高中數(shù)學(xué) 2-5-1離散型隨機(jī)變量的均值規(guī)范訓(xùn)練 蘇教版選修2-3

2.5隨機(jī)變量的均值和方差2．5.1離散型隨機(jī)變量的均值eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件次品，從中抽取150件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．解析設(shè)查得的次品數(shù)為隨機(jī)變量X，由題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150，\f(1,15)))，所以E(X)＝150×eq\f(1,15)＝10.答案102．隨機(jī)變量X的分布列為X124P0.50.20.3則E(3X＋4)＝________.解析∵E(X)＝1×0.5＋2×0.2＋4×0.3＝2.1，∴E(3X＋4)＝3E(X)＋4＝6.3＋4＝10.3答案10.33．某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望E(X)＝________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．解析X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，∴E(X)＝eq\f(10,21)×0＋eq\f(10,21)×1＋eq\f(1,21)×2＝eq\f(4,7).答案eq\f(4,7)4．若隨機(jī)變量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，則P(X＝1)的值是________．解析E(X)＝n×0.6＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,5)(0.6)1×0.44＝3×0.44.答案3×0.445．隨機(jī)變量X的分布列是X47910P0.3ab0.2E(X)＝7.5，則a＝________，b＝________.解析由E(X)＝4×0.3＋7a＋9b得7a＋9b又a＋b＋0.3＋0.2＝1，∴a＋b＝0.5.解得a＝0.1，b＝0.4.答案0.10.46．某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是eq\f(2,3)，出現(xiàn)綠燈的概率都是eq\f(1,3).記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為X，當(dāng)這排裝飾燈閃爍一次時(shí)：(1)求X＝2時(shí)的概率；(2)求X的數(shù)學(xué)期望．解(1)依題意知：X＝2表示4盞裝飾燈閃爍一次時(shí)，恰好有2盞燈出現(xiàn)紅燈，而每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是eq\f(2,3)，故X＝2時(shí)的概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,27).(2)法一X的所有可能取值為0,1,2,3,4，依題意知P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4－k(k＝0,1,2,3,4)．∴X的概率分布列為X01234Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(8,81)eq\f(32,81)eq\f(16,81)∴數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,8)＋1×eq\f(8,81)＋2×eq\f(8,81)＋3×eq\f(32,81)＋4×eq\f(16,81)＝eq\f(8,3).法二∵X服從二項(xiàng)分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．投擲兩個(gè)骰子，至少有一個(gè)4點(diǎn)或5點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中，成功次數(shù)X的期望是________．解析在一次試驗(yàn)中成功的概率為1－eq\f(4,6)×eq\f(4,6)＝eq\f(5,9)，∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(5,9)))，∴E(X)＝np＝10×eq\f(5,9)＝eq\f(50,9).答案eq\f(50,9)8．某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192例8例則該公司一年后估計(jì)可獲收益的數(shù)學(xué)期望是________元．解析由題意知，一年后獲利6000元的概率為0.96，獲利－25000元的概率為0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．答案47609．一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，射擊停止后尚余子彈的數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望值為________．解析X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案2.37610．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0.1,0＜p＜1)，則E(X)＝________.解析X服從兩點(diǎn)分布，∴E(X)＝1－p.答案1－p11．在高中“自選模塊”考試中，某考場的每位同學(xué)都選了一道數(shù)學(xué)題，第一小組選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的有1人，選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的有2人，選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況.(1)求選出的4人均為選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的概率；(2)設(shè)X為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解(1)設(shè)“從第一小組選出的2人均選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》”為事件A，“從第二小組選出的2人均選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》”為事件B.由于事件A、B相互獨(dú)立，所以P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，所以選出的4人均選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的概率為P(A·B)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).(2)X可能的取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,6))·eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＋eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(2,6))·eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(22,45)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(2,6))·eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,45).P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝eq\f(2,9).故X的分布列為X0123Peq\f(4,15)eq\f(22,45)eq\f(2,9)eq\f(1,45)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(22,45)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,45)＝1(人)．12．第16屆亞運(yùn)會(huì)于年11月12日在廣州舉辦，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間來自廣州大學(xué)和中山大學(xué)的共計(jì)6名大學(xué)生志愿者將被隨機(jī)平均分配到跳水、籃球、體操這三個(gè)比賽場館服務(wù)，且跳水場館至少有一名廣州大學(xué)志愿者的概率是eq\f(3,5).(1)求6名志愿者中來自廣州大學(xué)、中山大學(xué)的各有幾人？(2)設(shè)隨機(jī)變量X為在體操比賽場館服務(wù)的廣州大學(xué)志愿者的人數(shù)，求X的分布列及均值．解(1)記“至少一名廣州大學(xué)志愿者被分到跳水比賽場館”為事件A，則A的對(duì)立事件為“沒有廣州大學(xué)志愿者被分到跳水比賽場館”，設(shè)有廣州大學(xué)志愿者x人(1≤x＜6)，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,6－x)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6)C\o\al(2,4))＝eq\f(3,5)，即x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9(舍去)，即來自廣州大學(xué)的志愿者有2人，來自中山大學(xué)的志愿者有4人．(2)X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6)C\o\al(2,4))＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6)C\o\al(2,4))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,15).故X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)從而E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3)(人)．13．(創(chuàng)新拓展)某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18(假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響)．現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門提出以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；方案3：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)損失達(dá)60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為10000元．(1)試求方案3中損失費(fèi)X(隨機(jī)變量)的分布列；(2)試比較哪一種方案好．解(1)在方案3中，記“甲河流發(fā)生洪水”為事件A，“乙河流發(fā)生洪水”為事件B，則P(A)＝0.25，P(B＝0.18)，所以有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為P(A·eq\x\to(B)＋eq\x\to(A)·B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝0.34，兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P(A·B)＝0.045，都不發(fā)生洪水的概率為P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝0.75×0.82＝0.615，設(shè)損失費(fèi)為隨機(jī)變量X，則X的分布列為X10000600000P0