




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
專題18.8四邊形中的最值問題專項(xiàng)訓(xùn)練(30道)
【人教版】
考卷信息:
本套訓(xùn)練卷共30題,選擇10題,填空10題,解答10題,題型針對(duì)性較高,覆蓋面廣,選題有深度,可強(qiáng)化學(xué)
生對(duì)四邊形中最值問題模型的記憶與理解!
一.選擇題(共10小題)
1.(2022春?重慶期末)如圖,矩形A8CD中,AB=2遮,BC=6,P為矩形內(nèi)一點(diǎn),連接力,PB,PC,
則氏+PB+PC的最小值是()
A.48+3B.2V21C.2V3+6D.4V5
【分析】將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△£/(,連接PF、AE、AC,則AE的長(zhǎng)即為所求.
【解答】解:將△8PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△£人7,連接尸尸、AE.AC,則AE的長(zhǎng)即為所求.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:△PFC是等邊三角形,
:.PC=PF,
:.PA+PB+PC^PA+PF+EF,
...當(dāng)4、P、F、E共線時(shí),出+尸8+PC的值最小,
,?,四邊形A8CQ是矩形,
???NA8C=90°,
:.AC=y/AB2+BC2=4V3,
?*?AC=2AB,
,NAC8=30°,AC=2AB=4V3,
'."ZBCE=60°,
.?./ACE=90°,
:.AE=J(46)2+62=2>/21,
故選:B.
2.(2022?浦橋區(qū)校級(jí)模擬)如圖,平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C,A8=4,AC=3,以BC為對(duì)角線作正方形BDCE,
連接A。,則AO的最大值是()
Ec
A.5B.7C.7V2D.1V2
【分析】如圖將△BOA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知:A8=CM=4,04=
DM.乙4£>M=90°,推出△4OM是等腰直角三角形,推出推出當(dāng)AM的值最大時(shí),4。的
值最大,利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題:
【解答】解:如圖將△8D4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COM.
Hz
由旋轉(zhuǎn)不變性可知:AB=CM=4,DA=DNI.ZADM=90°,
...△AOM是等腰直角三角形,
:.AD=專AM,
...當(dāng)AM的值最大時(shí),AO的值最大,
":AM^AC+CM,
:.AM^7,
:.AM的最大值為7,
?'?AD的最大值為,2,
故選:D.
3.(2022春?中山市期末)如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形ABC。中,E是對(duì)角線8。上一點(diǎn),且BE=BC,點(diǎn)
P是CE上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到邊8力,8c的距離之和PM+PN的值()
B.有最小值日a
C.是定值4D.是定值
【分析】連接8P,作£尸,8c于點(diǎn)凡由正方形的性質(zhì)可知△BEF為等腰直角三角形,BE=a,可求EF,
利用面積法得SBPE+S&BPC=S/\BEC)將面積公式代入即可.
【解答】解:如圖,連接8P,作EF_L8C于點(diǎn)尸,則NEFB=90°,
:正方形的性質(zhì)可知/EBF=45°,
...△5EF為等腰直角三角形,
???正方形的邊長(zhǎng)為小
:.BE=BC=a,
:.BF=EF=與EB=ya,
,:PMLBD,PNLBC,
S2BPE^S4BPC=SdBEC,
:.-BEXPM+-BCXPN=-BCXEF,
222
,:BE=BC,
:.PM+PN=EF=
2
則點(diǎn)P到邊BD,BC的距離之和PM+PN的值是定值岑
故選:D.
4.(2022春?三門峽期末)如圖,在矩形A8C。中,AB=2,AD=l,E為A8的中點(diǎn),F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)、,
戶為QF中點(diǎn),連接尸8,則P8的最小值是()
A.2B.4C.V2D.2>/2
【分析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段PxPi,再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí),
尸8取得最小值;由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知gPJLBA,故8P的最小值為8Pl的長(zhǎng),由勾股
定理求解即可.
【解答】解:如圖:
當(dāng)點(diǎn)廠與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)P在P處,CPI=OPI,
當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí),點(diǎn)P在P2處,EP2=DP2,
.?.PIP2〃C£^PP2=#E.
當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、£的位置處時(shí);有DP=FP.
由中位線定理可知:P/〃CE且尸iP=^CF.
.?.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段PR,
...當(dāng)8PJ_PP2時(shí),PB取得最小值.
:矩形A8CD中,AB=2,AD=\,E為AB的中點(diǎn),
:ACBE、△AQE、△BCR為等腰直角三角形,CP,=1.
:.NADE=NCDE=NCPiB=45°,NOEC=90°.
.?./OP2Pl=90°.
,NOPIP2=45°.
O
.".ZP2PIB=90,即8Pl_LP,2,
.?.8P的最小值為BPI的長(zhǎng).
在等腰直角BCPi中,CP尸BC=l.
:.BPt=V2.
...PB的最小值是企.
故選:C.
5.(2022春?濱湖區(qū)期末)如圖,已知菱形A8CD的面積為20,邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)P、。分別是邊BC、CD1.
的動(dòng)點(diǎn),且PC=CQ,連接P。、AQ,則PO+AQ的最小值為()
A.4V5B.V89C.10D.7^2
【分析】過點(diǎn)力作8c于點(diǎn)M,延長(zhǎng)A例到點(diǎn)4',使4'根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可
得8M=3,以點(diǎn)8為原點(diǎn),BC為x軸,垂直于BC方向?yàn)閥軸,建立平面直角坐標(biāo)系,可得8(0,0),
A(3,4),C(5,0),。(8,4),A'(3,-4),然后證明△ABP安△A。。(SAS),可得AP=
AQ=A'P,連接A'D,AP,A'P,由A'P+PD>A'D,可得A',P,力三點(diǎn)共線時(shí),PD+A'P取
最小值,所以PO+A。的最小值=H)+A'P的最小值=A'D,利用勾股定理即可解決問題.
【解答】解:如圖,過點(diǎn)A作AM_L8c于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AM到點(diǎn)A',使A'M=AM,
;四邊形ABC。是菱形,
:.AB=BC=AD=5,ZABC=ZADC,
:菱形ABCZ)的面積為20,邊長(zhǎng)為5,
在Rt2\ABM中,根據(jù)勾股定理得:
BM=\/AB2-AM2=3,
以點(diǎn)8為原點(diǎn),BC為x軸,垂直于BC方向?yàn)閥軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
:.B(0,0),A(3,4),C(5,0),D(8,4),Af(3,-4),
■:PC=CQ,BC=CD,
:.BP=DQ,
在△A5P和△AOQ中,
AB=AD
乙ABC=Z.ADC,
BP=DQ
:./\ABP^AADQ(SAS),
:.AP=AQ=A'P,
連接A'D,AP,A1尸,
,:及P+PD>A'D,
:.Ar,P,。三點(diǎn)共線時(shí),PD+AfP取最小值,
..,。+4。的最小值=2。+4'尸的最小值=A'D=J(8-3>+(4+4產(chǎn)=倆.
故選:B.
6.(2022?泰山區(qū)一模)如圖,M、N是正方形ABCD的邊C£>上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AM=BN,連接AC交
BN于點(diǎn)、E,連接。E交AM于點(diǎn)尸,連接C尸,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段CF的最小值是()
A.2B.1C.V5-1D.V5-2
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,然后利用““心”證
明RtZ\A£>M和RtZYBCN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N1=N2,利用“SAS”證明△£>(“和
△BCE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N2=N3,從而得到/1=/3,然后求出NAF£>=90°,
取4。的中點(diǎn)。,連接OR0C,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。尸=/。=1,利用
勾股定理列式求出0C,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)0、尺C三點(diǎn)共線時(shí),CT的長(zhǎng)度最小.
【解答】解:在正方形ABC。中,AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,
在RtAADM和Rt^BCN中,
(AD=BC
UM=BN'
:.Rt/\ADM^Rt^BCN(HL),
在△力CE和△BCE中,
BC=CD
Z-DCE=乙BCE,
£E=CE
??.△DCE/ABCE(SAS),
AZ2=Z3,
;.Z1=Z3,
VZA£>F+Z3=ZADC=90°,
AZ1+ZADF=9O°,
ZAFD=180°-90°=90°,
取A。的中點(diǎn)O,連接OF、OC,
則OF=DO=1,
在RtAODC中,OC=>/DO2+DC2=Vl2+22=瓜
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OF+CF>OC,
...當(dāng)0、F、C三點(diǎn)共線時(shí),CF的長(zhǎng)度最小,
最小值=OC-0尸=岔一1.
故選:C.
7.(2022?龍華區(qū)二模)如圖,已知四邊形4BCO是邊長(zhǎng)為4的正方形,E為上一點(diǎn),且。E=l,尸為
射線BC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EGLAF于點(diǎn)尸,交直線A8于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中:?AF=EG;②若N
B4F=NPC凡則尸C=PE;③當(dāng)/CP尸=45°時(shí),BB=1;④PC的最小值為VH-2.其中正確的有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【分析】連接4E,過E作于H,則E〃=8C,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到AF
=EG,故①正確;根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到PE=PC;故②正確;連接EF,
推出點(diǎn)E、P、F、C四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓周角定理得到/FEC=NFPC=45°,于是得到8Q=OE=1,同
理當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)右側(cè)時(shí),此時(shí)NFPC=45°,且EPC尸四點(diǎn)共圓,EC=FC=3,故此時(shí)"=8C+CF
=4+3=7.因此8尸=1或7,故③錯(cuò)誤;取AE的中點(diǎn)。,連接P。,CO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到
AO=PO=\AE,推出點(diǎn)P在以。為圓心,AE為直徑的圓上,當(dāng)OC最小時(shí),CP的值最小,根據(jù)三角形
的三邊關(guān)系得到PC^OC-OP,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
【解答】解:連接AE,過E作于H,
則EH=BC,
;AB=BC,
:.EH=AB,
':EG±AF,
:.ZBAF+ZAGP^ZBAF+ZAFB=9OQ,
:.NEGH=NAFB,
':ZB=ZEHG=90°,
,△HEGqAABF(AAS),
:.AF=EG,故①正確;
":AB//CD,
:.NAGE=NCEG,
ZBAF+ZAGP=9Q°,NPCF+NPCE=90°,
NBAF=NPCF,
ZAGE=ZPCE,
:.NPEC=ZPCE,
:.PE=PC;故②正確;
連接EF,
;NEPF=NFCE=90°,
...點(diǎn)E、P、F、C四點(diǎn)共圓,
:.ZFEC=ZFPC=45°,
:.EC=FC,
:.BF=DE=\,
同理當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)右側(cè)時(shí),此時(shí)/FPC=45°,且E、P、C、F四點(diǎn)共圓,EC=FC=3,故此時(shí)8尸
=BC+CF=4+3=7.因此BF=1或7,故③錯(cuò)誤;
取AE的中點(diǎn)。,連接尸O,C0,
:.AO=PO=^AE,
VZAPE=90°,
.,.點(diǎn)尸在以。為圓心,AE為直徑的圓上,
..,當(dāng)0C最小時(shí),CP的值最小,
,:PCN0C-0P,
:.PC的最小值=0C-0P=0C-^AE,
':0C=J22+1)2=苧,在RtAADE中,AE=V42+l2=V17,
'.PC的最小值為季-9,故④錯(cuò)誤,
故選:B.
8.(2022?南平校級(jí)自主招生)如圖,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,尸為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(且點(diǎn)
P不與點(diǎn)B、C重合),PE_LAB于E,P尸J_AC于尸.則E尸的最小值為()
A.4B.4.8C.5.2D.6
【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEA尸是矩形;連接物,則孫=EF,所以要使EF,即網(wǎng)最
短,只需即可;然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得以的值.
【解答】解:如圖,連接以.
?.?在△ABC中,AB=6,AC=8,8c=10,
:.BC2=AB2+AC2,
:.ZA=90°.
又,?PE1AB于點(diǎn)E,PF1.AC于點(diǎn)R
AZAEP=ZAFP=90°,
四邊形PEAF是矩形.
J.AP^EF.
二當(dāng)BA最小時(shí),E尸也最小,
即當(dāng)AP_LCB時(shí),用最小,
':-AB'AC=-BC'AP,即AP=絲型=幽=4.8,
22BC10
線段EF長(zhǎng)的最小值為4.8;
故選:B.
9.(2022春?崇川區(qū)期末)如圖,正方形ABCQ邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別是邊8C,C。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
BE=CF,連接BF,DE,則8F+OE的最小值為()
A.V2B.V3C.V5D.V6
【分析】連接AE,利用△ABE絲△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得至UBF+DE^AE+DE,則通過作A點(diǎn)關(guān)于BC時(shí)稱
點(diǎn)“,連接?!苯?c于E點(diǎn),利用勾股定理求出。〃長(zhǎng)即可.
【解答】解:連接AE,如圖1,
四邊形ABCD是正方形,
:.AB=BC,NABE=NBCF=9Q°.
又BE=CF,
:.△ABEgABCF(SAS).
:.AE=BF.
所以8P+DE最小值等TAE+OE最小值.
作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)HE,如圖2,
連接2”,則A、B、”三點(diǎn)共線,
連接。,與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn).
根據(jù)對(duì)稱性可知AE="E,
所以AE+£>E=Q〃.
在RtZ\A£>H中,AD=],AH=2,
:.DH=y/AH2+AD2=V5,
.,.3F+OE最小值為VI
故選:C.
10.(2022?泰州)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn),以DE為一邊作正方形DEFG.設(shè)
DE=di,點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為42、dy,則4+芯+“3的最小值為()
C.2V2D.4
【分析】連接AE,那么,AE=CG,所以這三個(gè)d的和就是AE+EF+尸C,所以大于等于AC,故當(dāng)4E“
四點(diǎn)共線有最小值,最后求解,即可求出答案.
【解答】解:如圖,連接AE,
?.?四邊形DEFG是正方形,
ZEDG=90°,EF=DE=DG,
?.?四邊形A8CD是正方形,
:.AD=CD,N4L>C=9(T,
ZADE=ZCDG,
:./\ADE//\CDG(SAS),
:.AE=CG,
d\+d?+d3=EF+CF+AE,
,點(diǎn)A,E,F,。在同一條線上時(shí),£b+CF+AE最小,即力+豆+為最小,
連接AC,
.*.4+4+&最小值為AC,
在RtZUBC中,AC=&AB=20,
:.d\+d2+d3最小=AC=26,
故選:C.
二.填空題(共10小題)
11.(2022春?江城區(qū)期末)如圖,NMON=90°,矩形ABC。的頂點(diǎn)A、8分別在邊OM、ON上,當(dāng)5
在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在上運(yùn)動(dòng),矩形A8CZ)的形狀保持不變,其中AB=6,BC—2.運(yùn)動(dòng)過
程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是3+713.
【分析】取A3的中點(diǎn)E,連接OZXOESE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=
利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點(diǎn)E時(shí)最大.
【解答】解:如圖:取線段A8的中點(diǎn)E,連接OE,DE,OD,
B
?:AB=6,點(diǎn)E是48的中點(diǎn),NAO8=90°,
:.AE=BE=3=0E,
:四邊形ABCQ是矩形,
:.AD=BC^2,NDAB=90°,
:.DE=>JAE2+AD2=A,
;ODWOE+DE,
當(dāng)點(diǎn)力,點(diǎn)E,點(diǎn)。共線時(shí),。。的長(zhǎng)度最大.
/.點(diǎn)D到點(diǎn)0的最大距離=0E+QE=3+g,
故答案為:3+V13.
12.(2022?東莞市校級(jí)一模)如圖,在矩形A8C£>中,AB=6,40=5,點(diǎn)尸在40上,點(diǎn)。在BC上,
S.AP=CQ,連接CP,QD,則PC+。。的最小值為13.
【分析】連接8P,在8A的延長(zhǎng)線上截取AE=A8=6,連接PE,CE,PC+QD=PC+PB,貝ljPC+。。的
最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值,在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=6,則PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,
根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.
:四邊形ABCQ是矩形,
:.AD//BC,AD=BC,
\"AP=CQ,
:.AD-AP=BC-CQ,
:.DP=QB,DP//BQ,
:.四邊形DPBQ是平行四邊形,
:.PB//DQ,PB=DQ,
:.PC+QD^PC+PB,
C.PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值,
如圖,在區(qū)4的延長(zhǎng)線上截取AE=A8=6,連接PE,CE,
孫是8E的垂直平分線,
:.PB=PE,
:.PC+PB=PC+PE,
:.PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,
':BE=2AB=\2,BC=AD=5,
:.CE=>1BE2+BC2=13.
:.PC+PB的最小值為13.
...PC+。。的最小值為13.
故答案為:13.
13.(2022?錢塘區(qū)一模)如圖,在矩形A8C。中,線段EF在AB邊上,以EF為邊在矩形A8CD內(nèi)部作正
方形EFGH,連結(jié)AH,CG.若4B=10,AO=6,EF=4,則AH+CG的最小值為6〉.
【分析】方法一:延長(zhǎng)D4至A',使4'A=E"=EF=4,連接A'E,EG,可得四邊形44'EH是平
行四邊形,所以A'E=AH,則AH+CG的最小值即為A'E+CG的最小值,根據(jù)勾股定理即可解決問題.方
法二:過點(diǎn)G作GA'〃A”交AF于點(diǎn)A',可得四邊形A/7GA'是平行四邊形,進(jìn)而可以解決問題.
【解答】解:方法一:如圖,延長(zhǎng)D4至A',使A'4=EH=EF=4,連接A'E,EG,
':HELAB,AA'LAB,
:.AA'//EH,
VA/A=EH,
四邊形AA'EH是平行四邊形,
E=AH,
則AH+CG的最小值即為4'E+CG的最小值,
;四邊形EFGH是正方形,
:.EF=FG=4,
:.EG=4\[2,
D=AD+AA'=6+4=10,
在RtZiA'DC中,DC=AB=10,
.",C=yjA'D2+DC2=10V2,
"E+CG=A'C-£G=6V2.
則AH+CG的最小值為6V2.
方法二:如圖,過點(diǎn)G作GA'〃AH交AB于點(diǎn)4',
AEA'FB
四邊形A//GA'是平行四邊形,
=HG=4,A'G=AH,
=6,
,:BC=6,
:.A'C=6V1
:.AH+CG^A'G+CG2A'C,
則AH+CG的最小值為6V2.
故答案為:6V2.
14.(2022春?東城區(qū)期中)在正方形ABC£>中,AB=5,點(diǎn)E、尸分別為A。、A8上一點(diǎn),KAE=AF,
連接BE、CF,貝ljBE+CF的最小值是575.
【分析】連接OF,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明(SAS),可得DF=BE,作點(diǎn)。關(guān)于A8的
對(duì)稱點(diǎn)O',連接CQ'交48于點(diǎn)尸,連接O'F,則£>F=。'F,可得5E+CF=CF+CF=D'F+CF
2cO',所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)F'重合時(shí),D'F+CF最小,最小值為C?!拈L(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理即可解
決問題.
【解答】解:如圖,連接QF,
?.?四邊形ABCO是正方形,
:.AD=AB,^BAE=ZDAF=90°,
在△AOF和△A8E中,
AD=AB
乙FAD=Z-EAB^
AF=AE
:.^ADF^/XABE(SAS),
:,DF=BE,
作點(diǎn)。關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)/)',連接C。'交AB于點(diǎn)F',連接力'F,則。尸=D'F,
:.BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CD',
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)尸重合時(shí),D'F+CF最小,最小值為C?!拈L(zhǎng),
在RtZ\C£>。中,根據(jù)勾股定理得:
CD'=>JCD2+DD'2=V52+102=5V5,
.?.3E+CF的最小值是5花.
故答案為:5V5.
15.(2022春?虎林市期末)如圖,在RtZ\ABC中,/BAC=90°,且BA=12,AC=16,點(diǎn)。是斜邊BC
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)。分別作OEJ-AB于點(diǎn)E,。尸_L4C于點(diǎn)尸,點(diǎn)G為四邊形OE4尸對(duì)角線交點(diǎn),則
線段GF的最小值為三
【分析】由勾股定理求出8c的長(zhǎng),再證明四邊形OE4F是矩形,可得根據(jù)垂線段最短和三角
形面積即可解決問題.
【解答】解:連接A。、EF,
VZBAC=90°,且BA=9,AC=\2,
:.BC=>JAB2+AC2=V122+162=20,
':DELAB,DF±AC,
:.ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,
四邊形OE4F是矩形,
:.EF=AD,
:.當(dāng)ADLBC時(shí),AD的值最小,
此時(shí),△A8C的面積=/8XAC=]8CXA£),
...12X16=20X0,
.?,AsD=一48
5
的最小值為
?.?點(diǎn)G為四邊形。EA尸對(duì)角線交點(diǎn),
:.GF=^EF=~
故答案為:號(hào).
16.(2022?浦橋區(qū)校級(jí)三模)在菱形ABCD中,ZD=60°,CD=4,E為菱形內(nèi)部一點(diǎn),且AE=2,連
接CE,點(diǎn)F為CE中點(diǎn),連接BF,取BF中點(diǎn)G,連接AG,則AG的最大值為:+V7.
【分析】先根據(jù)題目條件中的中點(diǎn)可聯(lián)想中位線的性質(zhì),構(gòu)造中位線將。尸和GH的長(zhǎng)度先求出來,再
利用三角形的三邊關(guān)系判斷,當(dāng)AG=AH+HG時(shí)最大.
【解答】解:如圖所示:連接8。交AC于點(diǎn)O,連接尸O,取08的中點(diǎn)H,連接HG和AH,
:在菱形ABCO中,
二。為AC中點(diǎn),
:尸為CE中點(diǎn),
:.OF=-AE=l,
2
當(dāng)C、F、E、A共線時(shí),OF也為1,
:G為BF中點(diǎn)、H為OB中點(diǎn),
:.GH=-OF=
22
,在菱形ABC。中且NO=60°,
/.ZABO=-ZABC=-ZADC=30°,N8OA=90°,
22
:.0A=-AB=2,
2
:.0B=俯-22=2y/3,
:.0H=V3,
:.AH=J22+(V3)2=V7,
':AG^:AH+HG,
:.AG<^+y/7,
...AG的最大值為1+V7.
故答案為:1+V7.
17.(2022春?靖江市校級(jí)期末)如圖,線段A8的長(zhǎng)為10,點(diǎn)。在48上,ZXAC。是邊長(zhǎng)為3的等邊三角
形,過點(diǎn)。作與CD垂直的射線OP,過。P上一動(dòng)點(diǎn)G(不與。重合)作矩形C£>GH,記矩形CDG”
的對(duì)角線交點(diǎn)為O,連接。8,則線段BO的最小值為5.
【分析】連接40,根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分得:OC=OD,再證明△ACO絲AWO,則N0A8=
30°;點(diǎn)。一定在NCA8的平分線上運(yùn)動(dòng),根據(jù)垂線段最短得:當(dāng)OBLAO時(shí),OB的長(zhǎng)最小,根據(jù)直
角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論.
【解答】解:連接4。,
:四邊形COGH是矩形,
:.CG=DH,OC=iCG,OD=他H,
:.OC=OD,
:△ACO是等邊三角形,
:.AC=AD,ZCAD=60°,
在△ACO和△A/)0中,
(AC=AD
MO=40,
\CO=DO
:./\ACO^^ADO(SSS),
:.ZOAB=ZCAO=30°,
...點(diǎn)。一定在NC48的平分線上運(yùn)動(dòng),
...當(dāng)O8_LAO時(shí),08的長(zhǎng)度最小,
,:ZOAB=30°,NAOB=90°,
.?.O8=l8=[xl0=5,
即OB的最小值為5.
故答案為:5.
18.(2022春?鄲都區(qū)期末)如圖,在矩形4BCD中,AB=4,AO=8,點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),作點(diǎn)B關(guān)
于AE的對(duì)稱點(diǎn)F,連接CF,點(diǎn)P為CF中點(diǎn),則。P的最小值為,b一2_.
【分析】根據(jù)勾股定理和三角形中位線,可以得到OP的長(zhǎng)和OD的長(zhǎng),然后再根據(jù)圖形可知當(dāng)點(diǎn)P在
線段0。上時(shí),DP取得最小值,然后計(jì)算即可.
【解答】解:連接AC、8。交于點(diǎn)。,連接AF,0P,
:四邊形ABC。是矩形,ZBAD=90°,AB=4,AO=8,
...點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),BD=^AB2+AD2=4瓜
又?.?點(diǎn)P是CF的中點(diǎn),
0P是△CAF的中位線,
?點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F,A8=4,
:.AF=4,
:.0P=2,
,:BD=45
:.。。=2限
VOP+DP>OD,0P=2,ODS
當(dāng)點(diǎn)P在。。上時(shí),DP取得最小值,此時(shí)DP=OD-0P=2相-2,
故答案為:2病—2.
P為。F中點(diǎn),連接PB,則PB的最小值是,巡
【分析】取DE中點(diǎn)P,取0c中點(diǎn)P",根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P8,再根
據(jù)垂線段最短可得當(dāng)8PLP/2時(shí),P8取得最小值,由勾股定理求解即可.
【解答】解:如圖:取OE中點(diǎn)尸',
;「為DF中點(diǎn),
:.P'P//EC,
取0c中點(diǎn)P",
?./為。尸中點(diǎn),
:.P"P//EC,
;.P,P',P"三點(diǎn)在同一條直線上,
.?.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段PP",
...當(dāng)P"時(shí),PB取得最小值.
過點(diǎn)B作8G1.EC于點(diǎn)G,過尸"作P"MLEC于點(diǎn)M,
.?.PB的最小值=BG+P"M,
.矩形A8CO中,A8=4,E為A8的中點(diǎn),
;.AE=BE=2,
,.,BC=An=2百,
;.DE=CE=卜2+(2V3)2=4,
■:AB=CD=4,
...△EOC是等邊三角形,
:.ZP"CM=60°,
\'CP"=2,
:.CM=\,
:.P"M=V3,
':ED=EC,AE=BE,AD^=BC,
.?.△CBEZzMDE(SSS),
:.NDEA=NCEB,
VZDEC=60°.
:.NBEG=60".
':BE=2,
:.BP=P"M+BG=2q
.?.P8的最小值是2?
故答案是:26.
20.(2022春?如東縣期中)如圖,已知AB=2",C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AC,CB為邊在
AB的同側(cè)作菱形4cM和菱形C8GF,點(diǎn)C,E,尸在一條直線上,/。=120°.P、。分別是對(duì)角線
AE,的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在線段48上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)P,。之間的距離最短為_當(dāng)_(結(jié)果保留根號(hào)).
【分析】連接QC、PC.首先證明NPCQ=90°,設(shè)AC=2a,貝ijBC=2y[2-2a,PC=a,CQ=V3(V2-a).構(gòu)
建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
【解答】解:連接PC、CQ.
G
:四邊形ACED,四邊形CBGF是菱形,ZD=120°,
/.ZACE=120°,/FCB=6。",
VP,。分別是對(duì)角線4E,8F的中點(diǎn),
ZECP=-ZACE,ZFCQ=-ZBCF,
2匕2
:.ZPCQ=90°,
設(shè)AC=2a,則BC=2a-2。,PC=a,CQ=yBC=V3(V2-a).
:.PQ=yjPC2+QC2=Ja2+3(V2-a)2=J4(a-^)2+|.
當(dāng)。=平時(shí),點(diǎn)P,。之間的距離最短,最短距離是苧.
解法二:連接CO、CG、DG,構(gòu)造中位線解決,當(dāng)力G與A。或8G垂直時(shí),取最值.
故答案為:冬
三.解答題(共10小題)
21.(2022?禹城市二模)(1)如圖①,已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)/和N分別是邊BC,8上兩
點(diǎn),且BM=CN,連4例和BN,交于點(diǎn)P.猜想AM與BN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)如圖②,已知正方形438的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)8、C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿8C、
C。方向向終點(diǎn)C和。運(yùn)動(dòng),連接4M和BM交于點(diǎn)P.求△AP8周長(zhǎng)的最大值.
圖①圖②
【分析】(1)結(jié)論:AMA.BN.只要證明即可解決問題;
(2)如圖②中,以A8為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB,NAEB=90°,作EFJ_用于F,作EG_L
PB于G,連接EP.首先證明玄+P2=2EF,求出EF的最大值即可解決問題;
【解答】解:(1)結(jié)論:AM1BN.
理由:如圖①中,
圖①
:四邊形ABCD是正方形,
:.AB=BC,NABM=NBCN=90°,
,:BM=CN,
二△ABMmWCN,
:./CBN,
,:NCBN+NABN=9b°,
:.ZABN+ZBAM=90°,
乙4尸8=90°,
:.AM±BN.
(2)如圖②中,以48為斜邊向外作等腰直角三角形△AE8,NAEB=9Q°,作EF_L以于尸,作EG_L
PB于G,連接EP.
N
:NEFP=NFPG=NG=90°,
四邊形EFPG是矩形,
:.NFEG=NAEB=90°,
NAEF=NBEG,
;EA=EB,NEFA=NG=90°,
:.2AE乂/XBEG,
:.EF=EG,AF=BG,
四邊形EFPG是正方形,
:.PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF,
":EF^AE,
:.EF的最大值=AE=2近,
周長(zhǎng)的最大值=4+4位.
22.(2022春?東坡區(qū)校級(jí)月考)正方形ABC。中,E、尸是上的兩個(gè)點(diǎn),AE^DF,連CB交80于點(diǎn)
M,連AM交BE于點(diǎn)、N,連接£W.如果正方形的邊長(zhǎng)為2.
(1)求證:BELAM;
(2)求。N的最小值.
【分析】正方形的性質(zhì):正方形的四邊相等,正方形的對(duì)角線平分對(duì)角,直角三角形斜邊的中線等于斜
邊的一半;兩點(diǎn)之間,線段最短;三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì).欲證BELAM,只需證明4
ABN為及△,也就等價(jià)于易知NABE=NDCF,于是只需證明NOCF=/D4M.過了
這一關(guān),求極值的問題也就非常簡(jiǎn)單了.
【解答】(1)證:???四邊形ABC£>為正方形,
:.AB=DC,NBAE=NCDF=90°,
又AE=QF,
.,.△ABE也△DCF,
二NABE=ZDCF,
,:BD是正方形ABCD的對(duì)角線,
4CDM=ZADM,
:.NDCM=ZDAM,
:.ZABE=ZDAM,
:.ZABE+ZBAM^ZDAM+BAM-=90°,
,/ANB=90°,
則BE±AM;
(2)解:取AB中點(diǎn)尸,連PN、PD,
由(1)知:XABN、△4PO均為直角三角形,
PN=豹8=1,PD=>JAD2+AP2=V5,
:.DN^PD-PN=V5-1,
則的最小值為的-1.
23.(2022?黃埔區(qū)模擬)如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。中,BD=4,E、尸分別是40、C£>上的動(dòng)點(diǎn)(包
含端點(diǎn)),S.AE+CF=4,連接BE、EF、FB.
(1)試探究BE與的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)求E尸的最大值與最小值.
【分析】(1)由在邊長(zhǎng)為4的菱形A8CO中,80=4,易得△A8。、△CB。都是邊長(zhǎng)為4的正三角形,
繼而證得△8DE絲ABC尸(SAS),則可證得結(jié)論;
(2)由△8OE絲△8CF,易證得△8EF是正三角形,繼而可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)?;螯c(diǎn)A時(shí),BE的最
大,當(dāng)8EJ_AO,即E為AO的中點(diǎn)時(shí),8E的最小.
【解答】解:(1)BE=BF,證明如下:
?.?四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的菱形,BD=4,
.,.△ABO、ACBD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形,
;AE+CF=4,
,CF=4-AE=AD-AE=DE,
又,:BD=BC=4,NBDE=NC=60°,
在△8OE和△8CF中,
DE=CF
乙BDE=Z.C?
BD=BC
:?/\BDE畛ABCF(SAS),
:.BE=BF;
(2)?:ABDE%/XBCF,
:?/EBD=/FBC,
:.NEBD+NDBF=NFBC+NDBF,
;?NEBF=NDBC=60°,
XVBE=BF,
??.△3EE是正三角形,
:.EF=BE=BF,
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)4時(shí),BE的最大值為4,
當(dāng)BELAO,即E為4。的中點(diǎn)時(shí),8E的最小值為26,
,:EF=BE,
尸的最大值為4,最小值為2b.
24.(2022春?洪山區(qū)期中)如圖1,E,尸是正方形ABCD的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=OR連接C尸交
BO于G,連接8E交AG于點(diǎn)”
(1)求證:AGLBE;
(2)如圖2,連。H,若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是,花-2_.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=CQ,ZBAD=ZADC=90Q,ZADB=ZCDB=45°,然后
利用“邊角邊”證明△A3E和△Z)CF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NA8E=/Z)CF,再利用“邊
角邊”證明△AOG和△CDG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得從而得到N4BE
=ZDAG,再根據(jù)ND4G+/B4,=90°求出N8AE+NBA”=90°,然后求出/A”B=90°,再根據(jù)垂
直的定義證明;
(2)取AB的中點(diǎn)0,連接0〃、0H,利用勾股定理列式求出。力,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于
斜邊的一半求出0”,再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出0、。、”三點(diǎn)共線時(shí),?!弊钚?
【解答】(1)證明:???四邊形ABC。是正方形,
:.AB=CD,N8AO=NADC=90°,ZADB=ZCDB=45°,
在aABE和△£>(7尸中,
AB=CD
乙BAD=Z.ADC,
AE=DF
:./\ABE^/\DCF(SAS),
JNABE=NDCF,
在△AOG和△COG中,
AD=CD
乙ADB=乙CDB?
DG=DG
???△ADGm4CDG(SAS),
;?NDAG=NDCF,
???ZABE=ZDAG,
ZDAG+ZBAH=90°,
:.ZBAE+ZBAH=90°,
/.ZAHB=90°,
:.AGLBE;
(2)取AB的中點(diǎn)O,連接O。、OH,
???正方形的邊長(zhǎng)為4,
:.AO=OH=-x4^2,
2
由勾股定理得,OD=V42+22=2V5,
由三角形的三邊關(guān)系得,。、D、”三點(diǎn)共線時(shí),OH最小,
DH—2V5—2.
故答案為:2病一2.
25.(2022?寧德)如圖,四邊形A3CQ是正方形,aABE是等邊三角形,M為對(duì)角線8。(不含8點(diǎn))上
任意一點(diǎn),將繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到連接EMAM.CM.
(1)求證:4AMB公AENB;
(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最??;
②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小,并說明理由;
(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為8+1時(shí),求正方形的邊長(zhǎng).
【分析】(1)由題意得NABN=15:所以NEBN=45°,容易證出△AM8四△ENB;
(2)①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,可得,當(dāng)M點(diǎn)落在8。的中點(diǎn)時(shí),AM+C例的值最??;
②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,當(dāng)M點(diǎn)位于8。與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+8M+CM的值最小,即等于EC
的長(zhǎng)(如圖):
(3)作輔助線,過E點(diǎn)作EF_LBC交的延長(zhǎng)線于凡由題意求出/E8F=30°,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為
x,在RtaEFC中,根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為魚.
【解答】(1)證明:???△ABE是等邊三角形,
:.BA=BE,NABE=60°.
60°,
NMBN-NABN=NABE-ZABN.
即/M8A=NNBE.
又,:MB=NB,
:./XAMB^/XENB(SAS).
(2)解:①當(dāng)M點(diǎn)落在8。的中點(diǎn)時(shí),4、M、C三點(diǎn)共線,AM+CM的值最小.②如圖,連接CE,當(dāng)
M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),
AM+BM+CM的值最小,
理由如下:連接MN,由(1)知,/XAMB烏AENB,
:.AM=EN,
VZMB7V=6O°,MB=NB,
...△BMN是等邊三角形.
:.BM=MN.
:.AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知,若E、N、M、C在同一條直線上時(shí),EN+MN+CM取得最小值,最小
值為EC.
在△A8W和△CBM中,
AB=CB
4aBM=4cBM,
.BM=BM
.,.△ABM絲△CBM(SAS),
:.NBAM=NBCM,
:.ZBCM=ZBEN,
;EB=CB,
若連接EC,則/BEC=ZBCE,
:/BCM=NBCE,NBEN=ZBEC,
:.M,N可以同時(shí)在直線EC上.
二當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(zhǎng).
(3)解:過E點(diǎn)作EFJLBC交C8的延長(zhǎng)線于F,
:.NEBF=NABF-NABE=90°-60°=30°.
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則8尸=烏;,EF=
22
在RtAfFC中,
':EF2+FC2^EC2,
,2+(y.r+x)2=(V3+I)2.
解得Xl=&,X2=-V2(舍去負(fù)值).
...正方形的邊長(zhǎng)為近.
26.(2022?南充模擬)如圖,M,N是正方形A8C。的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足CM=£W,AC,8M相
交于點(diǎn)E,OE與AN相交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:DE工AN.
(2)若正方形A8C。的邊長(zhǎng)為4,求CF的最小值.
D
E
B
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△BCMgAWN和△BCEg/XOCE,得到NCOE=NM4。,因此
ZDAN+ZADF=ZCDE+ZADF=90°,進(jìn)而求證;
(2)取AO中點(diǎn)P,連接PRCP,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出尸尸的長(zhǎng)度,根
據(jù)勾股定理求出CP的長(zhǎng)度,根據(jù)C臼FP2CP,即可求得.
【解答】(1)證
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 《探索未來之路》課件
- 無人機(jī)飛行道德試題與答案探討
- 《神經(jīng)外科B區(qū)手術(shù)》課件
- 裁判員如何保持中立性與公正性試題及答案
- 2024年模具設(shè)計(jì)師考試的價(jià)值與意義試題及答案
- 2024年農(nóng)作物種子繁育員考試的考前心態(tài)調(diào)整試題及答案
- 農(nóng)作物種子繁育員備考心得交流總結(jié)試題及答案
- 農(nóng)作物市場(chǎng)營(yíng)銷模式創(chuàng)新試題及答案
- 2024年游泳救生員資格考試的試題及答案概覽
- 成功備考農(nóng)業(yè)植保員試題及答案建議
- 國(guó)開電大《人文英語3》一平臺(tái)機(jī)考總題庫(kù)珍藏版
- 醫(yī)療技術(shù)分級(jí)與人員準(zhǔn)入授權(quán)管理制度
- 《撓撓小怪獸》小班韻律課件
- 民宿消防應(yīng)急預(yù)案方案范本
- 《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》教案設(shè)計(jì) 沈志榮公開課
- 大學(xué)軍事理論課教程第四章現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)第一節(jié) 戰(zhàn)爭(zhēng)概述
- 《人身保險(xiǎn)傷殘?jiān)u定標(biāo)準(zhǔn)》
- 管溝瀝青路面恢復(fù)施工方案
- 特發(fā)性血小板減少性紫癜ITP教學(xué)課件
- 同意未成年出國(guó)聲明 - 中英
- 小學(xué)作文教學(xué)-習(xí)作教學(xué)方法策略課件
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論