2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題平面向量共線極化恒等式奔馳定理軌跡等問題含解析

Page16平面對(duì)量綜合問題一．試題（共38小題）1．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【分析】由已知中中，，是上的一點(diǎn)，設(shè)后，我們易將表示為的形式，依據(jù)平面對(duì)量的基本定理我們易構(gòu)造關(guān)于，的方程組，解方程組后即可得到的值【解答】解：是上的一點(diǎn)，設(shè)，由，則，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是面對(duì)量的基本定理及其意義，其中依據(jù)面對(duì)量的基本定理構(gòu)造關(guān)于，的方程組，是解答本題的關(guān)鍵．2．在平行四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，交于，記、分別為、，則A． B． C． D．【分析】欲求出向量則，關(guān)鍵是求出向量則與向量的線性．關(guān)系過點(diǎn)作的平行線交于，則是的中點(diǎn)，利用相像三角形有學(xué)問即可得出它們的線性關(guān)系，從而解決問題．【解答】解：過點(diǎn)作的平行線交于，則是的中點(diǎn)，且，則從而，又故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義、平行四邊形的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．如圖所示，在凸四邊形中，對(duì)邊，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，對(duì)邊，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，，則A． B． C．的最大值為1 D．【解答】解：對(duì)于，因?yàn)?，所以，整理得，故正確；對(duì)于，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，，所以，因?yàn)?，，，所以，，，所以，所以，故正確；對(duì)于，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面對(duì)量的線性運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．4．已知向量，，滿意對(duì)隨意，恒有，則A． B． C． D．【分析】由平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算可得，對(duì)隨意恒成立，則，然后求解即可．【解答】解：由向量，，滿意對(duì)隨意，恒有，則，即，由題意有，即，即，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了不等式恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．5．已知為單位向量，向量滿意，則的最大值為A．4 B．5 C．6 D．7【分析】設(shè)，，依據(jù)向量滿意，可得，的關(guān)系式，并得出，的取值范圍，，依據(jù)函數(shù)的最值求解即可．【解答】解：設(shè)，，則，，，即，則，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6，即的最大值為6，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，將所求問題坐標(biāo)化轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題關(guān)鍵．6．已知中，對(duì)隨意，，則是以為直角的直角三角形．【分析】?jī)蛇吰椒胶笳沓申P(guān)于的一元二次不等式恒成立，再利用判別式小于等于0，以及正弦定理可得．【解答】解：對(duì)隨意，，即，即，則△，化簡(jiǎn)得，即，即，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，得，得，又，，．故答案為：以為直角的直角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題．7．已知，若對(duì)隨意，，則肯定為A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．答案不確定【解答】解：令，則依據(jù)向量的減法的幾何意義可得在上，由對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立可得：，，則為直角三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道構(gòu)造特別奇妙的試題，解題的關(guān)鍵是由對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立可得到為到的距離．8．如圖，在平行四邊形中，，垂足為，且，則18．【分析】設(shè)與交于，則，在中，由三角函數(shù)可得與的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積可求【解答】解：設(shè)與交于點(diǎn)，則，，在中，，由向量的數(shù)量積的定義可知，故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于發(fā)覺規(guī)律：．9．在中，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上且滿意向量，則向量等于A． B． C． D．【分析】由題意是的中點(diǎn)，知是邊上的中線，又由點(diǎn)在上且滿意可得：是三角形的重心，依據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：是的中點(diǎn)，知是邊上的中線，又由點(diǎn)在上且滿意是三角形的重心又故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推斷點(diǎn)是三角形的重心，考查計(jì)算實(shí)力．10．在中，，，是邊上的點(diǎn)，且為的外心，則A．3 B． C． D．【分析】利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算法則以及外心的性質(zhì)、數(shù)量積的定義求解．【解答】解：因?yàn)闉榈耐庑?，故，，又，故為的中點(diǎn)，故，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面對(duì)量數(shù)量積的定義以及平面對(duì)量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．11．設(shè)、、是單位向量，，則的最小值為．【分析】利用向量的運(yùn)算法則綻開，再利用余弦值的有界性求范圍．【解答】解：設(shè)與的夾角等于，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算法則：交換律、安排律，但留意不滿意結(jié)合律，屬于中檔題．12．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，得出關(guān)于，的表達(dá)式，配方即可得出結(jié)論．【解答】解：以為軸，以邊上的高為軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．13．如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．3【分析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，求出，，的坐標(biāo)，依據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【解答】解：如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點(diǎn)做軸，過點(diǎn)做軸，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了運(yùn)算實(shí)力和數(shù)形結(jié)合的實(shí)力，屬于中檔題．14．在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作始終線分別與邊，交于，，若，則的最小值是A． B． C． D．【分析】依據(jù)題意，利用與共線，求出與的表達(dá)式，再利用基本不等式求出的最小值即可．【解答】解：在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，同理，，與共線，存在實(shí)數(shù)，使，即，即，解得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，的最小值是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面對(duì)量的線性運(yùn)算，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．15．直角三角形中，是斜邊上一點(diǎn)，且滿意，點(diǎn)、在過點(diǎn)的直線上，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．為常數(shù) B．的最小值為 C．的最小值為3 D．、的值可以為：，【分析】作出圖形，由可得出，依據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論得出，結(jié)合基本不等式可推斷出各選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)論．【解答】解：如下圖所示：由，可得，，若，則，，、、三點(diǎn)共線，，，故正確；所以時(shí)，也滿意，則選項(xiàng)正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，選項(xiàng)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．17．已知點(diǎn)、、在所在平面內(nèi)，且，，，則點(diǎn)、、依次為的A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心【分析】依據(jù)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到是三角形的外心，依據(jù)所給的四個(gè)選項(xiàng)，第一個(gè)推斷為外心的只有，兩個(gè)選項(xiàng)，只要推斷第三個(gè)條件可以得到三角形的什么心就可以，移項(xiàng)相減，得到垂直，即得到是三角形的垂心．【解答】證明：，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是三角形的外心，依據(jù)所給的四個(gè)選項(xiàng)，第一個(gè)推斷為外心的只有，兩個(gè)選項(xiàng)，只要推斷第三個(gè)條件可以得到三角形的什么心就可以，，，，，同理得到另外兩個(gè)向量都與相對(duì)應(yīng)的邊垂直，得到是三角形的垂心，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)考查的向量的學(xué)問點(diǎn)比較全面的題目，把幾種三角形的心總結(jié)的比較全面，解題時(shí)留意向量的有關(guān)定律的應(yīng)用，不要在運(yùn)算律上出錯(cuò)．18．已知非零向量和滿意，且，則為A．等邊三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：依據(jù)向量的性質(zhì)可得在的角平分線上（設(shè)角平分線為從而有又因?yàn)榍宜匀切螢榈冗吶切喂蔬x：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面對(duì)量的加法的四邊形法則，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查了等邊三角形的性質(zhì)，屬于綜合試題．19．已知是平面上的肯定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意，，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡肯定通過的A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．外心【解答】解：設(shè)的中點(diǎn)為，，，即，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，，點(diǎn)在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的加減法，以及三角形的外心的學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題．20．設(shè)點(diǎn)在的內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為A．2 B． C．3 D．【解答】解：分別取、的中點(diǎn)、，，，即2，是的一個(gè)三等分點(diǎn)，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理等基礎(chǔ)學(xué)問，同時(shí)考查學(xué)生敏捷應(yīng)用學(xué)問分析解決問題的實(shí)力和計(jì)算實(shí)力．21．已知點(diǎn)在內(nèi)，且，，則A．1 B． C． D．【分析】先證明成立，得到，利用向量的線性運(yùn)算得到，求出，，由此能求出結(jié)果．【解答】解：先證明，延長(zhǎng)交于，由題意得，由面積關(guān)系得：，，，，，由題意知，，，，．故選：．22．“奔馳定理”是平面對(duì)量中一個(gè)特別美麗的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”的很相像，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿意．則A．為的外心 B． C． D．【分析】選項(xiàng)，將移項(xiàng)，并結(jié)合平面對(duì)量的減法和數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得，同理推出，，得解；選項(xiàng)，依據(jù)選項(xiàng)中所得，可知，，再由三角形的內(nèi)角和定理，得解；選項(xiàng)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，結(jié)合誘導(dǎo)公式與余弦函數(shù)的定義，可證，進(jìn)而得解；選項(xiàng)，由三角形的面積公式與誘導(dǎo)公式，可得，進(jìn)而得解．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，，同理可得，，，故為的垂心，即錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，所以，又，所以，又，所以，即正確；對(duì)于選項(xiàng)，由上可知，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，同理可得，，所以，即正確；對(duì)于選項(xiàng)，，同理可得，，所以，即正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面對(duì)量在幾何中的應(yīng)用，嫻熟駕馭平面對(duì)量的數(shù)量積，誘導(dǎo)公式，平面幾何基礎(chǔ)學(xué)問是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于難題．23．在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為A．3 B． C． D．2【分析】方法一：如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，依據(jù)，求出，，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．方法二：依據(jù)向量分解的等系數(shù)和線干脆可得．【解答】解：如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，，其中，，，故的最大值為3，方法二：依據(jù)向量分解的等系數(shù)和線，可得的最大值為3，如圖所述故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題．24．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、，若點(diǎn)滿意，其中、，且，則點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【分析】由點(diǎn)滿意，其中、，且，知點(diǎn)在直線上，故求出直線的方程即求出點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：點(diǎn)滿意且，、、三點(diǎn)共線．點(diǎn)的軌跡是直線又、，直線的方程為：整理得故點(diǎn)的軌跡方程為故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查平面對(duì)量中三點(diǎn)共線的充要條件及知兩點(diǎn)求直線的方程，是向量與解析幾何綜合運(yùn)用的一道比較基本的題，難度較小，學(xué)問性較強(qiáng)．25．若動(dòng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則A．的最