高中數(shù)學 1-4-2(二)空間圖形的公理活頁訓練 北師大版必修2

1-4-2(二)空間圖形的公理eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時20分鐘)1．空間兩個角α、β的兩邊對應平行，若α＝60°，則β為()．A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析由等角定理不難知α，β相等或互補．所以β＝60°或120°.答案D2．如圖所示，設(shè)E、F、G、H依次是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上除端點外的點，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ.則下列結(jié)論中不正確的為()．A．當λ＝μ時，四邊形EFGH是平行四邊形B．當λ≠μ時，四邊形EFGH是梯形C．當λ＝μ＝eq\f(1,2)時，四邊形EFGH是平行四邊形D．當λ＝μ≠eq\f(1,2)時，四邊形EFGH是梯形解析當λ＝μ時，EH綉FG，∴EFGH為平行四邊形，故D中結(jié)論不正確．答案D3．四面體ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分別是AB、CD的中點，則EF與BC所成的角為()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析如圖，取BD中點G，連結(jié)EG，則∠EFG為異面直線EF與BC所成角．∵EG＝eq\f(1,2)AD，GF＝eq\f(1,2)BC，∴EG＝GF.∵AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，∴EG⊥GF，∴△EGF為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.故選B.答案B4．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與直線D1C(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C(4)直線AB與直線B1C解析根據(jù)圖知道直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以(3)中應該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線“平行”．所以(1)中應該填“平行”；點A1、B、B1在一個平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，B1∈平面A1B1B且B1?A1B，則直線A1B與直線B1C“異面”．同理，直線AB與直線答案(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面5．下列命題正確的序號是________．①空間四邊形的四個頂點不共面，它有四條邊兩條對角線；②空間四邊形不是平面圖形，可以把它看作同一平面內(nèi)有一條公共底邊的兩個三角形沿著公共底邊適當翻折而成的空間圖形；③順次連接空間四邊形四條邊的中點得到一個平行四邊形；④四邊都相等的四邊形都是菱形；⑤有三個角都是直角的四邊形是矩形．解析由空間四邊形的定義知命題①、②、③都是真命題．空間四邊形的四條邊可以相等，故命題④為假命題．關(guān)于命題⑤可構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖，∠D1AB＝∠ABC＝∠BCD1＝90°，但∠AD1C＝60°，四邊形ABCD1不是矩形，故答案①②③6．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且滿足eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2.(1)求證：四邊形EFGH是梯形；(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位線的長．(1)證明∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，∴EH綉eq\f(1,3)BD.∵eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2，∴FG綉eq\f(2,3)BD.∴EH綉eq\f(1,2)FG，所以四邊形EFGH是梯形．(2)解∵BD＝a，∴EH＝eq\f(1,3)a，F(xiàn)C＝eq\f(2,3)a，∴梯形EFGH的中位線的長為eq\f(1,2)(EH＋FG)＝eq\f(1,2)a.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1AA．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行解析等角定理的實質(zhì)是角的平移，其逆命題不一定成立，OB與O1B1有可能平行，也可能不在同一平面內(nèi)，位置關(guān)系不確定．答案D8．已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列判斷正確的是()．A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)D．MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)解析如圖所示，取BC中點E，連接ME，NE，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(則MN<ME＋NE,而ME＝\f(1,2)AC，NE＝\f(1,2)BD))?MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．答案D9．在空間四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，若AC＝BD，且AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀為________．解析E、F、G、H分別為所在邊的中點，由中位線性質(zhì)知，EF綉eq\f(1,2)AC，GH綉eq\f(1,2)AC，∴EF綉GH.∴四邊形EFGH為平行四邊形．又AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，且EF⊥FG.∴四邊形EFGH為正方形．答案正方形10．異面直線a、b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b所成角的范圍是________．解析如圖，c與a成30°，即c與a′成30°，然后讓c繞著點A轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，c與a′始終成30°角，不難發(fā)現(xiàn)在c轉(zhuǎn)動過程中，c與b所成角最小為60°，最大為90°.答案[60°，90°]11．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1，求A1B與B1D1解如圖，連結(jié)BD、A1D.∵ABCD-A1B1C1D1∴DD1綉B(tài)B1，∴DBB1D1為平行四邊形，∴BD∥B1D1，∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的對角線，∴A1B＝BD＝A1D，即△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是銳角，∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角．∴A1B與B1D1所成的角為60°.12．(創(chuàng)新拓展)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．解取AC的中點F，連接EF、BF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角或其補角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq