銳角三角函數(shù)（挑戰(zhàn)綜合（壓軸）題分類專題）

專題28.19銳角三角函數(shù)（挑戰(zhàn)綜合（壓軸）題分類專題）

（專項練習）

【知識點一】三角函數(shù)的運算計算★★化簡★★求值

【類型①】三角函數(shù)的運算》一直接計算

1.（2022,湖南岳陽?中考真題）計算：卜與-ZtaiMSo+Jiy^TG-%）。.

2.（2016?貴州畢節(jié)?中考真題）計算:

(ff-3J4)0+-2sm45'+(-lJ**ltf

3.（2021?山東荷澤?中考真題）計算：（2021-》）"-|3-V^+4cos30。-ai-

【類型②】三角函數(shù)的運算＞?“化解★★求值

4-（2。22?山東濱州?中考真題）先化簡，再求值：1+1-言卜片詈，其中

a=tan450+

--1__1]x+2

5.（2021?遼寧營口?中考真題）先化簡，再求值:,其中

x2—2,x+1x—1x—1

x=^+|-2|-3tan6O0.

6.（2。2。.黑龍江黑龍江.中考真題）先化簡,再求值：（2-彳E卜一其

中x=3tan3O0-3.

【知識點二】三角函數(shù)在幾何問題中的應用

【類型①】三角函數(shù)的應用*>“三角形

7.(2016?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，在小8C中，ADJ.BC,BE1AC,垂足

分別為。，E,AD與8E相交于點

(1)求證：AACDSABFD；

(2)當tanNAB￡)=l,4c=3時，求防的長.

8.(2020?四川眉山?中考真題)如圖，和ACDE都是等邊三角形，點8、C、E三

點在同一直線上，連接80,AD,BD交AC于點F.

(1)若AD2=DF-DB，求證：AD=BF;

(2)若/BAD=90°,BE=6.

①求tanNDBE的值：

②求。尸的長.

9.(2021?四川阿壩?中考真題)如圖，RsA3c中，ZACB=90°,將"1BC繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)得到A0EC,點。落在線段AB上，連接BE.

(1)求證：DC平分NADE；

(2)試判斷BE與A8的位置關(guān)系，并說明理由:

(3)若BE=BD,求tanNABC的值.

【類型②】三角函數(shù)的應用平行四邊形

10.(2018?廣西百色?中考真題)平行四邊形ABCD中，13A=60。，AB=2AD,BD的中垂

線分別交AB,CD于點E,F,垂足為O.

(1)求證：OE=OF；

(2)若AD=6,求tanBABD的值.

11.(2019?江蘇揚州?中考真題)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分/DAB,已知

CE=6,BE=8,DE=10.

(1)求證：ZBEC=90°；

(2)求cos/DAE.

12.（2019?遼寧沈陽?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E和點F是對角線AC

上的兩點，AE=CF,DF=BE,且DF〃BE,過點C作CGJ_AB交AB的延長線于點G.

2

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若tan/CAB=j,ZCBG=45°,BC

=40,貝gABCD的面積是_______.

BG

【類型③】三角函數(shù)的應用>?“矩形

13.（2022?湖北荊門?中考真題）如圖，已知矩形ABCQ中，AB=8,BC=x（0<x<8）,

將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點凡

(1)求證：△CEF/ADF；

（2）求tanNDAP的值（用含x的式子表不）.

14.（2022?江蘇無錫?中考真題）如圖，已知四邊形ABCO為矩形AB=2夜，3c=4,

點E在8C上，CE=AE,將△ABC沿4c翻折到△AFC,連接EF.

（1）求EF的長;

（2）求sin/CE尸的值.

15.（2022.四川成都.中考真題）如圖，在矩形48CD中，AD=nAB（n>l）,點E是AO

邊上一動點（點E不與A,。重合），連接8E,以BE為邊在直線8E的右側(cè)作矩形EBFG,

使得矩形EBFGs矩形ABC。，EG交直線8于點

（1）【嘗試初探】在點E的運動過程中，與△。團始終保持相似關(guān)系，請說明理

由.

(2)【深入探究】若〃=2,隨著E點位置的變化，”點的位置隨之發(fā)生變化，當〃是

線段CO中點時，求tanNABE的值.

⑶【拓展延伸】連接8",當ABF”是以尸”為腰的等腰三角形時，求tanZABE

的值(用含〃的代數(shù)式表示).

【類型④】三角函數(shù)的應用菱形

16.(2021?吉林長春?中考真題)如圖，在菱形ABC。中，對角線AC與8。相交于點O,

AC=4,50=8,點E在邊上，AE=1AD,連結(jié)8E交AC于點M.

(I)求AM的長.

(2)tanNMBO的值為.

17.(2020?吉林?中考真題)能夠完全重合的平行四邊形紙片ABC。和AEFG按圖①方式

擺放，其中仞=AG=5,A8=9.點Q,G分別在邊AE,A8上，C。與FG相交于點

【探究】求證：四邊形AG〃〃是菱形.

【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片ABC。，將平行四邊形紙片但'G繞著點A順

時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點F與點C重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分

圖形的周長和為.

［操作二】四邊形紙片AEFG繞著點A繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點E與點8重合,

圖①圖②圖③

18.(2019?北京?中考真題)如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E,F分別在

AB,AD上，BE=DF,連接EF.

(1)求證：AC±EF；

(2)延長EF交CD的延長線于點G,連接BD交AC于點O,若BD=4,tanG=g,求

AO的長.

A

【類型⑤】三角函數(shù)的應用正方形

19.(2018?寧夏?中考真題)已知點E為正方形ABCD的邊AD上一點，連接BE,過

點C作CN_LBE,垂足為M,交AB于點M

(1)求證：△ABE絲△BCN；

(2)若N為AB的中點，求ta八/ABE.

20.(2016?湖南株洲?中考真題)已知正方形ABC。中，BC=3,點、E、F分別是CB、CD

延長線上的點，DF=BE,連接AE、AF,過點A作AHLEZ)于4點.

(1)求證：AADF絲△ABE；

(2)若BE=1,求tan/AE。的值.

21.(2016?浙江杭州?中考真題)如圖，已知四邊形ABCQ和四邊形。EFG為正方形，

點E在線段OC上，點A,D,G在同一直線上，且AO=3,DE=1,連接4C,CG,AE,

并延長AE交CG于點H.

(1)求sinNE4c的值；

(2)求線段AH的長.

【知識點三】三角函數(shù)在實際生產(chǎn)生活中的應用

【類型①】三角函數(shù)的應用仰角★★俯角

22.(2022.廣東廣州.中考真題)某數(shù)學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量

旗桿的高度.如圖，在某一時刻，旗桿的AB的影子為BC,與此同時在C處立一根標桿CD,

標桿CD的影子為CE,CD=1.6m,BC=5CD.

(1)求3C的長；

(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇二個作為已知，

求旗桿AB的高度.

條件①：CE=1.0m；條件②：從。處看旗桿頂部A的仰角a為54.46。.

注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.參考數(shù)據(jù)：sin54.46%0.81,

cos54.46°~0.58,tan54.46°=1.40.

23.(2022?遼寧阜新?中考真題)如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知

識測量居民樓的高度A3,在居民樓前方有一斜坡，坡長C￡>=15m,斜坡的傾斜角為a,

4

cosa=w.小文在C點處測得樓頂端A的仰角為60。，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°

(點A,B,C,。在同一平面內(nèi)).

(1)求C,。兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度AB.（結(jié)果精確至hm,參考數(shù)據(jù)：下）=1.7）

24.（2022.遼寧朝陽?中考真題）某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度

（旗桿底端有臺階）.該小組在C處安置測角儀CZ）,測得旗桿頂端A的仰角為30。，前進

8m到達E處，安置測角儀EF,測得旗桿頂端4的仰角為45。（點B,E,C在同一直線上），

測角儀支架高CD=EF=L2m,求旗桿頂端A到地面的距離即A8的長度.（結(jié)果精確到1m.參

考數(shù)據(jù)：73-1.7）

【類型②】三角函數(shù)的應用方位角

25.（2022?湖北襄陽?中考真題）位于幌山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是

為紀念“襄樊戰(zhàn)役''中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻

身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量紀念塔的高度.無人機在點4

處測得紀念塔頂部點B的仰角為45。，紀念塔底部點C的俯角為61。，無人機與紀念塔的水

平距離40為10m,求紀念塔的高度.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin61°~0.87,cos61°=0.48,

tan610~1.80）

26.（2022?四川資陽?中考真題）小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的

隧道A8進行實地測量.如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15。方

向上，他沿西北方向前進1006米后到達點。，此時測得點A在他的東北方向上，端點8

在他的北偏西60。方向上，（點A、B、C、。在同一平面內(nèi)）

（1）求點。與點A的距離；

（2）求隧道A3的長度.（結(jié)果保留根號）

27.（2022?貴州安順?中考真題）隨著我國科學技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動通信技術(shù)日趨

完善.某市政府為了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡全覆蓋，2021~2025年擬建設(shè)5G基站3000個，如圖，在

斜坡CB上有一建成的5G基站塔A8,小明在坡腳C處測得塔頂A的仰角為45。，然后他沿

坡面CB行走了50米到達。處，。處離地平面的距離為30米且在。處測得塔頂A的仰角

43

53。.（點A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°^-,cos53°?1,

4

tan53°a—）

3

（1）求坡面C3的坡度;

（2）求基站塔A8的高.

【類型③】三角函數(shù)的應用》*“坡度★★坡比

28.（2022.遼寧錦州?中考真題）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C,

貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60。方向上.為了躲避A,C之間的暗礁，這艘貨

輪調(diào)整航向，沿著北偏東30。方向繼續(xù)航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70。方向航

行20海里到達碼頭C.求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù)：

sin50°~0.766,cos50cM).643,tan50°~1.192).

北

29.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB,其旁邊有

一個坡面CQ,坡角NQCN=30.在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm,在坡

面上的影長為180cm.同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其

影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

A

30.（2022.湖南郴州.中考真題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20m,背水坡

8c的坡度為彳=1:1.為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準

備把背水坡的坡度改為=1：6，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離.（參考數(shù)據(jù):

近=1.41,百=1.73.結(jié)果精確到0.1m）

【知識點四】三角函數(shù)在函數(shù)中的應用

【類型①】三角函數(shù)的應用》”一次函數(shù)

31.（2013?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線

AC=12,tanNACO=g

3

(1)求B、C兩點的坐標；

(2)把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F,求直線DE的

解析式；

(3)若點M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點N,使以0、F、M、N為頂點的四邊

形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

32.(2021?天津東麗?一模)在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,0),點B的坐標為

(0,73),把AABO繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)，得到△A'8'O,記旋轉(zhuǎn)角為a.

(I)如圖①，當a=30°時，求點8'的坐標.

(H)設(shè)直線A4與直線8B'相交于點如圖②，當&=90。時，求AABM的面積.

33.(2020?河北石家莊?模擬預測)如圖所示，在平面直角坐標系中A(0,2),點8(-

3,0).△繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到AAQB/.

(1)直接寫出點8/的坐標；

(2)點C(2,0),連接CA/交0A于點。，求點。的坐標.

【類型②】三角函數(shù)的應用反比例函數(shù)

34.(2021.山東泰安.中考真題)如圖，點P為函數(shù)＞與函數(shù)y=*x＞。)圖象

的交點，點P的縱坐標為4,P8_Lx軸，垂足為點民

(1)求m的值;

(2)點M是函數(shù)y=—(x>0)圖象上一動點，過點M作M￡)_L8P于點O,若

x

tan/.PMD--,求點M的坐標.

2

35.(2014?江西南昌?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，RSPBD的斜邊PB落在

1

y軸上，tan/BPD=2延長BD交x軸于點C,過點D作DALx軸，垂足為A,OA=4,

OB=3.

(1)求點C的坐標；

k

(2)若點D在反比例函數(shù)y=x(k>0)的圖象上，求反比例函數(shù)的解析式.

36.(2022?四川宜賓?中考真題)如圖，一次函數(shù)丫=以+。的圖象與x軸交于點A(4,0),

與y軸交于點8,與反比例函數(shù)N=>0)的圖象交于點C、O.若tanABAO=2,BC=3AC.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;

(2)求A。。的面積.

參考答案

1.I

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)累，實數(shù)的運算，有理數(shù)的乘方，絕對值等

計算法則求解即可.

解：|-3|-2tan450+(-1)2022--TT)0

=3-2xl+l-l

=3—2+1-1

【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)嘉，實數(shù)的運算，有理數(shù)的乘方，絕

對值，準確熟練地化簡各式是解題的關(guān)鍵.

2.1-近

解：試題分析：首先根據(jù)絕對值、0次幕、負指數(shù)次基、三角函數(shù)以及-1的偶數(shù)次基的

計算法則求出各式的值，然后進行求和得出答案.

也.

試題解析：原式=1+應-1-及-2x2+I=I.A/2

考點：實數(shù)的計算

3.0

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕，絕對值的化簡,負整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的函數(shù)值計算即可

解：(2021-萬)°-[3->/^+4cos30

=l+3-26+4x立-4

2

=0.

【點撥】本題考查了零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)基，特殊角的函數(shù)值，二次根式的化簡,絕對值

的化簡，熟練掌握各種運算的基本法則是解題的關(guān)鍵.

a-2八

4.——-,0

。+2

【分析】先算括號內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進行計算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負

指數(shù)塞和零次塞的性質(zhì)求出a，最后代入計算.

a2-4(a+2)2

a-\a-\

(a+2)(〃-2)a—1

Q-l(a+2)2

a-2

。+2

a=tan45°+—710=l+2—l=2,

?.?原式=黑=第=°.

【點撥】本題考查了分式的化簡求值，銳角三角函數(shù)，負指數(shù)幕和零次塞的性質(zhì)，熟練

掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

x

5.

龍+22

【分析】先約分，再算分式的減法以及除法運算，進行化簡，再代入求值，即可.

(x+l)(x-1)1

解：原式二

x+2

x+l1X-1

x—ix—\)x+2

xx-1

x-\x+2

x

x+2'

當x=&i+|-2|-3tan60°=3>/3+2-3V3=2時，原式=；-

【點撥】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則以及特殊角三角函數(shù)

值，是解題的關(guān)鍵.

6Azl3-46

?T7T3

【分析】括號內(nèi)先通分進行分式的減法運算，然后進行分式的除法運算，將特殊角的三

角函數(shù)值代入x=3tan30。-3求出x的值，然后代入化筒后的結(jié)果進行計算即可.

2

(內(nèi)由T2(X+1)X-1(X+3)

解：原式=------L-----------

X4-1X4-1(x+l)(l)

2x+2-x+l+

X+I.(X+3)2

x+3(x+1)(x-l)

一》+「(x+3)2

_x-1

x+3'

當x=3tan300—3=3x3—3=>A—3l^j,

3

73-3-1_x/3-4_3-4x/3

坊、工1——r=-7=一>

6-3+3V33

【點撥】本題考查了分式的混合運算——化簡求值，涉及了分式的減法、乘除法運算,

特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算等，熟練掌握各運算的運算法則是解題的關(guān)鍵.

7.（1）見分析：（2）3

【分析】（I）由NC+ND8尸=90。，ZC+ZZMC=90°,推出NZ陽尸=/ZMC,由此即

可證明；

ACAD

（2）先證明AD=3Z）,由AACDS^BFD,得二三==1,即可解決問題.

BFBD

解：（1）證明：VADJ.BC,BELAC,

：.ZBDF=ZADC=NBEC=90°,

...ZC+ZDBF=90°,NC+ZDAC=90°,

/DBF=NDAC,

：.AACDSABFD.

（2）VtanZABD=\,ZADB=90°,

.AD

?,--=1,

BD

:.AD=BD,

,:AACDS/\BFD,

.ACAD

??--=---=1,

BFBD

：.BF=AC=3.

【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

8.（I）見分析；（2）①正；②空

53

【分析】（1）先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角對應相等得出?ABD4,再根據(jù)ASA

得出AACZ）三ABA尸即可.

（2）①過點。作于點G,根據(jù)直角三角形30。角所對直角邊是斜邊的一半可

得E?C=；AC,從而得出CE=g8C,由BE=6得出CE=2,BC=4,根據(jù)勾股定理得出

DG=g,然后根據(jù)tanNDBE=g1即可.

DCJ

DF1

②在RtSBDG中，根據(jù)勾股定理得出BD的長，再根據(jù)bCDF-AABF得出蕓=：即

BD3

可得出DF的長.

解：（1）證明：AD?=DF?DB，?--zrz;=——

DFAD

又?.?ZADF=/BDA,..MDF-/SBDA,/.ZABD=ZFAD.

?/AABC和ACDE均為等邊三角形，

/.AB=AC,ZBAC=ZACB=/DCE=60。,

ZACD=60%:.ZACD=ZBAF=60°,

AACD=AeAF,:.AD=BF.

(2)①Q(mào)ZBAL>=90。，Z^4C=60°,ZC4L>=30°,

???ZAC。=60。，/.ZA￡)C=90°,

DC=-AC:.CE=-BC.

292

,/BE=6,CE-2,BC—4,

過點。作DGLBE于點G,

ACDE為等邊三角形，

:.CG=EG=\,BG=5.

在RtACDG中，DG=y/3,

tanZDBE.

BG5

②在RtABOG中，BD=dBG2+DG°=R+W=2不，

vZABC=ZDCE=60°,:.CD//AB,;.ACDF?的F,

DFCD1DF12x/7

..==-,..=—,DF=------.

BFAB2BD33

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

以及銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見分析；(2)BE1AB,理由見分析；(3)近-1.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,ZA=ZCDE,再由等腰三角形的性質(zhì)得到

ZA=ZADC即可證明NADC=NCDE；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ACD=/BCE,CB=CE,AC=CD,從而得出

ZCAD=ZADC=/CBE=ZCEB,再根據(jù)/ACB=90°即可得至U/ABE=90°；

(3)設(shè)BD=BE=a,根據(jù)勾股定理計算出AB=DE=&”，表達出AD,再證明

△ACDSABCE,得至IJ42=4￡=缶一"=正一1即可.

BEBCa

解：(1)由旋轉(zhuǎn)可知：AC=CD,ZA=ZCDE,

.*.ZA=ZADC,

/ADC=ZCDE,即DC平分/ADE；

(2)BE±AB,

理由：由旋轉(zhuǎn)可知，ZACD=ZBCE,CB=CE,AC=CD,

ZCAD=ZADC=ZCBE=ZCEB,

又；ZACB=90°,

；.NCAD+NABC=90。，

二ZCBE+ZABC=90°,

即NABE=90°,

.,.BE1AB；

(3)VZABE=900,BD=BE,

.?.設(shè)BD=BE=a,則DE=\IBD2+BE2=41a>

又；AB=DE,

，AB=\/2a1則AD=~j2a—a<

由(2)可知，ZACD=ZBCE,ZCAD=ZADC=ZCBE=ZCEB,

.,.△ACD^ABCE,

,ADACyfla-a[T

??==---------=72-1，

BEBCa

AC/—

AtanZABC=——=,2-1.

BC

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的綜合應用以及相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)的定

義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并熟記銳角三角函數(shù)的定義.

10.(1)證明見分析(2)昱

3

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；

(2)作。根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)解答即可.

解：(1);四邊形A8C力是平行四邊形，

：.AB//DC,

AZ1=Z2.

/是8。的中垂線，

：.OD=OB,Z3=Z4=90°,

??.△DOF咨ABOE,

:?OE=OF；

(2)W-DG±ABf垂足為G.

VZA=60°,AD=6,

???ZADG=30°,

：.AG=-AD=3

2f

u

：AB=2ADf

AAB=2x6=12,BG=AB-AG=12-3=9,

?，/AnnDG百

..tanZABD==—^―=——.

3G93

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和正切的定義，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和

全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

11.(1)見分析；(2)cos/DAE=|石

【分析】(1)先求出BC的長，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理進行證明即可得；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得AB=16,NABE=90。，繼而根據(jù)勾股定理求出AE的

長，然后利用余弦的定義求出cos/EAB的值，再根據(jù)NDAE=NEAB即可求得答案.

解：(1)；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD=BC,AD〃BC,

/.ZAED=ZEAB.

：AE平分NDAB,

，/DAE=NEAB,

，ZAED=/DAE,

AD=DE=10,

ABC=10,

又?.?BE=8,CE=6,

ABE2+CE2=BC2,

???△BEC為直角三角形，

JZBEC=90°；

(2)VDE=10,CE=6,

ACD=DE+CE=16,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB//CD,AB=CD=16,

AZABE=ZBEC=90°,

AE=yjBE2+AB2=8石，

162r-

???C°S/EAB=^=W，

VZDAE=ZEAB,

."?cosZDAE==1^.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，余弦等知識，熟練掌握相

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

12.(1)見分析；(2)24.

【分析】(I)根據(jù)已知條件得到AF=CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NDFA=/BEC,根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CB,ZDAF=ZBCE,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)已知條件得到ABCG是等腰直角三角形，求得BG=CG=4,解直角三角形

得至AG=10,根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論.

解：(1)證明：；AE=CF,

；.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

：DF〃BE,

NDFA=NBEC,

VDF=BE,

.,.△ADF^ACBE(SAS),

.'.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

，AD〃CB,

四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)解：VCG±AB,

,ZG=90°,

/CBG=45。，

...△BCG是等腰直角三角形，

VBC=4V2,

，BG=CG=4,

VtanZCAB=,

.*.AG=IO.

；.AB=6,

.?.□ABCD的面積=6x4=24,

故答案為24.

【點撥】本題考查了平行相交線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角

形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

64-x2

13.⑴證明見分析⑵tanND4F=>6%

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/8=/。=90°,BC=AD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

BC=CE,NE=NB=90°,等量代換得到NE=NZ)=90°,AQ=CE,根據(jù)A4S證明三角

形全等即可；

(2)設(shè)DF=a,則CF=8-a,根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF=CF=8-a,在

即△人〃尸中，根據(jù)勾股定理表示出。尸的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案.

(1)證明：；四邊形48co是矩形，

...NB=N￡>=90。，BC=AD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC=CE,Z￡=ZB=90°,

ZCFE=ZAFD

/.ZE=ZD=90o,AD=CE,在尸與ZkAO尸中，＜ZD=Z￡=90,

AD^CE

:ACEF沿AADF(AAS)；

(2)解：設(shè)。產(chǎn)=。，則b=8-“，

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB//CD,AD=BC=x,

：.ZDCA^ZBAC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得：ZEAC^ZBAC,

：.ZDCA=ZEAC,

：.AF=CF=3-a,在RSAOF中，

"：AD2+DF2=AF2,

.,.%2+。2=(8-4)2,

【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換

(折疊問題)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF=CF是解題的關(guān)鍵.

O

14.(1)717(2)—V34

【分析】(I)先由RfAABE可求得AE的長度，再由角度關(guān)系可得NE4E=90,,即可求得EF

的長;

(2)過尸作PM_LCE于M,利用勾股定理列方程，即可求出EM的長度，同時求出尸M

的長度，得出答案.

解：(1)設(shè)BE=x,則EC=4-x,

AE=EC=4-x,

在RAABE中，AB2+BE2^AE2.

二(2&丫+/=(4_到2,

:.X=1,

:.BE=1,AE=CE=3,

AE=ECf

???Z1=Z2,

I/ABC=90°,

NC48=90-/2,

ZC4B=90-Z1，

由折疊可知AE4C=ABAC,

AZFAC=ZCAB=90-Z1,AF=AB=2近,

ZMC+Z1=9O\

/.ZME=9O,

J(2&”32=g

：.ZFME=ZFMC=90°,

設(shè)EM=a廁EC=3-a,

在RNFME中,FM2=FE2-EM2

在Rt^FMC中，F(xiàn)M2=FC2-MC2,

FE2_EM?=FC?_MC2,

.,.(VF7)2-a2=42-(3-a)2,

5

EM=-,

3

【點撥】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)建直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

2-應2+應n____

15.⑴見分析(2)2或2⑶5或42-1

【分析】(1)根據(jù)題意可得N4=NO=NBEG=90。，可得即可求證；

(2)根據(jù)題意可得AB=2DH,AD=2AB,AD=4DH,設(shè)DH=x,AE=a,則AB=2x,AD=4x,

可得。E=4x-m再根據(jù)△ABES/\OEH,可得x=包生或R-⑹即可求解；

22

(3)根據(jù)題意可得EG=〃BE,然后分兩種情況：當時，當時，即

可求解.

(1)解：根據(jù)題意得：ZA=ZD=ZBEG=90°,

；.NAEB+NDEH=90。,ZAEB+ZABE=90°,

，ZDEH=ZABE,

：.4ABEs叢DEH；

(2)解：根據(jù)題意得：AB=2DH,AD=2AB,

：.AD=4DH,

設(shè)Q4=x,AE=a,則AB=2r,AD=4.x,

.*.￡）E=4x-tz,

△ABES/\DEH,

,ABAE

??瓦一而‘

，二^=@,解得：工_（2+⑹?；颍?-&）”,

4x-ax22

A8=（2+&）a或（2-a）a,

?/A,〉廠4E2—y/22+V2

?,tanNABE----------------k--------:

AB22

（3）解：:矩形EWPs矩形ABC。，AD=fiAB（n>l）

：.EG=nBEf

如圖，當FH=BH時,

?：/BEH=NFGH=9G,BE=FG,

：.RtLBEH^RtLFGH,

：.EH=GH=-EG

2t

n

：.EH=—BE,

2

*.*AABESADEH,

.DEEHnn

一，即OE=—AB,

ABBE22

n

.?.AE=AD-DE=-AB,

2

二tanZAB￡=—=-

AB2

如圖，當FH=BF=”BE時,

AED

HG=ylFH2-FG2==dn'-lBE,

EH=EG-HG=[n-)BE,

'：△ABEs^DEH,

：.-=—=n-yjn2-\,DE=(n-\ln2-\)AB,

ABBE\/

?*-AE=AD-DE=，

AFI------

:.tanZ.ABE==—1；

AB

綜上所述，tanNABEt的值為5或后二L

【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾

股定理等知識是解題的關(guān)鍵.

16.(1)1；(2)-

4

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合可求得40的長.

(2)根據(jù)MO=AO-AM,BO=；BD,在?ABOM中即可求出lanNMBO的值.

解：(1)?.?ABC。是菱形，AC=4,8O=8

AE//BC,AD=BC

/XAMEsACMB

AEAMAEAM

...——=---即nn——=---------

BCMCBCAC-AM

?/AE=-AD,AD=BC

3

.AM-1

,-3

:.AM=\

(2)是菱形，AC=4,BD=8

AO=-AC=-x4=2,BO=-BD=-xS=4,NBOM=90°

2222

:.MO=AO-AM=2-\=1

在MABOM中，tanZMBO=—=-

BO4

【點撥】本題考查了菱形的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及解直角三角形,

熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.探究：證明見分析；操作一：56；操作二：72.

【分析】探究：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AZ)〃G”,AG〃r>"，再根據(jù)平行四邊形的

判定可得四邊形4G”。是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可得證；

操作一：先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=FE,NO=NE,再根據(jù)三角形全等的判定定理與

性質(zhì)可得=然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的周長公式即可得；

操作二：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得A4DG是等腰三角形，且

旗平分ZDAG,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得ABLZJG,DN=NG=^DG,然后利

用正弦三角函數(shù)可求出DN的長，從而可得DG的長，最后根據(jù)矩形的判定可得四邊形OC尸G

是矩形，據(jù)此利用矩形的面積公式即可得.

解：探究：???四邊形A8CO和的1G都是平行四邊形

AE//GF,AB//DC,即AD//GH,AG//DH

四邊形AG"。是平行四邊形

又?.?A￡)=AG=5

平行四邊形AG"。是菱形；

操作一：如圖，設(shè)AE與DF相交于點H,AB與FG相交于點M

???四邊形ABCO和AEFG是兩個完全直合的平行四邊形

;.AD=FE,ND=NE,DF=AB=9

ZD=NE

在gDH和4FEH中，NAHD=/FHE

AD=FE

:.,ADH=J^EH(AAS)

：.AH=FH,SDH和/XFEH的周長相等

同理可得：*J)H三#EH三:正BM三W3M

:^ADH>AFEH、4FBM、AAGM的周長均相等

又：AD=5,DF=AB=9

“ADH的周長為=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14

則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為皿,=4x14=56

故答案為：56；

操作二：如圖，設(shè)AB與DG相交于點N

???四邊形ABCD和WG是兩個完全重合的平行四邊形

/.AD=AG=5,CD=FG=AB=9,NBAD=ZBAG,CD//AB//FG

，△ADG是等腰三角形，且A3平分/DAG

:.AB±DG,DN=NG=-DG

2

:.CDA.DG

在HAADN中，sinZM4D=—DN=4-,即D？N=4=

AD555

解得￡W=4

:.DG=2DN=8

又?：CDMFG,CD=FG

四邊形。CFG是平行四邊形

.CDIDG,即NC￡>G=90°

二平行四邊形OCFG是矩形

則四邊形OCFG的面積為￡>GC￡>=8x9=72

故答案為：72.

【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定、

矩形的判定、正弦三角函數(shù)等知識點，熟記并靈活運用各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

18.（1）證明見分析；（2）AO=1.

【分析】（I）由菱形的性質(zhì)得出AB=AD,AC平分NBAD,再根據(jù)等腰三角形的三線

合一即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件得出四邊形EBDG為平行四邊形，得出NG=NABD,

再根據(jù)tanG=y即可求出AO的長.

解：（1）證明：?.?四邊形ABCD為菱形

；.AB=AD,AC平分NBAD

,/BE=DF,

:?AB-BE=AD-DF,

二AE=AF

.?.△AEF是等腰三角形，

：AC平分/BAD,

；.AC_LEF

（2）解：如圖2所不：

圖2

?.,四邊形ABCD為菱形，

；.CG〃AB,BO=|BD=2,

VEF/7BD

.??四邊形EBDG為平行四邊形,

AZG=ZABD,

tanZABD=tanZG=g

.A。AO1

??tanNABD===—

BO22

AAO=1

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、解直角三角形，等腰三角形的

性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（1）證明見分析；（2）y.

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC,ZA=ZCBN=90°,Zl+Z2=90°,

根據(jù)垂線和三角形內(nèi)角和定理得到N2+N3=90。，推出N1=N3,根據(jù)ASA推出

△ABE^ABCN；（2）tanZABE=—,根據(jù)已知求出AE與AB的關(guān)系即可求得tanNABE.

AB

解：（1）證明：如圖,

?四邊形A8C。為正方形

:.AB=BC,ZA=NCBN=9Q°,/l+N2=90°

?;CM工BE,.-.Z2+Z3=90°,Z1=Z3

'NA=NCBN

在AABE和ABC7V中，AB=BC

N1=N3

：.^ABE^ABCN(ASA)；

(2)?.?N為AB中點，

BN=-AB

2

又，；/\ABE=\BCN,

AE=BN=-AB

2

AEAE1

在中,tanNABE==

RtAABE~AB2AE~2

【點撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、垂線、全等三角形的性質(zhì)

和判定以及銳角三角函數(shù)等知識點的掌握和理解，證出△ABE^ABCN是解此題的關(guān)鍵.

9

20.(1)證明見分析；(2)—.

【分析】(1)根據(jù)輔助線的性質(zhì)得到ZADC=ZABC=90°,由鄰補角的定義得

到NAO尸=/A8E=90。，于是得到結(jié)論;

(2)過點4作于點4，根據(jù)勾股定理得到EO=7CD2+CE2=5,

i9i9

根據(jù)三角形的面積?VIEZMjADxBA),SAADE=-^-EDXAH=-,求得47=1.8,由三角函數(shù)

22