2025年高考數(shù)學復習核心考點全題型突破（新教材新高考）第03講 數(shù)列求通項（解析版）

第03講數(shù)列求通項目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：法 1角度1：用，得到 1角度2：將題意中的用替換 3角度3：作差法 4題型二：數(shù)列前項積做商法 7題型三：累加法 10題型四：累乘法 12題型五：構造法 14題型六：倒數(shù)法 16題型七：隔項等差數(shù)列 18題型八：隔項等比數(shù)列 21題型九：遞推關系求通項 24題型一：法角度1：用，得到典型例題例題1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項；【答案】(1)【詳解】（1）當時，，∴，當時，由①，得②，①－②得，，∴，∴，又，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴．例題2．（2023·全國·高三對口高考）根據(jù)下面的條件，求以下各個數(shù)列的通項公式：(1)已知數(shù)列的前n項和滿足；【答案】(1)【詳解】（1）解：數(shù)列的前n項和滿足，當時，可得，當時，不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足,(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由，得，當時，，解得，當時，，化簡得，∴數(shù)列是以為首項，為等差的等差數(shù)列，所以.角度2：將題意中的用替換典型例題例題1．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項和，滿足，且.(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）因為，顯然，所以，即，所以，所以，又當時，也滿足，所以.例題2．（2023·全國·長郡中學校聯(lián)考二模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，（且）.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，∴，又，∴，∴數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴，當時，，當時，，滿足上式，∴數(shù)列的通項公式為；角度3：作差法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）已知，①當時，；當時，，②①-②得，所以，當時，相符，所以.例題2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）已知數(shù)滿足，的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；【答案】(1)【詳解】（1）由題可知：①當時，當時，②由①-②得：，即，檢驗符合，∴，.題型一精練核心考點1．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考二模）數(shù)列的前項和為，，若該數(shù)列滿足，則下列命題中錯誤的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．是等比數(shù)列【答案】C【詳解】對于A，當時，由得：，，即，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，A正確；對于B，由A知：，，B正確；對于C，當時，，經(jīng)檢驗：不滿足，，C錯誤；對于D，由B得：，，又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，D正確.故選：C.2．（2023春·河南南陽·高二鎮(zhèn)平縣第一高級中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，，當時，，∴．由，，兩式相減可得：．∴，又．∴是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴．3．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；【答案】(1)；；【詳解】（1）由可得，，又因為為正項數(shù)列的前n項和，所以，因為，所以，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.4．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當時，，得，，則，所以是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故．5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且有．求數(shù)列的通項公式；【答案】【詳解】由題，當時，，∴；當時，由，所以，兩式相減，得，∴．當時，，∴．6．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，當時，，兩式相減得：，整理得，

∵，∴，當時，，∴（舍）或，

∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則；題型二：數(shù)列前項積做商法典型例題例題1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;【答案】(1),【詳解】（1）當時,,∴,當時,,化簡得,∵,∴,∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,∴.當時,,當時,，當時也滿足，所以.例題2．（2023春·遼寧本溪·高二校考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且.(1)求的通項公式；【答案】(1)，【詳解】（1）由，得，兩式相減，得，所以，又，所以，當時，，所以，所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.當時，；當時，，滿足上式.所以.精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項的積為，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】，，，，可得；當時，，，∴，∵時，，∴，∴當時，，當時取等號，綜上，當或5時，取最大值.故選：A．2．（2023·四川南充·閬中中學?？级＃┮阎獢?shù)列的前n項之積為，且，．(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意得，，．所以，故是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，則．當時，由，得，則，對也成立，故．3．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項積為，若，．(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意得，所以．因為當時，，所以當時，，整理得，所以，即當時，，所以當時，，即，又符合上式，所以．4．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知數(shù)列的前n項和為，為數(shù)列的前n項積，滿足（n為正整數(shù)），則___________；___________．【答案】2【詳解】當時，，所以，即，，所以；由，得，時，，所以，得，即，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故答案為：2；題型三：累加法典型例題例題1．（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實驗學校?？茧A段練習）在數(shù)列中，，，則等于（）A．4 B． C．13 D．【答案】A【詳解】依題意，在數(shù)列中，，，即，所以.故選：A例題2．（2023·江蘇·高二專題練習）已知數(shù)列滿足：，，，則______．【答案】.【詳解】因為，，所以當時，有，因此有：，即，當時，適合上式，所以，故答案為：.精練核心考點1．（2023·江蘇·高二專題練習）數(shù)列中，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：，則，，…，，各式作和可得：，又，，.故選：B.2．（2023·江蘇·高二專題練習）數(shù)列中，且，則_________.【答案】100【詳解】∵，∴∵=9，即=9，解得n=100故答案為：100題型四：累乘法典型例題例題1．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足,,則（

）A． B．C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞減數(shù)列【答案】BC【詳解】因為數(shù)列滿足，，，則當時，，，……，，所有的式子相乘得，即，當時也符合通項，故，數(shù)列為遞增數(shù)列，故選：BC例題2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由及，得，所以，當時，有．當時，，符合上式，所以．例題3．（2023·全國·高二專題練習）已知正項數(shù)列滿足.求的通項公式；【答案】【詳解】由可得：，因為為正項數(shù)列，所以，所以，則，……，，將這個式子相乘，則，又因為，所以精練核心考點1．（2023春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學校考階段練習）已知，，則數(shù)列的通項公式是（）A．n B． C．2n D．【答案】C【詳解】解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因為，所以，故選：C．2．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，上述各式相乘得，因為，所以，經(jīng)檢驗，滿足，所以.故選：D.3．（2023·河北衡水·河北衡水中學?？既＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，.(1)求的通項公式；【答案】(1)；【詳解】（1）∵.∴，∴，∴；當時，滿足上式，所以；題型五：構造法典型例題例題1．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由，得，而，因此數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，則，即，所以.故選：C例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【答案】【詳解】解法一：因為，設，所以，則，解得，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：因為，兩邊同時除以得，所以，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以.例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，，且對于時恒有，求數(shù)列的通項公式．【答案】．【詳解】因為，所以，又因為，所以數(shù)列是常數(shù)列0，所以，所以．精練核心考點1．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，又，所以是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列；2．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則_______．【答案】【詳解】設，令得，所以；故，所以；，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，故．故答案為：.題型六：倒數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的通項公式．【答案】．【詳解】，，則，則，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．于是，．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．【答案】．【詳解】由題意，，所以，則，而，故是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．于是．精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．【答案】【詳解】令．先求出數(shù)列的不動點，解得．將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項公式為．將代入，得．∴．2．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，且，求其通項公式．【答案】【詳解】因為，所以特征方程為，解得,令，代入原遞推式得,因為，所以，故,因此，，從而,又因為，所以．題型七：隔項等差數(shù)列典型例題例題1．（多選）（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項和為，且，，，則下列說法正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【詳解】解：根據(jù)，得，解得：，所以，當n為偶數(shù)時，，同理，當n為奇數(shù)時，，對于A,,故A正確，對于B,若數(shù)列是等比數(shù)列,即要求數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)上述結(jié)論，數(shù)列不為等差數(shù)列，故B錯誤.對于C,,故C正確，對于D,,故D正確，故選：ACD.例題2．（多選）（2023春·河北石家莊·高二石家莊市第十八中學?？奸_學考試）已知數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B．C．數(shù)列為等差數(shù)列 D．為奇數(shù)時，【答案】ABD【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，因為，則，對任意的，由可得，上述兩個等式作差可得，所以，數(shù)列中的奇數(shù)項成以為首項，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列中的偶數(shù)項成以為首項，公差為的等差數(shù)列，當為奇數(shù)時，設，則，當為偶數(shù)時，設，則，綜上所述，，B對；對于C選項，，故數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯；對于D選項，當為奇數(shù)時，設，則，則，D對.故選：ABD.例題3．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）解法一：當為偶數(shù)時，設，，，所以．當為奇數(shù)時，設，則，，所以．綜上，．解法二：因為，，所以，得，當時，，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以．精練核心考點1．（2023秋·天津和平·高二天津一中?？计谀┮阎獢?shù)列中，，，，數(shù)列的前n項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由得數(shù)列的奇數(shù)項為公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項也為公差為4的等差數(shù)列，當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，2．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前30項和為_______.【答案】465【詳解】當為奇數(shù)時，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；當為偶數(shù)時，，是首項為2，公差為3的等差數(shù)列；故答案為：465題型八：隔項等比數(shù)列典型例題例題1．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎獢?shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為數(shù)列滿足，當時，，當,，又，兩式相除可得，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，，故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.(1)設，求和的值及數(shù)列的通項公式；【答案】(1)，【詳解】（1）由已知，所以，則，，則，，則；因此，，因為，，所以，即，故是為首項，為公比的等比數(shù)列，因此；精練核心考點1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，且，．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由，可得，所以，則，又因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以，則，所以.2．（多選）（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習）數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】由，,得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成公比為的等比數(shù)列，且首項分別為，故，故選項A正確；，故B選項錯誤；對于C中，奇數(shù)項通項公式為，偶數(shù)項通項公式為，當為奇數(shù)時，奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項所以，當為偶數(shù)時，奇數(shù)項偶數(shù)項各有項，，所以C選項正確；對于D中，奇數(shù)項通項公式為，偶數(shù)項通項公式為，當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，，當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，，