高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) 50(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（50）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.己知三棱錐4-BCD中，AB=y[2BC=2AD=8，以AB為直徑作球。，恰好使得A,B,C,D

四點(diǎn)均落在球面上，則三棱錐4-BCD體積的最大值為（）

A.2B.16V3C..D."

333

2.下圖中小正方形的邊長(zhǎng)為I,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該兒

何體的體積為（）

A.153

B.144

C.162

D.156

3.如圖，在AABC中，點(diǎn)〃是邊3c的中點(diǎn)，將AABM沿著AM翻折成△?!夕M,且點(diǎn)B'不在平面

AMC內(nèi)，點(diǎn)尸是線段B'C一點(diǎn).若二面角。-4”一夕與二面角。-4"-（7的平面角相等，則直

4.設(shè)有四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

①有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；

③用一個(gè)面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)；

④側(cè)面都是長(zhǎng)方形的棱柱叫長(zhǎng)方體.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.己知三棱鏈4-BCD內(nèi)接于球O,且40=BC=3,AC=BD=4,AB=CD=V13，則三棱錐

4-BCD的外接球的表面積是（）

A.38?rB.97rC.767rD.19兀

6.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4B1GD1中，「是4道上一動(dòng)點(diǎn)，貝IJ4P+D1P的最小值為（）

A.2BV6+V2C.2+V2D.-J2+y/2

,2

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

7.如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別在兩兩垂直的三條射線Ox,

Oy,Oz上，則在下列命題中，正確的為（）

A.。一ABC是正三棱錐

B.直線0B〃平面ACZ）

C.直線A。與OB所成的角是45。

D.二面角D-0B-A為45。

三、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

8.已知三棱錐P-4BC中，PA1平面ABC,PA=BC=2,^.BAC=p則三棱錐P-ABC的外接

球的表面積為。

9.如圖，已知三棱柱43。-48傳1的所有棱長(zhǎng)均等于1,且乙lp4B=NAp4C=60。，則該三棱柱

的體積是.

10.在仇章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉席，在體積為|的鱉嚅ABC。中,

AB平面BCD,且4B=2,CD=1,則該鱉腌外接球的表面積為.

11.在等腰直角EMBC中，AB=2,ABAC=90°,AO為斜邊BC的高，將團(tuán)ABC沿折疊，使

二面角8-AD-C為60。，則三棱錐4-BCD的外接球的表面積為.

12.若三棱錐P—48c的底面是以A8為斜邊的等腰直角三角形，AB=2遮，PA=PB=PC=V6?

則該三棱錐的外接球的表面積為。

13.已知半徑為3cvn的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接四棱錐S—A8CD,四棱錐S-4BCD的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面

是正方形，當(dāng)四棱錐S-ABCD的體積最大時(shí)，它的底面邊長(zhǎng)等于,

14.已知球。的半徑為r,則它的外切圓錐體積的最小值為.

15.一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1〃?的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱

長(zhǎng)為3根的正六棱錐（如圖所示）.當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)。到底面中心。1的距離

為根時(shí)，帳篷的體積最大.

16.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱(chēng)粽粒，俗稱(chēng)“粽子”，古稱(chēng)“角黍”，

是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖,

平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如

圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為一；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最

大值為一.

17.在平行四邊形ABC。中，BD1CD,AB1BD,AB=CD=2,BD=2四.沿8。把團(tuán)4BD翻折

起來(lái)，形成三棱錐A-BCD,且平面28。，平面BCD,則該三棱錐外接球的體積為.

四、解答題（本大題共13小題，共156.0分）

18.如圖，在多邊形A8PC。中（圖1）,四邊形ABC。為長(zhǎng)方形,ABPC為正三角形,48=3,BC=3&,

現(xiàn)以BC為折痕將^BPC折起，使點(diǎn)尸在平面ABC。內(nèi)的射影恰好在AD上（圖2）.

（1）證明：平面PC。1平面PAB；

(2)若點(diǎn)E在線段尸8上，且PE=[PB,當(dāng)點(diǎn)。在線段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)。到平面E8C的距

離.

19.如圖,AB是。。的直徑,PA垂直于O。所在的平面,C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AD1PC,

求證：平面ABD_L平面PBC.

20.如圖，長(zhǎng)方體4BC。一公當(dāng)?shù)牧又?，DrD=DC=4,AD=2,E為的中點(diǎn).

(1)求三棱錐01-ADE的體積.

(2)4C邊上是否存在一點(diǎn)M,使得DM〃平面MCE?若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

21.如圖(1),邊長(zhǎng)為2的正方形ABEF中，D,C分別為EF,AF上的點(diǎn)，且ED=CF,現(xiàn)沿。C把

△CDF剪切、拼接成如圖(2)的圖形，再將ABEC,ACDF,△ABD沿BC,CD,BZ)折起，使E,

F,A三點(diǎn)重合于點(diǎn)4.

(1)求證：BA'1CD：

(2)求當(dāng)四面體B-ACD的體積的最大值時(shí)，點(diǎn)4到平面BCD的距離.

22.一張邊長(zhǎng)為2〃?的正方形薄鋁板ABCD（圖甲），點(diǎn)E,F分別在A8,8c上，且AE=CF=x（單

位：山）.現(xiàn)將該薄鋁板沿EF裁開(kāi)，再將4D4E沿。E折疊，40CF沿OF折疊，使ZM,0c重合，

且4c重合于點(diǎn)M,制作成一個(gè)無(wú)蓋的三棱錐形容器D-MEF（圖乙），記該容器的容積為U（單位:

m3）,（注：薄鋁板的厚度忽略不計(jì)）

圖甲

（1）若裁開(kāi)的三角形薄鋁板EFB恰好是該容器的蓋，求x,V的值;

（2）試確定x的值，使得無(wú)蓋三棱錐容器。-MEF的容積V最大.

23.如圖，在四棱錐P—48CD中，平面P4C1平面ABC。，AB//CD,AB1AD,且CD=2/W=

4AB=4.

",

(1)求證：BD1PC；

(2)過(guò)B。作截面與線段PC交于點(diǎn)H,使得力P〃平面BQ",試確定點(diǎn)，的位置，并給出證明.

24.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，ACIBC,E為&G的中點(diǎn)，CELAQ.

(I)證明：CE_L平面4BiC「

(^□若的石二百，441=①，AB=2BC,求點(diǎn)E到平面48道的距離.

25.如圖，在四棱錐E—ABC。中，底面A8CD是菱形，/4BC=60。,G是邊A。的中點(diǎn).平面AOE，

平面ABCD,AB=2DE,乙4DE=90。.線段BE上的點(diǎn)M滿足BM=2ME.

BC

(1)證明：DE〃平面GMC;

(2)求直線BG與平面GMC所成角的正弦值

26.如圖，在多面體ABCDE/中，四邊形ABC。是梯形,AD〃BC,4BAC=90°,CF1平面48C。,

平面AOEL平面ABCD.

Ex

(I)求證：BF〃平面AQE；

(11)若440￡是等邊三角形，AD=4,AB=CF=遮,BC=1,求多面體ABCDEF的體積.

27.如圖，在斜三棱柱ABC-4&G中，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,BBX=3,AB1=V10-/-CBB1=

60°.

(1)求證：面ABC1面BCG為；

(2)求二面角C-BB1-A的余弦值.

28.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形A8CO中，^ABC=120°,將△4BD沿

BD折起，使點(diǎn)4到達(dá)4的位置，且平面&BD，平面BCD

(1)證明：AyC1BD；

(2)求三棱錐&-BC。的體積

29.如圖，三棱臺(tái)48c-&8傳1.中，側(cè)面與側(cè)面&C2cA是全等的梯形,若4V4,48,4遇1

41cl，且48=2A1B1=4414

(I)若麗=2兩，AE=2EB,證明：DE〃平面BCQBi；

(口)若二面角C]-力力]-B為M求平面4出84與平面CMiBC所成的銳二面角的余弦值.

30.如圖所示，該多面體是由底面為A8CO的長(zhǎng)方體被截面4EC1F所截面而得到的，其中AB=4,

(1)求B尸的長(zhǎng);

(2)求點(diǎn)C到平面4EGF的距離.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查的是空間線面的位置關(guān)系、空間幾何體的體積，屬于中檔題，當(dāng)平面力BC1平面48。時(shí),

三棱錐A-BCD的體積最大，求出三棱錐4-BCD體積的最大值.

解：

當(dāng)平面4BC1平面ABQ時(shí)，三棱錐4-BCD的體積最大，

過(guò)點(diǎn)C作CF14B,垂足為F,因?yàn)锳B是球0的直徑，故乙4DB=N4CB=90。，

而AD=4,BC=4V2，故BO=46，AC=4V2.尸為AB的中點(diǎn)，CF為三棱錐C—4BD的高，

故三棱錐A-BCD體積的最大值為工xLx4x4V5x4=絲昌

323

故選A.

2.答案：A

解析：

本題考查三視圖以及多面體體積的求解，屬于中檔題.

先由三視圖得到立體圖，是一個(gè)正方體切割掉三棱柱4BC-&B1G以及三棱錐E-FGH所得的幾何

體，再根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式計(jì)算，即可得到答案.

解：作出一個(gè)正方體如下所示，觀察可知，該幾何體是一個(gè)正方體切割掉三棱柱以及

三棱錐E-FG”所得的幾何體，

故所求體積U=6x6x6-|x3x3x6-|xjx6x6x6=153,

故選A.

3.答案：A

解析：

本題考查二面角的應(yīng)用以及三角形的重心，屬于中檔題.

設(shè)點(diǎn)夕，C到平面的距離分別為陽(yáng)，h2,點(diǎn)夕，C到直線AM的距離分別為d2,根據(jù)二面

角相等可得?=M點(diǎn)"，C到直線AM的距離相等，于是di=d2,所以后;電，可得P是線段B'C

a2

的中點(diǎn)，即可求解.

解：設(shè)點(diǎn)?，C到平面PAM的距離分別為b，h2,

點(diǎn)B,C到直線AM的距離分別為d2,

貝ijsin%=sin%=M

ala2

因?yàn)槎娼荘-AM—B'與二面角P-AM—C的平面角相等，即%=92,

所以個(gè)

?2

又因?yàn)辄c(diǎn)”是邊8c的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)B,C到直線AM的距離相等，

即點(diǎn)B',C到直線AM的距離相等，

于是di=d2，所以九1=h2，

即點(diǎn)B',C到平面PAM的距離相等，

所以「是線段夕C的中點(diǎn)，

故選A.

解析：

本題考查棱錐，棱柱，棱臺(tái)定義的應(yīng)用，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用棱柱，棱錐，樓臺(tái)的定義判斷選項(xiàng)的正誤即可.

解：①有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；不滿足棱柱的定義，所以

不正確；

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；不滿足棱錐的定義，所以不正確；

③用一個(gè)面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)；沒(méi)有說(shuō)明兩個(gè)平面平行，不滿足棱臺(tái)定義,

所以不正確；

④側(cè)面都是長(zhǎng)方形的棱柱叫長(zhǎng)方體.沒(méi)有說(shuō)明底面形狀，不滿足長(zhǎng)方體的定義，所以不正確；

正確命題為0個(gè).

故選A.

5.答案：D

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，外接球的直徑與長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)的關(guān)系及球的表面積公式，屬于中檔題.

由題意證得折起的三棱錐對(duì)棱相等，將該三棱錐放在長(zhǎng)方體內(nèi)，設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，求出外接球的直

徑用長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)表示，再求出外接球的表面積.

解：由題意知，四面體的對(duì)棱相等，將這個(gè)三棱錐放在長(zhǎng)方體中，如圖

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為mb,c,設(shè)外接球的半徑為R,

則(2R)2=&2+爐+/2,^4R2=a2+b2+c2,

a2+￡>2=32=9

由題意知，a2+c2=42=16，：.a2+b2+c2=19,

b2+c2=(V13)2=13

所以外接球的表面積S—4?rR2=19兀，

故選：D.

6.答案：D

解析：

本題考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短，

考查計(jì)算能力，空間想象能力，屬于中檔題.

把對(duì)角面為BCD1繞旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面上，連接AO】并求出，根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間

線段最短，即可解答.

解：把對(duì)角面AiBCDi繞旋轉(zhuǎn)，使其與△44/在同一平面上，連接AD】，

則在△44D中，由余弦定理得：

ADi=)/1+1-2x1xIx€06135^

=72+V2>

即為所求的最小值.

故選。.

7.答案：ACD

解析：

本題考查線面平行，異面直線所成角，直線與平面所成的角的判斷，屬于基礎(chǔ)題型.

結(jié)合圖形，逐一分析答案，運(yùn)用排除、舉反例直接計(jì)算等手段，找出正確答案.

解：對(duì)于A,如圖ABC。為正四面體，,??△ABC為等邊三角形，

又「OA、OB、0C兩兩垂直，二04JL面OBC,二04JLBC.

過(guò)。作底面ABC的垂線，垂足為N,連接AN交BC于M,

由三垂線定理可知8CJ.4M,二M為8c中點(diǎn)，

同理可證，連接CN交AB于P,則P為AB中點(diǎn)，

N為底面AABC中心，:0-4BC是正三棱錐，故A正確.

對(duì)于8,將正四面體ABCQ放入正方體中，如圖所示，顯然。8與平面ACO不平行.則8不正確.

對(duì)于C,AO和成的角，即為和AE成的角，即ND4E=45。，故C正確.

對(duì)于。，二面角D-OB-4即平面與下底面AEBO成的角，故“04為二面角。一。8的

平面角，顯然NFtM=45。，故。正確.

綜上，故選：ACD.

8.答案：87r

解析：

本題考查三棱錐的外接球表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，確定三棱錐的外接球的半

徑是關(guān)鍵，屬于中檔題.

求出A￡>,從而可求出該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積.

解：將三棱錐還原成直三棱柱，則三棱柱的外接球即為球。，D,D'為上下底面三角形的外心，。為

DD'的中點(diǎn)，為底面AABC外接圓的半徑，

2

由正弦定理得24。=才=2,

,pA

由。。=—=1,AD=1,

2

得三棱柱的外接球半徑R=AO=A/12+I=A/2,

所以球。的表面積為4TT/?2=87r.

故答案為87r.

9.答案：.

4

解析:

本題考查棱柱的體積公式，考查空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力，屬于一般題.

利用三角知識(shí)求出sin〃〃。=當(dāng),再利用棱柱的體積公式即可求解.

解：由于三棱柱4BC-4B1C1的所有棱長(zhǎng)均等于1,且乙4遇8=N44C=60。，

所以點(diǎn)&在底面內(nèi)的投影點(diǎn)。必定在底部正三角形ABC的NBAC的角平分線上，

則cosAiAB=cosZ.A1A0Xcosz■。力B=cos60°=cos^.A1AOxcos30°=cos^.AxAO==亭

所以sin乙4］力。=y,

直角三角形4v40中，&。=凈

所以該柱體的體積為：ixlxlxsin60。x漁=店.

234

故答案為：立.

4

10.答案:97r

解析：

本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征及球的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先假設(shè)B。！CD,由題目條件求得B0=2,計(jì)算得到4c=3,即可得外接球的半徑為|,代入球的表

面積公式即可求解.

解：設(shè)底面△BCD中BD1CD,因?yàn)樵擏M腌的體積為|,

所以:xixBDxlx2=|,則BD=2,

由AC的中點(diǎn)到各點(diǎn)的距離相等，可得AC的中點(diǎn)即為球心O,

因?yàn)?B=BD=2,CD=1,BD1CDRAB1平面BCD,

可得BC=逐,AC=3，且AC為外接球的直徑，

可得外接球的半徑為|,

所以則該鱉席的外接球表面積為垢x-97r.

故答案為97r.

解析:

本題主要考查平面圖形折疊中的線面關(guān)系以及球的表面積，考查考生的空間想象能力，屬于中檔題.

首先得出折疊后的圖形，求出DO】=彳，。。1=日，在△ORD中求出球半徑，進(jìn)而可得球的表面積.

解：沿折疊后二面角8-4。一C為60。，即折疊后NBDC=60。，

所以A8DC為等邊三角形，

又因?yàn)锳B=2,所以折疊后4。=DB=BC=CD=y/2,

設(shè)點(diǎn)。為三棱錐4-BCO外接球的球心，0]為4BOC的外心,

所以上=2。。1，所以DO】=漁，

sin60°113

又。。1=-AD=—，

122

22

所以球的半徑/?2=。0]2+00]2=（曰）+（曰）=Z,

所以S^=4兀/?2=3兀，

故答案為詈.

12.答案：127r

解析：

本題考查球的內(nèi)接體，球的表面積，考查計(jì)算能力，空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

說(shuō)明尸在底面上的射影是4B的中點(diǎn)，也是底面外接圓的圓心，求出球的半徑，即可求出外接球的

表面積.

解：由題意，點(diǎn)P在底面上的射影。是A8的中點(diǎn)，是三角形A8C的外心，令球心為。，如圖，

p

由于PA=PB,。是AB的中點(diǎn)，所以PDL力B,AD=V3>

PD=J(伺2_(⑹2=技

則在直角三角形OQC中，有OD2+CD2=℃2,

即(V3-RY+(V3)2=R2,

解得R=V3,

因此5芽=4兀/?2=127r.

故答案為127r.

13.答案:4

解析：

本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題.

由題意畫(huà)出圖形，設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2”，高為九(()</;<6),可得2a2+尼=6%,寫(xiě)出棱錐體

積，把〃用〃表示，再由導(dǎo)數(shù)求解得答案.

解：如圖，

設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為九(0</i<6),

則底面正方形外接圓的半徑為&a，

二側(cè)棱長(zhǎng)S4=>j2a2+h2>

由射影定理可得：SA2=h-2R

即：2a2+h2=6h,

則四棱錐S-ABCD的體積U=1x4a2x/i=|x(12/i-2/i2)x九=-|尼+4h2(0<h<6),

則V'=-2h2+8h,

當(dāng)0<h<4時(shí),V'>0,V單調(diào)遞增,

當(dāng)4<h<6時(shí),V<(M，’單調(diào)遞減，

可得當(dāng)h=4時(shí)，V有最大值，此時(shí)2a2=24—16=8,a=2,

則底面邊長(zhǎng)等于4.

故答案為:4.

14.答案：lnr3

解析：

由題意畫(huà)出截面圖，設(shè)圓錐的高為〃，圓錐的底面半徑為凡利用三角形相似可得上〃，，?的關(guān)系,

寫(xiě)出圓錐的體積公式，再由導(dǎo)數(shù)求最值.

本題考查球外接圓錐體積最值的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是

中檔題.

解：作出截面圖如圖，

設(shè)圓錐的高為力，圓錐的底面半徑為R,OC=OD=r,

/.SCB=/.SDO=90°,又乙OSD=CBSC,

SODs〉SBC，

BC_sc即￡_.

AOD=SDf即；一聲聲聲，

...R="=舊

7(Ai-r)2-r2Vh2-2/ir*

；.圓錐體積聯(lián))R2仁霽,*小黃券

令九'(r)=0,得九=4r.

???ymtn="(4r)=17rr3,

故答案為|仃3.

15.答案：2

解析：

本題考查了棱柱、棱錐的體積問(wèn)題以及函數(shù)的最值問(wèn)題；設(shè)001的長(zhǎng)為加7,表示出帳篷的體積，以

X為自變量求函數(shù)的極大值，就得到帳篷的最大體積，此時(shí)X的值就是所求.

解：設(shè)。。1=X,貝IJ1<%<4.

由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為J32-(X-1)2=V8+2X-X2.

于是底面正六邊形的面積為6xg-sin60°?V8+2x—x2-V8+2x-x2

=^(8+2x-x2).

帳篷的體積為=苧(8+2x-x2)[|(x-l)+1]

=y(16+12x-x3).

則，(x)=[(12-3/).

令，'(x)=0,解得x=—2(不合題意，舍去)或x=2.

當(dāng)1cx<2時(shí)，r(x)>0,U(x)為增函數(shù)；

當(dāng)2V%<4時(shí)，，'(%)<0,V。)為減函數(shù).

綜上，當(dāng)％=2時(shí)，，(%)最大.

16.答案：立；隨

6729

解析：

本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計(jì)算，考查邏輯推理能力

和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達(dá)到最大，考查運(yùn)算求解能力.先算

出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的2倍，即可得出該六面體的體積；由圖形的對(duì)

稱(chēng)性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，求出球的半徑，再代入球的體積公式可

得答案.

解：每個(gè)三角形面積是S=（［xlx曰）=',

由對(duì)稱(chēng)性可知該六面是由兩個(gè)正四面合成的，

可求出該四面體的高為FW若

故四面體體積為工x立x立=涯，

34312

因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是立；

6

由圖形的對(duì)稱(chēng)性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，由于圖像的對(duì)稱(chēng)性，內(nèi)部的

小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，

連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐設(shè)球的半徑為R,

所以涯=漁，

6\3479

3

所以球的體積丫=竺/?3造）=辿兀

33X9/729

故答案為：立；迫.

6729

17.答案：等

解析：

本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是把幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球直徑，由

于題中的垂直及折疊后的平面垂直，因此把三棱錐可補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2VL2,2的長(zhǎng)方體，

其外接圓直徑易得，即半徑易得.由此可求得體積.

解:該三棱錐可補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2vL2,2的長(zhǎng)方體,故其外接圓直徑為2R=解+4+8=4,

R=2,故體積為V=：兀/?3=等.

故答案為：等

18.答案：(1)證明：過(guò)點(diǎn)尸作P01AC,垂足為0.

由于點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好在上，

???PO_L平面ABCD,PO1.AB,

???四邊形ABCD為矩形，48JL4D,乂ADCPO=0,

???AB1平面PAD,

AB1PD,AB1PA,又由48=3,PB=3VL可得P4=3,同理P。=3,

又AD=3V2,???PA2+PD2=AD2,

：.PA1PD,且panAB=A,

PD1平面PAB

又：PDu平面PC。，.,.平面PC。_L平面PAB；

(2)解：設(shè)點(diǎn)E到底面QBC的距離為九點(diǎn)。到平面EBC的距離為d,

則%_EBC=%-QBC=[SAQBCX九,由PE=gPB,可知需=|,.?啜=|,

由已知求得P力=PD=3,而4。=BC=3企，

可得PA1PD,[P。=越，WiJ/i=-x—=V2.

AD232

又S&QBC=[xBCxAB=9x3魚(yú)x3=寫(xiě),

.r1c119-72Gr

VQ-EBC=-S^QBCx/i=-x—xV2=3;

又SAEBC=|S“8C=|xix3V2x3V2xsin600=3?

^Q-EBC=5sAEBCxd=1x3y/3d—3,即&=>/3?

???點(diǎn)。到平面E8C的距離為d=V3.

解析：(1)過(guò)點(diǎn)P作P。14。，垂足為0,可得P0L平面ABCD,得P。1AB,再由四邊形ABCD為

矩形，1AD,貝IJ4BJ_平面PAO,有AB1PD；求解三角形證明PA_LPD,且P4nAB=4,可

得PD1平面PAB,從而得到平面PCD1平面PAB；

(2)設(shè)點(diǎn)E到底面QBC的距離為〃，點(diǎn)Q到平面EBC的距離為d,然后利用為-EBC=^E-QBC=列式

求解Q到平面E8C的距離.

本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的

體積，是中檔題.

19.答案：解：由PA垂直于。0所在的平面，BC在。。所在的平面內(nèi)，

故PA，BC.

又A8是。。的直徑，故ACj.BC,

又PAClAC=A，PAU面PAC,ACC面PAC,

故BCL面PAC,

又ADC面PAC,故BC_LAD，

又AD，PC,BCHPCC-PCU面P8C,BC'U面PBC,

故AOI面PBC,

又ADC平面A8O,

故平面ABD，平面PBC.

解析：本題主要考查了面面垂直的定判，涉及線面垂直的判定和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題目條件，先利用線面垂直的判定定理證得面PAC,得到GCAD，再結(jié)合已知條件證

得4。，面P2C,最后面面垂直的判定定理證明.

20.答案：解：(1)???4C1平面。iCD,

???4。是三棱錐4一DiDE的高.

???后為。母的中點(diǎn)，且。山=0。=4,

SADQE=4,

又=2,

^DX-ADE~^A-DEDI~

(2)取AC中點(diǎn)連接EM,DM,

因?yàn)镋為DiC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，

???EM"D[A.

又EMu平面MDE,DrAC平面MDE,

???DiA〃平面MDE.二AM=瓜

即在4c邊上存在一點(diǎn)例，使得Dp4〃平面此時(shí)M是AC的中點(diǎn)4M=通.

解析：本題考查了棱錐的體積計(jì)算，線面平行的判定定理，屬于中檔題.

(1)根據(jù)公式VDt-ADE-VA-DiDE=g5ADQETD計(jì)算體積;

(2)取AC中點(diǎn)連接EM,DM,則可證明〃平面MOE,從而得出AC的中點(diǎn)為所點(diǎn).

證明：折疊前，BE1EC,BAJ.AD,

折疊后BA'JLA'C,BA'1A'D,

又ACCAD=4',

BA1平面4CD,

CDu平面4CD,

BA'1CD；

(2)解：設(shè)4'C=x(0cx<2),則40=2-x.

因此SAA，CD=1%(2-x).

2

???VB-A>CD=\BA'-SGA，CD=|x2x|x(2-x)=i[-(x-I)+1].

???當(dāng)x=1時(shí)，四面體B-4CD體積的最大值為:，

且當(dāng)x=1時(shí)，SABCD=2x2-|x2xl-ix2xl-ixlxl=|,

設(shè)4'到平面8。的距離為人，

則[SABCD?八=?|?八=±

.,.八=|

解析：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力與計(jì)

算能力.

(1)通過(guò)折疊前與折疊后直線與直線的垂直，證明B4'_L平面ACD,然后證明84'1CD；

(2)設(shè)4'C=x(0<x<2),得到40=2-x.求出〃川。=1%(2-x),然后推出％一小口的表達(dá)式，

利用二次函數(shù)求出體積最大值，此時(shí)再利用錐體的體積公式求出A到平面BCD的距離.

22.答案：解：(1)由題意，/EFB為等腰直角三角形，又4E=CF=x,

.??BE=BF=2—x(0<x<2),

???4EFB恰好是該零件的蓋，二尤=1,則SZ&BF=p

由圖甲知，AD1AE,C01AF,

則在圖乙中，MD1ME,MD1MF,MEPIMF=M,

又ME,MFu平面EMF,MD_L平面EMF,

???v=9s4EMF-MD=1SEBF-MD=iXiX2=i；

(2)由題意知，在等腰三角形MEF中，ME=MF=x,

則EF=V2(2-x).coszEMF=

???SZIEMF=#Sin/EMF=1x2-J]_弋]

令/O)=(SZEMF)2=；[X4-16(X-l)2],

.1.f'(x)=，-8(1-1)=(x-2)(12+21-4),

0<%<2,%=V5-1.

可得：當(dāng)xe(o,而一1)時(shí)，fc%)>0,當(dāng)(近一1,2)時(shí)，/")<(),

.??當(dāng)％=尤-1時(shí)，SZJEMF有最大值.

由(1)知，MD_L平面EMF,

二該三棱錐容積的最大值為V=如EMF-MD,且=2.

???當(dāng)x=V5-1時(shí)，〃x)取得最大值，無(wú)蓋三棱錐容器。-ME尸的容積V最大.

答：當(dāng)x值為近-1時(shí)，無(wú)蓋三棱錐容器D-MEF的容積V最大.

解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用棱錐的體積和線

面垂直的判定，屬于中檔題；

(1)由題意，4EFB為等腰直角三角形，又AE=CF=x,

可得BE=BF=2-x(0<x<2),SAEBF=%

可證得A/。，平面EMF,即可求其體積；

(2)由題意知，在等腰三角形ME尸中，ME=MF=x,SMMF=*?.{1一咐:~以.令/~(乃=

(^EMF)2=；[X4-16(X-1)2],

利用導(dǎo)數(shù)即可求解最值：

23.答案：證明：(1)連接BZ)交AC于點(diǎn)E,

ADAD1

■■AB//CD,AB1AD,蕓="=、

''ADCD2

：.Rt△ABDsRt△DAC,

^AEB=90°,則ACJ.BD,

???平面4BCD，平面PAC,平面ABC。n平面PAC=AC.

BD1平面PAC,又PCu平面PAC，

BD1PC.

P

D

(2)由AB〃CD,易知A/EB?△CED.

AEAB1

:.—=—=—,

ECCD4

又AP〃平面50”，平面/pen平面BDH=EH,

???AP11EH,

?.?累=黑=；，即H為線段PC上靠近點(diǎn)P的五等分點(diǎn)，即PC=5PH.

HCEC4

解析：本題考查空間中線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理以及線面平行的判定定理，屬于中檔題目.

(1)先由線面垂直的判定定理證明出B0，平面PAC,進(jìn)而得出8。1PC：

⑵由ZMEBSACEO,得靠=魯=；,再由4P〃平面8OH,得出"〃EH,得到器=器=；確定H

點(diǎn)位置.

24.答案：(/)證明：CC「平面Ai/ci，BiGu平面。8前,

????CQ1B]C「

又81GLiA?,

41clu平面441clC,

ctju平面A&GC

???BlCl_L平面4&C1C,

又CEu平面A&GC,

???BiCi1CE,

又CE1ac「AGu平面ABiG，

B1Gu平面AB1G,B1Gn4cl=G.

CE_L平面481Cl.

(口)解：因?yàn)镚E=8，￡為&C1的中點(diǎn)，所以&C1=2遍，又441=灰.

???S〉A(chǔ)CE=|X2\/3xV6=3V2.

vAAt=V6，AB=2BC,Z.ACB=90°,AC=2b.

:.AB=4,B1C1=BC=2.

%L/1CE=i，-BCl=1",5v-"--

?，*5

???AB1=V22,BXC=V10,

???心+8傳2=/%

???AC1BC

1-=2x2\/3xy/l0=\/30.

設(shè)E到平面4B】C的距高為九.則/f/c=:S-B1C?九=等?

解得九=字.

故點(diǎn)E到平面4B]C的距離為拶.

解析：本題考查線面垂直的判定以及體積計(jì)算，屬于中檔題.

(1)由直三棱柱定義及線面垂直的性質(zhì)定理可得CG1BiC1.進(jìn)一步證明BiG1平面4&GC,由此證

明BiG1CE,再由線面垂直的判定定理即可證明CE平面4B1G.

(2)依題意求出VBLME=；S&4CE-0G,Saw，然后由等體積法即可求出

<5

點(diǎn)E到平面4B1C的距離.

25.答案：⑴證明：?.?平面40EJ■平面ABCO,且平面4DEn

平面ABCD=2D,/.ADE=90°,

DEJ■平面ABCD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AO所在直線為y軸，QE所在直線為z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?底面ABC。是菱形，乙4BC=60。,6是邊4。的中點(diǎn)，48=

2DE,BM=2ME.

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2,

X

???0(0,0,0),E(0,0,1),G(0,-l,0),C(V3,-l,0),B(V3,-3,0),

GC=(V3,0,0).GM=(y>0，1)，DE=(0,0,1).

設(shè)平面GMC的一個(gè)法向量為五=(%,y,z),

(n?GC=y/3x=0

由［一百1V32，得ri=(0,l,0)?

n-GM=—x+-z=0

33

?.?龐?元=0，且DEC平面GMC,

???DE〃平面GMC；

(2)解：BG=(一百,2,0)，由(1)得平面GMC的一個(gè)法向量為記=(0,1,0),

直線BG與平面GMC所成角的正弦值為|cos〈打，記>|=翳孺=懸=等.

解析：(1)由已知結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可得DE_L平面ABC￡>,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A。所在直線為)，

軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面GMC的一個(gè)法向量，由赤.元=0,且DEC

平面GMC,可得DE〃平面GMC；

(2)求得前=(-73,2,0).由(1)得平面GMC的一個(gè)法向量為元=(0,1,0),再由同與H所成角的余弦

值可得直線8G與平面GMC所成角的正弦值.

本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,

是中檔題.

26.答案：證明：(/)過(guò)點(diǎn)E作EO14),垂足為O,

???平面ADE，平面ABCD,平面4DEn平面ABCD=AD,EOu平面ADE,

EOJ■平面ABCD,

又CF，平面ABCD,

ACF//OE,

又ADIIBC,

又CFu平面BCF,BCu平面BCF,

OEu平面ADE,ADu平面ADE,

???平面BCF〃平面ADE.

又BFu平面BCF,

BF〃平面ADE；

(〃)由(/)知E。_L平面ABC。，△ADE是等邊角形知。為A￡>中點(diǎn),

乂ABu平面ABCD

EO1AB,

又4B1AD,ADCtEO=0,

HADu平面ADE,EOu平面ADE,

AB1平面ADE,

又平面BCF〃平面ADE,

因此點(diǎn)F到平面ACE的距離為AB=遮，

???多面體ABCDEF的體積：

V=+咚植椎F-ADE=5XS梯杉XCF+;-XS^DEX從打

=-xix(l+4)xV3xV3+-x—x42xV3=-+4=—.

32kJ3422

解析：本題考查線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

(I)過(guò)點(diǎn)E作E。1AD,垂足為0則E。1平面ABCD,再由CF_L平面ABCD,得CF//OE,由此能

證明8F〃平面ADE.

(H)推導(dǎo)出EO14B,AB1AD,從而AB1平面ADE,多面體4BCDEF的體積：V=喂及而+

V三棱錐F-ADE'由此能求出結(jié)果.

27.答案：解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)0,連接0A,OB1,

???底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

0A1BC,且04=V3，

BBi=3,Z.CBB1=60°,OB=1,。用=l+9-2xlx

3xcos600=7,

???0B1=y[7,

又AB】=V10,

：.OA2+OBl=10=ABl，

■■OA1OB],

又OB、nBC=0,

OAJ_平面

又0A在平面ABC內(nèi),

.,.面ABCJL面BCGBi；

(2)如圖所示，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OA,0H所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

可知BH=2,則4(0,遮,0),B(—1,0,0),C(1,0,0),H(0,0,W),BIG，0，￥)，

???福=G，-封苧)，同=(-l,-V3,0),XC=(1,-573,0)，

m?AB=-x—y/3y=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量為記=(%,y,z),則,可取沅=(一百,1,1)；

m?ABI=—V3y+誓z=0

易知平面CBBi的一個(gè)法向量為運(yùn)=(0,1,0),

???儂(札元>=器=導(dǎo)即二面角C-BB】r的余弦值為今

解析：(1)由正三角形的性質(zhì)可得0418C,利用勾股定理可得。力1。/，進(jìn)而可得。4_L平面BCCiBi，

由此得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量的夾角公式即可得解.

本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角問(wèn)題，考查推理論證以及運(yùn)算求解能力，屬

于基礎(chǔ)題.

28.答案：證明：⑴連接AC,交8。于點(diǎn)。，連接04,大

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形，所以ACLBO,/|V\.

從而041BD,0CLBD,〃]__Lt-

又因?yàn)椤?n0C=0,所以BZ)_L平面&0C,,/',左之

因?yàn)?Cu平面為0C,所以41clBD.'H

解：(2),???平面4/0_L平面BC。.平面n平面BCD=0B.&。1B0,二七。1面。8c.

在邊長(zhǎng)為2的菱形A8CO中，N4BC=120。=。8=2,a0=C0=40=遮

.??三棱錐&-BCD的體積U=