高一數(shù)學(xué)知識點（考前必看）

高一數(shù)學(xué)知識點（考前必看）

期末到了，同學(xué)們都在緊張的復(fù)習(xí)當(dāng)中，那么高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)呢？有哪些知識

點？今天小編在這給大家整理了高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)（考前必看）一高一數(shù)學(xué)復(fù)

習(xí)要點，接下來隨著小編一起來看看吧！

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)（一）

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)幕的運算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot）,其中＞1,且

G*.

當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).此時，

的次方根用符號表示.式子叫做根式（radical）,這里叫做根指數(shù)

（radicalexponent）,叫做被開方數(shù)（radicand）.

當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)的正

的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以

合并成±（〉0）.由此可得：負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

注意：當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時，

2.分數(shù)指數(shù)累

正數(shù)的分數(shù)指數(shù)基的意義，規(guī)定：

0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)累的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有

理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)幕.

3.實數(shù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential）,其中x

是自變量，函數(shù)的定義域為R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和L

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)（二）

奇偶性

定義

一般地，對于函數(shù)f(x):

(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)

就叫做奇函數(shù)。

(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(x)=f(-x),那么函數(shù)f(x)

就叫做偶函數(shù)。

⑶如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個X,f(-x)=-f(x)與f(x)=f(-x)同時

成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

(4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意—個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不

能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(三)

幕函數(shù)定義：

形如y=x%(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量累為因變量，指數(shù)為常量

的函數(shù)稱為幕函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時，幕函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實

數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0,

不過這時函數(shù)的定義域還必須根［據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，

則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，

則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時，哥函數(shù)的值域

的不同情況如下：在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0

時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才

進入函數(shù)的值域

幕函數(shù)性質(zhì)：

對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù)，則x-(p/q)=q次根號(x的p次

方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是［0,

+°°)O當(dāng)指數(shù)n是負整數(shù)時，設(shè)a=-k,則x=l/(x-k),顯然x^O,函數(shù)的定義

域是(-8,0)U(0,+8).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可

能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我

們就可以知道：

排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);

排除了為0這種可能，即對于x

排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是

負數(shù)。

總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時，幕函數(shù)的定義域的不同情況

如下：

如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的

奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為

大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實

數(shù)。

在X大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出幕函數(shù)在第一

象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

(2)當(dāng)a大于0時，幕函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，密函數(shù)為單調(diào)遞

減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時，幕函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時，幕函數(shù)圖形上

凸。

(4)當(dāng)a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

(6)顯然幕函數(shù)無界。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(四)

圓錐曲線性質(zhì):

一、圓錐曲線的定義

1.橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長(定長大于兩個定點間的距離)的

動點的軌跡叫做橢圓.

2.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小于兩個定點的距

離)的動點軌跡叫做雙曲線.即.

3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的

點的軌跡叫做圓錐曲線.當(dāng)01時為雙曲線.

二、圓錐曲線的方程

1.橢圓：+=l(a〉b〉0)或+=l(a>b>0)(其中，a2=b2+c2)

2.雙曲線：-=l(a>0,b>0)或-=l(a>0,b>0)(其中，c2=a2+b2)

3.拋物線:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

三、圓錐曲線的性質(zhì)

1.橢圓：+=l(a>b>0)

⑴范圍：|x|Wa,|y|Wb⑵頂點:(±a,0),(0,土b)⑶焦點:(+c,0)(4)

離心率：e=e(0,1)(5)準線：x=±

2.雙曲線：-=l(a>0,b〉0)(1)范圍：|x|2a,y￡R(2)頂點：(土a,0)(3)焦

點：(土c,0)(4)離心率：e=e(1,+8)(5)準線：x=±(6)漸近線：y=±x

3.拋物線：y2=2px(p>0)(1)范圍：x20,yCR(2)頂點：(0,0)(3)焦點：

(,0)(4)離心率:e=l(5)準線：x=-

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(五)

問題提出

1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量，如

果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之

間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系.

2.在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好,那么你的物理

學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之

間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變

量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

3.我們不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到

多少，學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時間、教學(xué)水平等，也是影響物理成績的一些因素，但這兩

個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個變

量之間的關(guān)系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學(xué)成績對物理成績進行

合理估計,將有著非常重要的現(xiàn)實意義.

知識探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系

思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系：

(1)商品銷售收入與廣宣支出經(jīng)費；

(2)糧食產(chǎn)量與施肥量；

(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.

這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，

那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似

的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成適嗎？

思考3:上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系，那

么相關(guān)關(guān)系的含義如何？

自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)

系，叫做相關(guān)關(guān)系.

1、球的體積和球的半徑具有0

A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系

C不確定關(guān)系D無任何關(guān)系

2、下列兩個變量之間的關(guān)系不是

函數(shù)關(guān)系的是0

A角的度數(shù)和正弦值

B速度一定時，距離和時間的關(guān)系

C正方體的棱長和體積

D日照時間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:知識探究

(-):散點圖

【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組

樣本數(shù)據(jù)：

其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).

思考1:對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,

但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù),

大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？

思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)

進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表示

年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？

思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎？

在平面直角坐標系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱

為散點圖.

思考4:觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)

系？

思考5：在上面的散點圖中，這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩

個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).一般地，如果兩個變量成正相關(guān)，

那么這兩個變量的變化趨勢如何？

思考6：如果兩個變量成負相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？

其散點圖有什么特點？

一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右

下角的區(qū)域.

一般情況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負相關(guān)，類似于函數(shù)的單

調(diào)性.

知識探究(一)：回歸直線

思考1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的中

心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？

思考2:在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點

圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的

點的分布有什么特點？

這些點大致分布在一條直線附近.

思考3:如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這

兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關(guān)關(guān)系

的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？

思考4:對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認為其回歸直線是一條還是

幾條？

思考5:在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線？借助計算機

怎樣畫出回歸直線？

知識探究(二)：回歸方程

在直角坐標系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回

歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那

么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方

程對總體進行估計.

思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？

整體上最接近

思考2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法？

思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選

用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適？20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之

間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天，賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：

如果某天的氣溫是-50C,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯

數(shù)嗎？

實例探究

為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系，我們以橫坐標x表示氣溫，縱坐標y

表示熱茶銷量，建立直角坐標系.將表

中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對表示的點在坐標系內(nèi)標出，得到下圖。

你發(fā)現(xiàn)這些點有什么規(guī)律？

今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).

建構(gòu)數(shù)學(xué)

所以，我們用類似于估計平均數(shù)時的思想，考慮離差的平方和當(dāng)x=-5時，熱

茶銷量約為66杯，線性回歸方程：

一般地，設(shè)有n個觀察數(shù)據(jù)如下:當(dāng)a,b使2.三點(3,10),(7,