一輪復(fù)習(xí)理數(shù)版：第九單元 不等式

第九單元不等式

教材復(fù)習(xí)課“不等式”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)

不等式、一元二次不等式

[過(guò)雙基]

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>O^a>b9

(1)作差法a—b=O^a=b,

表10Q>>(〃￡R,>>0),

(2)作商法<卡=lOa=b(a￡R,加>0),

2.不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱(chēng)性：a>beb<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c^a>c；

(3)可加性：a>b^a+c>b+c；

a>b,c>d=>a+c>b+d；

(4)可乘性：a>b,c>0^ac>bc；

a>b>09c>d>0=>ac>bd；

(5)可乘方性：a>b>Q^an>bn(nN,%21);

(6)可開(kāi)方性：a>b>0=>y[a>y[b(nN,〃22).

3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式/=戶(hù)—4加J>0J=0J<0

二次函數(shù))=。/+

bx+c(〃>0)的圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)根X1=X2

有兩相異實(shí)根Xi，x

22

ax-\-bx+c=0(a>b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

(

X1<X2)一五

0)的根

ax2+bx+c>0(a>

租或XVX]JR

0)的解集{"-部

ax2+&x+c<0(a>

{xlx.VxViz}00

0)的解集

［小題速通］

1.若”》>0,則下列不等式中恒成立的是()

.bb+1B?〃+%+/

C.〃+￡>〃+；2a~\~ba

baD?a+2Z?>7

解析：選C由a>Z?O=>o2W今〃+：>>+',故選C.

2.設(shè)M=2a僅-2),N=(a+l)(a—3),貝!!()

A.M>NB.MNN

C.M<ND.MWN

解析:選A由題意知,M-N=2a(a-2)-(a+l)3-3)=2/-4a-(a2-2a-3)=(a-l)2+2>0

恒成立，所以M>N.

3.已知一元二次不等式作)>0的解集為xx<T或無(wú)>3，則加0,)>0的解集為()

A.{x|x<—1或x>lg2}B.{x|—l<x<lg2}

C.{x|x>_1g2}D.{x|x<_1g2}

解析：選C一元二次不等式/U)>o的解集為無(wú)xV-l或x>4，則不等式{10*)>0可化為

10"V-1或解得x>lgT,即x>—lg2,所以所求不等式的解集為{x|x>—lg2}.

4.不等式一6工2+2〈%的解集是.

解析：不等式一6￥+2<工可化為6x2+x-2>0,

Fp(3x+2)(2x-l)>0,

解不等式得XV—：或X>T,

?J/

所以該不等式的解集是(一8,-1)u(j,+8)

答案：(-8,一飆&+8)

［清易錯(cuò)］

1.在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”，例如當(dāng)c#0時(shí)，有a>b今ac'bJ；若無(wú)c#0

這個(gè)條件，。可今做2>加2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)。=0時(shí)，取“=”).

2.對(duì)于不等式af+笈+cX),求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情形.

3.當(dāng)4vO時(shí)，加+c>omwo）的解集為R還是0,要注意區(qū)別〃的符號(hào).

1.若O+l）f—（%—1）*+3（帆一l）vO對(duì)任何實(shí)數(shù)%恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.(1,+00)B.(-8,-1)

Cl，Y)(-8，+°°)

D.I

解析：選C①當(dāng)機(jī)=-1時(shí),不等式為2x-6v0,即m3,不符合題意.

m+l<0,解得機(jī)<一號(hào)，符合題意.

②當(dāng)m^—1時(shí)，則

/vO,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（—8,-ID

2.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,有下列命題:

①若a>b9則ac<bc\

②若ac2>bc2,則a>b；

③若aVDVO,則〃2>刈>戶(hù)；

④若c>">Q0,則言

⑤若a>b9則a>0,bVO.

其中真命題的序號(hào)是.

解析：當(dāng)c=0時(shí)，若〃>九則ac=bc,故①為假命題；

若這2>加2,則cWO,c2>0,故°>方，故②為真命題；

若〃V方V0,則方且面>方2,即〃2>〃方>力2,故③為真命題；

z?cc—dc—h"h

若c>〃>方>0,則力V%,則F-V—^—,則---->故④為真命題;

aDauc—ac—b

若a>b,即j>0,故而VO,則a>0,萬(wàn)VO,故⑤為真命題.

故②③④⑤為真命題.

答案：②③④⑤

3.若不等式ax2—bx+c<Q的解集是（一2,3）,則不等式bx2+ax+c<0的解集是

解析：二?不等式〃￥一方x+cVO的解集是（一2,3）,

且對(duì)應(yīng)方程ax2—bx+c=0的實(shí)數(shù)根是一2和3,

^=-2X3,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

b」一

即：-6,2，

->-*>0,且￡=1,b=~6f

.,.不等式加？+or+cVO可化為x2+x—6V0,

解得一3VxV2,

,該不等式的解集為（一3,2）.

答案：（一3,2）

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

［過(guò)雙基］

1.一元二次不等式（組）表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

Ax+By+OO不包括邊界直線

直線4x+5y+C=0某一側(cè)

Ax+By+C^0包括邊界直線

的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域

不等式組各個(gè)不等式所表示平V回區(qū)域的公共部分

2.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱(chēng)意義

約束條件由變量x,y組成的不等式（組）

線性約束條件由x,y的二次不等式（或方程）組成的不等式（組）

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,v的函數(shù)解析式,如z=2x+3y等

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X,V的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解—Q

可行域所有可行解組成的裳食

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題

［小題速通］

1.不等式（x—2y+l）（x+y—3）W0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域（用陰影部分表示）應(yīng)是（）

_x—2y+l20,x-2y+lW0,

解析：選C由(x-2y+l)(x+y-3)/00,―或,、結(jié)合圖形可知

,x+j—3^0x+j—3^0.

選C.

x+3yW3,

2.(2017?全國(guó)卷I)設(shè)x,y滿足約束條件<貝!Jz=x+y的最大值為()

J》0，

A.0B.1

C.2D.3

解析：

選D不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平移直線y=-x,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)

時(shí)，N=x+y取得最大值，此時(shí)Zmax=3+0=3.

E，

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為不等式組，x+y-2^0,所表示的平面區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，

X—j—1^0

則直線OP斜率的最大值為()

A.2B.：

C.1D.1

［x+y=2f

解析:選D作出可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)點(diǎn)尸位于，的交點(diǎn)(1,1)時(shí)，他O尸)max

b=i

=1.

y^x9

4.已知Z=2x+yf實(shí)數(shù)X,J滿足x+yW2,且工的最大值是最小值的4倍，則根的值是()

x^mf

A.4

D-7

解析：選A根據(jù)題意畫(huà)出如圖所示的可行域如圖中陰影部分所

平移直線Z:2x+j=0,當(dāng)I過(guò)點(diǎn)A(m9M時(shí)z最小，過(guò)點(diǎn)5(1,1)

最大，由題意知，Zmax=4Zmin,即3=4X3%,解得

［清易錯(cuò)］

1.畫(huà)出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先把二元一次不等式化為ax+打+c>0(a>0).

2.線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只

有一個(gè)，也可能有無(wú)數(shù)多個(gè)，也可能沒(méi)有.

xy^O,

實(shí)數(shù)X,J滿足I,y使z=〃x+y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，則=ax+y+l的最小值為

l|x+y|Wl,Z1

()

A.0B.-2

C.1D.-1

解析：選A畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，???2="+,取得最大值的

最優(yōu)解有2個(gè)，/.—a=l9a=-l,???當(dāng)x=l,y=0或x=0,y=—1時(shí)，z=ax+y=—x+y有最

小值-1,ax+y+1的最小值是0.

基本不等式

［過(guò)雙基］

i.基本不等式M益w審

(1)基本不等式成立的條件：a>0,z?o.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b.

2.幾個(gè)重要的不等式

(l)a2+Z>2^2ab(a,Z(GR)；

(2七+注2(〃，，同號(hào))；

(3)而fteR)；

fa+Z>\a2+/>2

(4)y~j~w—2-3，BGR).

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)?>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為幾何平均數(shù)為標(biāo)，基本不等式可敘述為：兩

個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問(wèn)題

已知x>0,j>0,則

(1)如果孫是定值“那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是2g(簡(jiǎn)記：積定和最小).

2

(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，孫有最大值是■(簡(jiǎn)記：和定積最大).

［小題速通］

［2__

1.若實(shí)數(shù)。，6滿足,+石=^^,則"的最小值為()

A.^2B.2

C.2A/2D.4

解析：選C由,+石=^^，知。>0,*>0,

,—12烹即曲》2也,

所以=,+122

12

-=-

46,

即〃=如，版時(shí)取“=”,

當(dāng)且僅當(dāng)工128=2

-啊

+K=

a

所以時(shí)的最小值為2?

2.已知直線2依+切-2=0（〃>0,>>0）過(guò)點(diǎn)（1,2）,貝。+/的最小值是（）

A.2B.3

C.4D.1

解析：選C由直線2"+勿-2=0（a>0,方>0）過(guò)點(diǎn)（1,2）,

可得2a+2b=29即a+b=l.

則鴻=（泊）5+^）=2+稅》2+2夠用=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

.,.!+（的最小值為4.

3.已知x,ydR且》+2，=1,則x+y的取值范圍為.

解析：根據(jù)題意知，2*>0,2，>0,

所以1=2*+2'22停3=2校行，

即2"'W：=2-2,丫+了.一2,

所以x+y的取值范圍為（-8,—2].

答案：（-8,-2]

[清易錯(cuò)]

1.求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件.

2.多次使用基本不等式時(shí)，易忽視取等號(hào)的條件的一致性.

1.在下列函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是（~j

A.

B'產(chǎn)c°sx+油《0<局

-4

D.j=e+3—2

解析：選D當(dāng)xvO時(shí)，2,故A錯(cuò)誤；因?yàn)?v%<。，所以O(shè)vcosxvl,所以y=

x/

cosx+>2,故B錯(cuò)誤；因?yàn)樾∑渌詙=y-+2+/；>2,故C錯(cuò)誤；因?yàn)閑">0,

cosxyjx+2

4/44

所以丁=/+/一222、付?/-2=2,當(dāng)且僅當(dāng)/=近，即ex=2時(shí)等號(hào)成立，故選D.

a4+4Z>4+l

2.（2017?天津高考）若a,b^R,ab>0,則,的最小值為.

r-?2a，+4—+1244—+i4a2ft2+l1/F.「

解析：因?yàn)閍b>0,所以一岳一》一記一=F-=4ab+益4心標(biāo)=4,當(dāng)且

a2=2b2,

僅當(dāng)（1/+4/+1

時(shí)取等號(hào)，故的最小值是4.

ab=2ab

答案：4

□雙基過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.（2018?洛陽(yáng)統(tǒng)考）已知avO,-l<6<0,那么（）

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

解析：選DV-l<ft<0,：.b<b2<l,

又〃v0,ab>ab2>a.

2.下列不等式中正確的是（）

A.若a￡R,貝1|〃2+9>6a

B.若a,力ER,則

7ab

C.若a>0,b>0,則219號(hào)a+lg8

D.若則f+

Q+辦

解析：選C?.'a2—6a+9=(a—3)220,；.A錯(cuò)誤；顯然B不正確；:〃〉。，力>0,；?—z—^y[ab.

.,.21g￡y^^21gV^=lg（aZ>）=lga+lgb,；.C正確；=?當(dāng)x=0時(shí)，x2+pq^=l,；.D錯(cuò)誤，故選

JT

3.若角a,0滿足一3<”0〈冗,則a一夕的取值范圍是(

（37r3九、

Tj祟。

C.（0,y）D.V，0）

解析：選BV—^<a<7r,—^<p<7t,

叉?：a<0,）ff<0,從而一天v“一少〈0.

乙

4.若關(guān)于x的不等式f—2ax—8〃2Vo（〃>0）的解集為（%i，M），且M一勺=15,貝（|a=（）

解析：選A由條件知血，“2為方程”2-2ax—8。2=0,（°>0）的兩根，則％i+x2=2a,”1必=

—8a2,故（“2—工1）2=（"1+”2）2—4“1M=（2〃）2—4X（—8〃2）=36〃2=152,解得a=*

x+2,

5.不等式組,）<”一L所表示的平面區(qū)域的面積為（）

J20

A.1B.l

解析：選D作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤?CD,由題意知4=1

得y0=5，所以&BC°=5X（2—1）、5=不

6.（2018?成都一診）已知％,y￡（0,+°°）,且log2x+logzP=2,貝心+：的最小值是（）

xy

A.4B.3

C.2D.1

解析：選D懾=祟》*=/,當(dāng)且僅當(dāng)X=y時(shí)取等號(hào).???1吟+皿=1唯（個(gè)）=

.故的最小值為1.

xyxxvxy

3x+j—620,

x—j—2^0,則目標(biāo)函數(shù)z=y—2x的最小值為（）

{y—3W0,

A.-7B.-4

C.1D.2

解析：選A法一：將z=y-2x化為y=2x+z,作出可行域和直線y=2x（如圖所示），當(dāng)直線

y=2x+z向右下方平移時(shí)，直線y=2x+z在y軸上的截距z減小，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)

過(guò)點(diǎn)4(5,3)時(shí)，z取得最小值3—10=-7.

法二：易知平面區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為5(1,3),C(2,0),4(5,3),分別代入z=y-2x,得z

的值為1,—4,—7,故z的最小值為一7?

8.(2017?山東高考改編)若直線"方=13>0,6>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+Z>的最小值為()

A.4B.3+2巾

C.8D.4^2

解析：選C1?直線"5=l(a>0,8>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),

.\^+1=1,Va>0,b>0,

.,.2a+b=(2a+b)Q+^)

.ib.一、lb4a

工~、一?工=8o,

=4+—a+b24+2\)ab9

當(dāng)且僅當(dāng)'=華，即a=2,8=4時(shí)等號(hào)成立，

的最小值為8.

二、填空題

9.(2018?沈陽(yáng)模擬)已知實(shí)數(shù)％,y滿足#+了2一孫=i,則x+y的最大值為.

解析：因?yàn)楱D十/一孫=1,

所以x2+y2=l+xy.

所以(x+y)2=l+3劃忘1+3><^^^2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，

即(x+y)2<4,解得一2Kx+y<2.

所以x+y的最大值為2.

答案：2

10.(2017?鄭州二模)某校今年計(jì)劃招聘女教師a名，男教師萬(wàn)名，若用)滿足不等式組

2a—b^5,

<a-b&2,設(shè)這所學(xué)校今年計(jì)劃招聘教師最多X名，則x=

a<7,

解析：畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作

I:b+a=09平移直線I,再由a,可知當(dāng)〃=6,)=7時(shí)，

的教師最多，此時(shí)X=Q+〃=13.

答案：13

11.一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為

________m,寬為_(kāi)________m時(shí)菜園面積最大.

解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則x+2y=30,所以

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,產(chǎn)學(xué)時(shí)取等號(hào).

答案：15y

'x+y—320,

12.(2018?邯鄲質(zhì)檢)若不等式組<yWfcr+3,表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)銳角三角形及其內(nèi)

.0?

部，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

解析：直線)=h+3恒過(guò)定點(diǎn)(0,3),作出不等式組表示的可行域知，要使可行域?yàn)橐粋€(gè)銳角

三角形及其內(nèi)部，需要直線y=H+3的斜率在0與1之間，即46(0,1).

答案：(0,1)

三、解答題

13.已知/(x)=-3x2+a(6—a)x+6.

⑴解關(guān)于a的不等式｛1)>0；

⑵若不等式/(?>方的解集為(一1,3),求實(shí)數(shù)“，力的值.

解：(l),.*,/^x)=—3x2+a(6—a)x+6,

：.f(l)=-3+a(6~a)+6

=-a2+6a+3,

...原不等式可化為a2_6a_3<0,

解得3-2^3<?<3+2^3.

二原不等式的解集為｛a|3—2/<“<3+2方｝.

(2)f(x)>b的解集為(-1,3)等價(jià)于方程-3f+a(6—a)x+6一占=0的兩根為一1,3,

_"3=卓

a=3±\[39

故，解得1

6一）、b=-3?

-1X3=-^—,

14.(2018?濟(jì)南一模)已知x>0,j>0,且2x+5y=20.

(1)求w=lgx+lgj的最大值；

⑵求1+:的最小值.

解：(1)Vx>0,j>0,

?,?由基本不等式，得2x+5、2241Oxy.

,____[2x+5j=20,

,.,2x+5j=20,二29面小20,即孫W10,當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí)等號(hào)成立.因此有J

L2x=5j,

此時(shí)孫有最大值10.

；."=lgx+lgy=lg（xy）Wlg10=1.

.,.當(dāng)x=5,y=2時(shí)，〃=lgx+lgy有最大值1.

⑵?20,刈，*卜?+》^^=聶7+￥+引》累7+2\［^y）=2±^，

當(dāng)且僅當(dāng)§=平時(shí)等號(hào)成立.

xy

???1+；的最小值為7+；心.

高考研究課（一）不等式性質(zhì)、一元二次不等式

［全國(guó)卷5年命題分析］

考點(diǎn)考查頻度考查角度

不等式性質(zhì)5年2考比較大小

一元二次不等式解法5年8考與集合交匯命題考查解法

不等式恒成立問(wèn)題5年1考利用不等式恒成立求參數(shù)

不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

利用不等式性質(zhì)比較大小或判斷命題真假，一般直接利用性質(zhì)推導(dǎo)或特殊值法驗(yàn)證.

［典例］器<|<。，給出下列不等式：￡舄；②|。|十分>0;?fl—|>Z>—|；④ln/>in比其

中正確的不等式是（）

A.①④B.②③

C.①③D.②④

［解析］法一：用“特值法”解題

因?yàn)?<|<0,故可取。=一1,8=—2.顯然|“|+方=1-2=—1<0,所以②錯(cuò)誤；因?yàn)镮n/=in（一

1）2=0,InZ>2=ln（-2）2=ln4>0,所以④錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D,選C.

法二：用“直接法”解題

由另<0,可知F<0.

①中，因?yàn)閍+》<0,曲>0,所以七:小，故①正確；

ClIUUU

②中，因?yàn)樵啤?lt;0,所以一方>一”>0.故一b>|a|,即|a|+*0,故②錯(cuò)誤;

③中，因?yàn)?a<0,又!<：<0,則—5>T>°，所以故③正確；

④中，因?yàn)楦鶕?jù)y=f在(-8,0)上為減函數(shù)，可得戶(hù)>/>0,而y=Inx在定義域(0,

+8)上為增函數(shù)，所以In戶(hù)>ln/,故④錯(cuò)誤.由以上分析，知①③正確.

［答案］C

［方法技巧］

不等式性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題的3大常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)利用不等式性質(zhì)比較大小

熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.

(2)與充要條件相結(jié)合問(wèn)題

用不等式的性質(zhì)分別判斷p今g和g今P是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用.

(3)與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題

解決此類(lèi)問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.

［即時(shí)演練］

1.(2018?泰安調(diào)研)設(shè)a,Z>GR,若0：a<b,q：^<A<0,則p是g的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B當(dāng)a儂時(shí)，不一定成立；當(dāng)彳4<。時(shí)，”<"0.綜上可得，p是g的必要不

充分條件.

2.若a<b<09給出下列不等式：①〃2+1>萬(wàn)2；②|i—萬(wàn)一1|；(3)^>^>|,其中正確

的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D因?yàn)閍<b<0,所以一a>一〃>0,則1—a>l一方>1,所以①正確；

②|1一0>|萬(wàn)一1|正確；因?yàn)閍VBVO,所以a+BVaVAVO,所以冤正確，故選D.

3.已知。+8>0,則表+?與%)的大小關(guān)系是________.

baaD

解析:1+'_(}+{)=暇與=(i.傍TA，"獷").

Va+Z>>0,(a—420,

??~~瑞2

baab

答案:p+>!+l

一元二次不等式的解法

［典例］解下列不等式：

(1)-3X2-2X+8^0；

(2)0<X2-X-2^4；

(3)ax2-(a+l)x+l<0(a>0).

［解］(1)原不等式可化為3步+2工—8?0,

即(3x-4)(x+2)W0.

4

解得一

所以原不等式的解集為卜一}.

⑵原不等式等價(jià)于

X2—X-2>0,［x2—X-2>0,

X2—X—2^4［f—X—6<0

(x—2)(x+l)>0,x>2或xV—1,

(x-3)(x+2)0—2Wx<3.

借助于數(shù)軸，如圖所示，

故原不等式的解集為{萬(wàn)一2WxV-l或2VA<3}.

(3)原不等式變?yōu)?ax-l)(x-l)VO,

因?yàn)閍>0,所以—^(x—1)<0.

所以當(dāng)a>l時(shí)，解為!VxVl;

當(dāng)a=l時(shí)，解集為0;

當(dāng)OVaVl時(shí)，解為IVxV：.

綜上，當(dāng)OVaVl時(shí)，不等式的解集為卜l<x<^};

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為。；

當(dāng)”>1時(shí)，不等式的解集為卜5VxVlk

［方法技巧］

解一元二次不等式的4個(gè)步驟

三葉千麻薪萎眩百三灰質(zhì)素薪天至摹而標(biāo)罹砥J

I

甘染一涂山前蒞碗二元三友麗欣惠7贏is畫(huà)鼠五源法葡

下口有沒(méi)有實(shí)根!

國(guó)卜國(guó)時(shí);痔反而龍;示于版市而廠鶯山示福而腦星…]

[即時(shí)演練]

1.若(x—l)(x—2)V2,則(x+l)(x—3)的取值范圍是()

A.(0,3)B.[-4,-3)

c.[-4zo)D.(-3,4]

解析：選C解不等式(%—l)(x—2)V2,可得0VxV3,(x+l)(x—3)=x2—2x—3,由二次函

數(shù)的性質(zhì)可得(x+l)(x-3)的取值范圍是[-4,0).

2.(2018?昆明、玉溪統(tǒng)考)若不等式ax2+bx+c>0的解集為出一1。<2},則不等式a(x2+l)

+b(x—l)+c>2ax的解集為()

A.{x|—2<x<l}B.{x|xv—2或x>l}

C.{x|0<x<3}D.{x|xv0或%>3}

解析：選C由題意〃(￥+1)+伙x—l)+c>2ax,整理得〃/+(方—2〃)x+(a+c—8)>0①，又

不等式af+^x+oo的解集為{M-lvxv2},則〃V0,且一1,2分別為方程〃￥+公+。=。的兩根，

-1+2=4R=-l,

由根與系數(shù)的關(guān)系得{a即②，

、(-1)X2弋，『2

將①兩邊同除以a得f+R—2)x+(l+￡—?<0,

將②代入得X2—3x<0,解得0<x<3.

一元二次不等式恒成立問(wèn)題

一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要

注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，常根據(jù)二

次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.，常見(jiàn)的命題角度有：

(1)形如M020(W0)(xeR)確定參數(shù)的范圍；

(2)形如Z(x)》0(W0)(xG[a,句)確定參數(shù)范圍；

(3)形如/(x)20(W0)(參數(shù)wG[a,勾)確定X的范圍.

角度一：形如/(x)》0(W0)(xeR)確定參數(shù)的范圍

1.(2018?南昌一模)已知函數(shù){x)=,"f-2x-,"+l,是否存在實(shí)數(shù)機(jī)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x,於)<0

恒成立？若存在，求出機(jī)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：八幻=機(jī)工2—2x—m+lVO恒成立，

即函數(shù)=—2x—機(jī)+1的圖象全部在X軸下方.

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，1-2XV0,則x>［,不滿足題意；

當(dāng)機(jī)工0時(shí)，函數(shù)2x—機(jī)+1為二次函數(shù),

需滿足開(kāi)口向下且方程mx2—2x—m+l=0無(wú)解，

mVO,

即《

［J=4_4m(l_m)<0,

不等式組的解集為空集，即相無(wú)解.

綜上可知不存在這樣的m.

［方法技巧］

對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部

在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.

角度二：形如八x)-O(WO)(xG［a,細(xì)確定參數(shù)的范圍

2.(2018?西安，、校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)八x)=?u?—nix—l(/nrO),若對(duì)于［1,3］,_/(x)V一m+5恒

成立，求7"的取值范圍.

解：要便八x)〈一機(jī)+5在［1,3］上恒成立，

則mx2—mx+m—6<0,即6V0在xG［1,3］上恒成立.

有以下兩種方法：

法一：4"g(x)=m^r-6,xG［1,3］.

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，g(x)在［1,3］上是增函數(shù),

所以g(X)max=g(3)=7機(jī)-6V0.

所以m<y,則0〈機(jī)〈3?

當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在［1,3］上是減函數(shù)，

所以g(X)max=g(D=m—6V0.

所以m<6,則機(jī)V0.

綜上所述，機(jī)的取值范圍是(一8,0)U(0,專(zhuān)

法二：因?yàn)閄2—x+l=^x—^)2+^>0,

又因?yàn)?w(x2—x+1)—6<0,

所以m<~2~I1.

X—x+l

在口,3］上的最小值為5，所以只需機(jī)<3即可.

因?yàn)楹瘮?shù)y=%2_x+i

因?yàn)?nWO,所以7〃的取值范圍是(一8,O)U(O,勻.

[方法技巧]

解決一元二次不等式的恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.

角度三：形如八x)》O(WO)(參數(shù)第確定x的范圍

3.對(duì)任意機(jī)￡[-1,1]，函數(shù)八“)=爐+(帆-4)x+4-2機(jī)20恒成立，求X的取值范圍.

解：由大力=工2+(機(jī)-4)x+4-2m

=(x-2)/w+x2—4x+4,

令g(m)=(x—2)zn+x2—4x+4.

由題意知在[—LI]上，g(M的值恒大于零，

g(-l)=(x-2)X(-l)+x2-4x+4>0,

?《

.,[g(l)=(x—2)+x2—4x+4>0,

解得x<l或x>3.

故當(dāng)xG(—8,1)U(3,+8)時(shí)，對(duì)任意的,〃GLL1],函數(shù)/U)的值恒大于零.

[方法技巧]

解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù).一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元,

求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的

取值范圍列式求解.

■課堂真題集中演練

把脈命題規(guī)律和趨勢(shì)

1.(2014?全國(guó)卷I)已知集合4=3酎一2%—320},B={x|-2^x<2},則AA5=()

A.[~2,—1]B.[—1,2)

C.[-1,1]D.[1,2)

解析：選AA={x|xW-l或x23},故4。5=[—2,-1].

2.(2014?全國(guó)卷U)設(shè)集合”={0,1,2},N={x|f-3x+2W0},貝！|MCN=()

A.{1}B.{2}

C.{0,1}D.{1,2}

解析：選DN={XE-3X+2W0}={X|1WXW2},又M={0,l,2},所以MCN={1,2}.

3.(2012?全國(guó)卷)已知集合A={x|f-x-2<0},B={x|-l<x<l),貝！|()

A.ABB.BA

C.A=5D.403=0

解析：選BA={x|x2-x—2<0}={x|—l<x<2},

B={x|-l<x<l},所以3A.

口高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)

一、選擇題

1.(2018?唐山一模)下列命題中，正確的是()

A.若a>b,c>df貝!|Qc>>d

B.若ac>bc,則a>b

C.若:<|<0，貝！l|a|+k0

D.若a>b9c>d,貝！Ja—c>b—d

解析：選C取。=2,b=l9c=—l,d=-2,可知A錯(cuò)誤；當(dāng)cvO時(shí)，ac>bc=>a<b,<*.B

錯(cuò)誤；由:可知》v〃vO,所以一方>一。>0,故一方即⑷+方<0,故C正確；取a=c=2,

b=d=lf可知D錯(cuò)誤.

2.(2017?山東高考)若a?>0,且曲=1,則下列不等式成立的是()

,1b,

A.〃十不<呼Vlog2(〃+))

)1

B.^<log2(a+b)<a+~^

1b

C.a+^<log2(a+b)<^a

1b

D.log2(a+5)va+］Vm

解析：選B根據(jù)題意，令a=2,進(jìn)行驗(yàn)證，

［辦］5

易知〃+1=4,外=+log2(a+ft)=log22>l,

因此a+^>log2(a+b)>^a.

3.已知集合知={%僅2—4x>0},A^={x|m<x<8},若MGN={x|6vxv〃},則%+〃=()

A.10B.12

C.14D.16

解析：選CVAf={x|x2—4x>0}={x|x>4x<0},A^={x|/n<x<8},由于AfnN={x|6vxv〃},

==-=

??m6,nS9z/2dFZ14.

2

4.(2018?重慶檢測(cè))不等式干vl的解集是()

A.(-8,-l)u(l,+oo)B.(1,+8)

C.(-8,-1)D.(-14)

221-x

解析：選AV^j-r<l,即下了0,該不等式可化為(x+l)(x-l)>0,：.x<~l

?*VI-1.IJLI-L

或X>1.

5.不等式式幻="2-x—c>0的解集為{x|—2vxvl},則函數(shù)y=/(—x)的圖象為()

1

c2

解析：選B由根與系數(shù)的關(guān)系得,=-2+1,一‘=-2,得a=—l9c=-2f.\f(x)=—x

—x+2(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)，x)=—X2+X+2,其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=l,結(jié)合圖象

知選B.

6.(2018?合肥一模)若不等式2小+乙一90對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立，則