重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)及科類(lèi)名稱(chēng).2．請(qǐng)將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗，所以.故選：C.2.為了了解全國(guó)觀眾對(duì)2024年春晚語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目的滿(mǎn)意度，某網(wǎng)站對(duì)2024年春晚的3000名觀眾，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，已知這3000名觀眾中男、女人數(shù)之比為，若樣本容量為300，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在這3000名觀眾中，男性人數(shù)為：人；女性人數(shù)為：人.因?yàn)橐葱詣e比例分層隨機(jī)抽樣，且樣本容量為300，所以抽取的樣本中，男性觀眾的人數(shù)為：，女性觀眾人數(shù)為：.所以不同的抽取結(jié)果共有：.故選：B3.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，則，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.4.現(xiàn)有兩種不同的顏色要對(duì)如圖形中的三個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)這三個(gè)部分著色，只需要三步完成，第一步給區(qū)域①著色有2種方法，第二步給區(qū)域②著色有2種方法，第三步給區(qū)域③著色有2種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，對(duì)這三部分著色共有種不同方法，若要對(duì)這三個(gè)部分著色且任意有公共邊的兩塊著不同顏色，則按如下三步完成，第一步給區(qū)域①著色有2種方法，第二步給區(qū)域②著色僅有1種方法，第三步給區(qū)域③著色僅有1種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，對(duì)這三部分著色共有種不同方法，設(shè)事件“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”，則由古典概型概率公式得，故選：B.5.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A.20 B.15 C.6 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，即的展開(kāi)式中的系數(shù)為.

故選：B6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，對(duì)應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故.故選：A7.現(xiàn)將《論語(yǔ)》、《孟子》、《大學(xué)》、《中庸》、《詩(shī)經(jīng)》5本不同的書(shū)籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《論語(yǔ)》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（）A.50 B.80 C.120 D.150〖答案〗A〖解析〗5本書(shū)分給甲乙丙3人，每人至少本，則人書(shū)籍本數(shù)分為，，；，，兩類(lèi)；第一類(lèi)，，的情況：若甲分本，已分得書(shū)籍，則另兩人一人本，人本，共有種，若甲分本，即再取本，則剩余2本書(shū)分給乙丙，一人一本，則共有種，故第一類(lèi)情況共有+種；第二類(lèi)，，情況：若甲分本，已分得書(shū)籍，另兩人各本，共有種，若甲分本，另兩人一人本，人本，共有種，故第二類(lèi)情況共有+種；所以不同的分發(fā)方式種數(shù)共.故〖答案〗為：.8.已知是函數(shù)導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不等式可化，設(shè)，則原不等式可化為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以．故不等式的解集為.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列說(shuō)法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有48種排法 B.若甲不排第一個(gè)共有96種排法C.若甲與丙不相鄰，共有36種排法 D.若甲在乙的前面，共有60種排法〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A:若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個(gè)大元素，與其余四個(gè)元素排序共有種排法，A對(duì);選項(xiàng)B：若甲不排第一個(gè)，則甲有4種排法，其余全排，共有種，B對(duì)；選項(xiàng)C，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個(gè)空中的個(gè)空，所以，共有種排法，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，若甲在乙的前面，只需在5個(gè)位置中先選兩個(gè)位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余3個(gè)人全排，共有種排法，D對(duì).故選：ABD.10.小明在超市購(gòu)買(mǎi)大米，共有包裝相同的10袋大米，其中一級(jí)大米有4袋，二級(jí)大米有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一級(jí)大米”，用B表示事件“第二次取到二級(jí)大米”，則（）A. B.C. D.事件相互獨(dú)立〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以事件不相互?dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱(chēng)在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（）A.在上是“弱減函數(shù)”B.在上是“弱減函數(shù)”C.若在上是“弱減函數(shù)”，則D.若在上是“弱減函數(shù)”，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，在上單調(diào)遞減，不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，，，∴在單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，若在單調(diào)遞減，由，得，∴，在單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，令，，令，，∴在上單調(diào)遞減，，∴，∴在上單調(diào)遞減，，∴，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴，綜上：，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.除以7余數(shù)是______．〖答案〗1〖解析〗，所以除以7的余數(shù)為1.故〖答案〗為：1.13.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于4”，則______．〖答案〗〖解析〗用表示隨機(jī)試驗(yàn)“先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”的結(jié)果，表示第一次擲出的點(diǎn)數(shù)，表示第二次擲出的點(diǎn)數(shù)，則，隨機(jī)試驗(yàn)“先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”的樣本空間中共有個(gè)樣本點(diǎn)，事件所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，事件所包含的樣本點(diǎn)的有，共7個(gè)，由古典概型概率公式可得，，由條件概率公式可得，故〖答案〗為：.14.已知對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，都有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，且，所以.設(shè)，，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減.所以在上恒成立，即，恒成立.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）所以.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為．（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）解：（1）依題意，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:，顯然第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)系數(shù)為，因此，解得，所以的值為6.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為16.已知函數(shù)在時(shí)取得極值．（1）求實(shí)數(shù)值；（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）易知，依題意，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時(shí)取得極值，所以；（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為.17.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中男子100米比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．（1）甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大？（2）在的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．解：（1）甲進(jìn)入決賽的概率為，乙進(jìn)入決賽的概率為，丙進(jìn)入決賽的概率為，因?yàn)?，所以，所以乙進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大．（2）當(dāng)時(shí)，丙進(jìn)入決賽的概率為，所以甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的概率分別為，根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，可得；，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：012318.已知函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的值.解：（1）由已知，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）得，，即兩個(gè)極值點(diǎn)為方程的兩根，則，所以代入得，其中，則，得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，又，所以.19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且軸，求兩點(diǎn)間的最短距離；（3）若時(shí)，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的