24)代入拋物線，可得

(=3

[24=1曲a+12b+24,解得廣方，

l0=400a+20b+24

2

.?.拋物線為y=--3_X+2X+24,

205

又???點E的縱坐標(biāo)為10.2,

2

.,.令y=10.2,貝I10.2=-AX+AX+24,

205

解得Xi=6+8'/^,X2=6-8?(舍去)，

點E的橫坐標(biāo)為6+8&,

又YON=30,

二EH=30-(6+8&)=24-8g.

故答案為:24-8&.

【點評】本題以水龍頭接水為載體，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)

用，在運用數(shù)學(xué)知識解決問題過程中，關(guān)注核心內(nèi)容，經(jīng)歷測量、運算、建

模等數(shù)學(xué)實踐活動為主線的問題探究過程，突出考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決

問題的能力，蘊含數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，利用數(shù)學(xué)方法解決實際問