2025版新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第2課時(shí)兩角和與差的正弦余弦正切公式導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式及正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．(2)駕馭兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能敏捷運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔的化簡(jiǎn)、求值．【問(wèn)題探究】(1)在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中，以－β代換β，你會(huì)得到什么公式？(2)在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中，以π2(3)在兩角和的正弦公式中，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，以－β代換β，你會(huì)得到什么公式？(4)請(qǐng)你用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)sinα+β題型1公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用例1求下列各式的值：(1)sin47(2)sin110°·cos40°－cos70°·sin40°；(3)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°.題后師說(shuō)給角求值問(wèn)題的解題策略跟蹤訓(xùn)練1(1)已知黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其底與腰的長(zhǎng)度的比值為黃金比值(即黃金分割值5-12，該值恰好等于2sin18°)，則A．sin10°cos8°＋cos10°sin8°B．cos40°cos32°－sin40°sin32°C．sin100°cos26°＋cos100°sin26°D．sin92°sin16°－cos92°cos16°(2)計(jì)算：1-題型2給值求值例2(1)已知tanα＝2，tanβ＝4，則tan(α＋β)＝()A．67B．－C．－57D．(2)已知sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－β)＝35一題多變本例(2)條件不變，求sin(α－β).題后師說(shuō)給值求值的解題策略跟蹤訓(xùn)練2已知α為鈍角，β為銳角，sinα＝45，cos(α－β)＝10(1)求tanα，tan(α－π4(2)求sinβ.題型3給值求角例3已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β∈(0，學(xué)霸筆記：給值求角的方法一般先求出該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再確定該角的取值范圍，最終得出該角的大小．至于求該角的哪一個(gè)三角函數(shù)值，這要取決于該角的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)值在不同象限的符號(hào)來(lái)確定，一般地，若θ∈(0，π)，則通常求cosθ，若θ∈(－π2，π跟蹤訓(xùn)練3已知α，β均為銳角，且(1－3tanα)(1－3tanβ)＝4，求α＋β.隨堂練習(xí)1.sin40°sin50°－cos40°cos50°＝()A．－1B．1C．0D．－cos10°2．若cosθ＝－35且θ∈(π2，π)，則sin(θ＋A．4-3C．33-3.32sin15°＋1A．12B．C．224．已知tan(α－β)＝－2，tan(β＋π4)＝3，則tan(π課堂小結(jié)1.運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式時(shí)，不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，要先從化簡(jiǎn)式子的結(jié)構(gòu)動(dòng)身，確定是正用、逆用還是變形用，并留意整體代換．2．利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式主要解決給角求值、給值求值、給值求角．第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式問(wèn)題探究提示：(1)cos(α＋β)＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(2)sin(α＋β)＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cosβ＋sin(π2－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosα(3)sin(α－β)＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(4)sinα+＝sinαcosβ即tan(α＋β)＝tanα同理可得tan(α－β)＝tanα例1解析：(1)∵sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos(2)sin110°·cos40°－cos70°·sin40°＝sin(180°－70°)·cos40°－cos70°·sin40°＝sin70°·cos40°－cos70°·sin40°＝sin(70°－40°)＝sin30°＝12(3)∵tan12∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°，∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1.跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)對(duì)于A，sin10°cos8°＋cos10°sin8°＝sin(10°＋8°)＝sin18°＝5-對(duì)于B，cos40°cos32°－sin40°sin32°＝cos(40°＋32°)＝cos72°＝sin18°＝5-對(duì)于C，sin100°cos26°＋cos100°sin26°＝sin(100°＋26°)＝sin126°＝sin54°≠5-對(duì)于D，sin92°sin16°－cos92°cos16°＝－cos(92°＋16°)＝－cos108°＝sin18°＝5-(2)1-tan15°1+答案：(1)C(2)3例2解析：(1)因?yàn)閠anα＝2，tanβ＝4，所以tan(α＋β)＝tanα+tanβ1(2)∵0<α<π4<β<3∴3π4<3π4＋α<π，－π2又∵sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－∴cos(3π4＋α)＝－1213，sin(π4－∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β＝sin[(3π4＋α)－(π4＝sin(3π4＋α)cos(π4－β)－cos(3π4＋α＝513×3答案：(1)B(2)見(jiàn)解析一題多變解析：由本例(2)知，sin(α－β)＝－sin[(3π4＋α)＋(π4＝－[sin(3π4＋α)cos(π4－β)＋cos(3π4＋α＝－[513×35＋(－1213跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)∵π2<α<π，sinα＝4∴cosα＝－1-sin2α＝－35，∴tanα∴tan(α－π4)＝tanα-(2)∵π2<α<π，0<β<π∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝1010∴sin(α－β)＝1-cos2∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝45×10例3解析：∵sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β∈(0，∴cosα＝1-sin2α＝255，cos∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4跟蹤訓(xùn)練3解析：由(1－3tanα)(1－3tanβ)＝4，得1－3tanβ－3tanα＋3tanαtanβ＝4，所以－3(tanβ＋tanα)＝3(1－tanαtanβ)，所以tanα+tanβ1所以tan(α＋β)＝－3，因?yàn)棣?，β?0，π2)，所以(α＋β所以α＋β＝2π[隨堂練習(xí)]1．解析：由兩角和的余弦公式得：sin40°sin50°－cos40°cos50°＝－(cos40°cos50°－sin40°sin50°)＝－cos(40°＋50°)＝－cos90°＝0，故選C.答案：C2．解析：θ∈(π2，π)，故sinθ>0，因?yàn)閏osθ＝－35，所以sinθ＝1-cos2θ＝45