八年級數(shù)學(xué)下冊專題1 8 .8 四邊形中的最值問題專項訓(xùn)練（30道）

專題18.8四邊形中的最值問題專項訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強化學(xué)

生對四邊形中最值問題模型的記憶與理解！

一.選擇題（共10小題）

1.（2022春?重慶期末）如圖，矩形A8CD中，AB=2遮,BC=6,P為矩形內(nèi)一點，連接力,PB,PC,

則氏+PB+PC的最小值是（）

A.48+3B.2V21C.2V3+6D.4V5

【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△￡/（,連接PF、AE、AC,則AE的長即為所求.

【解答】解：將△8PC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△￡人7,連接尸尸、AE.AC,則AE的長即為所求.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PFC是等邊三角形,

：.PC=PF,

：.PA+PB+PC^PA+PF+EF,

...當(dāng)4、P、F、E共線時，出+尸8+PC的值最小,

,?,四邊形A8CQ是矩形,

???NA8C=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=4V3,

?*?AC=2AB,

，NAC8=30°,AC=2AB=4V3,

'."ZBCE=60°,

.?./ACE=90°,

：.AE=J（46）2+62=2>/21,

故選：B.

2.（2022?浦橋區(qū)校級模擬）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C,A8=4,AC=3,以BC為對角線作正方形BDCE,

連接A。，則AO的最大值是（）

Ec

A.5B.7C.7V2D.1V2

【分析】如圖將△BOA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知：A8=CM=4,04=

DM.乙4￡>M=90°,推出△4OM是等腰直角三角形，推出推出當(dāng)AM的值最大時，4。的

值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題：

【解答】解：如圖將△8D4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COM.

Hz

由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=4,DA=DNI.ZADM=90°,

...△AOM是等腰直角三角形，

：.AD=專AM,

...當(dāng)AM的值最大時，AO的值最大，

"：AM^AC+CM,

：.AM^7,

：.AM的最大值為7,

?'?AD的最大值為，2,

故選：D.

3.（2022春?中山市期末）如圖，在邊長為的正方形ABC。中，E是對角線8。上一點，且BE=BC,點

P是CE上一動點，則點P到邊8力，8c的距離之和PM+PN的值（）

B.有最小值日a

C.是定值4D.是定值

【分析】連接8P,作￡尸，8c于點凡由正方形的性質(zhì)可知△BEF為等腰直角三角形，BE=a,可求EF,

利用面積法得SBPE+S&BPC=S/\BEC）將面積公式代入即可.

【解答】解：如圖，連接8P,作EF_L8C于點尸，則NEFB=90°,

:正方形的性質(zhì)可知/EBF=45°,

...△5EF為等腰直角三角形，

???正方形的邊長為小

:.BE=BC=a,

：.BF=EF=與EB=ya,

,:PMLBD,PNLBC,

S2BPE^S4BPC=SdBEC，

：.-BEXPM+-BCXPN=-BCXEF,

222

,:BE=BC,

:.PM+PN=EF=

2

則點P到邊BD,BC的距離之和PM+PN的值是定值岑

故選：D.

4.（2022春?三門峽期末）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,AD=l,E為A8的中點，F(xiàn)為EC上一動點、,

戶為QF中點，連接尸8,則P8的最小值是（）

A.2B.4C.V2D.2>/2

【分析】根據(jù)中位線定理可得出點點P的運動軌跡是線段PxPi，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時,

尸8取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知gPJLBA，故8P的最小值為8Pl的長，由勾股

定理求解即可.

【解答】解：如圖：

當(dāng)點廠與點C重合時，點P在P處，CPI=OPI，

當(dāng)點尸與點E重合時，點P在P2處,EP2=DP2,

.?.PIP2〃C￡^PP2=#E.

當(dāng)點尸在EC上除點C、￡的位置處時;有DP=FP.

由中位線定理可知：P/〃CE且尸iP=^CF.

.?.點P的運動軌跡是線段PR，

...當(dāng)8PJ_PP2時,PB取得最小值.

:矩形A8CD中，AB=2,AD=\,E為AB的中點，

:ACBE、△AQE、△BCR為等腰直角三角形，CP,=1.

:.NADE=NCDE=NCPiB=45°,NOEC=90°.

.?./OP2Pl=90°.

，NOPIP2=45°.

O

.".ZP2PIB=90，即8Pl_LP，2，

.?.8P的最小值為BPI的長.

在等腰直角BCPi中，CP尸BC=l.

：.BPt=V2.

...PB的最小值是企.

故選：C.

5.(2022春?濱湖區(qū)期末)如圖，已知菱形A8CD的面積為20,邊長為5,點P、。分別是邊BC、CD1.

的動點，且PC=CQ,連接P。、AQ,則PO+AQ的最小值為()

A.4V5B.V89C.10D.7^2

【分析】過點力作8c于點M,延長A例到點4',使4'根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可

得8M=3,以點8為原點，BC為x軸，垂直于BC方向為y軸，建立平面直角坐標系，可得8(0,0),

A(3,4),C(5,0),。(8,4),A'(3,-4),然后證明△ABP安△A。。(SAS),可得AP=

AQ=A'P,連接A'D,AP,A'P,由A'P+PD>A'D,可得A',P,力三點共線時，PD+A'P取

最小值，所以PO+A。的最小值=H)+A'P的最小值=A'D,利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點A作AM_L8c于點M,延長AM到點A',使A'M=AM,

;四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC=AD=5,ZABC=ZADC,

:菱形ABCZ)的面積為20,邊長為5,

在Rt2\ABM中，根據(jù)勾股定理得：

BM=\/AB2-AM2=3,

以點8為原點，BC為x軸，垂直于BC方向為y軸，建立平面直角坐標系,

：.B(0,0),A(3,4),C(5,0),D(8,4),Af(3,-4),

■:PC=CQ,BC=CD,

：.BP=DQ,

在△A5P和△AOQ中，

AB=AD

乙ABC=Z.ADC,

BP=DQ

：./\ABP^AADQ(SAS),

：.AP=AQ=A'P,

連接A'D,AP,A1尸，

,:及P+PD>A'D,

：.Ar,P,。三點共線時，PD+AfP取最小值，

..，。+4。的最小值=2。+4'尸的最小值=A'D=J（8-3>+（4+4產(chǎn)=倆.

故選：B.

6.（2022?泰山區(qū)一模）如圖，M、N是正方形ABCD的邊C￡>上的兩個動點，滿足AM=BN,連接AC交

BN于點、E,連接。E交AM于點尸，連接C尸，若正方形的邊長為2,則線段CF的最小值是（）

A.2B.1C.V5-1D.V5-2

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,然后利用““心”證

明RtZ\A￡>M和RtZYBCN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得N1=N2,利用“SAS”證明△￡>(“和

△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得N2=N3,從而得到/1=/3,然后求出NAF￡>=90°,

取4。的中點。，連接OR0C,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。尸=/。=1,利用

勾股定理列式求出0C,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)0、尺C三點共線時，CT的長度最小.

【解答】解：在正方形ABC。中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,

在RtAADM和Rt^BCN中,

(AD=BC

UM=BN'

：.Rt/\ADM^Rt^BCN(HL),

在△力CE和△BCE中，

BC=CD

Z-DCE=乙BCE,

￡E=CE

??.△DCE/ABCE(SAS),

AZ2=Z3,

；.Z1=Z3,

VZA￡>F+Z3=ZADC=90°,

AZ1+ZADF=9O°,

ZAFD=180°-90°=90°,

取A。的中點O,連接OF、OC,

則OF=DO=1,

在RtAODC中，OC=>/DO2+DC2=Vl2+22=瓜

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF>OC,

...當(dāng)0、F、C三點共線時，CF的長度最小，

最小值=OC-0尸=岔一1.

故選：C.

7.（2022?龍華區(qū)二模）如圖，已知四邊形4BCO是邊長為4的正方形，E為上一點，且。E=l,尸為

射線BC上一動點，過點E作EGLAF于點尸，交直線A8于點G.則下列結(jié)論中：?AF=EG；②若N

B4F=NPC凡則尸C=PE；③當(dāng)/CP尸=45°時，BB=1；④PC的最小值為VH-2.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】連接4E,過E作于H,則E〃=8C,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到AF

=EG,故①正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到PE=PC；故②正確；連接EF,

推出點E、P、F、C四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到/FEC=NFPC=45°,于是得到8Q=OE=1,同

理當(dāng)尸運動到C點右側(cè)時，此時NFPC=45°,且EPC尸四點共圓，EC=FC=3,故此時"=8C+CF

=4+3=7.因此8尸=1或7,故③錯誤；取AE的中點。，連接P。，CO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

AO=PO=\AE,推出點P在以。為圓心，AE為直徑的圓上，當(dāng)OC最小時，CP的值最小，根據(jù)三角形

的三邊關(guān)系得到PC^OC-OP,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接AE,過E作于H,

則EH=BC,

；AB=BC,

:.EH=AB,

'：EG±AF,

：.ZBAF+ZAGP^ZBAF+ZAFB=9OQ,

:.NEGH=NAFB,

'：ZB=ZEHG=90°,

,△HEGqAABF(AAS),

：.AF=EG,故①正確；

"：AB//CD,

：.NAGE=NCEG,

ZBAF+ZAGP=9Q°,NPCF+NPCE=90°,

NBAF=NPCF,

ZAGE=ZPCE,

：.NPEC=ZPCE,

:.PE=PC；故②正確；

連接EF,

；NEPF=NFCE=90°,

...點E、P、F、C四點共圓，

：.ZFEC=ZFPC=45°,

：.EC=FC,

：.BF=DE=\,

同理當(dāng)尸運動到C點右側(cè)時，此時/FPC=45°,且E、P、C、F四點共圓，EC=FC=3,故此時8尸

=BC+CF=4+3=7.因此BF=1或7,故③錯誤；

取AE的中點。，連接尸O,C0,

：.AO=PO=^AE,

VZAPE=90°,

.,.點尸在以。為圓心，AE為直徑的圓上，

..,當(dāng)0C最小時，CP的值最小，

,:PCN0C-0P,

：.PC的最小值=0C-0P=0C-^AE,

'：0C=J22+1)2=苧，在RtAADE中，AE=V42+l2=V17,

'.PC的最小值為季-9，故④錯誤，

故選：B.

8.（2022?南平校級自主招生）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,尸為邊BC上一動點（且點

P不與點B、C重合），PE_LAB于E,P尸J_AC于尸.則E尸的最小值為（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEA尸是矩形；連接物，則孫=EF,所以要使EF,即網(wǎng)最

短，只需即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得以的值.

【解答】解：如圖，連接以.

?.?在△ABC中，AB=6,AC=8,8c=10,

：.BC2=AB2+AC2,

：.ZA=90°.

又,?PE1AB于點E,PF1.AC于點R

AZAEP=ZAFP=90°,

四邊形PEAF是矩形.

J.AP^EF.

二當(dāng)BA最小時,E尸也最小,

即當(dāng)AP_LCB時，用最小，

'：-AB'AC=-BC'AP,即AP=絲型=幽=4.8,

22BC10

線段EF長的最小值為4.8；

故選：B.

9.（2022春?崇川區(qū)期末）如圖，正方形ABCQ邊長為1,點E,F分別是邊8C,C。上的兩個動點，且

BE=CF,連接BF,DE,則8F+OE的最小值為（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

【分析】連接AE,利用△ABE絲△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得至UBF+DE^AE+DE,則通過作A點關(guān)于BC時稱

點“，連接?！苯?c于E點，利用勾股定理求出?！ㄩL即可.

【解答】解：連接AE,如圖1,

四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC,NABE=NBCF=9Q°.

又BE=CF,

:.△ABEgABCF（SAS）.

：.AE=BF.

所以8P+DE最小值等TAE+OE最小值.

作點A關(guān)于BC的對稱點HE,如圖2,

連接2”，則A、B、”三點共線，

連接。，與BC的交點即為所求的E點.

根據(jù)對稱性可知AE="E,

所以AE+￡>E=Q〃.

在RtZ\A￡>H中，AD=],AH=2,

：.DH=y/AH2+AD2=V5,

.,.3F+OE最小值為VI

故選：C.

10.（2022?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為與點D不重合的動點，以DE為一邊作正方形DEFG.設(shè)

DE=di，點、F、G與點C的距離分別為42、dy,則4+芯+“3的最小值為（）

C.2V2D.4

【分析】連接AE,那么，AE=CG,所以這三個d的和就是AE+EF+尸C,所以大于等于AC,故當(dāng)4E“

四點共線有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接AE,

?.?四邊形DEFG是正方形,

ZEDG=90°,EF=DE=DG,

?.?四邊形A8CD是正方形,

：.AD=CD,N4L>C=9(T,

ZADE=ZCDG,

:./\ADE//\CDG(SAS),

：.AE=CG,

d\+d?+d3=EF+CF+AE,

，點A,E,F,。在同一條線上時，￡b+CF+AE最小，即力+豆+為最小,

連接AC,

.*.4+4+&最小值為AC,

在RtZUBC中，AC=&AB=20,

：.d\+d2+d3最小=AC=26，

故選：C.

二.填空題（共10小題）

11.（2022春?江城區(qū)期末）如圖，NMON=90°,矩形ABC。的頂點A、8分別在邊OM、ON上,當(dāng)5

在邊ON上運動時，A隨之在上運動，矩形A8CZ）的形狀保持不變，其中AB=6,BC—2.運動過

程中點D到點O的最大距離是3+713.

【分析】取A3的中點E,連接OZXOESE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=

利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點E時最大.

【解答】解：如圖：取線段A8的中點E,連接OE,DE,OD,

B

?：AB=6,點E是48的中點，NAO8=90°,

：.AE=BE=3=0E,

:四邊形ABCQ是矩形,

：.AD=BC^2,NDAB=90°,

：.DE=>JAE2+AD2=A,

；ODWOE+DE,

當(dāng)點力，點E,點。共線時，。。的長度最大.

/.點D到點0的最大距離=0E+QE=3+g,

故答案為：3+V13.

12.（2022?東莞市校級一模）如圖，在矩形A8C￡＞中，AB=6,40=5,點尸在40上，點。在BC上,

S.AP=CQ,連接CP,QD,則PC+。。的最小值為13.

【分析】連接8P，在8A的延長線上截取AE=A8=6,連接PE,CE,PC+QD=PC+PB,貝ljPC+。。的

最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6,則PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,

根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.

:四邊形ABCQ是矩形,

：.AD//BC,AD=BC,

\"AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

：.四邊形DPBQ是平行四邊形,

：.PB//DQ,PB=DQ,

：.PC+QD^PC+PB,

C.PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，

如圖，在區(qū)4的延長線上截取AE=A8=6,連接PE,CE,

孫是8E的垂直平分線，

:.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

：.PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,

'：BE=2AB=\2,BC=AD=5,

：.CE=>1BE2+BC2=13.

：.PC+PB的最小值為13.

...PC+。。的最小值為13.

故答案為：13.

13.（2022?錢塘區(qū)一模）如圖，在矩形A8C。中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形A8CD內(nèi)部作正

方形EFGH,連結(jié)AH,CG.若4B=10,AO=6,EF=4,則AH+CG的最小值為6〉.

【分析】方法一：延長D4至A',使4'A=E"=EF=4,連接A'E,EG,可得四邊形44'EH是平

行四邊形，所以A'E=AH,則AH+CG的最小值即為A'E+CG的最小值，根據(jù)勾股定理即可解決問題.方

法二：過點G作GA'〃A”交AF于點A',可得四邊形A/7GA'是平行四邊形，進而可以解決問題.

【解答】解：方法一：如圖，延長D4至A',使A'4=EH=EF=4,連接A'E,EG,

'：HELAB,AA'LAB,

：.AA'//EH,

VA/A=EH,

四邊形AA'EH是平行四邊形，

E=AH,

則AH+CG的最小值即為4'E+CG的最小值，

；四邊形EFGH是正方形，

:.EF=FG=4,

：.EG=4\[2,

D=AD+AA'=6+4=10,

在RtZiA'DC中，DC=AB=10,

."，C=yjA'D2+DC2=10V2,

"E+CG=A'C-￡G=6V2.

則AH+CG的最小值為6V2.

方法二：如圖，過點G作GA'〃AH交AB于點4',

AEA'FB

四邊形A//GA'是平行四邊形,

=HG=4,A'G=AH,

=6,

,:BC=6,

：.A'C=6V1

：.AH+CG^A'G+CG2A'C,

則AH+CG的最小值為6V2.

故答案為：6V2.

14.（2022春?東城區(qū)期中）在正方形ABC￡＞中，AB=5,點E、尸分別為A。、A8上一點，KAE=AF,

連接BE、CF,貝ljBE+CF的最小值是575.

【分析】連接OF,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明(SAS),可得DF=BE,作點。關(guān)于A8的

對稱點O',連接CQ'交48于點尸，連接O'F,則￡>F=。'F,可得5E+CF=CF+CF=D'F+CF

2cO',所以當(dāng)點尸與點F'重合時，D'F+CF最小，最小值為C?！拈L，然后根據(jù)勾股定理即可解

決問題.

【解答】解：如圖，連接QF,

?.?四邊形ABCO是正方形，

：.AD=AB,^BAE=ZDAF=90°,

在△AOF和△A8E中，

AD=AB

乙FAD=Z-EAB^

AF=AE

：.^ADF^/XABE(SAS),

:,DF=BE,

作點。關(guān)于A8的對稱點/)',連接C。'交AB于點F',連接力'F,則。尸=D'F,

：.BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CD',

當(dāng)點F與點尸重合時，D'F+CF最小，最小值為C?！拈L，

在RtZ\C￡>。中，根據(jù)勾股定理得：

CD'=>JCD2+DD'2=V52+102=5V5,

.?.3E+CF的最小值是5花.

故答案為：5V5.

15.(2022春?虎林市期末)如圖，在RtZ\ABC中，/BAC=90°,且BA=12,AC=16,點。是斜邊BC

上的一個動點，過點。分別作OEJ-AB于點E,。尸_L4C于點尸，點G為四邊形OE4尸對角線交點，則

線段GF的最小值為三

【分析】由勾股定理求出8c的長，再證明四邊形OE4F是矩形，可得根據(jù)垂線段最短和三角

形面積即可解決問題.

【解答】解：連接A。、EF,

VZBAC=90°,且BA=9,AC=\2,

：.BC=>JAB2+AC2=V122+162=20,

'：DELAB,DF±AC,

：.ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,

四邊形OE4F是矩形，

：.EF=AD,

：.當(dāng)ADLBC時，AD的值最小，

此時，△A8C的面積=/8XAC=]8CXA￡),

...12X16=20X0,

.?,AsD=一48

5

的最小值為

?.?點G為四邊形。EA尸對角線交點，

：.GF=^EF=~

故答案為：號.

16.（2022?浦橋區(qū)校級三模）在菱形ABCD中，ZD=60°,CD=4,E為菱形內(nèi)部一點，且AE=2,連

接CE,點F為CE中點，連接BF,取BF中點G,連接AG,則AG的最大值為:+V7.

【分析】先根據(jù)題目條件中的中點可聯(lián)想中位線的性質(zhì)，構(gòu)造中位線將。尸和GH的長度先求出來，再

利用三角形的三邊關(guān)系判斷，當(dāng)AG=AH+HG時最大.

【解答】解：如圖所示：連接8。交AC于點O,連接尸O,取08的中點H,連接HG和AH,

:在菱形ABCO中，

二。為AC中點，

:尸為CE中點,

：.OF=-AE=l,

2

當(dāng)C、F、E、A共線時，OF也為1,

：G為BF中點、H為OB中點,

：.GH=-OF=

22

,在菱形ABC。中且NO=60°,

/.ZABO=-ZABC=-ZADC=30°,N8OA=90°,

22

：.0A=-AB=2,

2

：.0B=俯-22=2y/3,

：.0H=V3,

：.AH=J22+（V3）2=V7,

'：AG^：AH+HG,

：.AG<^+y/7,

...AG的最大值為1+V7.

故答案為：1+V7.

17.（2022春?靖江市校級期末）如圖，線段A8的長為10,點。在48上，ZXAC。是邊長為3的等邊三角

形，過點。作與CD垂直的射線OP,過。P上一動點G（不與。重合）作矩形C￡>GH,記矩形CDG”

的對角線交點為O，連接。8,則線段BO的最小值為5.

【分析】連接40,根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC=OD,再證明△ACO絲AWO,則N0A8=

30°；點。一定在NCA8的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)OBLAO時，OB的長最小，根據(jù)直

角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論.

【解答】解：連接4。，

:四邊形COGH是矩形，

：.CG=DH,OC=iCG,OD=他H,

：.OC=OD,

：△ACO是等邊三角形，

：.AC=AD,ZCAD=60°,

在△ACO和△A/)0中,

(AC=AD

MO=40,

\CO=DO

：./\ACO^^ADO(SSS),

：.ZOAB=ZCAO=30°,

...點。一定在NC48的平分線上運動,

...當(dāng)O8_LAO時，08的長度最小，

,：ZOAB=30°,NAOB=90°,

.?.O8=l8=[xl0=5,

即OB的最小值為5.

故答案為：5.

18.（2022春?鄲都區(qū)期末）如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AO=8,點E是BC邊上一動點，作點B關(guān)

于AE的對稱點F,連接CF,點P為CF中點，則。P的最小值為，b一2_.

【分析】根據(jù)勾股定理和三角形中位線，可以得到OP的長和OD的長，然后再根據(jù)圖形可知當(dāng)點P在

線段0。上時，DP取得最小值，然后計算即可.

【解答】解：連接AC、8。交于點。，連接AF,0P,

:四邊形ABC。是矩形，ZBAD=90°,AB=4,AO=8,

...點。為AC的中點，BD=^AB2+AD2=4瓜

又?.?點P是CF的中點，

0P是△CAF的中位線，

?點B關(guān)于AE的對稱點F,A8=4,

：.AF=4,

：.0P=2,

,:BD=45

：.。。=2限

VOP+DP>OD,0P=2,ODS

當(dāng)點P在。。上時，DP取得最小值，此時DP=OD-0P=2相-2,

故答案為：2病—2.

P為。F中點，連接PB,則PB的最小值是,巡

【分析】取DE中點P，取0c中點P",根據(jù)中位線定理可得出點P的運動軌跡是線段P8,再根

據(jù)垂線段最短可得當(dāng)8PLP/2時，P8取得最小值，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖：取OE中點尸'，

；「為DF中點,

：.P'P//EC,

取0c中點P",

?./為。尸中點，

：.P"P//EC,

；.P，P',P"三點在同一條直線上，

.?.點P的運動軌跡是線段PP",

...當(dāng)P"時，PB取得最小值.

過點B作8G1.EC于點G,過尸"作P"MLEC于點M,

.?.PB的最小值=BG+P"M,

.矩形A8CO中，A8=4,E為A8的中點,

；.AE=BE=2,

,.,BC=An=2百，

；.DE=CE=卜2+(2V3)2=4,

■：AB=CD=4,

...△EOC是等邊三角形，

：.ZP"CM=60°,

\'CP"=2,

：.CM=\,

：.P"M=V3,

'：ED=EC,AE=BE,AD^=BC,

.?.△CBEZzMDE(SSS),

:.NDEA=NCEB,

VZDEC=60°.

:.NBEG=60".

'：BE=2,

：.BP=P"M+BG=2q

.?.P8的最小值是2?

故答案是：26.

20.（2022春?如東縣期中）如圖，已知AB=2",C為線段AB上的一個動點，分別以AC,CB為邊在

AB的同側(cè)作菱形4cM和菱形C8GF,點C,E,尸在一條直線上，/。=120°.P、。分別是對角線

AE,的中點，當(dāng)點C在線段48上移動時，點P,。之間的距離最短為_當(dāng)_（結(jié)果保留根號）.

【分析】連接QC、PC.首先證明NPCQ=90°,設(shè)AC=2a,貝ijBC=2y[2-2a,PC=a,CQ=V3（V2-a）.構(gòu)

建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：連接PC、CQ.

G

:四邊形ACED,四邊形CBGF是菱形，ZD=120°,

/.ZACE=120°,/FCB=6。",

VP,。分別是對角線4E,8F的中點，

ZECP=-ZACE,ZFCQ=-ZBCF,

2匕2

：.ZPCQ=90°,

設(shè)AC=2a,則BC=2a-2。，PC=a,CQ=yBC=V3（V2-a）.

：.PQ=yjPC2+QC2=Ja2+3（V2-a）2=J4（a-^）2+|.

當(dāng)。=平時，點P,。之間的距離最短，最短距離是苧.

解法二：連接CO、CG、DG,構(gòu)造中位線解決，當(dāng)力G與A?；?G垂直時，取最值.

故答案為：冬

三.解答題（共10小題）

21.（2022?禹城市二模）（1）如圖①，已知正方形A8CD的邊長為4,點/和N分別是邊BC,8上兩

點，且BM=CN,連4例和BN,交于點P.猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如圖②，已知正方形438的邊長為4.點M和N分別從點8、C同時出發(fā)，以相同的速度沿8C、

C。方向向終點C和。運動，連接4M和BM交于點P.求△AP8周長的最大值.

圖①圖②

【分析】(1)結(jié)論：AMA.BN.只要證明即可解決問題；

(2)如圖②中，以A8為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB,NAEB=90°,作EFJ_用于F,作EG_L

PB于G,連接EP.首先證明玄+P2=2EF,求出EF的最大值即可解決問題；

【解答】解：(1)結(jié)論：AM1BN.

理由：如圖①中，

圖①

:四邊形ABCD是正方形,

：.AB=BC,NABM=NBCN=90°,

,:BM=CN,

二△ABMmWCN,

：./CBN,

,:NCBN+NABN=9b°,

：.ZABN+ZBAM=90°,

乙4尸8=90°,

：.AM±BN.

(2)如圖②中，以48為斜邊向外作等腰直角三角形△AE8,NAEB=9Q°,作EF_L以于尸，作EG_L

PB于G,連接EP.

N

:NEFP=NFPG=NG=90°,

四邊形EFPG是矩形，

:.NFEG=NAEB=90°,

NAEF=NBEG,

；EA=EB,NEFA=NG=90°,

:.2AE乂/XBEG,

：.EF=EG,AF=BG,

四邊形EFPG是正方形，

：.PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF,

"：EF^AE,

:.EF的最大值=AE=2近,

周長的最大值=4+4位.

22.(2022春?東坡區(qū)校級月考)正方形ABC。中，E、尸是上的兩個點，AE^DF,連CB交80于點

M,連AM交BE于點、N,連接￡W.如果正方形的邊長為2.

(1)求證：BELAM；

(2)求。N的最小值.

【分析】正方形的性質(zhì)：正方形的四邊相等，正方形的對角線平分對角，直角三角形斜邊的中線等于斜

邊的一半；兩點之間，線段最短；三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì).欲證BELAM,只需證明4

ABN為及△,也就等價于易知NABE=NDCF,于是只需證明NOCF=/D4M.過了

這一關(guān)，求極值的問題也就非常簡單了.

【解答】（1）證：???四邊形ABC￡＞為正方形，

：.AB=DC,NBAE=NCDF=90°,

又AE=QF,

.,.△ABE也△DCF,

二NABE=ZDCF,

,:BD是正方形ABCD的對角線，

4CDM=ZADM,

：.NDCM=ZDAM,

：.ZABE=ZDAM,

：.ZABE+ZBAM^ZDAM+BAM-=90°,

，/ANB=90°,

則BE±AM；

(2)解：取AB中點尸，連PN、PD,

由(1)知：XABN、△4PO均為直角三角形,

PN=豹8=1,PD=>JAD2+AP2=V5,

：.DN^PD-PN=V5-1,

則的最小值為的-1.

23.（2022?黃埔區(qū)模擬）如圖，在邊長為4的菱形ABC。中，BD=4,E、尸分別是40、C￡＞上的動點（包

含端點），S.AE+CF=4,連接BE、EF、FB.

（1）試探究BE與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）求E尸的最大值與最小值.

【分析】（1）由在邊長為4的菱形A8CO中，80=4,易得△A8。、△CB。都是邊長為4的正三角形,

繼而證得△8DE絲ABC尸(SAS),則可證得結(jié)論；

(2)由△8OE絲△8CF,易證得△8EF是正三角形，繼而可得當(dāng)動點E運動到點?；螯cA時，BE的最

大，當(dāng)8EJ_AO,即E為AO的中點時，8E的最小.

【解答】解:(1)BE=BF,證明如下:

?.?四邊形ABC。是邊長為4的菱形，BD=4,

.,.△ABO、ACBD都是邊長為4的正三角形，

；AE+CF=4,

，CF=4-AE=AD-AE=DE,

又,：BD=BC=4,NBDE=NC=60°,

在△8OE和△8CF中，

DE=CF

乙BDE=Z.C?

BD=BC

:?/\BDE畛ABCF(SAS),

:.BE=BF；

(2)?:ABDE%/XBCF,

:?/EBD=/FBC,

：.NEBD+NDBF=NFBC+NDBF,

；?NEBF=NDBC=60°,

XVBE=BF,

??.△3EE是正三角形，

：.EF=BE=BF,

當(dāng)動點E運動到點D或點4時，BE的最大值為4,

當(dāng)BELAO,即E為4。的中點時，8E的最小值為26，

,:EF=BE,

尸的最大值為4,最小值為2b.

24.(2022春?洪山區(qū)期中)如圖1,E,尸是正方形ABCD的邊上兩個動點，滿足AE=OR連接C尸交

BO于G,連接8E交AG于點”

(1)求證：AGLBE；

(2)如圖2,連。H,若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是，花-2_.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=CQ,ZBAD=ZADC=90Q,ZADB=ZCDB=45°,然后

利用“邊角邊”證明△A3E和△Z)CF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NA8E=/Z)CF,再利用“邊

角邊”證明△AOG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得從而得到N4BE

=ZDAG,再根據(jù)ND4G+/B4，=90°求出N8AE+NBA”=90°,然后求出/A”B=90°,再根據(jù)垂

直的定義證明；

(2)取AB的中點0,連接0〃、0H,利用勾股定理列式求出。力，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半求出0”，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出0、。、”三點共線時，?！弊钚?

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=CD,N8AO=NADC=90°,ZADB=ZCDB=45°,

在aABE和△￡>(7尸中，

AB=CD

乙BAD=Z.ADC,

AE=DF

：./\ABE^/\DCF(SAS),

JNABE=NDCF,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

乙ADB=乙CDB?

DG=DG

???△ADGm4CDG(SAS),

；?NDAG=NDCF,

???ZABE=ZDAG,

ZDAG+ZBAH=90°,

：.ZBAE+ZBAH=90°,

/.ZAHB=90°,

：.AGLBE；

(2)取AB的中點O,連接O。、OH,

???正方形的邊長為4,

：.AO=OH=-x4^2,

2

由勾股定理得，OD=V42+22=2V5,

由三角形的三邊關(guān)系得，。、D、”三點共線時，OH最小,

DH—2V5—2.

故答案為：2病一2.

25.(2022?寧德)如圖，四邊形A3CQ是正方形，aABE是等邊三角形，M為對角線8。(不含8點)上

任意一點，將繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到連接EMAM.CM.

(1)求證：4AMB公AENB；

(2)①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最?。?/p>

②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為8+1時，求正方形的邊長.

【分析】(1)由題意得NABN=15：所以NEBN=45°,容易證出△AM8四△ENB；

(2)①根據(jù)“兩點之間線段最短”，可得，當(dāng)M點落在8。的中點時，AM+C例的值最??；

②根據(jù)“兩點之間線段最短”，當(dāng)M點位于8。與CE的交點處時，AM+8M+CM的值最小，即等于EC

的長(如圖)：

(3)作輔助線，過E點作EF_LBC交的延長線于凡由題意求出/E8F=30°,設(shè)正方形的邊長為

x,在RtaEFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為魚.

【解答】(1)證明：???△ABE是等邊三角形，

：.BA=BE,NABE=60°.

60°,

NMBN-NABN=NABE-ZABN.

即/M8A=NNBE.

又,：MB=NB,

：./XAMB^/XENB(SAS).

(2)解：①當(dāng)M點落在8。的中點時，4、M、C三點共線，AM+CM的值最小.②如圖，連接CE,當(dāng)

M點位于BD與CE的交點處時，

AM+BM+CM的值最小，

理由如下：連接MN,由(1)知，/XAMB烏AENB,

：.AM=EN,

VZMB7V=6O°,MB=NB,

...△BMN是等邊三角形.

:.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，若E、N、M、C在同一條直線上時，EN+MN+CM取得最小值，最小

值為EC.

在△A8W和△CBM中，

AB=CB

4aBM=4cBM,

.BM=BM

.,.△ABM絲△CBM(SAS),

:.NBAM=NBCM,

：.ZBCM=ZBEN,

；EB=CB,

若連接EC,則/BEC=ZBCE,

:/BCM=NBCE,NBEN=ZBEC,

：.M,N可以同時在直線EC上.

二當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.

(3)解：過E點作EFJLBC交C8的延長線于F,

:.NEBF=NABF-NABE=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長為x,則8尸=烏;，EF=

22

在RtAfFC中，

'：EF2+FC2^EC2,

,2+(y.r+x)2=(V3+I)2.

解得Xl=&，X2=-V2(舍去負值).

...正方形的邊長為近.

26.(2022?南充模擬)如圖，M,N是正方形A8C。的邊CD上的兩個動點，滿足CM=￡W,AC,8M相

交于點E,OE與AN相交于點F,連接CF.

(1)求證：DE工AN.

(2)若正方形A8C。的邊長為4,求CF的最小值.

D

E

B

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△BCMgAWN和△BCEg/XOCE,得到NCOE=NM4。，因此

ZDAN+ZADF=ZCDE+ZADF=90°,進而求證；

(2)取AO中點P,連接PRCP,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出尸尸的長度，根

據(jù)勾股定理求出CP的長度，根據(jù)C臼FP2CP,即可求得.

【解答】(1)證