專題五 數(shù)列（2020-2024）五年高考《數(shù)學》真題分類匯編（解析版）

第第頁專題五數(shù)列考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01等差數(shù)列與古建筑2022年新課標Ⅱ卷：古建筑與等差數(shù)列關于數(shù)列的考查，命題比較靈活.隨著整卷題量的減少，更趨于綜合化，難度有增大趨勢.應注意以下幾個方面的問題：1.等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計算；2.數(shù)列的求和問題；3.數(shù)列的應用、數(shù)列與其它知識的交匯問題；4.數(shù)列與不等式的證明；5.數(shù)列的新定義問題.考點02等差數(shù)列的前n項和2020年新高考I卷：兩等差數(shù)列相同項；2021年新高考I卷：分段數(shù)列中的等差數(shù)列；2023年新高考I卷：與充要條件交匯；兩個數(shù)列關系條件下；2024年新高考II卷：等差數(shù)列基本量的計算考點03等差數(shù)列中的最值問題2021年新高考II卷：根據(jù)前n項和與第n項的關系求n的最值考點04等比數(shù)列前n項和2020年新高考II卷：多選題、簡單數(shù)列求和2021年新高考II卷：求通項、求和考點05等比數(shù)列前n項和及其性質(zhì)2023年新高考II卷：和的性質(zhì)應用考點06“錯位相減法”的實際應用2021年新高考I卷：民間剪紙為背景考點07等比數(shù)列的通項與特殊數(shù)列的求和2020年新高考I卷：考點08等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題2022年新高考II卷：根據(jù)兩數(shù)列中項的關系，求集合中符合條件的元素個數(shù).考點09數(shù)列求和與數(shù)列不等式證明2022年新高考I卷：等差數(shù)列與“裂項相消法”；2023年新高考II卷：分段數(shù)列、分組求和、證明兩數(shù)列和的不等關系.考點10數(shù)列與概率的交匯問題2023年新課標Ⅰ卷：求概率、構造等比數(shù)列求期望考點11數(shù)列與解析幾何的交匯問題2024年新課標Ⅱ卷：以雙曲線上點列為載體，證明等比數(shù)列、證明三角形面積數(shù)列特征.考點12數(shù)列的新定義問題2024年新課標I卷考點01等差數(shù)列與古建筑1．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D考點02等差數(shù)列的前n項和2．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C3．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學試題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為．【答案】【分析】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.4．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.5．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項起，若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項和為：．6．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當時，，解得，與矛盾，無解；當時，，解得.綜上，.考點03等差數(shù)列中的最值問題7．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：.(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.考點04等比數(shù)列前n項和8．（多選）（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）設正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.9．（2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學試題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.【詳解】(1)設等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項公式為：.(2)由于：，故：.考點05等比數(shù)列前n項和及其性質(zhì)10．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．考點06“錯位相減法”的實際應用11．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折次，那么.【答案】5【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.考點07等比數(shù)列的通項與特殊數(shù)列的求和12．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學試題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）方法一：通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）［方法一］：規(guī)律探索由于，所以對應的區(qū)間為，則；對應的區(qū)間分別為，則，即有2個1；對應的區(qū)間分別為，則，即有個2；對應的區(qū)間分別為，則，即有個3；對應的區(qū)間分別為，則，即有個4；對應的區(qū)間分別為，則，即有個5；對應的區(qū)間分別為，則，即有37個6．所以．［方法二］【最優(yōu)解】：由題意，，即，當時，．當時，，則．［方法三］：由題意知，因此，當時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，．所以．所以數(shù)列的前100項和．考點08等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題13．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．考點09數(shù)列求和與數(shù)列不等式證明14．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴15．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，.考點10數(shù)列與概率的交匯問題16．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．考點11數(shù)列與解析幾何的交匯問題17．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構造方式計算出的坐標即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結(jié)論；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個結(jié)論：對平面上三個點，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得.這就表明的取值是與無關的定值，所以.方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識的結(jié)合，需要綜合運用多方面知識方可得解.考點12數(shù)列的新定義問題18．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)可分數(shù)列的定義即可；（2）根據(jù)可分數(shù)列的定義即可驗證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是可分數(shù)列的至少有個，再使用概率的定義.【詳解】（1）首先，我們設數(shù)列的公差為，則.由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當且僅當該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對該數(shù)列進行適當?shù)淖冃?，得到新?shù)列，然后對進行相應的討論即可.換言之，我們可以不妨設，此后的討論均建立在該假設下進行.回到原題，第1小問相當于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分數(shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對，如果下面兩