北京專用2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷一含解析

Page202024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（一）（北京卷）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1．（2024·北京·潞河中學(xué)三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)?，則.故選：D.2．（2024·北京房山·一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－1），則（

）A．5 B．3 C．5－4i D．3－4i【答案】A【詳解】由題意知，，.故選：A.3．（2024·北京·模擬預(yù)料）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C．或 D．【答案】D【詳解】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離，，解得：.故選：D4．（2024·北京·首都師范高校附屬中學(xué)三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是奇函數(shù)，又，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.故選：C.5．（2024·北京·首都師范高校附屬中學(xué)三模）設(shè)函數(shù)，其中.若，且相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于，所以的最小正周期大于，所以，又，，所以，，則，即．，由，得．，．因?yàn)?，所以取，得．，．故選：B．6．（2024·北京·模擬預(yù)料）已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對隨意的，均有成立，則的值不行能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】依據(jù)題意，等差數(shù)列，對隨意的，均有成立，即是等差數(shù)列的前項(xiàng)和中的最大值，必有，公差，分3種狀況探討：①，此時(shí)，、是等差數(shù)列的前項(xiàng)和中的最大值，此時(shí)，則有，則，②，此時(shí)，、是等差數(shù)列的前項(xiàng)和中的最大值，此時(shí)，則有，，③，，是等差數(shù)列的前項(xiàng)和中的最大值，此時(shí)，，則，變形可得：，，而，則有，綜合可得：.故選：A．7．（2024·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）李明開發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶，經(jīng)過天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（

）（本題?。〢．31 B．32 C．33 D．34【答案】D【詳解】經(jīng)過天后，用戶人數(shù)又小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶又小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶即，可得……①當(dāng)用戶達(dá)到50000名時(shí)有即，可得……②聯(lián)立①和②可得，即故用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為34天故選：D.8．（2024·北京·首都師范高校附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值【答案】D【詳解】A：由題意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯(cuò)誤；B：連接，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，又，所以，若點(diǎn)在平面的射影為，則平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，在中，，所以，即不成立，故B錯(cuò)誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，若存在點(diǎn)使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點(diǎn)使得與所成角為，故C錯(cuò)誤；D：如圖，由等體積法可知，又，為定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：D.9．（2024·北京師大附中高二期中）當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式綻開，可得到如圖所示的三項(xiàng)綻開式和“廣義楊輝三角形”：若在的綻開式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由廣義楊輝三角形可得，故的綻開式中，的系數(shù)為，解得.故選：C.10．（2024·北京市第三十五中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，△，△是全等的等腰直角三角形，為直角頂點(diǎn)，三點(diǎn)共線.若點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.記，，則（

）A． B． C． D．大小不能確【答案】B【詳解】構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，令，，，，所以，可設(shè)，，且，，則，，所以.故選：B.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）11．（2024·北京·清華附中模擬預(yù)料）函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【答案】【詳解】由解析式知：可得，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：12．（2024·北京市第十二中學(xué)三模）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為___________.【答案】【詳解】解：己知雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線C的漸近線方程為，故答案為：13．（2024·北京·首都師范高校附屬中學(xué)三模）若，請寫出一組符合題意的___________.【答案】、（答案不唯一）【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以，或，，不妨令、；故答案為：、（答案不唯一?4．（2024·北京八十中模擬預(yù)料）同學(xué)們，你們是否留意到：自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深澗的觀光索道的鋼索．這些現(xiàn)象中都有相像的曲線形態(tài)．事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上經(jīng)常被稱為懸鏈線．懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用．在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)…），對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是______．①假如，那么函數(shù)為奇函數(shù)；②假如，那么為單調(diào)函數(shù)；③假如，那么函數(shù)沒有零點(diǎn)；④假如那么函數(shù)的最小值為2．【答案】②③【詳解】對①：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)為偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤.對②：當(dāng)時(shí)，令，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)；綜上：假如，那么為單調(diào)函數(shù)；故②正確.對③：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)；綜上：假如，那么函數(shù)沒有零點(diǎn)；故③正確.對④：由，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)；故時(shí)，函數(shù)沒有最小值；故④錯(cuò)誤.故答案為：②③15．（2024·北京海淀·二模）在現(xiàn)實(shí)世界，許多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列，分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：，描述了這兩組信息在相互影響之下的傳播演化過程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿意，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：①；②；③，使得當(dāng)時(shí)，總有④，使得當(dāng)時(shí)，總有．其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是_________【答案】①②③【詳解】因?yàn)?，兩式作差得，故為常?shù)列，即，故，①正確；因?yàn)椋?，為正?shí)數(shù)數(shù)列，故，故，②正確；由上知，，因?yàn)闉槌?shù)，為單增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，又，故，使得當(dāng)時(shí)，總有，③正確；，又，故，因?yàn)闉槌?shù)，為單增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題（共6小愿，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16．（2024·北京·清華附中模擬預(yù)料）在中，，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長為．【答案】(1)(2)選擇條件②,;選擇條件③.(1)由余弦定理知，，因?yàn)?，所以?2)選擇條件①：把，代入中，化簡得，解得，所以存在兩個(gè)，不符合題意；選擇條件②：因?yàn)?，，所以，由正弦定理知，，所以，因?yàn)?，所以的面積．選擇條件③：因?yàn)榈闹荛L為，且，所以，又，所以，解得，所以的面積.17．（2024·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，在棱上取點(diǎn)，使得平面.(1)求證：為中點(diǎn)；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)（1）連接，交于點(diǎn)，則平面平面，又因?yàn)槠矫?，平面，則，由于底面為正方形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，因此可得為中點(diǎn).（2）由（1）知是的中點(diǎn).由于平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，設(shè)平面的法向量為，所以，故可設(shè)，平面的法向量為，平面與平面夾角為，則.（3）由于平面，則到平面的距離，即到平面的距離.,到平面的距離為.即直線到平面的距離為.18．（2024·北京·人大附中模擬預(yù)料）某家電專賣店試銷三種新型空調(diào)，銷售狀況如下表所示：第一周其次周第三周第四周型數(shù)量（臺(tái)）111015型數(shù)量（臺(tái)）14913型數(shù)量（臺(tái)）61112(1)從前三周隨機(jī)選一周，若型空調(diào)銷售量比型空調(diào)多，求型空調(diào)銷售量比型空調(diào)多的概率；(2)為跟蹤調(diào)查空調(diào)的運(yùn)用狀況，依據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店其次周和第三周售出的空調(diào)中分別隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽取的兩臺(tái)空調(diào)中型空調(diào)臺(tái)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)干脆寫出一組的值，使得表中每行數(shù)據(jù)的方差相等．【答案】(1)(2)分布列見解析；.(3)（1）解：記事務(wù)為“型空調(diào)銷售量比型空調(diào)多”，則；記事務(wù)為“型空調(diào)銷售量比型空調(diào)多”，則；故若型空調(diào)銷售量比型空調(diào)多，型空調(diào)銷售量比型空調(diào)多的概率為.（2）解：由題可知，在其次周抽取型空調(diào)的概率為，第三周抽取型空調(diào)的概率為.的可能取值為0，1，2，故,,,故的分布列為：012則.（3）解：因?yàn)榉讲?，且表中每行方差相?所以其中，，，.視察數(shù)據(jù)：第一組15，11，10，；其次組：14，13，9，；第三組：12，11，6，.故可以將每組數(shù)據(jù)補(bǔ)成兩對相鄰數(shù)據(jù)，且和能被4整除，即，則，，.則.故滿意題意.19．（2024·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)料）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別是A，B，且．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知M，N是橢圓E上異于A，B的不同兩點(diǎn)，若直線AM與直線AN的斜率之積等于-1，推斷直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)；【詳解】（1）解：由離心率可得，又由左、右頂點(diǎn)可得，所以，，所以橢圓的方程為：；（2）解：由（1）可得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，，即，可得，且，，，整理可得，可得或，符合，所以直線的方程為：或，所以直線恒過或（舍去），所以直線的方程為：，可得直線恒過點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，可得，設(shè)，，則，解得或（舍，所以直線恒過定點(diǎn)，綜上所述：直線恒過定點(diǎn)．20．（2024·北京·北大附中三模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)若對隨意，不等式恒成立，求出的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)（1）當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則切線斜率.由切點(diǎn)性質(zhì)，得，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo).（2）當(dāng)時(shí)，，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)改變時(shí)，改變狀況如下表：10單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增由上表可知，.所以.（3）實(shí)數(shù)的取值范圍.理由如下：方法一：（數(shù)形結(jié)合）在上恒成立，即.因而函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方.考慮函數(shù)圖象在函數(shù)圖象恰好有一個(gè)公共點(diǎn)的臨界情形（如圖所示），此時(shí)它們在交點(diǎn)處有一條公切線，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.又，由切點(diǎn)性質(zhì)知，所以即，由得，所以即記，則，所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?，所以方程的解?因此，當(dāng)兩函數(shù)恰好有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)是，此處公切線方程是.所以當(dāng)函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.方法二：（同構(gòu)變形）明顯，在上恒成立，即恒成馬上恒成立，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，所以恒成立，即，令，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2024·北京·101中學(xué)三模）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿意．(1)若，請寫出全部可能的取值；(2)記集合，證明：若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則的全部元素都是3的倍數(shù)；(3)若為周期數(shù)列，求全部可能的取值.【答案】(1)，，(2)證明見解析(3)（1）解：因?yàn)檎麛?shù)數(shù)列滿意，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，則或，即或，當(dāng)時(shí)，或，所以或；當(dāng)時(shí)，，所以；所以的可能取值為、、；（2）證明：假如存在正整數(shù)，滿意是的倍數(shù)，則對，都是的倍數(shù)；假如存在為3的倍數(shù)，依據(jù)，可知也是3的倍數(shù)，以此類推，都是3的倍數(shù)；另一方面，當(dāng)時(shí)，由于，當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，可知也是3的倍數(shù)，以此類推，都是3的倍數(shù)；綜上所述，若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則的全部元素都是3的倍數(shù)；