2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第05講 數(shù)列不等式（原卷版）

第05講數(shù)列不等式目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：數(shù)列不等式中恒成立問(wèn)題 1角度1：判斷（證明）數(shù)列中的恒成立問(wèn)題 1角度2：根據(jù)數(shù)列中的恒成立求參數(shù) 2角度3：數(shù)列中的恒成立的探索性問(wèn)題 4題型二：數(shù)列不等式中能成立（有解）問(wèn)題 7題型一：數(shù)列不等式中恒成立問(wèn)題角度1：判斷（證明）數(shù)列中的恒成立問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)求證：例題2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，.(1)判定數(shù)列單調(diào)性；(2)判斷，是否恒成立.角度2：根據(jù)數(shù)列中的恒成立求參數(shù)典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11例題2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，設(shè)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值是___________.例題3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎獢?shù)列與的前項(xiàng)和分別為，則______；若對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.例題4．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題5．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若對(duì)一切正整數(shù).不等式恒成立.求的最小值.角度3：數(shù)列中的恒成立的探索性問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(2)設(shè)為非零整數(shù)，，是否存在確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，.(1)若，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論.精練核心考點(diǎn)1．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．16 C． D．322．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為______．3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.則的通項(xiàng)公式為__________；若為數(shù)列的前項(xiàng)積，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求；(2)求證：．5．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．6．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┰O(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求證數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)數(shù)列滿足，且.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.7．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)對(duì)任意，數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且；(2)記，證明：存在常數(shù)，使得．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：9．（2023春·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和公式為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在最小的正整數(shù)？使得對(duì)一切成立，說(shuō)明你的理由．題型二：數(shù)列不等式中能成立（有解）問(wèn)題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式，若，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在區(qū)間（）上的最小值為．若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．例題4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知：正整數(shù)列各項(xiàng)均不相同，，數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)若，寫出一個(gè)滿足題意的正整數(shù)列的前5項(xiàng)：(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明若，都有，是否存在不同的正整數(shù)，，使得，為大于1的整數(shù)，其中.例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答.問(wèn)題：已知，___________，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）精練核心考點(diǎn)1．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，存在正偶數(shù)使得，且對(duì)任意正奇數(shù)有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的最大值.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若存在使得成立，求的取值范圍．4