2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程3.3點(diǎn)到直線的距離公式3.4兩條平行直線間的距離基礎(chǔ)過關(guān)含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE11兩條平行直線間的距離基礎(chǔ)過關(guān)練題組一點(diǎn)到直線的距離1.已知點(diǎn)M(1,4)到直線l:mx+y-1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)m等于()A.0 B.34 C.3 D.0或2.已知直線l1:ax+y-1=0與直線l2:x-y+5=0相互垂直,則點(diǎn)(1,2)到直線l1的距離為()A.1 B.2 C.2 D.223.已知兩點(diǎn)A(3,2),B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則m的值為(深度解析)A.-6或1 B.-12或1 C.-12或14.點(diǎn)P(2,3)到直線l:ax+y-2a=0的距離為d,則d的最大值為()A.3 B.4 C.5 D.75.在直線x+3y=0上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離和到直線x+3y-2=0的距離相等.題組二兩條平行直線間的距離6.(2024重慶一中高二上期中)已知直線l1:x+ay-1=0與直線l2:2x-y+1=0平行,則l1與l2的距離為()A.15 B.55 C.37.兩條平行直線分別經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(0,4),它們之間的距離d滿意的條件是()A.0<d≤3 B.0<d≤5C.0<d<4 D.3≤d≤58.分別過點(diǎn)A(-2,1)和點(diǎn)B(3,-5)的兩條直線均垂直于x軸,則這兩條直線間的距離是.

9.直線l到其平行直線x-2y+4=0的距離和原點(diǎn)到直線l的距離相等,則直線l的方程是.

10.已知直線l1過點(diǎn)A(0,1),l2過點(diǎn)B(5,0),假如l1∥l2,且l1與l2之間的距離為5,求l1,l2的方程.

題組三距離公式的綜合應(yīng)用11.已知直線l1,l2分別過點(diǎn)P(-1,3),Q(2,-1),若它們分別繞點(diǎn)P,Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,則l1,l2之間的距離d的取值范圍為()A.(0,5] B.(0,5) C.(0,+∞) D.(0,17]12.已知正方形的兩邊所在直線方程分別為x-y-1=0,x-y+1=0,則正方形的面積為.

13.(2024山西太原高二上期中)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC邊所在直線的方程;(2)求△ABC的面積.14.求過點(diǎn)P(0,2)且與點(diǎn)A(1,1),B(-3,1)等距離的直線l的方程.

實(shí)力提升練題組一點(diǎn)到直線的距離1.()過點(diǎn)A(1,2),且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程是()A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=02.(多選)()已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若直線l上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”,下列直線中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是()A.y=x+1 B.y=2C.4x-3y=0 D.2x-y+1=03.(2024安徽合肥一中高二上期中,)點(diǎn)A(1,1)到直線xcosθ+ysinθ-2=0的距離的最大值是.

4.()已知點(diǎn)P(-2,0)和直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),則直線l過定點(diǎn),點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為.

5.(2024黑龍江佳木斯一中高二月考,)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(4,3),且與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若點(diǎn)O到直線l的距離為4,求直線l的方程;(2)求△OAB面積的最小值.題組二兩條平行直線間的距離6.()若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.32 B.23C.33 D.427.()已知m,n,a,b∈R,且滿意3m+4n=6,3a+4b=1,則(m-a)8.(2024河北冀州中學(xué)高一月考,)已知三條直線l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P同時(shí)滿意下列三個(gè)條件:(1)P是第一象限的點(diǎn);(2)P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的12;(3)P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是2∶5?若能,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,說明理由.

題組三距離公式的綜合應(yīng)用9.()到直線3x-4y-1=0的距離為2的點(diǎn)的軌跡方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=010.(2024遼寧省試驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)已知點(diǎn)P,Q分別在直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,點(diǎn)A(-3,-3),B32,A.1302 B.13+322 C.11.()已知△ABC的內(nèi)角平分線CD所在直線的方程為2x+y-1=0,兩個(gè)頂點(diǎn)為A(1,2),B(-1,-1).(1)求點(diǎn)A到直線CD的距離;(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo).

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.D點(diǎn)M到直線的距離d=|m解得m=0或m=342.C由已知得,kl1=-a,kl2=1,又l∴-a×1=-1,解得a=1.此時(shí)直線l1的方程為x+y-1=0,∴點(diǎn)(1,2)到直線l1的距離d=|1+2-13.D解法一:依題意得,直線mx+y+3=0過線段AB的中點(diǎn),或與直線AB平行.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),且在直線mx+y+3=0上,∴m+3+3=0,解得m=-6;②由兩直線平行知4-2-因此m的值為-6或12解法二:由題意得|3m+2+3|m解題模板兩點(diǎn)到直線距離相等,可用幾何法,即直線與兩定點(diǎn)所在直線平行,或直線過以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn).此類題型也可用代數(shù)法.4.A直線方程可變形為y=-a(x-2),據(jù)此可知直線恒過定點(diǎn)M(2,0),當(dāng)直線l⊥PM時(shí),d有最大值,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得d的最大值為(25.解析由題意可設(shè)P(-3y0,y0),則9y02即10|y0|=210.∴y0=±15.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為-36.D由l1∥l2得,a=-12,因此l1:2x-y-2=0,∴d=|-2-17.B當(dāng)兩條平行直線與AB垂直時(shí),兩條平行直線間的距離最大,最大距離為|AB|=5,所以0<d≤5.8.答案5解析兩直線方程分別是x=-2和x=3,故兩條直線間的距離d=|-2-3|=5.9.答案x-2y+2=0解析由題意設(shè)所求直線l的方程為x-2y+C=0(C≠4),則|C-4故直線l的方程為x-2y+2=0.10.解析①若直線l1,l2的斜率存在,設(shè)直線的斜率為k,設(shè)l1的斜截式方程為y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的點(diǎn)斜式方程為y=k(x-5),即kx-y-5k=0,因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)A(0,1),所以點(diǎn)A到直線l2的距離d=|-1所以25k2+10k+1=25k2+25,解得k=125所以l1的方程為12x-5y+5=0,l2的方程為12x-5y-60=0.②若l1,l2的斜率不存在,則l1的方程為x=0,l2的方程為x=5,它們之間的距離為5,同樣滿意條件.綜上所述,滿意條件的直線方程有兩組:l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.11.A易知兩直線之間的最大距離為P,Q兩點(diǎn)間的距離,由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|=(2+1)2+(-12.答案2解析由條件知兩直線平行,則正方形的邊長(zhǎng)為這兩條平行直線間的距離,即邊長(zhǎng)d=22=213.解析(1)由題可知,直線BC過(2,3),(3,-2),∴方程為x-23-2(2)由題可知|BC|=(3-2)2+(-2-3)2=26,A(1,1)到直線BC的距離d=|5+1-13|25+1=7262614.解析解法一:∵點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2,∴直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,得|k-1+2∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.解法二:當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí),直線l與點(diǎn)A,B的距離相等.∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過點(diǎn)P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0;當(dāng)直線l∥AB時(shí),直線l與點(diǎn)A,B的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿意條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.實(shí)力提升練1.A依據(jù)題意得,當(dāng)所求直線與直線OA垂直時(shí),原點(diǎn)到所求直線的距離最大,因?yàn)橹本€OA的斜率為2,所以所求直線的斜率為-12,所以直線方程為y-2=-12.BC選項(xiàng)A中,點(diǎn)M到直線y=x+1的距離d=|5-0+1選項(xiàng)C中,點(diǎn)M到直線4x-3y=0的距離d=|4×5-3×0|43.答案2+2解析依題意得,點(diǎn)(1,1)到直線的距離d=|cosθ+sin∴當(dāng)sinθ+π4=-1時(shí),dmax=2+2.4.答案(1,1);10解析直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,化為(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,令x+當(dāng)直線PQ⊥直線l時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離d有最大值,最大值為|PQ|=(-2-15.解析(1)由題意知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,則點(diǎn)O到直線l的距離d=|-4解得k=-724故直線l的方程為-724x-y-4×-(2)因?yàn)橹本€l的方程為kx-y-4k+3=0,所以A-3則△OAB的面積S=12|OA|·|OB|=12×=12由題意可知k<0,則-9k-16k≥2-9k×(-16k)故△OAB面積的最小值為126.A由題意知,點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上,設(shè)該直線的方程為x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),則|c+7|2=|c7.答案1解析設(shè)點(diǎn)A(m,n),B(a,b),直線l1:3x+4y=6,直線l2:3x+4y=1.由題意知點(diǎn)A(m,n)在直線l1:3x+4y=6上,點(diǎn)B(a,b)在直線l2:3x+4y=1上,|AB|=(m-a)2+(n-8.解析能.設(shè)存在滿意條件的點(diǎn)P(x0,y0),若點(diǎn)P滿意條件(2),則有|2x0-y0+3|22+(-1)2=1若P點(diǎn)滿意條件(3),則由點(diǎn)到直線的距離公式,有|2x0-y即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|.∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.又P是第一象限的點(diǎn),∴3x0+2=0不合題意,故舍去.由2x0-由2x0∴P19,379.D依題意知,所求直線與已知直線3x-4y-1=0平行,設(shè)所求直線方程為3x-4y+C=0(C≠-1),依據(jù)兩條平行直線間的距離公式,得|C+1|32+4故所求點(diǎn)的軌跡方程為3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故選D.10.B解法一:如圖1,由平行線間的距離公式得|PQ|=32圖1設(shè)點(diǎn)P(a,-a-2),則點(diǎn)Qa+所以|AP|+|PQ|+|QB|=(a+3)2+(-a+1)2+3設(shè)點(diǎn)M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如圖2,則圖2(a+3)2+所以|AP|+|PQ|+|QB|有最小值322+解法二:如圖3,由平行線間的距離公式得|PQ|=32圖3過點(diǎn)A作垂直于l1的直線,并截取|AA'|=|PQ|