高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精講：7-立體幾何(文)習(xí)題精講

例談立體幾何中的轉(zhuǎn)化

立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿立體幾何教

學(xué)的始終，在立體兒何教學(xué)中占有很重要的地位。立體兒何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，

具體從以下幾個(gè)方面入手。

1、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系是立體兒何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置

關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化，平行與垂直問題不但能橫向轉(zhuǎn)化，而且可以縱向轉(zhuǎn)化。

例1已知三棱錐S-ABC中，ZABC=90°,側(cè)棱ABC.點(diǎn)A在棱SB和SC上的射影分別

是點(diǎn)E、F。求證EF±SC.

分析：?.飛、E、F三點(diǎn)不共線，AF±SC,

二要證EF±SC,只要證SC_L平面AEF,

只要證SC±AE（如圖Do

XVBC±AB,BC1SA.；.BCJ-平面SAB,

，SB是SC在平面SABI二的射影。

只要證AE_LSB（已知），.?.EF_LSC。

例2設(shè)矩形ABCD,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，以EF為棱將矩形

折成二面角A—EF—q（如圖一2）。求證：平面ABF〃平面0DF。B

分析一（縱向轉(zhuǎn)化）：

TAE〃DF,AE億平面CDF.

AE〃平面CDF.同理,‘BE〃平面CDF,

又AECBE=E,二平面ABE〃平面CDF。

111

分析二（橫向轉(zhuǎn)化）：

VAE/7EF,B,E±EF,且AEnB]E=E,AEFlYffiC,DF.

同理，EF_L平面CDF。平面AB1E〃平面CDF.

11

2、降維轉(zhuǎn)化

由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降

維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的

平面幾何知識(shí)來解決問題。如線面垂直的判定定理的證明就是轉(zhuǎn)化為三角形全等白

例3如圖3在直三棱柱ABC-A4CJ』，AB=BC=BB=2,三ABC=90

為AA,、JB］的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度為.

分析：這類問題通常都是將幾何體的側(cè)面展開成平面圖形來解決。

又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計(jì)算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來進(jìn)行的。

例4如圖-4直四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2,底面ABCD是直角梯形，NA是圖直

11111

AB||CD,AB=4,AD=2,DC=1，求異面直線BC與DC所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

1

解：由題意AB//CD,

三CBA是異面直線BC,與DC所成的角.

連結(jié)AC與AC,在RtAADC中，可得AC=<5，

1

又在RtAACC中，可得AC=3.

11

在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于H,

得三CHB=90o,CH=2,HB=3,：CB=V13

圖-4

又在RtACBC中，可得BC=JvT,

i1

AB2+BC2_AC23V'17

在\ABC中,cosHABC=------------------1----------------1-=------------------,:三ABC=arccos-----------.

112AB.BC17117

1

，異而直線BC與DC所成角的大小為。

1

實(shí)現(xiàn)空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等等。

3、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化

“割形”與“補(bǔ)形”是解決立體兒何問題的常用方法之一，通過“割”或“補(bǔ)”可化復(fù)雜圖形為已熟

知的簡單兒何體，從而較快地找到解決問題的突破口。

例5如圖5,三棱錐P-ABC中，已知PA±BC,PA=BC=n,

PA與BC的公垂線ED=h,

求證：三棱錐P-ABC的體積V耳n2h.

此題證法很多，下面用割補(bǔ)法證明如下：

分析一：如圖5,連結(jié)AD,PD,VBC±DE,BC±AB,

；.BCJ-平面APD,又DE_LAP,

圖一5

11

——n2h

/.V=V+V=3BC?S=6

PABCBAPDC-APD.;APD

分析二：如圖6,以三棱錐P—ABC的底面為底面，側(cè)棱PA為側(cè)棱，補(bǔ)成三棱拄PB1C1-ABC,連

結(jié)EC、EB,則易證AP_L平面EBC,

工

AV=AP-S=2mh。

KitzEBC

11n2h

:.v=3v=6

P-ABC他拄

4、等積轉(zhuǎn)化

“等積法”在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)方法與

技巧。立體兒何中的“等積轉(zhuǎn)化”（或稱等積變換）是以面積、體積（尤其是四面

體的體積）作為媒介，來溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而使問題得到解決。

例6如圖7,已知ABCD-ABCD是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA與CC的中點(diǎn)，求四

111111

棱錐A-EBFD『勺體積。

略解：易證四邊形EBFD是菱形，

1

連結(jié)AQrECpAC/AD1，

則V=2V=2V=2V

A1-EBFD1A-EFDF-A1ED1C1-A1ED1

11

^^EAICIDI^AAICIDI11V正方AC體1=曬

5、抽象向具體轉(zhuǎn)化

例7A、B、C是球。面上三點(diǎn)，弧AB、AC、

BC的度數(shù)分別是90。、90。、60。。求球O夾在二面

角B-AO—C間部分的體積。

分析：此題難點(diǎn)在于空間想象，即較抽象。教

師引導(dǎo)學(xué)生讀題：條件即NAOB=ZAOC

=90。，ZBOC=60°,然后給出圖形（如圖8）,則

可想象此題意即為用刀沿60。二面角，以直徑為棱將

一個(gè)西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：

27rl?3

9）。問題于是變得直觀具體多了。

例8三條直線兩兩垂直，現(xiàn)有一條直線與其中兩條直線都成60。角，求此直線與另外一條直線所成的

角。

分析：由條件想象到長方體的三條棱也兩兩垂直，于是問題可以轉(zhuǎn)化為如下問題：長方體一條對(duì)角線

與同一頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別是60°、60。、a,求a的大小。

根據(jù)長方體的性質(zhì)，有cosa+cos60°+cos60°=1,可求得a=45%

立體幾何的教學(xué)，關(guān)鍵是要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們學(xué)會(huì)聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。立體幾何的許多定理、結(jié)

論源自生活實(shí)際，源自平面幾何，要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，聯(lián)想平面幾何中己經(jīng)熟悉的東西，借助可取

之材來建立空間想象，加強(qiáng)直觀教學(xué)，這樣就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門學(xué)科，從而更有效地

培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體兒何問題的能力。

立方體在高考題中

立方體是高中課本里空間圖形中的最基本、最常用、最重要的幾何體.首先：其本身中的點(diǎn)、線、面

的位置關(guān)系包涵了空間圖形中的所有的位置關(guān)系.其次：它與代數(shù)（如：不等式、函數(shù)與數(shù)列、排列組合等）、

三角、解析幾何有著密切聯(lián)系.因而它是高考命題的熱點(diǎn).下面從數(shù)學(xué)思想方法方面探究其重要性.

一.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想

1.2004年天津卷（6）如圖，在棱長為2的正方體ABCD—ABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F

分別是CC、AD的中點(diǎn).那么異面直線OE和FD所成的角9的余弦值等于.

V10V1542

(A)(B)(Q(D)

5553

分析：可建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量關(guān)系

Z

2.2003年全國卷(12)一個(gè)四面體的所有棱長都為6,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()

(A)3n(B)4兀(C)373兀(D)6k

分析：本題中沒有立方體，可充分挖掘是正四面體特點(diǎn)補(bǔ)形成立方體.

如圖，將正四面體ABCD補(bǔ)成立方體,則正四面體、立方體的中心

與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w的棱長為石，

4

所以正方體棱長為1,從而外接球半徑區(qū)=2，得S球3n.故選(A).

注：“補(bǔ)形割體”構(gòu)造模型,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃螢槭煜さ哪Ｐ蛷亩芊奖愕剡M(jìn)行計(jì)算使問題得到順利的解決，是

處理空間圖形中慣用的手段.

二.體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想

3.2003年全國(理)(16).下列5個(gè)正方體圖形中，I是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M、N,P分別為其所在棱

的中點(diǎn)，能得出I」面MNP的圖形的序號(hào)是(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))

①②③④⑤

分析：易知①是合要求的，由于五個(gè)圖形中的I在同一位置，只要觀察圖②?④⑤中的平面MNP哪一個(gè)和

①中的平面MNP平行(轉(zhuǎn)化為面面平行)即可.

故為：①??

注：本題中選①中平面MNP作為"參照系"，可清淅解題思路，明確解題目標(biāo).

4.2004年北京卷(4)如圖，在正方體ABCD-ABCD中，P是側(cè)面BBCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC

與直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在或是

(A)直線

(B)圓

(Q雙曲線

(D)拋物線

分析：易知P到直線CD的距離為：PC|.

,11

由q是定點(diǎn),BC是定直線.

條&即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離等于到定直線BC

I

注：立幾中的解幾問題是近年來才露臉的題型，要求熟練掌握立體幾何和解析幾何所有知識(shí)內(nèi)容，更要有跳躍

的思維，較強(qiáng)的轉(zhuǎn)換能力.

三.體現(xiàn)分類討論思想

5.2000年全國卷(16)如圖，E、F分別為正方體的面ADDA、

11

面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的面上的射

111

影可能是。(要求：把可能的圖的序號(hào)都填上)

①②③④

分析：因正方體是由三對(duì)平行面所組成，所以只要將四邊形BFDE在三個(gè)方向上作投影即可，因而可分為

1

三類情況討論.

⑴在面ABCD上作投影可得②(平行四邊形).

⑵在面ADDA上作投影可得③(線段).

11

⑶在面ABBA上作投影可得②(平行四邊形).

11

故可填為：②?

注：截面、射影的問題是空間圖形和平面問題間變換的一種重要題型，象本題一樣的定性分析題一定要抓住

圖形的特性(平行、垂直等)進(jìn)行分析.

6.2004年湖南卷(10)從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為

(A)56(B)52(C)48(D)40

分析：可將合條件的直角三角形分為兩類：

第一類：三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的同一個(gè)面上時(shí)有：6c3=24個(gè).

4

第二類：三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上時(shí)，直角三角形所在的平面一定是正方體的對(duì)角面，因而有：

6X4=24個(gè).

故共有：24+24=48個(gè).從而選?

注：以幾何體為載體考查排列與組合的有關(guān)問題是高考的傳統(tǒng)題型，要做到不重復(fù)不遺漏地分類并且注意幾

何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去求解.

四.體現(xiàn)函數(shù)與方程思想

7.2002全國卷(18)如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相

垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，

若CM=BN=a(0<av72).

⑴求MN的長；

⑵當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最??；

分析：將圖形補(bǔ)成為正方體(如圖)運(yùn)用函數(shù)思想求解.

(1)作MK.LAB于K,連KN.由面ABCD.L面ABEF

得MK1KN.從而|MN|=VMKz+KN2……①

BKCMBN

又由==得KN//AF.

KAMANF

從而|KNI|BK|=——,IBNI=a②

22

IMK1=—|AMI=-(>/2—a)……③

22

將②?代入①有l(wèi)/INI9—a)2+[a2=\a2—v2a+1為所求.

\22

⑵運(yùn)用函數(shù)配方法，由(I)知aa+1.(0VaV￡

配方有

注：對(duì)空間圖形中含有一些“動(dòng)態(tài)”因素（象距離、角度等）的問題，可考慮能否把這一動(dòng)源作為自變量，構(gòu)造

目標(biāo)函數(shù)，用函數(shù)的思想來處理.

8.2004年湖北（18）如圖，在棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱

till

CD上的動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)F的

使得DE_L平面ABF.

分析：以人為坐標(biāo)標(biāo)層點(diǎn)，建立如圖所未的空間直角.坐標(biāo)系.

運(yùn)用方程思想（借助向量的數(shù)量積）求解.

設(shè)DF=X，則A（0,0,0）,B（1,0,1）,

D,<P>1,0>E|1,,0|,F(x,1,0)

(2)

AF=(x,1,0).

(

于是DEJ_平面AB?.DE.AF=0—|1,—1—1)|.(x,1,0)=0—

(2)

既*=.故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D,E_L平面AB,F.

2

在近幾年的高考試題中，立方體不僅包涵了所有的數(shù)學(xué)思想方法，密切了與中學(xué)數(shù)學(xué)中其它內(nèi)容的聯(lián)系，更

體現(xiàn)著從靜到動(dòng)，從單一到多方面，從立方體本身應(yīng)用問題到利用立方體去解決問題的發(fā)展變化.仔細(xì)研究這

些變化對(duì)學(xué)好空間幾何無疑是有裨益的.

幾點(diǎn)思考：

1.加強(qiáng)對(duì)立方體的研究，對(duì)空間圖形的研究以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，數(shù)形轉(zhuǎn)換能力與邏輯思維能力.

⑴對(duì)立方體本身的研■究：如：立方體的內(nèi)切球,外接球，球與立方體的棱相切等；立方體與正四面體的聯(lián)系；

以正方體各面的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可構(gòu)成正八面體等.

⑵對(duì)空間圖形問題中解題方法的研究：以立方體為載體的方法有：平移求角法，割體補(bǔ)形法，面積射影法，體

積相等法，側(cè)面展形法,轉(zhuǎn)化化歸法，空間向量法等.

⑶構(gòu)造立方體以解決有關(guān)問題（第二冊(cè)下BP〔g3）“已知三個(gè)平行平面a、忤Y與兩條直線！、m分別相交

于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F（圖1）,求證：竺=DE".”解答此題時(shí)學(xué)生很容易誤將！與m共面去理

BCEF

解造成錯(cuò)誤.其實(shí)構(gòu)造正方體（圖2）可加強(qiáng)直觀性以幫助學(xué)生理解.

?\D______

圖1圖2

通過對(duì)立方體及空間圖形的研究可培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)空間圖形的能力，建立起空間概念，準(zhǔn)確地理解并熟

練運(yùn)用概念、性質(zhì)、公理、定理進(jìn)行判斷、推理與轉(zhuǎn)化(如：①線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化及平

行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，②把空間距離和角向平面距和平面角的轉(zhuǎn)化,③文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三者的相

互轉(zhuǎn)化.)等

2.加強(qiáng)立方體與其它內(nèi)容的滲透的研究：立方體與排列組合的結(jié)合，象染色問題，計(jì)數(shù)問題；立方體與解析幾

何的結(jié)合,象軌跡問題；立方體與函數(shù)方程的結(jié)合,象最值問題；立方體與代數(shù)三角的結(jié)合,象角度距離問

題；立方體與其它學(xué)科的結(jié)合，象化學(xué)晶體問題等.這樣有助于對(duì)正方體的深刻認(rèn)識(shí)與實(shí)際應(yīng)用.

3.通過對(duì)立方體及空間圖形的研究挖究高考解答題的模式.

高考解答題往往是要解決兩大問題：一是證明題，二是計(jì)算題.處理方式有兩種：⑴在證明中要以典型的

三段論的形式嚴(yán)格按照演繹推理的步驟完成推理的論證；計(jì)算時(shí)并非單純的數(shù)字計(jì)算，而是與作圖與證明相

結(jié)合的，立體幾何計(jì)算題的主要步驟可歸納為："畫一證一算"三步."畫”是畫圖，添加必要的輔助線，或畫出

所要求的幾何量，或進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)換化，“證”是證明，證明所畫的幾何量即為所求，然后進(jìn)行最后一步計(jì)算.這

三步之間緊密相連，環(huán)環(huán)相扣，相互制約，是解決立體幾何題的思維程序.⑵由垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，

運(yùn)用向量處理即可.

例談點(diǎn)到平面距離的求法

立體兒何的空間距離是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。由于線面距離、面面距離以及兩異面直線間的距

離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來解決，因此點(diǎn)到平面的距離更值得我們關(guān)注。

點(diǎn)到平面的距離的求法可分為三大類：

一、由點(diǎn)向平面引垂線，且垂足位置可確定

轉(zhuǎn)化到在某平面內(nèi)，求出點(diǎn)和垂足間的線段的長。

1、用定義直接構(gòu)造法

例1、如圖，三棱錐S-ABC中，AABC是等腰三角形，AB=BC=2a,

三ABC=1200,且SA」面ABC,SA=3a。求點(diǎn)A到平面SBC的距離。目

解：作AD」BC交BC于D,連結(jié)SD..

SAJ平面ABC,根據(jù)三垂線定理有SDJBC<

殳SDcAD=D,:BC」平面SAD。又BC仁平面SBC,AB

：平面SBCJ平面ADS,且平面SBCc平面ADS=SD°

：過點(diǎn)A作AHJSD于H,則AH］平面SBC”在RtASAD中，SA=3a,

SAAD3a

AD=AB'sin600=Sa,:AH=,=-——

VSA2+AD22

3a

故點(diǎn)A到平面SBC的距離為一。

2

【點(diǎn)評(píng)】利用構(gòu)造法關(guān)鍵是定位點(diǎn)在面內(nèi)的射影。常常要尋找過已知點(diǎn)且與所給面垂直的面，再過已知點(diǎn)

作兩垂面交線的垂線。

2、轉(zhuǎn)移構(gòu)造法

(1)利用平行線轉(zhuǎn)換點(diǎn)

例2、在直三棱柱ABC—ABC中，ABJBC,AB=CC=a,BC=b(b>a)

1

(1)求證：ACJAB(2)求點(diǎn)B到平面ABC的距離.

1i11

解：⑴連結(jié)AB,貝IJABJAB,又ABJBC,故ABJ面ABC。知

11111111

ACJAB,得AC」面ABBA,知AC」AB0

111111111

(2)由(1)得面ABC」面AAC.

?/AB-AB,：AB評(píng)面ABC:A到平面ABC的距離等于B到平面ABC的距離

11111

過A作AG」AC于G,ABJ平面ACCA,ABJAG

111111

a>A>2—a2

從而AG」平面ABC故AG即為所求的距離。易求AG二

b

【點(diǎn)評(píng)】利用直線與平面平行，把所求的點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)移到平行線上另一點(diǎn)到平面的距離來求，

是我們常用的方法。

(2)對(duì)稱轉(zhuǎn)移或利用定比分點(diǎn)

例3、如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PAJ平面ABCD,PA=2c,Q是PA的中點(diǎn).求P到平

面BQO的距離.

解：過A作AE」BD垂足為E,連結(jié)QE。?.?平面BQD經(jīng)過線段PA的中點(diǎn)，...P

到平面BQD的距離等于A到平面BQD的距離.在ZXA能中，作AH」QE于H.丁!?」AE,BD」QE,

平面A(?.Z.BDJAll,A1IJ平面BQE,即AH為A到平面BQD的距離.

ababc

在RtAAQE中，VAQ=c,AE=,=,.;AH=y------=.

'a2+b2?a2b2+b2c2+c2a2

例4、已知正方體的棱長為1,。為上底面ABCD的中心。

1111*

求點(diǎn)。到平面ABCD的距離。

11

AB

析：點(diǎn)A到平面ABCD的距離為線段AE的長，易求得AE

為AC的中點(diǎn)，故點(diǎn)O到平面ABCD的距離為

11114

【點(diǎn)評(píng)】轉(zhuǎn)移構(gòu)造常利用已知平面點(diǎn)分某條斜線段所成的比，體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化的思想。

二、由點(diǎn)向平面引垂線，垂足無法確定或難確定時(shí)

1、等體積法（利用三棱錐的體積公式）

例5、已知在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C，D'中，E、F分別是A，BJCD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面

AECF的距離。

解：連結(jié)AE、BF、EF,則點(diǎn)B到平面AECF的距離即為點(diǎn)B到平面AEF的距離。設(shè)點(diǎn)B到平面

AEF的距離為h,根據(jù)V=V則

EABFB-AEF

11

EG.S-=hLS「，得h=-----

ABF3AEF33

【點(diǎn)評(píng)】由于四面體以不同面為底的體積相等，因而等體積法的關(guān)鍵是將距離看成是某四面體的高。

2、運(yùn)用面面角或利用斜線和平面所成的角

1

例6、在直角梯形ABCD中，三D=三BAD=9Oo,AD=DC二AB二a。將AADC沿AC折起

2

使D至如果二面角D-AC-B為60。，求點(diǎn)D?到面ABC的距離。

解：設(shè)D?在平面ABC內(nèi)的射影為O,E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)OE

由于DE」AC,故三DEO為二面角的平面角，即三DEO=60。。又DE=a,所以

2

DO=DE-isin60<>=a0

4

例7、已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD

所在平面，且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.

解：設(shè)M為FE與CB的延長線的交點(diǎn)，作BRJGM,R為垂足.又GMEB,

所以平面BER±平面EFGo又ER為它們的交線

???ZREB就是EB與平面EFG所成的角0

由△MRRs△MCG,可得

RBMBMB.CG2

------=---------nRB

CGMGMG

BR

在RtAREB中，sin9=sinHBER=——

ER11

2

于是得所求之距離d=EB.sin三BER

11

【點(diǎn)評(píng)】此法體現(xiàn)著角與距離間的轉(zhuǎn)化，另一個(gè)變化是利用距離求角，應(yīng)引起我們的足夠重視。

3、利用兩平行平面的距離確定

對(duì)上例，有如下的計(jì)算方法：

解：把平面EFG補(bǔ)成一個(gè)正四棱柱的截面所在的平面.則面GMT是正四棱柱ABCD-ABCD經(jīng)過F、

1111

E、G的截面所在的平面.MG交BB于N,TG交DD［于Q.作BP//MG,交CG于P,連結(jié)DP.則有平面GTM〃

平面PDBo它們之間的距離就是所求之距離，于是可以把點(diǎn)B平移到平面PDB上任何一個(gè)位置。

而這兩個(gè)平行平面的距離d又同三棱柱GQN—PDB的體積有關(guān)，所以可以利用三棱柱的體積確定所

求之距離。則有三棱柱GQN—PDB的體積V的關(guān)系式：

V=S.d=S,BN(*).易求出

APDBACDB

由關(guān)系式(*)可得,

于是平行平面間的距離d=,即點(diǎn)B到面EFG的距離為一

1111

【點(diǎn)評(píng)】若兩平面平行，則平面內(nèi)的任一條直線到另一個(gè)平面的距離等于兩平面間的距離，對(duì)于分別

位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的異面直線之間的距離也等于兩平面間的距離。在解題過程中要注意體會(huì)。

三、向量法

例8、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AECF所截面而得到的，

1

其中AB=4,BC=2,CC=3,BE=1.

求：點(diǎn)C到平面AECF的距離.

解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),

C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設(shè)F(0,0,z).

???AECF為平行四邊形，

1

由AECF為平行四邊形，

1

由AF=EC得，(-2,0,z)=(_2,0,2),

1

z=2:F(6,0,2).

設(shè)n1為平面AEC〔F的法向量,

顯然n不垂直于平面ADF,故可設(shè)n=(x,y,1)

(In.AE=0,(0)x+4)y+1=0(4y+1=0,［八--

由〈?得〈即〈：〈1

|p7AF=0,|-2>x+0)y+2=0|-2X+2=0,Iy=一

14

又CC=(0,0,3),設(shè)CC與n的夾角為a,則

111

."到平面人￡（3丁的距離為~=2（：_|（；05以=3〉=

113311

【點(diǎn)評(píng)】若點(diǎn)P為平面a外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為11,則點(diǎn)p到平面a的

距離公式為d=。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了空間解幾以后，還有點(diǎn)到平面的距離公式，這里從略。

主體幾何中的識(shí)圖技巧

如何解決立.體幾何問題的關(guān)鍵在于空間想像能力的培養(yǎng)、邏輯能力的培養(yǎng)、化歸能力的培養(yǎng)，而邏

輯思維能力，在初級(jí)學(xué)習(xí)及其它分支的學(xué)習(xí)中有了一定的提升，所以空間想像能在解決立幾解題過程中，

顯得尤其突出，而空間想像是漫無邊際泊胡想，而應(yīng)該以題設(shè)為根據(jù)，以某何體為依托，這錢會(huì)密趣想

象力插上翱翔的翅膀。

如何以面為依托，來確定相關(guān)元素之間的位置關(guān)系一一面要畫得舒展，

突破體的束縛。

例1：ZXABC為等邊三角形，邊長為12,C在2面內(nèi)，

AB到面距離分別為6和3,求AABC與2所成二面角的大小。

先將面ABC擴(kuò)展與2交于P,

就清楚的看出NACA，為所求的

1

NACA'=,ZACA=30°

2

例2：正四棱柱ABCD-ABCD中，過B作截面交正四棱柱于FG,AG=CE,且面ABCD與面BEFG

111

成45°,AA=10,AB=1,求ABCD—BEFG

1

將面BEFG擴(kuò)展截面ABCD交于FG,

由于AG=CE,就很容易得到NFBD=45°,

FD=BDtg45、BD=C及AG氏乂，

2

故V=2-V-ADFG=

2?.[V2+2.1乂1=:一9二

322322

或V為以ABCD為底面高為DF的長方

體體積的一半而V=1X1X?’2*—=

22

例3：三棱錐P-ABC中，PA=a,PB=PC42a,ZAPB=ZAPC=45°,

2

cosZBAC=,D、E為PB、AB的中點(diǎn)，

3

求面PAC與面DEC所成角

本題中以擴(kuò)展的面PAC的擴(kuò)展的

面DEC(I//PA,I//DE)

從而NACE為所求

2、以擴(kuò)展的二面角為依托，來確定相關(guān)元素的相互關(guān)系——技巧2,舒展的二面角為參照體系。

例4：矩形ABCD中，AB=3,AD=4,沿BD將距形ABD折起，使面ABD和面CBD成120°,求

AC的距離

本題以擴(kuò)展的二面角2—BD-。

襯托了矩形折起的相關(guān)位置，

就可以利用二面角的平面角的

定義及求法作出AE、CF及矩形EFCG,

從而得出CG±AG,AC的長度就可以

RtAACG中求解

—12

AG2=AE2+EG2+AGEG=3AE2=3()2

5

127481

AC2=AG2+CG2=3()2+()2=,AC=

5552

例5：斜三棱柱ABC-ABC的倒棱與底面邊長都是2,

11i

倒棱與底面所成的角為60°,側(cè)面ABB1A1J_底面ABC(如圖)

(1)求證BC±CA

i1

(2)求CA與AB所成的角

11

(3)求V—ABC的體積

A111

本題如果將與底面垂直的側(cè)面及底面ABC

放在擴(kuò)展的直二面角內(nèi)，以擴(kuò)展的直二面角

為依托則AB_L?iADCnAB±AC,則

1i11111

菱形AACCnAC1AC,所以AC,面

11111

ABC,故AC±BC,ABCD^AADC,

所以SMB,C;>TV「A,B,C=：VT-T=1

32

3、以線面相交為依托，完成相等或成比例的距離求基本形為：直線AB與a于0

AO=BO,則A到a的距離可以轉(zhuǎn)化B

到而a的距離EO=KBO(KeR>),/

則E至la的距離也可以轉(zhuǎn)化為B至ija的距離乙

例6：在三棱錐P-ABC,PA=PB=PC.BC=2a,AC=a,AB=、'3a,點(diǎn)P到平面ABC的距離為3a

(1)求二面角P-AC-B的大小

(2)求點(diǎn)B到平面PAC的距離/

本題中由于PA=PB=PC,P在面ABC/

上的射影O為BC中點(diǎn)，作OD_LAC,/二

則NPDO為二面角P-AC-B的平面角即

ZPDO=60J?另一方面，面(<?_1面PAC,y/\

很容易求出。到面PAC的距離，不易求B到/\

面PAC的距離,但BC=2OC,所以可以轉(zhuǎn)化/.~

。到面PAC距離的2倍，即-a,又如CGJ_面:/

ABCD,ABCD為正方形，AB=2,CG=1,E、F為AB、AD的中點(diǎn)，求B到面EFG的距離，對(duì)于

這個(gè)問題的解法多方面的在這里，我們可以由B到面EFG的距離，由直線段AB轉(zhuǎn)到A,又由AC轉(zhuǎn)到C,

即BC到面EFG距離的

4、以正方體、長方體等為依托，達(dá)到距離、體積等求解

例7：(1)四個(gè)半么徑為R的球成品字兩兩相切放在桌上，求最高點(diǎn)到桌面距離

(2)三個(gè)半徑為R的球兩兩相切放在桌面上，它們中間放一個(gè)盡可能大的球，則這個(gè)球的半么為多

這兩個(gè)題都可以球心為多面體的頂點(diǎn)構(gòu)造圖形形成轉(zhuǎn)化如下圖

例8：(1)已知CH分子中兩氫原子的距離為a,求碳?xì)湓娱g距離(或外接球的半徑)

4

(2)求四面邊長為5,6,7的全等三角形的三棱錐的體積

第一題我們以正方體為依托，構(gòu)造下圖：

兩氫原子的距離轉(zhuǎn)化為正方體面對(duì)角長，

碳?xì)湓拥木嚯x轉(zhuǎn)化為正方體對(duì)角長的一半，

比直接由正四面體的性質(zhì)求解簡明、迅速。

二題我們以長方體為依托，構(gòu)造下圖，同/-------------

上題的轉(zhuǎn)化方式一樣，我們不妨設(shè)長方體的一-------

長寬高分別為a、b、c,則a2+b2=72

1121v6v30v19

V=abc-4?,"abc=abc-abc=一abc=

3233

例9：將一個(gè)小球放入一長方體的容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三側(cè)面相接觸，小球上有一點(diǎn)到這三緲的距

離分別為3、3、6,試分析小球半徑可能情況。.［一

由于小球與三個(gè)面都相切，所以球心到：

三個(gè)面的距離都是R,故可以構(gòu)造正方體，/

其邊長為R,小球上一點(diǎn)到三面距離為3、3、6,：

故可以構(gòu)造長方體，其邊長分別為3、3、6,如下圖，

故R2=(6-R)2+(R7-2-3而2nR=3或r=9上三A

以上這些說是技巧，有點(diǎn)自我夸張，只不過是自己對(duì)立幾解題和教學(xué)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)與體會(huì)，實(shí)際上是

熟能生巧。

立體幾何題怎么解

高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道,主觀題1道)，共計(jì)總分27分左右，考杳的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以

內(nèi).選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問題，而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題，當(dāng)然，二者均應(yīng)

以正確的空間想象為前提.隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，立體幾何考題正朝著"多一點(diǎn)思考，少一點(diǎn)計(jì)

算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看，以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考

常新的熱門話題.

例1四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，面ABCD.

(1)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個(gè)四棱錐的體積；

(2)證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

講解：(1)正方形ABCD是四棱錐P-ABCD的底面，其面積

為a2,從而只要算出四棱錐的高就行了.K

PBJ面ABCD,.?.BA是PA在面ABCD上的射影.又DA_LAB,'

.-.PA1DA,...NPAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，

NPAB=60"而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB?tg6003a,I'\\

(2)不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

作AE1DP,垂足為E,連結(jié)EC,則△ADE2ZXCDE,

：AE=CE,三CED=90。,故三CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

4

設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O,連結(jié)EO,則EO1AC,:a=OA想AE想AD=a.

2

在編AEC中，cos三AECAE2+EC2—(2.OA)2(AE+2OA“AE—、2OA)