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專題28.19銳角三角函數(shù)(挑戰(zhàn)綜合(壓軸)題分類專題)
(專項(xiàng)練習(xí))
【知識(shí)點(diǎn)一】三角函數(shù)的運(yùn)算計(jì)算★★化簡(jiǎn)★★求值
【類型①】三角函數(shù)的運(yùn)算》一直接計(jì)算
1.(2022,湖南岳陽(yáng)?中考真題)計(jì)算:卜與-ZtaiMSo+Jiy^TG-%)。.
2.(2016?貴州畢節(jié)?中考真題)計(jì)算:
(ff-3J4)0+-2sm45'+(-lJ**ltf
3.(2021?山東荷澤?中考真題)計(jì)算:(2021-》)"-|3-V^+4cos30。-ai-
【類型②】三角函數(shù)的運(yùn)算>?“化解★★求值
4-(2。22?山東濱州?中考真題)先化簡(jiǎn),再求值:1+1-言卜片詈,其中
a=tan450+
--1__1]x+2
5.(2021?遼寧營(yíng)口?中考真題)先化簡(jiǎn),再求值:,其中
x2—2,x+1x—1x—1
x=^+|-2|-3tan6O0.
6.(2。2。.黑龍江黑龍江.中考真題)先化簡(jiǎn),再求值:(2-彳E卜一其
中x=3tan3O0-3.
【知識(shí)點(diǎn)二】三角函數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用
【類型①】三角函數(shù)的應(yīng)用*>“三角形
7.(2016?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖,在小8C中,ADJ.BC,BE1AC,垂足
分別為。,E,AD與8E相交于點(diǎn)
(1)求證:AACDSABFD;
(2)當(dāng)tanNAB£)=l,4c=3時(shí),求防的長(zhǎng).
8.(2020?四川眉山?中考真題)如圖,和ACDE都是等邊三角形,點(diǎn)8、C、E三
點(diǎn)在同一直線上,連接80,AD,BD交AC于點(diǎn)F.
(1)若AD2=DF-DB,求證:AD=BF;
(2)若/BAD=90°,BE=6.
①求tanNDBE的值:
②求。尸的長(zhǎng).
9.(2021?四川阿壩?中考真題)如圖,RsA3c中,ZACB=90°,將"1BC繞點(diǎn)C順時(shí)
針旋轉(zhuǎn)得到A0EC,點(diǎn)。落在線段AB上,連接BE.
(1)求證:DC平分NADE;
(2)試判斷BE與A8的位置關(guān)系,并說明理由:
(3)若BE=BD,求tanNABC的值.
【類型②】三角函數(shù)的應(yīng)用平行四邊形
10.(2018?廣西百色?中考真題)平行四邊形ABCD中,13A=60。,AB=2AD,BD的中垂
線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,垂足為O.
(1)求證:OE=OF;
(2)若AD=6,求tanBABD的值.
11.(2019?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分/DAB,已知
CE=6,BE=8,DE=10.
(1)求證:ZBEC=90°;
(2)求cos/DAE.
12.(2019?遼寧沈陽(yáng)?中考真題)如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E和點(diǎn)F是對(duì)角線AC
上的兩點(diǎn),AE=CF,DF=BE,且DF〃BE,過點(diǎn)C作CGJ_AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
2
(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;(2)若tan/CAB=j,ZCBG=45°,BC
=40,貝gABCD的面積是_______.
BG
【類型③】三角函數(shù)的應(yīng)用>?“矩形
13.(2022?湖北荊門?中考真題)如圖,已知矩形ABCQ中,AB=8,BC=x(0<x<8),
將△ACB沿AC對(duì)折到△ACE的位置,AE和CD交于點(diǎn)凡
(1)求證:△CEF/ADF;
(2)求tanNDAP的值(用含x的式子表不).
14.(2022?江蘇無錫?中考真題)如圖,已知四邊形ABCO為矩形AB=2夜,3c=4,
點(diǎn)E在8C上,CE=AE,將△ABC沿4c翻折到△AFC,連接EF.
(1)求EF的長(zhǎng);
(2)求sin/CE尸的值.
15.(2022.四川成都.中考真題)如圖,在矩形48CD中,AD=nAB(n>l),點(diǎn)E是AO
邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,。重合),連接8E,以BE為邊在直線8E的右側(cè)作矩形EBFG,
使得矩形EBFGs矩形ABC。,EG交直線8于點(diǎn)
(1)【嘗試初探】在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,與△。團(tuán)始終保持相似關(guān)系,請(qǐng)說明理
由.
(2)【深入探究】若〃=2,隨著E點(diǎn)位置的變化,”點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化,當(dāng)〃是
線段CO中點(diǎn)時(shí),求tanNABE的值.
⑶【拓展延伸】連接8",當(dāng)ABF”是以尸”為腰的等腰三角形時(shí),求tanZABE
的值(用含〃的代數(shù)式表示).
【類型④】三角函數(shù)的應(yīng)用菱形
16.(2021?吉林長(zhǎng)春?中考真題)如圖,在菱形ABC。中,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,
AC=4,50=8,點(diǎn)E在邊上,AE=1AD,連結(jié)8E交AC于點(diǎn)M.
(I)求AM的長(zhǎng).
(2)tanNMBO的值為.
17.(2020?吉林?中考真題)能夠完全重合的平行四邊形紙片ABC。和AEFG按圖①方式
擺放,其中仞=AG=5,A8=9.點(diǎn)Q,G分別在邊AE,A8上,C。與FG相交于點(diǎn)
【探究】求證:四邊形AG〃〃是菱形.
【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片ABC。,將平行四邊形紙片但'G繞著點(diǎn)A順
時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,如圖②,則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分
圖形的周長(zhǎng)和為.
[操作二】四邊形紙片AEFG繞著點(diǎn)A繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使點(diǎn)E與點(diǎn)8重合,
圖①圖②圖③
18.(2019?北京?中考真題)如圖,在菱形ABCD中,AC為對(duì)角線,點(diǎn)E,F分別在
AB,AD上,BE=DF,連接EF.
(1)求證:AC±EF;
(2)延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BD交AC于點(diǎn)O,若BD=4,tanG=g,求
AO的長(zhǎng).
A
【類型⑤】三角函數(shù)的應(yīng)用正方形
19.(2018?寧夏?中考真題)已知點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn),連接BE,過
點(diǎn)C作CN_LBE,垂足為M,交AB于點(diǎn)M
(1)求證:△ABE絲△BCN;
(2)若N為AB的中點(diǎn),求ta八/ABE.
20.(2016?湖南株洲?中考真題)已知正方形ABC。中,BC=3,點(diǎn)、E、F分別是CB、CD
延長(zhǎng)線上的點(diǎn),DF=BE,連接AE、AF,過點(diǎn)A作AHLEZ)于4點(diǎn).
(1)求證:AADF絲△ABE;
(2)若BE=1,求tan/AE。的值.
21.(2016?浙江杭州?中考真題)如圖,已知四邊形ABCQ和四邊形。EFG為正方形,
點(diǎn)E在線段OC上,點(diǎn)A,D,G在同一直線上,且AO=3,DE=1,連接4C,CG,AE,
并延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)H.
(1)求sinNE4c的值;
(2)求線段AH的長(zhǎng).
【知識(shí)點(diǎn)三】三角函數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用
【類型①】三角函數(shù)的應(yīng)用仰角★★俯角
22.(2022.廣東廣州.中考真題)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽(yáng)光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量
旗桿的高度.如圖,在某一時(shí)刻,旗桿的AB的影子為BC,與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD,
標(biāo)桿CD的影子為CE,CD=1.6m,BC=5CD.
(1)求3C的長(zhǎng);
(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇二個(gè)作為已知,
求旗桿AB的高度.
條件①:CE=1.0m;條件②:從。處看旗桿頂部A的仰角a為54.46。.
注:如果選擇條件①和條件②分別作答,按第一個(gè)解答計(jì)分.參考數(shù)據(jù):sin54.46%0.81,
cos54.46°~0.58,tan54.46°=1.40.
23.(2022?遼寧阜新?中考真題)如圖,小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中,利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知
識(shí)測(cè)量居民樓的高度A3,在居民樓前方有一斜坡,坡長(zhǎng)C£>=15m,斜坡的傾斜角為a,
4
cosa=w.小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60。,在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°
(點(diǎn)A,B,C,。在同一平面內(nèi)).
(1)求C,。兩點(diǎn)的高度差;
(2)求居民樓的高度AB.(結(jié)果精確至hm,參考數(shù)據(jù):下)=1.7)
24.(2022.遼寧朝陽(yáng)?中考真題)某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度
(旗桿底端有臺(tái)階).該小組在C處安置測(cè)角儀CZ),測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30。,前進(jìn)
8m到達(dá)E處,安置測(cè)角儀EF,測(cè)得旗桿頂端4的仰角為45。(點(diǎn)B,E,C在同一直線上),
測(cè)角儀支架高CD=EF=L2m,求旗桿頂端A到地面的距離即A8的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到1m.參
考數(shù)據(jù):73-1.7)
【類型②】三角函數(shù)的應(yīng)用方位角
25.(2022?湖北襄陽(yáng)?中考真題)位于幌山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑,是
為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役''中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的解放事業(yè)獻(xiàn)
身的革命烈士的而興建的,某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量紀(jì)念塔的高度.無人機(jī)在點(diǎn)4
處測(cè)得紀(jì)念塔頂部點(diǎn)B的仰角為45。,紀(jì)念塔底部點(diǎn)C的俯角為61。,無人機(jī)與紀(jì)念塔的水
平距離40為10m,求紀(jì)念塔的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin61°~0.87,cos61°=0.48,
tan610~1.80)
26.(2022?四川資陽(yáng)?中考真題)小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后,對(duì)一條東西走向的
隧道A8進(jìn)行實(shí)地測(cè)量.如圖所示,他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15。方
向上,他沿西北方向前進(jìn)1006米后到達(dá)點(diǎn)。,此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上,端點(diǎn)8
在他的北偏西60。方向上,(點(diǎn)A、B、C、。在同一平面內(nèi))
(1)求點(diǎn)。與點(diǎn)A的距離;
(2)求隧道A3的長(zhǎng)度.(結(jié)果保留根號(hào))
27.(2022?貴州安順?中考真題)隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨
完善.某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋,2021~2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè),如圖,在
斜坡CB上有一建成的5G基站塔A8,小明在坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45。,然后他沿
坡面CB行走了50米到達(dá)。處,。處離地平面的距離為30米且在。處測(cè)得塔頂A的仰角
43
53。.(點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi),CE為地平線)(參考數(shù)據(jù):sin53°^-,cos53°?1,
4
tan53°a—)
3
(1)求坡面C3的坡度;
(2)求基站塔A8的高.
【類型③】三角函數(shù)的應(yīng)用》*“坡度★★坡比
28.(2022.遼寧錦州?中考真題)如圖,一艘貨輪在海面上航行,準(zhǔn)備要停靠到碼頭C,
貨輪航行到A處時(shí),測(cè)得碼頭C在北偏東60。方向上.為了躲避A,C之間的暗礁,這艘貨
輪調(diào)整航向,沿著北偏東30。方向繼續(xù)航行,當(dāng)它航行到B處后,又沿著南偏東70。方向航
行20海里到達(dá)碼頭C.求貨輪從A到B航行的距離(結(jié)果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù):
sin50°~0.766,cos50cM).643,tan50°~1.192).
北
29.(2022?江蘇徐州?中考真題)如圖,公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB,其旁邊有
一個(gè)坡面CQ,坡角NQCN=30.在陽(yáng)光下,小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為120cm,在坡
面上的影長(zhǎng)為180cm.同一時(shí)刻,小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm(其
影子完全落在地面上).求立柱AB的高度.
A
30.(2022.湖南郴州.中考真題)如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面,壩高CD=20m,背水坡
8c的坡度為彳=1:1.為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固,降低背水坡的傾斜程度,設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)
備把背水坡的坡度改為=1:6,求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離.(參考數(shù)據(jù):
近=1.41,百=1.73.結(jié)果精確到0.1m)
【知識(shí)點(diǎn)四】三角函數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用
【類型①】三角函數(shù)的應(yīng)用》”一次函數(shù)
31.(2013?黑龍江牡丹江?中考真題)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的對(duì)角線
AC=12,tanNACO=g
3
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)把矩形沿直線DE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處,DE與AC相交于點(diǎn)F,求直線DE的
解析式;
(3)若點(diǎn)M在直線DE上,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以0、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊
形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
32.(2021?天津東麗?一模)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為
(0,73),把AABO繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△A'8'O,記旋轉(zhuǎn)角為a.
(I)如圖①,當(dāng)a=30°時(shí),求點(diǎn)8'的坐標(biāo).
(H)設(shè)直線A4與直線8B'相交于點(diǎn)如圖②,當(dāng)&=90。時(shí),求AABM的面積.
33.(2020?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè))如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中A(0,2),點(diǎn)8(-
3,0).△繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到AAQB/.
(1)直接寫出點(diǎn)8/的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)C(2,0),連接CA/交0A于點(diǎn)。,求點(diǎn)。的坐標(biāo).
【類型②】三角函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)
34.(2021.山東泰安.中考真題)如圖,點(diǎn)P為函數(shù)>與函數(shù)y=*x>。)圖象
的交點(diǎn),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,P8_Lx軸,垂足為點(diǎn)民
(1)求m的值;
(2)點(diǎn)M是函數(shù)y=—(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作M£)_L8P于點(diǎn)O,若
x
tan/.PMD--,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
2
35.(2014?江西南昌?中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,RSPBD的斜邊PB落在
1
y軸上,tan/BPD=2延長(zhǎng)BD交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)D作DALx軸,垂足為A,OA=4,
OB=3.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
k
(2)若點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=x(k>0)的圖象上,求反比例函數(shù)的解析式.
36.(2022?四川宜賓?中考真題)如圖,一次函數(shù)丫=以+。的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4,0),
與y軸交于點(diǎn)8,與反比例函數(shù)N=>0)的圖象交于點(diǎn)C、O.若tanABAO=2,BC=3AC.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求A。。的面積.
參考答案
1.I
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,零指數(shù)累,實(shí)數(shù)的運(yùn)算,有理數(shù)的乘方,絕對(duì)值等
計(jì)算法則求解即可.
解:|-3|-2tan450+(-1)2022--TT)0
=3-2xl+l-l
=3—2+1-1
【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,零指數(shù)嘉,實(shí)數(shù)的運(yùn)算,有理數(shù)的乘方,絕
對(duì)值,準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵.
2.1-近
解:試題分析:首先根據(jù)絕對(duì)值、0次幕、負(fù)指數(shù)次基、三角函數(shù)以及-1的偶數(shù)次基的
計(jì)算法則求出各式的值,然后進(jìn)行求和得出答案.
也.
試題解析:原式=1+應(yīng)-1-及-2x2+I=I.A/2
考點(diǎn):實(shí)數(shù)的計(jì)算
3.0
【分析】根據(jù)零指數(shù)幕,絕對(duì)值的化簡(jiǎn),負(fù)整數(shù)指數(shù)幕,特殊角的函數(shù)值計(jì)算即可
解:(2021-萬(wàn))°-[3->/^+4cos30
=l+3-26+4x立-4
2
=0.
【點(diǎn)撥】本題考查了零指數(shù)幕,負(fù)整數(shù)指數(shù)基,特殊角的函數(shù)值,二次根式的化簡(jiǎn),絕對(duì)值
的化簡(jiǎn),熟練掌握各種運(yùn)算的基本法則是解題的關(guān)鍵.
a-2八
4.——-,0
。+2
【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法,再將除法變成乘法進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)銳角三角函數(shù),負(fù)
指數(shù)塞和零次塞的性質(zhì)求出a,最后代入計(jì)算.
a2-4(a+2)2
a-\a-\
(a+2)(〃-2)a—1
Q-l(a+2)2
a-2
。+2
a=tan45°+—710=l+2—l=2,
?.?原式=黑=第=°.
【點(diǎn)撥】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值,銳角三角函數(shù),負(fù)指數(shù)幕和零次塞的性質(zhì),熟練
掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
x
5.
龍+22
【分析】先約分,再算分式的減法以及除法運(yùn)算,進(jìn)行化簡(jiǎn),再代入求值,即可.
(x+l)(x-1)1
解:原式二
x+2
x+l1X-1
x—ix—\)x+2
xx-1
x-\x+2
x
x+2'
當(dāng)x=&i+|-2|-3tan60°=3>/3+2-3V3=2時(shí),原式=;-
【點(diǎn)撥】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值,掌握分式的混合運(yùn)算法則以及特殊角三角函數(shù)
值,是解題的關(guān)鍵.
6Azl3-46
?T7T3
【分析】括號(hào)內(nèi)先通分進(jìn)行分式的減法運(yùn)算,然后進(jìn)行分式的除法運(yùn)算,將特殊角的三
角函數(shù)值代入x=3tan30。-3求出x的值,然后代入化筒后的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可.
2
(內(nèi)由T2(X+1)X-1(X+3)
解:原式=------L-----------
X4-1X4-1(x+l)(l)
2x+2-x+l+
X+I.(X+3)2
x+3(x+1)(x-l)
一》+「(x+3)2
_x-1
x+3'
當(dāng)x=3tan300—3=3x3—3=>A—3l^j,
3
73-3-1_x/3-4_3-4x/3
坊、工1——r=-7=一>
6-3+3V33
【點(diǎn)撥】本題考查了分式的混合運(yùn)算——化簡(jiǎn)求值,涉及了分式的減法、乘除法運(yùn)算,
特殊角的三角函數(shù)值,二次根式的混合運(yùn)算等,熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
7.(1)見分析:(2)3
【分析】(I)由NC+ND8尸=90。,ZC+ZZMC=90°,推出NZ陽(yáng)尸=/ZMC,由此即
可證明;
ACAD
(2)先證明AD=3Z),由AACDS^BFD,得二三==1,即可解決問題.
BFBD
解:(1)證明:VADJ.BC,BELAC,
:.ZBDF=ZADC=NBEC=90°,
...ZC+ZDBF=90°,NC+ZDAC=90°,
/DBF=NDAC,
:.AACDSABFD.
(2)VtanZABD=\,ZADB=90°,
.AD
?,--=1,
BD
:.AD=BD,
,:AACDS/\BFD,
.ACAD
??--=---=1,
BFBD
:.BF=AC=3.
【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握
相似三角形的判定和性質(zhì),屬于中考??碱}型.
8.(I)見分析;(2)①正;②空
53
【分析】(1)先根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等得出?ABD4,再根據(jù)ASA
得出AACZ)三ABA尸即可.
(2)①過點(diǎn)。作于點(diǎn)G,根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)直角邊是斜邊的一半可
得E?C=;AC,從而得出CE=g8C,由BE=6得出CE=2,BC=4,根據(jù)勾股定理得出
DG=g,然后根據(jù)tanNDBE=g1即可.
DCJ
DF1
②在RtSBDG中,根據(jù)勾股定理得出BD的長(zhǎng),再根據(jù)bCDF-AABF得出蕓=:即
BD3
可得出DF的長(zhǎng).
解:(1)證明:AD?=DF?DB,?--zrz;=——
DFAD
又?.?ZADF=/BDA,..MDF-/SBDA,/.ZABD=ZFAD.
?/AABC和ACDE均為等邊三角形,
/.AB=AC,ZBAC=ZACB=/DCE=60。,
ZACD=60%:.ZACD=ZBAF=60°,
AACD=AeAF,:.AD=BF.
(2)①Q(mào)ZBAL>=90。,Z^4C=60°,ZC4L>=30°,
???ZAC。=60。,/.ZA£)C=90°,
DC=-AC:.CE=-BC.
292
,/BE=6,CE-2,BC—4,
過點(diǎn)。作DGLBE于點(diǎn)G,
ACDE為等邊三角形,
:.CG=EG=\,BG=5.
在RtACDG中,DG=y/3,
tanZDBE.
BG5
②在RtABOG中,BD=dBG2+DG°=R+W=2不,
vZABC=ZDCE=60°,:.CD//AB,;.ACDF?的F,
DFCD1DF12x/7
..==-,..=—,DF=------.
BFAB2BD33
【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),
以及銳角三角函數(shù),熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
9.(1)見分析;(2)BE1AB,理由見分析;(3)近-1.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,ZA=ZCDE,再由等腰三角形的性質(zhì)得到
ZA=ZADC即可證明NADC=NCDE;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ACD=/BCE,CB=CE,AC=CD,從而得出
ZCAD=ZADC=/CBE=ZCEB,再根據(jù)/ACB=90°即可得至U/ABE=90°;
(3)設(shè)BD=BE=a,根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=DE=&”,表達(dá)出AD,再證明
△ACDSABCE,得至IJ42=4£=缶一"=正一1即可.
BEBCa
解:(1)由旋轉(zhuǎn)可知:AC=CD,ZA=ZCDE,
.*.ZA=ZADC,
/ADC=ZCDE,即DC平分/ADE;
(2)BE±AB,
理由:由旋轉(zhuǎn)可知,ZACD=ZBCE,CB=CE,AC=CD,
ZCAD=ZADC=ZCBE=ZCEB,
又;ZACB=90°,
;.NCAD+NABC=90。,
二ZCBE+ZABC=90°,
即NABE=90°,
.,.BE1AB;
(3)VZABE=900,BD=BE,
.?.設(shè)BD=BE=a,則DE=\IBD2+BE2=41a>
又;AB=DE,
,AB=\/2a1則AD=~j2a—a<
由(2)可知,ZACD=ZBCE,ZCAD=ZADC=ZCBE=ZCEB,
.,.△ACD^ABCE,
,ADACyfla-a[T
??==---------=72-1,
BEBCa
AC/—
AtanZABC=——=,2-1.
BC
【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)的定
義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),并熟記銳角三角函數(shù)的定義.
10.(1)證明見分析(2)昱
3
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可;
(2)作。根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)解答即可.
解:(1);四邊形A8C力是平行四邊形,
:.AB//DC,
AZ1=Z2.
/是8。的中垂線,
:.OD=OB,Z3=Z4=90°,
??.△DOF咨ABOE,
:?OE=OF;
(2)W-DG±ABf垂足為G.
VZA=60°,AD=6,
???ZADG=30°,
:.AG=-AD=3
2f
u
:AB=2ADf
AAB=2x6=12,BG=AB-AG=12-3=9,
?,/AnnDG百
..tanZABD==—^―=——.
3G93
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和正切的定義,關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和
全等三角形的判定和性質(zhì)解答.
11.(1)見分析;(2)cos/DAE=|石
【分析】(1)先求出BC的長(zhǎng),繼而根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行證明即可得;
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得AB=16,NABE=90。,繼而根據(jù)勾股定理求出AE的
長(zhǎng),然后利用余弦的定義求出cos/EAB的值,再根據(jù)NDAE=NEAB即可求得答案.
解:(1);四邊形ABCD是平行四邊形,
;.AD=BC,AD〃BC,
/.ZAED=ZEAB.
:AE平分NDAB,
,/DAE=NEAB,
,ZAED=/DAE,
AD=DE=10,
ABC=10,
又?.?BE=8,CE=6,
ABE2+CE2=BC2,
???△BEC為直角三角形,
JZBEC=90°;
(2)VDE=10,CE=6,
ACD=DE+CE=16,
???四邊形ABCD是平行四邊形,
AAB//CD,AB=CD=16,
AZABE=ZBEC=90°,
AE=yjBE2+AB2=8石,
162r-
???C°S/EAB=^=W,
VZDAE=ZEAB,
."?cosZDAE==1^.
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),勾股定理的逆定理,余弦等知識(shí),熟練掌握相
關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
12.(1)見分析;(2)24.
【分析】(I)根據(jù)已知條件得到AF=CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NDFA=/BEC,根
據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CB,ZDAF=ZBCE,于是得到結(jié)論;
(2)根據(jù)已知條件得到ABCG是等腰直角三角形,求得BG=CG=4,解直角三角形
得至AG=10,根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論.
解:(1)證明:;AE=CF,
;.AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
:DF〃BE,
NDFA=NBEC,
VDF=BE,
.,.△ADF^ACBE(SAS),
.'.AD=CB,ZDAF=ZBCE,
,AD〃CB,
四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)解:VCG±AB,
,ZG=90°,
/CBG=45。,
...△BCG是等腰直角三角形,
VBC=4V2,
,BG=CG=4,
VtanZCAB=,
.*.AG=IO.
;.AB=6,
.?.□ABCD的面積=6x4=24,
故答案為24.
【點(diǎn)撥】本題考查了平行相交線的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角
形,正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.
64-x2
13.⑴證明見分析⑵tanND4F=>6%
【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/8=/。=90°,BC=AD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到
BC=CE,NE=NB=90°,等量代換得到NE=NZ)=90°,AQ=CE,根據(jù)A4S證明三角
形全等即可;
(2)設(shè)DF=a,則CF=8-a,根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF=CF=8-a,在
即△人〃尸中,根據(jù)勾股定理表示出。尸的長(zhǎng),根據(jù)正切的定義即可得出答案.
(1)證明:;四邊形48co是矩形,
...NB=N£>=90。,BC=AD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得:BC=CE,Z£=ZB=90°,
ZCFE=ZAFD
/.ZE=ZD=90o,AD=CE,在尸與ZkAO尸中,<ZD=Z£=90,
AD^CE
:ACEF沿AADF(AAS);
(2)解:設(shè)。產(chǎn)=。,則b=8-“,
???四邊形ABC。是矩形,
:.AB//CD,AD=BC=x,
:.ZDCA^ZBAC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得:ZEAC^ZBAC,
:.ZDCA=ZEAC,
:.AF=CF=3-a,在RSAOF中,
":AD2+DF2=AF2,
.,.%2+。2=(8-4)2,
【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),翻折變換
(折疊問題),根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF=CF是解題的關(guān)鍵.
O
14.(1)717(2)—V34
【分析】(I)先由RfAABE可求得AE的長(zhǎng)度,再由角度關(guān)系可得NE4E=90,,即可求得EF
的長(zhǎng);
(2)過尸作PM_LCE于M,利用勾股定理列方程,即可求出EM的長(zhǎng)度,同時(shí)求出尸M
的長(zhǎng)度,得出答案.
解:(1)設(shè)BE=x,則EC=4-x,
AE=EC=4-x,
在RAABE中,AB2+BE2^AE2.
二(2&丫+/=(4_到2,
:.X=1,
:.BE=1,AE=CE=3,
AE=ECf
???Z1=Z2,
I/ABC=90°,
NC48=90-/2,
ZC4B=90-Z1,
由折疊可知AE4C=ABAC,
AZFAC=ZCAB=90-Z1,AF=AB=2近,
ZMC+Z1=9O\
/.ZME=9O,
J(2&”32=g
:.ZFME=ZFMC=90°,
設(shè)EM=a廁EC=3-a,
在RNFME中,FM2=FE2-EM2
在Rt^FMC中,F(xiàn)M2=FC2-MC2,
FE2_EM?=FC?_MC2,
.,.(VF7)2-a2=42-(3-a)2,
5
EM=-,
3
【點(diǎn)撥】此題考查了銳角三角函數(shù),勾股定理,矩形的性質(zhì),通過添加輔助線構(gòu)建直角
三角形是解題的關(guān)鍵.
2-應(yīng)2+應(yīng)n____
15.⑴見分析(2)2或2⑶5或42-1
【分析】(1)根據(jù)題意可得N4=NO=NBEG=90。,可得即可求證;
(2)根據(jù)題意可得AB=2DH,AD=2AB,AD=4DH,設(shè)DH=x,AE=a,則AB=2x,AD=4x,
可得。E=4x-m再根據(jù)△ABES/\OEH,可得x=包生或R-⑹即可求解;
22
(3)根據(jù)題意可得EG=〃BE,然后分兩種情況:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即
可求解.
(1)解:根據(jù)題意得:ZA=ZD=ZBEG=90°,
;.NAEB+NDEH=90。,ZAEB+ZABE=90°,
,ZDEH=ZABE,
:.4ABEs叢DEH;
(2)解:根據(jù)題意得:AB=2DH,AD=2AB,
:.AD=4DH,
設(shè)Q4=x,AE=a,則AB=2r,AD=4.x,
.*.£)E=4x-tz,
△ABES/\DEH,
,ABAE
??瓦一而‘
,二^=@,解得:工_(2+⑹?;颍?-&)”,
4x-ax22
A8=(2+&)a或(2-a)a,
?/A,〉廠4E2—y/22+V2
?,tanNABE----------------k--------:
AB22
(3)解::矩形EWPs矩形ABC。,AD=fiAB(n>l)
:.EG=nBEf
如圖,當(dāng)FH=BH時(shí),
?:/BEH=NFGH=9G,BE=FG,
:.RtLBEH^RtLFGH,
:.EH=GH=-EG
2t
n
:.EH=—BE,
2
*.*AABESADEH,
.DEEHnn
一,即OE=—AB,
ABBE22
n
.?.AE=AD-DE=-AB,
2
二tanZAB£=—=-
AB2
如圖,當(dāng)FH=BF=”BE時(shí),
AED
HG=ylFH2-FG2==dn'-lBE,
EH=EG-HG=[n-)BE,
':△ABEs^DEH,
:.-=—=n-yjn2-\,DE=(n-\ln2-\)AB,
ABBE\/
?*-AE=AD-DE=,
AFI------
:.tanZ.ABE==—1;
AB
綜上所述,tanNABEt的值為5或后二L
【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),
勾股定理等知識(shí),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾
股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
16.(1)1;(2)-
4
【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合可求得40的長(zhǎng).
(2)根據(jù)MO=AO-AM,BO=;BD,在?ABOM中即可求出lanNMBO的值.
解:(1)?.?ABC。是菱形,AC=4,8O=8
AE//BC,AD=BC
/XAMEsACMB
AEAMAEAM
...——=---即nn——=---------
BCMCBCAC-AM
?/AE=-AD,AD=BC
3
.AM-1
,-3
:.AM=\
(2)是菱形,AC=4,BD=8
AO=-AC=-x4=2,BO=-BD=-xS=4,NBOM=90°
2222
:.MO=AO-AM=2-\=1
在MABOM中,tanZMBO=—=-
BO4
【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的基本性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),以及解直角三角形,
熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
17.探究:證明見分析;操作一:56;操作二:72.
【分析】探究:先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AZ)〃G”,AG〃r>",再根據(jù)平行四邊形的
判定可得四邊形4G”。是平行四邊形,然后根據(jù)菱形的判定即可得證;
操作一:先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=FE,NO=NE,再根據(jù)三角形全等的判定定理與
性質(zhì)可得=然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式即可得;
操作二:先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得A4DG是等腰三角形,且
旗平分ZDAG,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得ABLZJG,DN=NG=^DG,然后利
用正弦三角函數(shù)可求出DN的長(zhǎng),從而可得DG的長(zhǎng),最后根據(jù)矩形的判定可得四邊形OC尸G
是矩形,據(jù)此利用矩形的面積公式即可得.
解:探究:???四邊形A8CO和的1G都是平行四邊形
AE//GF,AB//DC,即AD//GH,AG//DH
四邊形AG"。是平行四邊形
又?.?A£)=AG=5
平行四邊形AG"。是菱形;
操作一:如圖,設(shè)AE與DF相交于點(diǎn)H,AB與FG相交于點(diǎn)M
???四邊形ABCO和AEFG是兩個(gè)完全直合的平行四邊形
;.AD=FE,ND=NE,DF=AB=9
ZD=NE
在gDH和4FEH中,NAHD=/FHE
AD=FE
:.,ADH=J^EH(AAS)
:.AH=FH,SDH和/XFEH的周長(zhǎng)相等
同理可得:*J)H三#EH三:正BM三W3M
:^ADH>AFEH、4FBM、AAGM的周長(zhǎng)均相等
又:AD=5,DF=AB=9
“ADH的周長(zhǎng)為=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14
則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長(zhǎng)和為皿,=4x14=56
故答案為:56;
操作二:如圖,設(shè)AB與DG相交于點(diǎn)N
???四邊形ABCD和WG是兩個(gè)完全重合的平行四邊形
/.AD=AG=5,CD=FG=AB=9,NBAD=ZBAG,CD//AB//FG
,△ADG是等腰三角形,且A3平分/DAG
:.AB±DG,DN=NG=-DG
2
:.CDA.DG
在HAADN中,sinZM4D=—DN=4-,即D?N=4=
AD555
解得£W=4
:.DG=2DN=8
又?:CDMFG,CD=FG
四邊形。CFG是平行四邊形
.CDIDG,即NC£>G=90°
二平行四邊形OCFG是矩形
則四邊形OCFG的面積為£>GC£>=8x9=72
故答案為:72.
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定、
矩形的判定、正弦三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),熟記并靈活運(yùn)用各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
18.(1)證明見分析;(2)AO=1.
【分析】(I)由菱形的性質(zhì)得出AB=AD,AC平分NBAD,再根據(jù)等腰三角形的三線
合一即可;
(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件得出四邊形EBDG為平行四邊形,得出NG=NABD,
再根據(jù)tanG=y即可求出AO的長(zhǎng).
解:(1)證明:?.?四邊形ABCD為菱形
;.AB=AD,AC平分NBAD
,/BE=DF,
:?AB-BE=AD-DF,
二AE=AF
.?.△AEF是等腰三角形,
:AC平分/BAD,
;.AC_LEF
(2)解:如圖2所不:
圖2
?.,四邊形ABCD為菱形,
;.CG〃AB,BO=|BD=2,
VEF/7BD
.??四邊形EBDG為平行四邊形,
AZG=ZABD,
tanZABD=tanZG=g
.A。AO1
??tanNABD===—
BO22
AAO=1
【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、解直角三角形,等腰三角形的
性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
19.(1)證明見分析;(2)y.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC,ZA=ZCBN=90°,Zl+Z2=90°,
根據(jù)垂線和三角形內(nèi)角和定理得到N2+N3=90。,推出N1=N3,根據(jù)ASA推出
△ABE^ABCN;(2)tanZABE=—,根據(jù)已知求出AE與AB的關(guān)系即可求得tanNABE.
AB
解:(1)證明:如圖,
?四邊形A8C。為正方形
:.AB=BC,ZA=NCBN=9Q°,/l+N2=90°
?;CM工BE,.-.Z2+Z3=90°,Z1=Z3
'NA=NCBN
在AABE和ABC7V中,AB=BC
N1=N3
:.^ABE^ABCN(ASA);
(2)?.?N為AB中點(diǎn),
BN=-AB
2
又,;/\ABE=\BCN,
AE=BN=-AB
2
AEAE1
在中,tanNABE==
RtAABE~AB2AE~2
【點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、垂線、全等三角形的性質(zhì)
和判定以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的掌握和理解,證出△ABE^ABCN是解此題的關(guān)鍵.
9
20.(1)證明見分析;(2)—.
【分析】(1)根據(jù)輔助線的性質(zhì)得到ZADC=ZABC=90°,由鄰補(bǔ)角的定義得
到NAO尸=/A8E=90。,于是得到結(jié)論;
(2)過點(diǎn)4作于點(diǎn)4,根據(jù)勾股定理得到EO=7CD2+CE2=5,
i9i9
根據(jù)三角形的面積?VIEZMjADxBA),SAADE=-^-EDXAH=-,求得47=1.8,由三角函數(shù)
22
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