立體幾何平行歸類2022-2023學年高一數(shù)學熱點題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

專題10立體幾何平行歸類

目錄

【題型一】線線平行：中位線法..................................................................2

【題型二】線線平行：平行四邊形法..............................................................4

【題型三】“等分線法”證明線面平行............................................................5

【題型四】平行四邊形法證線面平行..............................................................7

【題型五】無交線證明平行......................................................................10

【題型六】存在型：線面平行....................................................................12

【題型七】存在型：面面平行....................................................................14

【題型八】翻折中的平行........................................................................15

【題型九】平行應用：異面直線所成的角..........................................................17

培優(yōu)第一階一一基礎過關練.......................................................................20

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................22

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................25

結束............................................................................錯誤!未定義書簽。

綜述:

一、平行關系的判定及性質(zhì)定理:

（1）線〃面的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外的一條直線與壬面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與m

判定定IQa

此平面平行.（簡記為“線線平行今線面

理

平行”）：.l//a

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此：

性質(zhì)定'l//a.IU&aC8=b

平面的交線與該直線平行.（簡記為“線面平行臺線線

理

平行”）：.l//b

（2）面〃面的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平

判定定?：a//B，aCb=P,aUa,

面平行.（簡記為“線面平行n面面平/

理bUa：.a//fi

行”）口

兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行

???：〃￡,

性質(zhì)定aC\y=at6d

（簡記為“面面平行0線線平

理

行”）尊：.a//b

注意：面面平行性質(zhì)公理：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意直線與另一個平面平行，（簡記為“面面平行=線面平行”）

二、平行構造的常用方法:

①三角形中位線法;

②平行四邊形線法；

③比例線段法.

注意：平行構造主要用于：①異面直線求夾角；②平行關系的判定.

三、異面直線平行線法

求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解

決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：山異面直線所成的角的取值范圍是,當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面

直線所成的角.

熱點題型歸納

【題型一】線線平行：中位線法

【典例分析】

C'C'

如圖，空間四邊形ABC。，E、H分別是AB、8的中點，F(xiàn)、G分別是BC、CO上的點，且蕓=/，求

CoCD

證：直線與直線FG平行.

【答案】證明見詳解

【分析】根據(jù)三角形中位線、平行線等分性質(zhì)結合平行線的傳遞性分析證明,

【詳解】?:E、，分別是A8、C。的中點，貝IJEaBD,

又,：F、G分別是8C、CO上的點，且工=二，則FGBD，

CBCD

???EHFG,

故直線￡77與直線FG平行.

【變式訓練】

1.如圖1所示，在梯形A3CO中，AB//CD,E,尸分別為8C,的中點，將平面CD/石沿￡尸翻折起來，

使到達的位置(如圖2),G,”分別為47,BC'的中點，求證:四邊形EFGAEFG”為平行四邊

形.

【解析】通過證明E/7/GH,iLEF=GF,即可證明.

【詳解】在題圖1中，：四邊形ABC。為梯形，AB//CD,

E,尸分別為8G的中點，

二EF//AB且EF=g(AB+C。).

在題圖2中，易知Ciyi/EFIIAB.

,/G,，分別為AD',8c的中點，

GH//AB且GH=g(AB+C7T)=；(AB+C￡>),

GH//EF,GH=EF,

.??四邊形EFGH為平行四邊形.即證.

2.如圖，P是AABC所在平面外一點，D、E分別是AWB和APBC的重心.求證：?！?AC,DE^AC.

【答案】證明見解析

【分析】連接尸O,PE并延長分別交AB,3c于M,N,根據(jù)重心的性質(zhì)得M,N分別是AB,BC的

19

中點，故MN=5AC,DE=-MN,進而可得結論成立.

【詳解】如圖，連接PD、PE并延長分別交A3、3c于M、N.

因為O，E分別是-243,PBC的重心，所以M,N分別是A8,8c的中點,

1pF9

連接MN,則MN//AC且加"=大人。①，在二PMN中h=r=7,

2PMPN3

2211

所以OE〃MN且=②，由①②及平行線的傳遞性得：小〃AC且。E=§X]AC=§AC.

【題型二】線線平行：平行四邊形法

【典例分析】

如圖，在正方體A8C。-A4GA中，M,分別是棱和AR的中點.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；

(2)求證：NBMC=NBMG.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(D根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識可得證；

(2)根據(jù)空間兩個角相等定理或三角形全等可得證.

【詳解】解：(1)：A8CO-A4G。為正方體.且AD//AR,

又M,知I分別為棱A。，的中點，，AM=AM且AM//AM，

四邊形為平行四邊形，MMy=A4t

又A4,=BB、且AAJ/BB,,：.MM,=BBt且MMJ/BB、,

...四邊形8片為平行四邊形.

(2)法一：由⑴知四邊形為平行四邊形，二4必〃8M.

同理可得四邊形CGM|M為平行四邊形，.??CM〃CM.?；/BMC和NBMG方向相同,

ZBMC=NBMG.

法二：由(1)知四邊形8q為平行四邊形，

同理可得四邊形CG"i"為平行四邊形，CM=CM.

又：BC=BC,△BCM也△BCM],NBCM=NB￡M.

【變式訓練】

1.如圖，面ABEF_L面A8CQ,四邊形A3EF與四邊形A8C￡＞都是直角梯形，/&4。=/次8=90。，BC'1-AD,

2

B咳;AF,G、〃分別是胸、尸。的中點.

(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形;

（2）C、D、E、F四點是否共面？為什么？

【答案】（1）證明見解析；（2）C,D,F,E四點共面；答案見解析.

【分析】（1）山題意知，F(xiàn)G=GA,FH=HD,所以又8C_』A。，故

-2-2-

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

（2）由砂〃8G,結合（1）知2G〃CH,所以EF〃CH,從而共面.

【詳解】證明：（1）由題意知，F(xiàn)G=GA,FH=HD,

所以又8C_!>4。，故GH_BC所以四邊形8CHG是平行四邊形.

（2）C,D,F,E四點共面.理由如下：

|1JBE^AF,G是用的中點知，BERGA,即有826凡所以四邊形BEFG是平行四邊形,

所以EF〃8G山（1）知BG//CH,所以E尸〃C”，故EC,共面.

又點。在直線FH上所以C,D,F,E四點共面.

2.在如圖所示的正方體ABC。-A/B/C/。中，E,F,Et,B分別是棱AB,AD,B/Ci,C/￡b的中點,

求證：Q）EF[EFi；

（2）ZEAJF=ZEICFI.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】試題分析：（1）連接BD,BR,由三角形中位線定理可得E尸〃!BO,6F=BR,根據(jù)正方體

的性質(zhì)可得8。24馬，故而可得結論；（2）取人用的中點M,連接首先證明四邊形是

平行四邊形，得到MB//*，再證四邊形EBM4,是平行四邊形及平行的傳遞性，得到AE〃CK，同理得

A尸//EQ，結合角兩邊的方向相反，進而可得結論成立.

試題解析：（1）連接3D,B,D,,在,,/即中，因為E,尸分別為A8,A￡>的中點，

所以EFaBD，同理石￡=|B,￡>,,在正方體4BCD-AACQ中，因為例維肛,例”4,所以用BRDR,

所以四邊形8D￡>隹是平行四邊形，所以所以EF&E書.

（2）取A用的中點M,連接因為〃耳幺8°,B\C、yC,所以“耳幺8。，

所以四邊形5CFJM是平行四邊形，所以MB//CR,因為AM&EB,所以四邊形EBK4,是平行四邊形，所

以AE//MB,所以AE//CK，同理可證：A,F//EtC,又NEA尸與/斗76兩邊的方向均相反，所以

NE&F=NECK.

【題型三】“等分線法”證明線面平行

【典例分析】

如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1BC,AB=BC^4,M=6,M為耳G的中點.

⑴證明：AG〃平面A8M

(2)過AM,C三點的一個平面，截三棱柱ABC-得到一個截面，畫出截面圖，說明理由并求截面面積.

【答案】(1)證明見解析(2)截面圖見解析，截面面積為6M

【分析】(1)設入用cA5=N,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得MM/AC,由線面平行的判定定理可證得結論；

(2)由三.角形中位線性質(zhì)和平行關系的傳遞性可得P”〃AC,由此可確定截面即為四邊形APA/C,知其為

等腰梯形，根據(jù)長度關系計算即可得到截面面積.

【詳解】(1)連接A與，設AB|CAB=N,連接MN.

〃是的中點，N是AB】的中點，；.MN//AG，

QAG①平面ABM,MNu平面ASM,??.4G〃平面48M.

(2)作圖過程：取A片中點P，連接則四邊形APMC即為截面圖形.

證明如下：仍是8c的中點，尸是A蜴的中點，，PM〃AG；.AG〃AC,.?.PM//AC,.?.4忙/。四點

共面，

四邊形APMC即為所求截面，此時四邊形APMC為等腰梯形；

力尸=用。=)62+22=2加，尸知=；，4?+42=2&,AC=4日

???四邊形A/WC的高〃=JAP?-；(AC-PM)=j40-2=屈,

四邊形APMC的面積為白卜亞+20卜屈=6炳.

【變式訓練】

如圖，四棱臺48CO-A4GR的上底面和下底面分別是邊長為2和4的正方形，側(cè)棱CC,上的一點E滿足

(1)證明：AB〃平面AQE；

Q)若DD\=CGRE=殍,且C1在平面ABC。的正投影落在線段CZ)上，求四棱臺的體積.

【答案】(1)證明見解析:(2)T

【分析】(1)延長RE,DC,交于點M，連接M4交3c于N點，連接RN,通過證明四邊形A8N0是

平行四邊形得AB//RN,從而得A8〃平面ARE；

焉‘在中’由余

(2)作于尸，為棱臺的高，設NCCF=a,(0<a<]J,E￡=

弦定理得解得sina=美，從而得GF,代入棱臺體積公式即可.

【詳解】

證明:延長RE,DC,交于點M,連接交8C于N點，連接RN,由告=2,得野=葭?.要=2，

匕5CE2CM2

:?CM=4=AB,BN=CN,:.N是BC中點、,此時，A.DJ/B^f/BN^D,=BxCy=BN,

，四邊形A8NQ是平行四邊形，:.AB//D\N,?.?RNu平面ARE,4田2平面ARE,二直線4臺//平面

C作GF，C。于P，因為C1在平面ABCD的正投影落在線段CO上，所

以C/J.面ABCO,所以Cp為棱臺的高，設NCC/=a,(0<a<1),山。R=CG得b=l，CQ=

sine

EC,=―I—

3sina

在4RG￡中，由余弦定理得*2=￡0；+2_2CQCE?cosa+—

CEI2

5311

g|J_=4+—二一+2x2??sina,解得sina==，所以C0=石,0尸=2,

99sin2a3sina

所以四棱臺的體積丫="/依4+82+a018]=1(4+16+8)=4，故四棱臺的體積為青

【題型四】平行四邊形法證線面平行

【典例分析】

如圖所示,三棱柱ABC-,底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱至，底面ABC,點E,F分別是棱CC,,BB、

上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.

/C；\

/、______

⑴當點M在何位置時，3//平面4所？

⑵若//平面AEF,求BM與E尸所成的角的余弦值.

【答案】（1）點M為AC的中點（2）近

【分析】（1）分別取AE,AC的中點為,連接。可推得四邊形0W8尸為平行四邊形，BM//OF.進

而根據(jù)線面平行的判定定理，得出線面平行；

（2）由（1）知，。戶與瓦1所成的角NO正（或其補角），即等于BM與“'所成的角.然后構造直角三角形，

可推得OE=應，AF=&，EF=45,進而得出FO_LAE,在RtAEOF中，即可得出答案.

【詳解】（1）

如圖1所示,分別取AE,AC的中點為O,M,連接OfQM.因為。,M分別是AE,AC的中點，所以OM〃EC,

且OM=；EC.又因為叫//⑨，所以FB//EC,所以FB//OM.又EC=2FB=2,所以FB=QW.

所以四邊形OMBF為平行四邊形，所以BM//OF.

因為OFu平面AEF,平面AEF,所以8M//平面AEF.

所以，當點M為AC的中點時，有BM//平面AEF.

（2）山（1）知，點加為AC的中點，月.BM與EF異面.因為〃。凡

所以OF與昉所成的角NOFE（或其補角），即等于與E尸所成的角.

由已知可得，AE=yjAC2+CE2=272-AF=yjAB2+BF2=^>所以?！?也.

如圖2,取CE中點為G,連接FG,易知3F=CG=1,則尸GLCG,FG=CB=2,

所以EG=1,EF￡EG+FG=石，所以莊=E4.因為O是AE的中點，所以尸OLAE,

所以，OF=yjEF2-OE2=73.所以，在Rt^EOF中，有cosNOFE="=q叵,

EFV55

所以BM與EF所成的角的余弦值為巫.

5

【變式訓練】

1.如圖所示，在四棱錐P-A8CO中，8C〃平面以D,BC=^AD,E是尸。的中點.

⑴求證：BC//AD-,

⑵求證：CE〃平面布8.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）取出的中點F,連接EF,BF,利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即

可證明.

【詳解】（1）在四棱錐P-ABCO中，8C〃平面以O,BCcTffiABCD,

平面ABC。。平面《4。=皿J.BC//AD.

（2）取外的中點尸，連接E兄8尸，是PD的中點，

J.EF//AD,EF^-AD,

2

又由（1）BTWBC//AD,n.BC=-AD,：.BC//EF,BC=EF,

2

二四邊形8CEF是平行四邊形，...EC〃FB,

TECG平面以8,五Bu平面以8,

.?.EC〃平面PAB.

2.如圖，。1,0分別是圓臺上、下底的圓心，A8為圓。的直徑，以03為直徑在底面內(nèi)作圓E,C為圓。的

直徑A8所對弧的中點，連接8c交圓E于點8片,CG為圓臺的母線，AB=2AIBI=8.

C

（1）證明：CQ〃平面。BBQ］；

⑵若OO,=屈,求C到平面AC.D的距離.

【答案】（1）證明見解析（2）卡

【分析】（1）圓臺上下底面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理先說明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)

線面平行的判定來證明；

（2）由等體積法：^C-ACtD=%-ACD進行求解即可.

【詳解】（1）因為平面CQB,〃平面COB,平面CQ由n平面CBB￡=CtBt,平面COB。平面CBB?=CB.

所以C再〃CB,即GBJ/O8.又C為圓0的直徑48所對弧的中點，所以OC_L48,0。，.

又AB=2A4=8,所以O8=2O￡=4,所以。5=2（:4=4后.

因為。為圓E上的點，所以ODLCB,又OC=OB,所以/）為C8的中點，即C8=2O8,

所以QB=cg,故四邊形。84c為平行四邊形，所以CQ〃B⑸.

又G。＜2平面。陰。,BB、u平面0網(wǎng)0一所以G?！ㄆ矫鍻BBR

過C1作GF_LOC,垂足為F,則尸為0C的中點，且

GFLAF，GFLDF，GF=OOi=娓.因為4尸==05，所以4cl=〃尸+。尸=底,

DF=g()B=2,所以CQ=《CF+DF2二回.又AD^A^+CD。=標,

所以c°s"3海26+4薪0-10=赤7，所I以4s9in/4GAD=卜花二衣,

所以S&cQ='AC「AC-sinNGAO=1x癡x聞*2=8.設C到平面ACQ的距離為力,

L，765

因為Vf-Aqo=,J'/fy—x8/z=—X—X4V2X2V2Xy/6.所以0=

【題型五】無交線證明平行

【典例分析】

如圖，P為圓錐的頂點，。為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑A3=4,母線PH=2a,"是P5的中點,

四邊形08cH為正方形.設平面「O”c平面P8C=/,證明：1//BC-,

【答案】證明見解析.

【分析】利用線面平行的判定定理可得BC〃平面POH,再利用線面平行的性質(zhì)定理即得.

【詳解】因為四邊形08cH為正方形，二8C〃O〃，

?.?BCa平面尸OH,OHu平面尸OH,8C〃平面PO”，

■:BCu平面PBC,平面POHn平面尸BC=1,：.U/BC.

【變式訓練】

1.如圖，在三棱錐P-ABC中，ABC是正三角形，%_1平面4%,。,民尸分別為尸4尸8,PC上的點，且

（1）設平面OEFc平面ABC=/,證明：/平面PBC；

（2）求五面體DEF-ABC的體積.

【答案】（1）見解析；⑵25后

【分析】（1）首先證明即〃8C,則有所〃平面ABC,再根據(jù)線而平行的性質(zhì)定理得到E1尸〃/,則得到線面

平行；

（2）根據(jù)相似得5四="5咖，則%-詆=5%-械，則匕5c=276

【詳解】⑴因為PE,=言PF，所以所〃8C,

因為BCu平面ABC,￡F仁平面ABC,

所以EF〃平面ABC,

又平面。瓦"c平面ABC=/,EFu平面DEF,所以EF//1,

又EFu平面PBC」a平面PBC,所以III平面PBC,

（2）因為舒=H=等4所以打防守改

一、222

VVV

所以yD-PEF=~A-PEF=云A-PBC=王'P-ABC

25

所以五面體DEF-ABC的體積V=匕-sc-V』.=~匕，一.

因為匕＞-"。=:*；'62、孝、9=276，所以丫=256

2.如圖，四棱錐中，AD//BC,AD=：BC,點E為PC上一點,尸為尸B的中點，且AF〃平面

E

A

B

（1）若平面PAD與平面PBC的交線為/,求證：〃/平面ABC。；

⑵求證：AF//DE.

【答案】⑴證明見解析⑵證明見解析

【分析】（1）結合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證得：〃/平面ABCD.

（2）結合線面平行的性質(zhì)定理和三角形重心的知識證得：AF//DE.

【詳解】（1）,/BC//AD,ADu平面R4￡>,8C<z平面PAD,，5C〃平面尸AZ）.

:BCu平面PBC,平面PBCc平面PAD=/,；.BC//1.

,：8Cu平面ABC￡>,/o平面ABCD,AIII平面ABCD.

（2）連接AC,FC,設ACBD=O,FCcBE=M,連接QM,

VAF/I平面BDE,AFu平面AFC,平面AFC1平面BDE=OM,AF//OM,

iAnAn1.FMAO1

VAD//BC,AD=-BC,所以把=把」，二點M是&PBC的重心,

2OCBC2~MC~~OC~2

二點E是PC的中點，=-=—,AOMUDE,AFUDE.

MB2OB

【題型六】存在型：線面平行

【典例分析】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC_L底面ABCZ）,底面A8CQ為平行四邊形，ACA.AD.

⑴求證：PCVAD-,

（2）在棱尸。上是否存在點E,使得BP//平面ACE?若存在，指出點E的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析⑵存在，點E為棱PD的中點

【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直即可.

（2）先假設存在.連接BC,由中位線證得線線平行，故而得到線面平行.

（1）因為平面PACJ■底面AB。，平面PAC1底面ABCD=AC,4?匚平面筋8,40,47,所以4）_L

平面PAC.

又因為尸Cu平面PAC,所以PCLAD.

（2）解：存在，點E為棱尸。的中點.連接5。，交AC于點/，連接EF,如圖所示:

因為底面ABCD為平行四邊形，所以點尸為8。的中點.在中，因為點改產(chǎn)分

EF=二BP

別為PZ）、即的中點所以3尸〃EV,且2.又因為BPU平面ACE,Efu平面ACE,所以8P〃平面

ACE

【變式訓練】

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A88為平行四邊形，E為棱PC的中點，平面ABE與棱PO交于點F.

⑴求證：PA〃平面5DE；

（2）求證：尸為PD的中點；

AN

（3）在棱48上是否存在點N,使得FN//平面8DE?若存在，求出黑的值；若不存在，說明理由.

NB

AN?

-----1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在N使得網(wǎng)〃平面BOE,NB，理由見解析.

【分析】（1）連接AC交50于G,連接GE,易知GE7/R4,再山線面平行的判定證結論；

（2）由CD〃A8,根據(jù)線面平行的判定有8//面ABEF,再由線面平行的性質(zhì)可得CD〃￡F,結合己知即

可證結論.

（3）//為AB中點，連接切，由已知易證3印花為平行四邊形，則FH//BE,再由線面平行可證FH//面

BDE,即可判斷存在性.

(1)連接AC交BD于G,連接GE,如下圖：

山458為平行四邊形，則G為AC中點，又E為棱PC的中點，

所以GE為中位線，則GE//PA,XGEiffiBDE,PA<Z面3￡>E，故PA〃平面8E)￡；

(2)由題設知：CD//AB,AB\面ABEF,CDU面ABEF,

所以CQ〃面4組尸，又CDu面PDC,面POC1面ABfFuEb，

所以8〃防，又E為棱PC的中點，即E尸是△PDC的中位線，故尸為PD的中點；

AN

(3)存在N使得MV〃平面5OE目.==1,理由如下：H為AB中點，連接切，

由題設由(2)知8//E尸且EF=1C。，

222

所以BH//EF且BH=EF，即37〃石為平行四邊形，所以FH//BE,而BEu面BDE，F(xiàn)HU面BDE,

,_AN

所以切〃面BDE，故所求N點即為H點，則AB上存在點N使得FN〃平面PL—=1.

【題型七】存在型：面面平行

【典例分析】

如圖，四棱錐P—A8C。中，AB//CD,AB=2CD,E為尸B的中點.

DC.

(1)求證：CE〃平面PAZX

(2)在線段A8上是否存在一點尸，使得平面皿(〃平面CEE?若存在，證明你的結論，若不存在，請說明

理由.

【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析

【分析】(1)利用構造平行四邊形的方法證明線線平行，結合線面平行判定定理，從而得線面平行；

(2)點F為線段A8的中點，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面平面CEP.

E

(1)證明：如圖所示，取出的中點H,連接EH,DH.I)'(?

因為E為總的中點，所以EH//48,EH=^AB.又ABUCD,CD=；AB,

所以EH"CD,EH=CD.因此四邊形。CEH是平行四邊形，所以CE//DH.

又?！皍平面PA￡>，CEN平面尸A￡>，因此CE〃平面A4￡).

P

(2)解：如圖所示，取A8的中點尸，連接CF,EF,

又C￡>=!AB,所以AF=CD.又AF//CD,所以四邊形4FCD為平行四邊形，因此CF//AD.

2

又CF<4平面尸4%所以CF〃平面PA￡>.由(1)可知CE〃平面P49.

因為CE[CF=C,故平面CEF〃平面PAD.

【變式訓練】

在長方體A8CO-ABCR中，AB=2BC=2AAt=2,P為A4的中點.己知過點A的平面a與平面8PG平

行，平面a與直線AB，GR分別相交于點M,N,請確定點M,N的位置；

【答案】“，"分別是棱48,6。的中點.

【分析】先證明四邊形APSM為平行四邊形，即得點M是棱A8的中點，同理點N是棱GR的中點.

【詳解】解：依題意，如圖，平面a〃平面BPG，平面a平面ABBM=邛/,平面BPGc平面A網(wǎng)A,=BP,

D\NCi

則AM//6尸，在長方體A5CO—A4C。中，A.P//BM,

則四邊形APBM為平行四邊形，

于是得=AP=gAq=gA8,即點M是棱48的中點.

同理點N是棱G。的中點，所以M,N分別是棱AB,GR的中點.

【題型八】翻折中的平行

【典例分析】

如圖甲，在四邊形PBCD中，PD//BC,BC=PA=AD.現(xiàn)將,4出沿A8折起得圖乙，點M是的中

點，點N是BC的中點.

（1）求證：M/V//平面R4B：

（2）在圖乙中，過直線MN作一平面，與平面平行，且分別交PC、AD于點、E、F,注明E、F的位

置，并證明.

【答案】（1）證明見解析；（2）E,F分別為PC,A￡＞的中，理由見解析.

【分析】（1）取AO的中點F,分別證得MF//P4和NF〃AB,得到〃平面243和NF//平面,

證得平面MV尸〃平面PAB,進而得到A/N〃平面PAB；

（2）取PC的中點E，證得用0/NF,得到點E,M,￡N四點共面，即可求解.

【詳解】（1）證明：取A。的中點尸，分別連接尸，

因為M，F(xiàn)分別為和A。的中點，所以MF//P4,

又因為A/尸U平面PW,PAu平面R4B,所以MF//平面

因為F,N分別為4）,8C的中點，可得

又因為NFcZ平面A48，ABu平面A4B，所以NF〃平面

又由MFNF=F,且MF,NFu平面MNE,所以平面MVE//平面A48,

又因為MNu平面MNF,所以仞V〃平面Q48.

（2）證明：當E,尸分別為PC,4Q的中點時，此時平面E70EV〃平面尸A8,

證明如下：取PC的中點E,分別連接ME,NE,

在,PCD中，因為M,E為PQ,PC的中點，所以ME“CD,

又因為EN分別為AD,BC的中點，可得NF”AB,

所以ME//NF,所以點E,M,￡N四點共面，

即過直線MN作一平面，與平面F48平行，且分別交尸C,4。于點E、F,

此時E，尸分別為PC和AO的中點.

【變式訓練】

如圖（1）,點E是直角梯形A8C。底邊C￡＞上的一點，ZABC=90°,BC=CE=\,AB=DE=2,將工D4E沿

AE折起，使得。一4E—8成直二面角，連接CD和8。，如圖（2）.

D

圖⑴圖⑵

(1)求證：平面平面BC。；

(2)在線段BD上確定一點F,使得CF//平面ADE.

【答案】(1)證明見解析(2)當點尸線段的中點時，B〃平面ADE

【分析】(1)山短一AE—B成直疝角得到平面ADEL平面ABCE,利用面面垂直性質(zhì)定理得94,平面ABCE,

從而D4LBC,再通過線面垂直證明面面垂直；

(2)分別取線段8,A8的中點F,G,利用線線平行證明線面平行，進而證明面面平行，即可證明結論.

【詳解】(1)在直角梯形A8CZ)中，取力E中點為M,連接AM,

A/r-----------\B

則/)M=EM=1,AM=BC=\,所以AE=AO=0

DME

所以A￡：2+A￡>2=OE?,所以因為。一AE-B成直二面角，所以平面4)E_L平面A8C￡,

乂平面ADE平面ABCE=AE,D4u平面ADE,所以DAJL平面ABCE,

因為3Cu平面ABCE,所以94_L3C,

又AB工BC,DAr\AB=A,￡Wu平面ABu平面

所以BC」平面A8。，因為3Cu平面BCD所以平面4?DJ_平面SCO；

(2)如圖，分別取線段8D,A8的中點凡G,

D

連接CG,FG,FC,則FG〃AO,又FG<Z平面AD￡,AOu平面ADE,所以FG

EC

//平面ADE,

在直角梯形A8C。中，AG〃EC且AG=EC=1,所以四邊形AGCE為平行四邊形，所以A￡〃GC,

又CG<Z平面ADE,AEu平面ADE,所以CG〃平面ADE,

又FGCG=G,尸G,CGu平面CFG,所以平面CFG〃平面ADE,又因為CPu平面CFG,所以〃平

面ADE.

所以當點尸線段的中點時，6〃平面ADE.

【題型九】平行應用：異面直線所成的角

【典例分析】

如圖，在正方體A88-AAGR中，E,F,G分別是棱A8,BBt,CC,的中點，又“為的的中點.

(1)求證：平面gEG〃平面”FC：(2)求直線與C尸所成角的余弦值;

2

【答案】(1)證明見解析(2)5

【分析】(1)根據(jù)FC//4G可得FC〃平面筋EG,再由4E//H尸得到〃尸〃平面gEG,即可得證；

(2)設正方體棱長為。，求出△4EG的邊長，利用余弦定理計算cosNEqG得出答案；

(1)證明：H、F是BE、8片的中點，..HF//qEHFc平面4EG,用Eu平面片EG,

；.HF〃平面BEG.又B、F=CG鳧B、F〃CG,所以四邊形qFCG為平行四邊形，

所以CF〃B,G,又CF<t平面BEG,8￡u平面片EG,所以Cf7/平面gEG.

又HF\CF=F,HFu平面HFC,CFu平面”尸C,，平面用EG〃平面C.

⑵解：CF”B、G,"N3G為直線m與CF所成角.

設正方體棱長為〃，則E=CE==殍,EG={(殍)。+9=與'

R尸2R「2F「2On

.?.在△MEG中，cosNEBQ=咕°?三二怖，所以直線足用與Cf所成角的余弦值為:.

2B、E?B、G55

【變式訓練】

已知三棱錐A—BCD中，AABC,△AC。都是等邊三角形，ZBAD=~,E,尸分別為棱A8,棱80的中點,

2

G是A3CE的重心.

A

(1)求異面直線CE與8。所成角的余弦值；

(2)求證：FGy平面4X?.

【答案】⑴巫(2)見解析

6

【分析】(1)取的中點連接ME,MC,證明ME〃瓦)，則異面直線CE與8。所成角的平面角即為

NMEC或其補角，解一MCE即可；

(2)取8c的中點N,連接NE,NF,EF,證明平面NEb，平面4DC,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證.

(1)

解：取AO的中點M，連接"E,VC,

因為E為棱A8的中點，

所以ME〃BD,

則異面直線CE與8。所成角的平面角即為NMEC或其補角，

設43=2,則CE=CM=6

ME=~BD=y/2,

2

在，MCE中，cosNMEC=4產(chǎn)產(chǎn)=見,

2xV3xV26

即異面直線CE48〃所成角的余弦值為亞；

6

(2)

解：取BC的中點N,連接NE,NF,EF,

因為E,尸分別為棱AB,棱8D的中點，

所以E/〃A￡),NE〃AC,

又所,NE<z平面AQC,AQ,ACu平面AOC,

所以EF'/平面ADC,NE!平面ADC.

又EFcNE=E,EF,NE<z平面NEF,

所以平面NEF平面ADC,

又因為6是4BCE的重心，

所以點G在A?上，故FGu平面NEF,

所以FG,平面AQC.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎過關練

1.如圖，四棱錐P-A8C。的底面為平行四邊形.設平面出。與平面PBC的交線為/,M、N、。分別為

PC.CD、AB的中點.

（2）求證：BC//1.

【答案】（1）證明見解析⑵證明見解析

【分析】（1）由三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，結合線面平行和面面平行的判定，可得證明;

（2）由線面平行的判定和性質(zhì)，可得證明.

【詳解】（1）證明：因為M、N、。分別為PC、CD、4B的中點，底面A8CD為平行四邊形，

所以MN〃尸。，NQ//AD,

又MNC平面PAD,POu平面PAD,

則MN〃平面PAD,

同理可得NQ〃平面PAD,