4.2 直線、射線、線段（解析版）

4.2直線、射線、線段一、直線1、概念：直線就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的一條線。直線兩端是可以無(wú)限延伸的，沒有長(zhǎng)度。2、性質(zhì)：（1）直線公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線；（兩點(diǎn)確定一條直線）（2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)就唯一確定，過(guò)三點(diǎn)就不一定了。3、表示方法：①用一個(gè)小寫字母表示；②用兩個(gè)大寫字母（一條直線上的兩點(diǎn)）表示；4、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上：一個(gè)點(diǎn)在一條直線上，也可以說(shuō)這條直線經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)5、直線相交：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。二、射線1、概念：射線就是直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分。這個(gè)點(diǎn)就是射線的端點(diǎn)，從這個(gè)點(diǎn)伸出的一條線就是射線。射線只有一端是無(wú)限延伸的，沒有長(zhǎng)度。2、表示方法：①用一個(gè)小寫字母表示；②用兩個(gè)大寫字母（端點(diǎn)寫在前面+除端點(diǎn)外的射線上的一點(diǎn)）表示。三、線段1、概念：直線上兩個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)點(diǎn)之間的部分就是線段。線段兩邊有端點(diǎn)；線段是有長(zhǎng)度的，可以度量的。2、性質(zhì)—線段公理：兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有連線中，線段最短（兩點(diǎn)之間、線段最短）。3、兩點(diǎn)間的距離（1）兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離；注：平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度。注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長(zhǎng)度”，也就是說(shuō)，它是一個(gè)量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形。線段的長(zhǎng)度才是兩點(diǎn)的距離?？梢哉f(shuō)畫線段，但不能說(shuō)畫距離連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度。4、表示方法：①用一個(gè)小寫字母表示；②用兩個(gè)大寫字母（端點(diǎn)）表示。5、“作一條線段等于已知線段”的方法：（1）度量尺作圖：先量出線段的長(zhǎng)度，再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段；（2）尺規(guī)作圖（用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)）：用直尺畫射線，再用圓規(guī)在射線上截取線段長(zhǎng)度。6、線段的中點(diǎn)：把一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)。7、比較線段的長(zhǎng)短：度量比較法、重合比較法。就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB>CD、AB=CD、AB<CD。題型一直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別【例1】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．直線AB和直線BA是同一條直線 B．兩點(diǎn)之間，直線最短C．射線AB和射線BA不是同一射線 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】B【解析】解：直線AB和直線BA是同一條直線，故A不符合題意；兩點(diǎn)之間，線段最短，故B符合題意；射線AB和射線BA不是同一射線，故C不符合題意，兩點(diǎn)確定一條直線，故D不符合題意；故選B【變式1-1】如圖，已知平面中有A、B、C三點(diǎn)，畫直線AB，畫射線AC，連接BC，下列選項(xiàng)中，畫出的圖正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：依題意，平面中有A、B、C三點(diǎn)，畫直線AB，畫射線AC，連接BC所以畫出的圖正確的是，故選：A【變式1-2】下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)O在線段AB上 B．點(diǎn)B是直線AB的一個(gè)端點(diǎn)C．射線OB和射線AB是同一條射線 D．圖中共有3條線段【答案】D【解析】解：A、點(diǎn)O在線段AB外，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；B、點(diǎn)B是直線AB的一個(gè)點(diǎn)，直線沒有端點(diǎn)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；C、射線OB和射線AB不是同一條射線，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；D、圖中共有3條線段，選項(xiàng)說(shuō)法正確；故選：D．【變式1-3】圖中直線、射線、線段能相交的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、因?yàn)榫€段不可無(wú)限延長(zhǎng)，兩線沒有交點(diǎn)所以A選項(xiàng)不符合題意，故不選A；B、因?yàn)橹本€兩端都可以無(wú)限延長(zhǎng)的線，射線另一邊無(wú)限延長(zhǎng)后兩線有交點(diǎn)所以B選項(xiàng)符合題意，故選B；C、因?yàn)橹本€兩端都可以無(wú)限延長(zhǎng)的線，射線另一邊無(wú)限延長(zhǎng)后兩線沒有交點(diǎn)所以C選項(xiàng)不符合題意，故不選C；D、因?yàn)閮芍本€無(wú)限延長(zhǎng)沒有交點(diǎn)所以D選項(xiàng)不符合題意，故不選D．【變式1-4】①用一個(gè)小寫字母來(lái)表示．即表示為．②用直線上的兩個(gè)大寫字母表示．即表示為．【答案】直線l直線AB【解析】①用一個(gè)小寫字母來(lái)表示．即表示為直線l．②用直線上的兩個(gè)大寫字母表示．即表示為直線AB．題型二畫出直線、射線、線段【例2】下列關(guān)于作圖的語(yǔ)句中敘述正確的是（

）A．畫直線AB＝10cm C．已知A，B，C三點(diǎn)，過(guò)這三點(diǎn)畫一條直線 D．延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，畫直線AB＝10cm，直線是不可度量的，故對(duì)于B選項(xiàng)，畫射線OB＝10cm，射線也是不可度量的，故對(duì)于C選項(xiàng)，已知A，B，C三點(diǎn)，過(guò)這三點(diǎn)畫一條直線，如果這三點(diǎn)不在一條直線上，過(guò)這三點(diǎn)是畫不出來(lái)直線的，故C選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC＝AB，這個(gè)描述是正確的，可以做到，故D正確；故選：【變式2-1】如圖，已知線段AB，點(diǎn)C在AB上，點(diǎn)P在AB外．

（1）根據(jù)要求畫出圖形：畫直線PA，畫射線PB，連接PC；（2）寫出圖中的所有線段．【答案】（1）見解析（2）PA【解析】（1）解：如圖，直線PA，射線PB，連接PC；

（2）圖中的所有線段為PA、【變式2-2】如圖，已知三點(diǎn)A，B，C，按下列語(yǔ)句畫出圖形：（1）畫直線AB；（2）畫射線BC；（3）連接AC．【答案】見解析【解析】（1）如圖，直線AB即為所求．（2）如圖，射線BC即為所求．（3）如圖，線段AC即為所求．【變式2-3】作圖題：已和直線m（如圖）．（1）在直線m上任取三點(diǎn)A、B、C，且點(diǎn)C在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間．（2）在直線m外任取一點(diǎn)D，作直線DA，射線CD，線段BD．【答案】畫圖見解析【解析】（1）解：如圖，A，C，B即為所求；

．（2）如圖，直線AC，射線CD，線段BD即為所求；

．【變式2-4】畫線段AB，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC=2AB，反向延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使AE=AB，計(jì)算：（1）如果AB=1.5cm，求線段CE（2）直接寫出線段AC是線段CE的幾分之幾？（3）直接寫出線段CE是線段BC的幾倍？【答案】（1）6cm（2）3【解析】（1）解：畫圖如下：∵AB=1.5cm，BC=2∴AE=1.5∴CE=（2）解：設(shè)AB=x，則∴CE=AE+∴ACCE（3）解：∵BC=2x，∴CE÷∴線段CE是線段BC的2倍．題型三點(diǎn)與線的位置關(guān)系【例3】如圖，請(qǐng)用直尺判斷在線段AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)是（

）A．M B．N C．P D．Q【答案】D【解析】解：讓直尺一端與AB重合，可知點(diǎn)Q在AB的延長(zhǎng)線上故選：D【變式3-1】以下關(guān)于圖的表述，不正確的是（

）A．點(diǎn)A在直線BD外 B．點(diǎn)D在直線AB上C．射線AC是直線AB的一部分 D．直線AC和直線BD相交于點(diǎn)B【答案】B【解析】解：A、點(diǎn)A在直線BD外，正確；B、點(diǎn)D在直線AB外，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；C、射線AC是直線AB的一部分，正確；D、直線AC和直線BD相交于點(diǎn)B，正確；故選：B．【變式3-2】如圖，用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句表述圖中點(diǎn)與直線的關(guān)系，錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P在直線AB外 B．點(diǎn)C在直線AB外C．點(diǎn)M不經(jīng)過(guò)直線AB D．點(diǎn)B經(jīng)過(guò)直線AC【答案】B【解析】解：A、點(diǎn)P在直線AB外，符合圖形描述，選項(xiàng)正確；B、點(diǎn)C在直線AB上，故此選項(xiàng)不符合圖形描述，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、點(diǎn)M不經(jīng)過(guò)直線AB，符合圖形描述，選項(xiàng)正確；D、點(diǎn)B經(jīng)過(guò)直線AC，符合圖形描述，選項(xiàng)正確．故選：B．【變式3-3】直線AB，①點(diǎn)B在直線BC上；②直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；③直線AB，BC，CA兩兩相交；④點(diǎn)B是直線【答案】①③④【解析】解：由圖可得，①點(diǎn)B在直線BC上，正確；②直線AB不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，錯(cuò)誤；③直線AB，④點(diǎn)B是直線AB，故答案為：①③④．【變式3-4】用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句表述圖中點(diǎn)與直線的關(guān)系．（至少寫3句）【答案】見解析【解析】解：（1）點(diǎn)A在直線l上；（2）點(diǎn)B在直線l上；（3）點(diǎn)P在直線l外；（4）點(diǎn)P不在直線l上；（5）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A；（6）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；（7）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B；（8）直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．題型四直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題【例4】同一平面內(nèi)不重合的三條直線，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（）A．0個(gè)或1個(gè) B．1個(gè)或2個(gè)C．2個(gè)或3個(gè) D．0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)【答案】D【解析】解：因?yàn)槿龡l直線位置不明確，所以分情況討論：①三條直線互相平行，有0個(gè)交點(diǎn)；②一條直線與兩平行線相交，有2個(gè)交點(diǎn)；③三條直線都不平行，有1個(gè)或3個(gè)交點(diǎn)；綜上分析可知：交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)．故選：D．【變式4-1】若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．7或8 B．8 C．8或9 D．10【答案】C【解析】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了8或9個(gè)部分，故選C．【變式4-2】觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字：①兩直線相交，最多1個(gè)交點(diǎn)；②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)；③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)；那么十條直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有（）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)【答案】B【解析】解：①兩直線相交，最多1個(gè)交點(diǎn)；②三條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)；③四條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)；……由此可得10條直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（個(gè)），故選：B．【變式4-3】平面上不重合的兩點(diǎn)確定1條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線．若平面上5條直線兩兩相交，交點(diǎn)最多有a個(gè)，最少有b個(gè)，則a+b=（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解析】解：平面上有5條直線相交，則這5條直線最多有5×5?1∴a=10，∴a【變式4-4】平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，n條直線兩兩相交的直線最多有個(gè)交點(diǎn)．【答案】115n【解析】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)最少，此時(shí)交點(diǎn)為1個(gè)；若平面內(nèi)有相交的2條直線，則最多有1個(gè)交點(diǎn)；（即：1=2×1若平面內(nèi)有兩兩相交的3條直線，則最多有3個(gè)交點(diǎn)；（即：1+2=3×2若平面內(nèi)有兩兩相交的4條直線，則最多有6個(gè)交點(diǎn)；（即：1+2+3=4×3若平面內(nèi)有兩兩相交的5條直線，則最多有10個(gè)交點(diǎn)；（即：1+2+3+4=5×4則平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有15個(gè)交點(diǎn)；（即1+2+3+4+5=6×5若平面內(nèi)有n條直線兩兩相交，則最多有nn故答案為：1，15，nn題型五線段的應(yīng)用【例5】從杭州東站出發(fā)到金華南站的動(dòng)車，中途要?？恐T暨站和義烏站，則鐵路部門供旅客購(gòu)買的火車票要準(zhǔn)備（）A．12種 B．10種 C．6種 D．4種【答案】A【解析】解：根據(jù)題意，一共有4個(gè)站，由一個(gè)站到其它3個(gè)站就需要3張不同的車票，∴鐵路部門供旅客購(gòu)買的火車票要準(zhǔn)備4×3=12（種），故選：A．【變式5-1】如圖，一只螞蟻從“A”處爬到“B”處（只能向上、向右爬行），爬行路線共有（）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【答案】A【解析】解：如圖，根據(jù)規(guī)則可得：A→一共有3種不同的走法．故選：A．【變式5-2】數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是2厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)2022厘米的線段CD，則線段CD蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)有（

）A．1011個(gè) B．1010個(gè) C．1010個(gè)或1011個(gè) D．1011個(gè)或1012個(gè)【答案】D【解析】解：依題意得：①當(dāng)線段CD起點(diǎn)在整點(diǎn)時(shí)，則2022cm長(zhǎng)的線段蓋住20222②當(dāng)線段CD起點(diǎn)不在整點(diǎn)時(shí)，則2022cm長(zhǎng)的線段蓋住20222【變式5-3】從陽(yáng)谷開往濟(jì)南的特快列車，途中要?？咳齻€(gè)站點(diǎn)如果任意兩站間的票價(jià)都不同，不同的票價(jià)有種．【答案】10【解析】解：由題意可知共有5個(gè)站點(diǎn)，∴共有5×4=20種車票，但往返兩個(gè)站點(diǎn)的票價(jià)相同，即有20÷2=10種票價(jià)，故答案為：10．【變式5-4】將一段72cm長(zhǎng)的繩子，從一端開始每3cm作一記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，然后從有記號(hào)的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【解析】解：∵繩子長(zhǎng)72cm，∴每3cm作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72÷3＝24（段），可以做24?1＝23個(gè)記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72÷4＝18（段），可以做18?1＝17個(gè)記號(hào)，∵3和4的最小公倍數(shù)是12，所以重合的記號(hào)有：72÷12?1＝5（個(gè)），∴有記號(hào)的地方共有23＋17?5＝35，∴這段繩子共被剪成的段數(shù)為35＋1＝36（段）．故選：B．題型六兩點(diǎn)確定一條直線【例6】已知A、B、C三點(diǎn)，若過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫一條直線，則畫出的不同直線（

）A．一定有三條 B．只能有一條C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【解析】有兩種情況如圖所示：，故選：C．【變式6-1】書法藝術(shù)是中華民族的瑰寶，作為藝術(shù)品，經(jīng)常被人們掛起來(lái)欣賞．我們?cè)趻鞐l幅時(shí)，要釘兩個(gè)釘子才能牢固，這里面包含的數(shù)學(xué)事實(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)能夠確定多條直線 D．點(diǎn)動(dòng)成線【答案】B【解析】解：我們?cè)趻鞐l幅時(shí)，要釘兩個(gè)釘子才能牢固，這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)確定一條直線，故選：B．【變式6-2】下列語(yǔ)句正確的個(gè)數(shù)為（

）①兩點(diǎn)之間的線段叫做兩點(diǎn)間的距離

②兩點(diǎn)之間，直線最短

③兩點(diǎn)之間，線段最短

④兩點(diǎn)確定一條直線

⑤一條直線長(zhǎng)5cm⑥過(guò)平面上的四點(diǎn)作線段最多可以作6條

⑦兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】解：兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離；故①錯(cuò)誤；兩點(diǎn)之間，線段最短；故②錯(cuò)誤，③正確；兩點(diǎn)確定一條直線，故④正確；直線無(wú)法度量，故⑤錯(cuò)誤；過(guò)平面上的四點(diǎn)作線段最多可以作6條；故⑥正確；兩直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)；故⑦正確；故選C．【變式6-3】要把木條固定在墻上至少要釘兩個(gè)釘子，這是因?yàn)椤敬鸢浮績(jī)牲c(diǎn)確定一條直線【解析】解：要把木條固定在墻上至少要釘兩個(gè)釘子，這是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線．【變式6-4】木工師傅在鋸木料時(shí)，先在木板上取出兩點(diǎn)，然后彈出一條墨線，這是利用了的原理【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線【解析】解：在木板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩點(diǎn)彈出一條墨線，此操作的利用了兩點(diǎn)確定一條直線．題型七作線段（尺規(guī)作圖）【例7】如圖，已知線段b，借助圓規(guī)和直尺作一條線段AB，使得AB=3b（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．

【答案】見解析【解析】解：如圖所示，AB即為所求．

【變式7-1】已知：線段a，b(a>b)．求作：線段AB=a?b（用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

【答案】見解析【解析】解：如圖所示，線段AB即為所求；先作射線AC，再以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫弧與射線AC交于D，再以D為圓心，線段b的長(zhǎng)為半徑畫弧交線段AD于B，線段AB即為所求．

【變式7-2】如圖，已知線段a，b，用圓規(guī)和直尺畫線段AB=2b?a，要求：不寫做法，保留作圖痕跡．

【答案】圖見解析【解析】解：如圖，線段AB即為所求；

【變式7-3】如圖所示，已知線段a，b，c（a>b＋c），求作線段AB，使AB=a?b?c．下面利用尺規(guī)作圖正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】A、錯(cuò)誤，圖中AB=a+b+C、錯(cuò)誤，圖中AB=a?【變式7-4】按要求解題：（1）A，B，M，N四點(diǎn)如圖所示，讀下列語(yǔ)句，按要求作出圖形（不寫作法）：①連接AB；②在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C，使BC=2AB；③連接AN，BM，它們相交于點(diǎn)P；（2）在（1）題圖中，若AB=3cm，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求DE【答案】（1）見解析（2）DE【解析】（1）解：如圖：（2）解：如圖：∵AB=3cm，∴BC=6∴AC=又∵D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，∴AD=12∴DE=題型八線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【例8】已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，線段AB=8cm，BC=12AB，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，那么A，【答案】2或6【解析】解：點(diǎn)C位于AB的延長(zhǎng)線上，如圖所示，∵AB=8∴BC=AC=∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴AD當(dāng)點(diǎn)C位于AB之間，如下圖所示，∵AB=8∴BC=∴AC=4∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴AD=綜上，A，D兩點(diǎn)間的距離為2或6．【變式8-1】如圖，線段AB=10cm，點(diǎn)C在線段AB上且AC=6cm，其中點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，求【答案】2【解析】解：∵AB=10cm，點(diǎn)O是∴AO=∵AC=6cm，點(diǎn)D是∴AD=∴DO=【變式8-2】如圖，已知點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，AC=30cm，BC=25AC，D，E分別為

【答案】6【解析】解：∵AC=30cm，∴BC=∴AB=∵D，E分別為AC,∴AD=∴DE=【變式8-3】如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AC<BC，

點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)．MN=4，BC=10，求線段AB的長(zhǎng)．【答案】18【解析】解：∵點(diǎn)M、N分別是∴AM=∵M(jìn)N=4，∴CN=12∴BM=∴AB=2BM【變式8-4】如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC=12cm，CB=8cm，D、E分別是AC、（1）求AD的長(zhǎng)度；（2）求DE的長(zhǎng)度；（3）若M在直線AB上，且MB=6cm，求AM【答案】（1）6cm（2）4cm；（3）26cm【解析】（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，AD=（2）由線段的和差，得AB=由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得AE=由線段的和差，得DE=（3）當(dāng)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，AM=當(dāng)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，AM=∴AM的長(zhǎng)度為26cm或14題型九線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【例9】如圖，C、D是線段AB的三等分點(diǎn)，若AB=9，則線段CB的長(zhǎng)度為（

）

A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】∵C、D是線段AB的三等分點(diǎn)，AB=9∴BC=【變式9-1】如圖，線段AB=18cm，點(diǎn)N、C把線段AB分成三部分，其比是AN:NC:CB=2:3:4，M是AB（1）求線段AC的長(zhǎng)；（2）求線段CM的長(zhǎng)．【答案】（1）10cm（2）【解析】（1）解：∵點(diǎn)N、C把線段AB分成三部分，其比是AN:∴設(shè)AN=2x，NC=3∵線段AB=18∴2∴∴AC（2）∵M(jìn)是AB∴AM=1【變式9-2】如圖，線段AB上有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M將線段AB分成2:3兩部分，點(diǎn)N將線段AB分成4:1兩部分，且MN＝8，求線段AM，NB的長(zhǎng)分別是多少？【答案】線段AM，NB的長(zhǎng)分別是8，4【解析】解：∵點(diǎn)M將AB分成2:3兩部分，∴AM∵點(diǎn)N將AB分成4:1兩部分，∴AN又∵AN∴45∴AB∴AM∴NB故AM=8，NB答：線段AM，NB的長(zhǎng)分別是8，4．【變式9-3】在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，并且(a＋4)2+|c－6|=0．b是最小的正整數(shù)．（1）a=______________，b=______________，c=______________．（2）請(qǐng)你把點(diǎn)A，B，C表示在數(shù)軸上；（3）若點(diǎn)E是線段OC的三等分點(diǎn)，請(qǐng)求出AE的值．【答案】（1）－4；1；6（2）見解析（3）6或8【解析】（1）解：(a＋4)2+|c－6|=0，∴(a＋4)2≥0，|c－6|≥0，∴a+4=0，c解得：a=?4，c∵b是最小的正整數(shù)，∴b=1；（2）解：如圖，（3）解：∵點(diǎn)E是線段OC的三等分點(diǎn)，∴OE=13當(dāng)OE=∵OC=6∴OE=∴AE=②當(dāng)OE=∵OC=6∴OE=∴AE=綜上所述，AE=6或8．題型十與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例10】已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若AM=14AB，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且AN?BN=MN，則【答案】1或1【解析】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上，如圖：

∵AN?BN∴BN∵AM∴BN∴MN∴MN當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖：

∵AN?BN∴AB∴MN綜上所述：MNAB的值為1或1【變式10-1】已知線段AB=6，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn)．當(dāng)MN=1.6時(shí)，AP的長(zhǎng)為．【答案】5.6或18.4【解析】∵點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴①點(diǎn)P在直線AB之內(nèi)，如圖1，∵點(diǎn)M是線段AP∴AM∵點(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn)，∴M1∴BM∴AM∵AB=6∴AM∴AM∴AP②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB之外，如圖2，∵AM2=∴BM∴AM∵AM∴AP故答案為：5.6或18.4．【變式10-2】如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線l，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD．點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有個(gè)．【答案】5【解析】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)出報(bào)警，∵圖中共有線段DC、DB、DA、CB、CA、BA，∵BC和AD中點(diǎn)是同一個(gè)，∴發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有5個(gè)．【變式10-3】如圖，動(dòng)點(diǎn)B在線段AD上，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，AD=10cm，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒0≤t≤10（1）當(dāng)t=2時(shí)，①AB=________cm；②求線段CD的長(zhǎng)度．（2）用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AB的長(zhǎng)度．【答案】（1）①4；②3cm（2）2t【解析】（1）解：①當(dāng)t=2時(shí)，AB②∵AD=10cm，∴BD=10?4=6∵C是線段BD的中點(diǎn)，∴CD=（2）解：∵B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→∴當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)A→D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB點(diǎn)B沿點(diǎn)D→A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB∴綜上所述，AB=2tcm（0≤t≤5【變式10-4】如圖，C是線段AB中點(diǎn)，且AB=10cm，N、M兩點(diǎn)分別從C、B同時(shí)出發(fā)以1cm/s，3cm/s的速度沿線段BA（1）當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)N時(shí)，求t的值．（2）若點(diǎn)M，N相距2cm【答案】（1）t=2.5s（2）t【解析】（1）解：由題意得：3解得：t=2.5∴當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)N時(shí)，t的值為2.5s（2）當(dāng)點(diǎn)M未追上點(diǎn)N時(shí)，3t?t當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)N后，3t?t綜上，當(dāng)t=1.5s或t=3.5題型十一兩點(diǎn)之間線段最短【例11】把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋正確的是()A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短C．線段的長(zhǎng)度可以測(cè)量 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】D【解析】解：把彎曲的公路改成直道，其道理是兩點(diǎn)之間線段最短．故選：D．【變式11-1】如圖，把三角形剪去一個(gè)角，所得四邊形的周長(zhǎng)比原三角形的周長(zhǎng)小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．四邊形周長(zhǎng)小于三角形周長(zhǎng) D．直線是向兩方無(wú)限延伸的【答案】B【解析】解：如下圖所示：

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，AE＋AD∴AE＋AD＋BD＋EC＋BC>DE＋BD＋∴AB＋AC＋BC>DE＋BD＋即△ABC的周長(zhǎng)>四邊形BCED【變式11-2】下列四個(gè)生活中產(chǎn)生的現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時(shí)，只要定出兩棵的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB方向架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】解：①②屬于兩點(diǎn)確定一條直線，不符合題意；③④屬于兩點(diǎn)之間，線段最短，符合題意．故選：D．【變式11-3】下列說(shuō)法中，不能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋的有（

）①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時(shí)，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的