1.1 探索勾股定理 北師大版數學八年級上冊教案

第一章勾股定理1探索勾股定理第1課時勾股定理(1)教學目標【知識與技能】經歷勾股定理的發(fā)現過程，了解并掌握勾股定理的內容．【過程與方法】通過對勾股定理的探索，學生在探索實踐中理解并掌握勾股定理．【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)學生在實際生活中發(fā)現問題、總結規(guī)律的意識和能力．教學重難點【重點】勾股定理的內容及探究．【難點】勾股定理的探究．教學過程一、創(chuàng)設情境，引入新課目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等．我國數學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言．這個事實說明了勾股定理的重大意義．尤其在兩千年前，這是非常了不起的成就．讓學生畫一個直角邊分別為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．勾股定理是三千多年前我國古代一個叫商高的人發(fā)現的，他說：“將一把直尺折成直角，兩段連接得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五．”這句話的意思是說一個直角三角形較短直角邊(勾)的長是3，長的直角邊(股)的長是4，那么斜邊(弦)的長是5.再畫一個兩直角邊長分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．你是否發(fā)現32＋42與52的關系，52＋122和132的關系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.再畫出幾個三角形，分別測量它們的三條邊，看看它們是否也有這個性質．二、操作實驗，探求新知1．多媒體演示課件，引導學生觀察并思考：(1)圖①中三個正方形之間會有什么樣的關系？你是用什么方法得到的？試說一說你的方法．(關注每一個學生，給學生提供充分思考的空間與時間)(2)以等腰直角三角形的兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的大正方形的面積之間有什么樣的關系？歸納：等腰直角三角形三邊之間的特殊關系：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．2．組織學生小組合作學習．思考：其他一般的直角三角形三邊之間是否也具備這種特殊關系呢？(多媒體演示，引導學生觀察發(fā)現)問題：計算圖②中三個正方形的面積，它們之間有什么關系？試說一說你的想法．引導學生用數格子的方法初步體驗結論．歸納驗證，得出定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.3．命名“勾股定理”，介紹“勾，股，弦”的含義，即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．三、例題講解【例1】勾股定理的具體內容是：____________________________________________.【解】如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.【例2】已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)若a＝1，b＝2，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b.【解】(1)根據勾股定理，得c2＝a2＋b2＝12＋22＝5.∵c>0，∴c＝eq\r(5).(2)根據勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.【例3】如圖，直角△ABC中，∠C＝90°，它的主要性質是：(用幾何語言表示)(1)兩銳角之間的關系：________；(2)若D點為斜邊中點，則斜邊中線與斜邊的關系是________；(3)三邊之間的關系是________．【解】(1)∠A＋∠B＝90°；(2)CD＝eq\f(1,2)AB；(3)AC2＋BC2＝AB2.【例4】已知△ABC的三邊長分別為a、b、c，若滿足b2＝a2＋c2，則________＝90°；若滿足b2>c2＋a2，則∠B是________角；若滿足b2<c2＋a2，則∠B是________角．【解】∠B鈍銳四、鞏固練習1．已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，a、b、c是△ABC的三邊，則(1)c＝________(已知a、b，求c)；(2)a＝________(已知b、c，求a)；(3)b＝________(已知a、c，求b)．【解】(1)eq\r(b2－a2)(2)eq\r(b2－c2)(3)eq\r(c2＋a2)2．如下表，表中所給的每行的三個數a、b、c，有a<b<c，試根據表中已有數的規(guī)律，寫出當a＝19時，b、c的值，并把b、c用含a的代數式表示出來.3，4，532＋42＝525，12，1352＋122＝1327，24，2572＋242＝2529，40，4191＋401＝412…………19，b，c192＋b2＝c2【解】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝c2，,c＝b＋1，))則b＝eq\f(a2－1,2)，c＝eq\f(a2＋1,2)；當a＝19時，b＝180，c＝181.3．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝10eq\r(3)cm，一動點P沿BC邊從B向C以每秒2cm的速度移動，問：當P點移動多少秒時，PA與腰垂直？【解】5秒或10秒五、課堂小結師：本節(jié)課學到了什么數學知識？你了解了勾股定理的發(fā)現和驗證方法了嗎？你還有什么困惑？學生發(fā)言，并提出問題，老師點評，對學生提出的問題給予解答．

第2課時勾股定理(2)教學目標【知識與技能】勾股定理的面積證法；會用勾股定理進行簡單的計算．【過程與方法】1．數形結合，鼓勵學生運用數形結合的方法進一步探究勾股定理，并讓學生在做題時，盡量畫出圖形，逐漸做到靈活運用．2．分類討論，讓學生畫好圖后進行標示，從不同角度考慮條件和圖形，考慮問題要全面，在討論的過程中提高學生靈活應用的能力．【情感、態(tài)度與價值觀】1．樹立數形結合的思想和分類討論思想．2．培養(yǎng)思維意識，發(fā)展數學理念，體會勾股定理的應用價值．教學重難點【重點】勾股定理的面積證法．【難點】勾股定理的靈活運用．教學過程一、復習導入，講授新課1．復習勾股定理的文字敘述、勾股定理的符號語言及變形．2．用割補法驗證勾股定理．前面我們用測量和數方格的方法驗證了勾股定理，實際上對于勾股定理的證明，到目前為止，已有幾百種之多，下面，我們就看一看我國數學家趙爽是怎樣證明這個定理的．①用多媒體演示課件．②小組合作探究：a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成下圖的樣子嗎？b．它們的面積分別怎樣表示？它們之間有什么關系？c．利用學生自己準備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法．想一想：還有什么方法？3．學習勾股定理重在應用．(1)在解決問題時，需知道每個直角三角形的幾個條件？(2)直角三角形中哪條邊最長？(3)在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求AC的長．問題：①在長方形ABCD中，AB、BC、AC之間的大小關系是怎樣的？②Rt△ABC的三邊a、b、c滿足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求Rt△ABC斜邊上的高．③已知△ABC的三邊分別為a、b、c且a＋b＝4，ab＝1，求斜邊c的長度．二、例題講解【例1】已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.求證：a2＋b2＝c2.分析：(1)讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明．(2)拼圖如圖所示，其等量關系為：4S三角形＋S小正方形＝S大正方形，(a＋b)2－4×eq\f(1,2)ab＝c2，化簡可證．(3)發(fā)揮學生的想象力拼出不同的圖形，進行證明．(4)勾股定理的證明方法達300余種．這個古老的精彩的證法，出自我國古代數學家之手，激發(fā)了學生的民族自豪感和愛國情懷．【例2】填空題．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；(4)一個直角三角形的三邊長為三個連續(xù)偶數，則它的三邊長分別為________．【解】(1)17(2)eq\r(7)(3)68(6)6、8、10【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知a＝b＝5，求c；(2)已知a＝1，c＝2，求b；(3)已知c＝17，b＝8，求a；(4)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求a.分析：剛開始使用定理時，讓學生畫出圖形，并標示出已知條件，理清邊之間的關系．(1)已知兩直角邊，求斜邊，直接用勾股定理．(2)(3)已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的公式．(4)已知一邊和兩邊比，求未知邊．通過前三題讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊．后兩題讓學生明確已知一邊和兩邊間的關系，也可以求出未知邊，學會“見比設參”的數學方法，體會由角轉化為邊的關系的轉化思想．【解】(1)5eq\r(2)(2)eq\r(3)(3)15(14)eq\r(5)【例4】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊的長．分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進行計算．讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想．【解】eq\r(119)或13【例5】已知等腰三角形的腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積．【解】由題意可知該等腰三角形的高為eq\r(102－（\f(16,2)）2)＝6，∴該等腰三角形的面積為eq\f(1,2)×16×6＝48.【例6】如圖，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米．(1)求梯子的底端B距墻角O多少米？(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米至C.算一算底端滑動的距離是多少．【解】(1)OB＝eq\r(32－2.52)＝eq\f(\r(11),2)(米)．(2)OD＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)(米)，BD＝OD－OB＝(eq\r(5)－eq\f(\r(11),2))米．【例7】我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現一輛敵方汽車在公路上疾駛．他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？分析：根據題意，可以畫出圖，其中點A表示小王所在位置，點C、點B表示兩個時刻敵方汽車的位置．由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾股定理來解決這個問題了．【解】由勾股定理，可以得到AB2＝BC2＋AC2，也就是5002＝BC2＋4002，所以BC＝300.敵方汽車10s行駛了300m，那么它1h行駛的距離為300×6×60＝108000(m)，即它行駛的速度為108km/h.【例8】根據下圖，利用面積法證明勾股定理．【解】∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA，又∵S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(a＋b)2，S△BCE＝S△EDA＝eq\f(1,2)ab，S△ABE＝eq\f(1,2)c2，eq\f(1,2)(a＋b)2＝2×eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2，∴a2＋b2＝c2，∴勾股定理得證．三、鞏固練習1．填空題．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；(2)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝