福州金山中學(xué)2024屆九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題4分，共40分）1.下列曲線中，不是的函數(shù)的是（）A. B. C. D.答案：A解析：詳解：解：根據(jù)函數(shù)定義，在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)．而選項(xiàng)A中的y的值不具有唯一性，所以不是函數(shù)圖象．故選：A．2.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．下列結(jié)論不一定成立的是（）A.AB⊥BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.OA＝OC答案：B解析：詳解：四邊形ABCD是矩形ABBC，A項(xiàng)成立AC⊥BD不是矩形的性質(zhì)，B項(xiàng)不成立AC＝BD，C項(xiàng)成立OA＝OC，D項(xiàng)成立故答案選B3.具備下列條件的中，不是直角三角形的是（）A. B.，C.，， D.，，答案：C解析：詳解：解：A.∵，，∴，故該選項(xiàng)不符合題意；B.∵，，∴，故該選項(xiàng)不符合題意；C.∵，，，，∴，∴不是直角三角形，故該選項(xiàng)符合題意；D.∵，，，，∴，∴是直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4.若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為0，則a的值為（）A. B. C. D.2答案：C解析：詳解：把x=0代入方程有：a2-4=0，a2=4，∴a=±2；∵a-2≠0，∴a=-2，故選C．5.如圖，在中，，、、分別是三邊的中點(diǎn)，，則的長為（）A.2.5 B.4 C.5 D.10答案：C解析：詳解：解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴BC=2AF=10，∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴，故選C．6.下列拋物線通過先向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，可得到拋物線y=3x2的是（）A.y=3（x+3）2﹣2 B.y=3（x+3）2+2C.y=3（x+2）2﹣3 D.y=3（x﹣2）2+3答案：A解析：詳解：解：拋物線y=3x2先向下平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=3（x+3）2-2．故選A．7.某種細(xì)胞分裂，一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過兩輪分裂后，共有a個(gè)細(xì)胞，設(shè)每輪分裂中平均一個(gè)細(xì)胞分裂成n個(gè)細(xì)胞，那么可列方程為（）A. B. C. D.答案：A解析：詳解：解：設(shè)每輪分裂中平均一個(gè)細(xì)胞分裂成n個(gè)細(xì)胞，那么可列方程為，故選：A．8.函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A.B.C.D.答案：C解析：詳解：選項(xiàng)A、由一次函數(shù)y=ax+a的圖象可得：a＜0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向下，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B、由一次函數(shù)y=ax+a的圖象可得：a＜0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向下，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C、由一次函數(shù)y=ax+a的圖象可得：a＞0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向上，對(duì)稱軸x=﹣＞0，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D、由一次函數(shù)y=ax+a的圖象可得：a＜0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸x=﹣＜0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．9.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，和的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么的度數(shù)為（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：如圖，連接AD，BE，根據(jù)題意得：，，∴AD=CD，，，∴∠ADC=90°，∠BCE=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴．故選：B10.如圖，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（）A. B.2 C.4 D.答案：A解析：詳解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，則∠AGC=90°，∵中，，，，∴，∴是直角三角形，∠ACB=90°，由平移知，AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE∥AD，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最小，此時(shí)，∠DEC=∠ECG=90°，∴四邊形EDGC是矩形，∴DE=CG，∵∴∴，∴，∴DE的最小值為．故選A．二、填空題（每小題4分，共24分）11.已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一個(gè)根，則m2＋2mn＋n2的值為_____．答案：解析：詳解：把代入一元二次方程得，

所以.

故答案為：1．

12.一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算如下：，則這組數(shù)據(jù)的總和等于________．答案：12解析：詳解：解：由方差的計(jì)算算式知，這組數(shù)據(jù)共有6個(gè)，且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，所以這組數(shù)據(jù)的和為6×2＝12，故答案為：12．13.二次函數(shù)的最小值為_________．答案：2解析：詳解：解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，y最小，最小值為2，故答案為：2．14.如圖，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分線分別交AB，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CF，則______°．答案：70解析：詳解：解：如圖，連接AF．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD=∠BAD=110°，AB=AD，∴∠ABD=∠BDA=35°，∵EF垂直平分線段AB，∴FB=FA，∴∠FBA=∠FAB=35°，∴∠AFD=∠FBA+∠FAB=70°，∵A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴∠AFD=∠CFD=70°，故選答案為：70．15.函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為__________．答案：0、1、9解析：詳解：解：由題意可分：當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，即，則該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即一元二次方程只有一個(gè)解，所以，即，解得，當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，即，所以該函數(shù)解析式為，該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：a的值為0或1或9；故答案為0、1、9．16.如圖，函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線：①；②；③；④；⑤若點(diǎn)、在拋物線上，則；⑥（m為任意實(shí)數(shù)），其中結(jié)論正確的有______．答案：①④⑥解析：詳解：解：①拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，，故①正確；②拋物線開口向上，，拋物線對(duì)稱軸在軸右側(cè)，與異號(hào)，即，拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，，，故②錯(cuò)誤；③拋物線對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，，，故③錯(cuò)誤；④拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，，拋物線對(duì)稱軸為直線，，，，故④正確；⑤，，拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸右側(cè)隨增大而增大，，故⑤錯(cuò)誤；⑥當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，開口向上，當(dāng)時(shí)，取最小值，，，故⑥正確；綜上所述，①④⑥正確，故答案為：①④⑥．三、解答題（共86分）17.解下列方程：（1）；（2）．答案：（1），（2），解析：小問1詳解：解：，，，，，，，，原方程的解為，；小問2詳解：解：，，，，即，或，解得：，，原方程的解為，．18.二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程的兩個(gè)根；（2）當(dāng)為何值時(shí)，？（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．答案：（1）方程的兩個(gè)根為，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小解析：小問1詳解：解：由圖象可得：二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，方程的兩個(gè)根為，；小問2詳解：解：由圖象可得：當(dāng)時(shí)，；小問3詳解：解：由圖象可得：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。?9.已知：，求代數(shù)式的值.答案：3解析：詳解：此題考查求代數(shù)式值知識(shí)點(diǎn)；此題可以先求出值然后代入求值，但是此方程的根是無理數(shù)，代入求值比較麻煩，所以此題考慮整體代換；解：原式，把已知代入上式，可以得到：原式；20.求函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)的最大或最小值．答案：拋物線開口向下；對(duì)稱軸：直線；頂點(diǎn)；函數(shù)y有最大值，最大值為-4.解析：詳解：解：∵∴拋物線開口向下對(duì)稱軸為：直線∴頂點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)為：2，將，代入解析式得：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵函數(shù)的開口向下，∴函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)y取最大值，此時(shí)，即最大值為.21.已知拋物線頂點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．答案：（1）（2）該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為解析：小問1詳解：解：拋物線頂點(diǎn)是，設(shè)拋物線的解析式為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為，即；小問2詳解：解：令，則，該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．22.閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項(xiàng)式x2＋bx＋c變形為（x＋m）2＋n的形式，例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2?x?4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）填空：將多項(xiàng)式x2﹣2x＋3變形為（x＋m）2＋n的形式，并判斷x2﹣2x＋3與0的大小關(guān)系，∵x2﹣2x＋3＝（x﹣）2＋；所以x2﹣2x＋30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）將多項(xiàng)式x2＋6x﹣9變形為（x＋m）2＋n的形式，并求出多項(xiàng)式的最小值；（3）求證：x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2＋y2﹣4x＋2y＋6的值總為正數(shù)．答案：（1）1；2；＞（2）（x+3）2﹣18，最小值為-18（3）見解析解析：小問1詳解：解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+2＞0，∴x2﹣2x+3＞0，故答案為：1；2；＞；小問2詳解：解：x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，∵（x+3）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x2+6x﹣9有最小值，最小值為﹣18；小問3詳解：證明：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，∴x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．23.5G提速了，網(wǎng)絡(luò)豐富了大家的生活！小石通過某平臺(tái)進(jìn)行帶貨直播銷售一種文具，已知成批購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售量是230件，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10件，且每件文具售價(jià)不能高于40元，設(shè)每件文具的銷售單價(jià)上漲了x元時(shí)（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）每件文具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤為2520元？（3）每件文具的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？答案：（1）：y﹣10x2+130x+2300，自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)；（2）每件文具的售價(jià)定為32元時(shí)，月銷售利潤恰為2520元（3）每件文具的售價(jià)定為36元或37元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2720元．解析：小問1詳解：解：根據(jù)題意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)；小問2詳解：解：當(dāng)y＝2520時(shí)，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合題意，舍去）當(dāng)x＝2時(shí)，30+x＝32（元）答：每件文具的售價(jià)定為32元時(shí)，月銷售利潤恰為2520元．小問3詳解：解：根據(jù)題意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴當(dāng)x＝6.5時(shí)，y有最大值為2722.5，∵0＜x≤10且x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝6時(shí)，30+x＝36，y＝2720（元），當(dāng)x＝7時(shí)，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售價(jià)定為36元或37元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2720元．24.如圖．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為直線上方拋物線上的一點(diǎn)，請(qǐng)求出面積的最大值．答案：（1）（2）面積的最大值為解析：小問1詳解：解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，將點(diǎn)和點(diǎn)代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線解析式為；小問2詳解：解：在拋物線中，令，則，，設(shè)直線的解析式為：，將和代入直線的解析式得：，解得：，直線的解析式為，如圖，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，最大，為，面積的最大值為．25.已知拋物線y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x軸于點(diǎn)A(6，0)和點(diǎn)B(－1，0)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)D，E，當(dāng)PD＋PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)直線AC垂直平分△AMN的邊MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．答案：（1）y＝－x2＋5x＋6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)解析：詳解：解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋6經(jīng)過點(diǎn)A（6，0），B（－1，0），∴解得a＝－1，b＝5，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6．∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6，∴C（0，6），∴OC＝6．∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．∵PD平行于x軸，PE平行于y軸，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD＋PE＝2PE，∴當(dāng)PE的長度最大時(shí)，PE＋PD取最大值．設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋d，把A（6，0），C（0，6）代入得解得k＝－1，d＝6，∴直線AC的解析式為y＝－x＋6．設(shè)E（t，－t＋6）（0＜t＜6），則P（t，－