考點鞏固卷10 平面向量（六大考點）-新課標2025年高考《數(shù)學》一輪復習考點通關卷（解析版）

第第頁考點鞏固卷10平面向量（六大考點）考點01：共線定理定理1：已知，若，則三點共線；反之亦然平面向量共線定理證明若點互不重合，是三點所在平面上的任意一點，且滿足，則三點共線.證明:(1)由三點共線.由得.即，共線，故三點共線.(2)由三點共線.由三點共線得，共線，即存在實數(shù)使得.故.令，則有.1．已知是平面內(nèi)四個互不相同的點，為不共線向量，，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】B【分析】利用向量共線充要條件求出結果．【詳解】，所以，所以三點共線，即B對．同理，其它各項對應三點均不共線.故選：B.2．已知向量不共線，且，，若與同向共線，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】A【分析】由共線定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得.【詳解】因為與同向共線，所以存在使得，即，又向量不共線，所以，解得（舍去）或.故選：A3．在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4【答案】BD【分析】根據(jù)三點公式求得，結合基本不等式判斷即可.【詳解】因為，所以，又，因為、、三點共線，所以，又，為正實數(shù)，所以，當且僅當，即，時取等號，故A錯誤，B正確；，當且僅當，即，時取等號，故C錯誤，D正確.故選：BD4．下列說法中不正確的是（

）A．若，則，且四點構成平行四邊形B．若為非零實數(shù)，且，則與共線C．在中，若有，那么點一定在角A的平分線所在直線上D．若向量，則與的方向相同或相反【答案】AC【分析】根據(jù)四點共線即可判斷A，根據(jù)共線定理即可求解B，根據(jù)單位向量的定義以及向量加法的運算法則，即可由角平分線求解C，根據(jù)零向量即可求解D.【詳解】對于A，線段上，為線段的三等分點，滿足，且，但四點不能構成平行四邊形，A錯誤；對于B，因為為非零實數(shù)，且，所以，所以與共線，B正確；對于C，因為、分別表示向量、方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線重合，又，可得向量所在直線與的角平分線重合，所以點一定在角A的平分線所在直線上，C正確；對于D，若向量，則與的方向相同或相反，或與中至少有一個為零向量，D錯誤.故選：AC5．如圖，已知平行四邊形的對角線相交于點，過點的直線與，所在直線分別交于點M，N，滿足，，（，），若，則的值為．【答案】【分析】用向量表示，再利用點M，O，N共線列式計算作答.【詳解】因平行四邊形的對角線相交于點，則，而，于是得，又點M，O，N共線，因此，，即，又，解得，所以.故答案為：6．如圖，已知△ABC為等邊三角形，點G是△ABC內(nèi)一點．過點G的直線l與線段AB交于點D，與線段AC交于點E．設，，且，．(1)若，求；(2)若點G是△ABC的重心，設△ADE的周長為，△ABC的周長為．（i）求的值；（ii）設，記，求的值域．【答案】(1)；(2)（i）3；（ii）．【分析】（1）連接AG并延長，交BC于點F，設，則，由B，F(xiàn)，C三點共線可求得，則有，又，可求，，即可得出結果.（2）（i）由題意得，，又D，G，E三點共線，所以，即可得解；（ii）設△ABC的邊長為1，則，，在△ADE中，由余弦定理得，所以，結合化簡，因為，所以，結合的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出的值域.【詳解】（1）連接AG并延長，交BC于點F，設，則，又B，F(xiàn)，C三點共線，所以，，故，即，則有，所以，又，所以，所以.（2）（i）連接AG并延長，交BC于點F，因為G為重心，所以F為BC中點，所以，所以又D，G，E三點共線，所以，則．（ii）設△ABC的邊長為1，則，，（）在△ADE中，，所以，所以，因為，，所以，因為，所以，因為，，所以，，又，則有，因為，所以，因為，，所以的最小值為，最大值為，所以，單調(diào)遞增，則，所以，即的值域為．7．設，是不共線的兩個非零向量.(1)若，，，求證：，，三點共線；(2)若，，，且，求實數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先求出，，根據(jù)平面向量共線定理得到，即可得證；（2）首先求出，的坐標，再根據(jù)向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】（1）因為，，，所以，，又，是不共線的兩個非零向量，所以，所以，且有公共點，所以，，三點共線；（2）因為，，，所以，，又，所以，解得.8．如圖，在中，已知，，，邊上的中點為，點是邊上的動點（不含端點），，相交于點．(1)求的正弦值；(2)當點為中點時，求的余弦值．(3)當取得最小值時，設，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根據(jù)與互補，由，求得，然后在中，利用余弦定理求解；解法2、由，求得，再利用的面積為面積的求解；解法3：以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點的垂線為軸，建立平面直角坐標系，利用向量的夾角公式求解；（2）方法1、在中，利用余弦定理，求得，再由為重心，得到，，然后在中，利用余弦定理求解；解法2：由，求得，再利用向量的夾角公式求解；解法3：以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點的垂線為軸，建立平面直角坐標系，再利用向量的夾角公式求解；（3）設，由，則即時，取最小值，得到，再由，，得到，由A，，三點共線求解；【詳解】（1）解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因為與互補，所以，解得，在中，由余弦定理，得，因為，所以．解法2、由題意可得，，由為邊上的中線，則，兩邊同時平方得，，故，因為為邊中點，則的面積為面積的，所以，即，化簡得，．解法3：以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點的垂線為軸，建立平面直角坐標系則，，，所以，，所以，因為，所以．（2））解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由，分別為邊，上的中線可知為重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因為為邊上的中線，所以，，，即．所以．解法3：以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點的垂線為軸，建立平面直角坐標系：則，，，，所以，．所以．（3）設，，當即時，取最小值，，，，，，，三點共線，.9．設是不共線的兩個非零向量．(1)若，求證：三點共線；(2)已知的夾角為，問當為何值時，向量與垂直？【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件結合向量加減法求出、，進而得出即可得證.（2）先求出，根據(jù)向量垂直得，再結合向量運算法則計算即可得解.【詳解】（1）因為，所以，所以，又與有公共點，所以A，B，C三點共線.（2）由得，因為向量與垂直，所以，即，整理得.10．如圖，在中，AQ為邊BC的中線，，過點P作直線分別交邊AB，AC于點M，N，且，，其中，.(1)當時，用，表示；(2)求的值，并求最小值.【答案】(1)(2)，最小值為【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結合為邊的中線求解即可；（2）結合（1）可得，再根據(jù)，求得，結合三點共線即可求出，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】（1）因為為邊的中線，所以，因為，，所以，，所以，即；（2）由（1）可得，因為，，所以，，，由三點共線，得，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以最小值為.考點02：投影向量的求算1、投影向量的定義如圖：如果向量的起點和終點在直線上的投影分別為和，那么向量叫做向量在直線上的投影向量（簡稱為：投影）；理解：一個向量在一個非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一條所在直線上的投影，因為這些直線都是平行的，所以，向量在一個非零向量的方向的投影是唯一確定的；特殊地，如圖，若兩個向量共起點；即：，過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量；2、投影向量的計算公式以一點為起點，；作：，把射線、的夾角稱為向量、向量的夾角，記作：；；；，又稱向量垂直，記作；（1）（2）（3）當為銳角（如圖（1））時，與方向相同，，所以；當為直角（如圖（2））時，，所以；當為鈍角（如圖（3））時，與方向相反，所以所以；當時，，所以；當時，，所以；綜上可知，對于任意的，都有；3、數(shù)量投影的定義與求法據(jù)圖：如果令為向量的單位向量，那么向量在向量方向上的向量投影為：；其中，實數(shù)（*）稱為向量在向量方向上的數(shù)量投影；理解：（1）當時；實數(shù)（*）大于0；（2）當時；實數(shù)（*）等于0；（3）當時；實數(shù)（*）小于0；特別的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相應的數(shù)量投影的絕對值是該投影的模，因此，這個數(shù)量投影等于0；11．向量與非零向量的夾角為，則在上的投影數(shù)量為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用投影數(shù)量的定義計算即得.【詳解】依題意，在上的投影數(shù)量為.故選：A12．若，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求得值，根據(jù)投影向量的定義公式計算即得.【詳解】由可得，，解得，則，在方向上的投影向量為.故選：D.13．若向量，，則在上的投影向量的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，再結合投影向量的定義運算求解.【詳解】因為，，則，所以在上的投影向量.故選：B.14．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由模長公式可得，即可由投影向量的公式求解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以在上的投影向量為.故選:D.15．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.【詳解】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選：C.16．下列關于向量的說法正確的是（

）A．若，，則B．若單位向量，夾角為，則向量在向量上的投影向量為C．若與不共線，且，則D．若且，則【答案】BC【分析】根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積的幾何意義可判斷各選項.【詳解】A：當時，若，，則與不一定平行，A錯誤；B：向量在向量上的投影向量為，B正確；C：若與不共線，且，則，C正確；D：，則，又，則，顯然不能確定，D錯誤；故選：BC.17．已知向量，，則向量在方向上的投影向量的坐標為．【答案】【分析】利用向量的坐標運算，結合投影向量的定義求解即得.【詳解】由，，得，則，，所以向量在方向上的投影向量.故答案為：18．已知，．(1)若且，求在方向上的投影向量；(2)若與的夾角為鈍角，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)模長的坐標運算求得，再結合投影向量的定義分析求解；（2）根據(jù)題意可知且與不共線，結合向量的坐標運算分析求解.【詳解】（1）因為，，則，若且，則，解得，則，，可得，所以在方向上的投影向量.（2）因為，．若與的夾角為鈍角，則且與不共線，則，解得且，所以實數(shù)m的取值范圍為.19．已知向量，，.(1)若，求；(2)若，求在上的投影向量（用坐標表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入中，再根據(jù)的坐標去求模長即可；（2）根據(jù)，把坐標代入計算求出的值，再列式求得在上的投影向量.【詳解】（1）當時，，，∴.（2）∵，∴，∴，即，∴，即，∴在上的投影向量為.20．已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)向量在向量上的投影向量的概念求解；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算法則求模即可.【詳解】（1）在方向上的投影向量為.（2）.考點03：奔馳定理解決三角形面積比問題奔馳定理解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點.已知的頂點，，，則△ABC的重心坐標為.注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1，且分的三個三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故.21．點在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】利用向量的平行四邊形法則可知點在的中線上，且，從而可得，根據(jù)即可求解.【詳解】

因為，所以，即，取中點為點，則，即，所以在中線上，且過，分別作邊上的高，垂足為，則，所以，，所以，所以，故選：C.22．設點O是所在平面內(nèi)一點，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則O為的重心；B．若，則O為的垂心；C．若，則為等邊三角形；D．若，則△BOC與△ABC的面積之比為．【答案】B【分析】利用向量數(shù)乘運算和三角形重心定義判斷選項A；利用向量數(shù)量積運算和三角形垂心定義判斷選項B；利用向量數(shù)量積運算和等邊三角形定義判斷選項C；求得△BOC與△ABC的面積之比判斷選項D.【詳解】對于A，如圖，取邊中點，連接邊上的中線，則，又∵，∴，∴，∴為的重心，故選項A正確；

對于B，如圖，取邊中點，邊中點，連接，，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，分別是，邊上的垂直平分線，∴，為的外心，故選項B錯誤；

對于C，作角的內(nèi)角平分線與邊交于點，∵為方向的單位向量，為方向的單位向量，∴（），∴（），∴，∴，∴，為等腰三角形，又∵，且，∴，∴為等邊三角形，故選項C正確；

對于D，設，，由，得，則由選項A可知，為的重心，設的面積，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，故選項D正確．

故選：B23．已知為所在平面內(nèi)的一點，且，則下列說法正確的是（

）A．若且，則B．C．與的面積之比為D．與的面積之比為【答案】ABD【分析】對于A，由條件，求出，再開方可得，即可判斷；對于B，由，通過向量的線性運算可得，即可判斷；對于C，由，可得，即可判斷；對于D，由，可得，，則得，即可判斷.【詳解】若且，則，則，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；因為，所以，故C錯誤；因為，所以，，所以，故D正確．故選：ABD．24．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其外接圓半徑為，下列結論正確的有（

）A．若是的重心，則B．是所在平面內(nèi)一點，若，則的面積是的面積的2倍C．若，則是等腰三角形D．若，，則的外接圓半徑【答案】ABD【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)及平面向量線性運算法則判斷A；利用向量加法的平行四邊形法則，結合平行關系探討面積判斷B；利用正弦定理、余弦定理計算判斷C；利用和差角的余弦公式、結合正弦定理計算判斷D.【詳解】對于A，如圖設為的中點，點為的重心，則，即，即，A正確；對于B，令，則，由平行四邊形法則得，，則，同理，所以的面積是的面積的2倍，B正確；對于C，由，得，整理得，由余弦定理得，整理得，則是直角三角形，C錯誤；對于D，由，得，由，得，即，，由正弦定理，得，即，解得，D正確.故選：ABD25．的內(nèi)角的對邊分別為，其外接圓半徑為，下列結論正確的有（

）A．若是的重心，且，則B．是所在平面內(nèi)一點，若，則的面積是的面積的2倍C．若，則是等腰三角形D．若，則的外接圓半徑【答案】ABD【分析】利用三角形重心的向量表示，結合余弦定理計算判斷A；利用向量加法的平行四邊形法則，結合平行關系探討面積判斷B；利用正弦定理、余弦定理計算判斷C；利用和差角的余弦公式、結合正弦定理計算判斷D.【詳解】對于A，由是的重心，得，又，則，由余弦定理得，于是，A正確；對于B，令，則，由平行四邊形法則得，，則，同理，B正確；對于C，由，得，整理得，由余弦定理得，整理得，則是直角三角形，C錯誤；對于D，由，得，由，得，即，，由正弦定理，得，即，解得，D正確.故選：ABD26．下列說法中正確的是（

）A．在中，，，，若，則為銳角三角形B．已知點是平面上的一個定點，并且，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則點的軌跡一定通過的內(nèi)心C．已知，，與的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍是D．在中，若，則與的面積之比為【答案】BD【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用單位向量的定義與加法的平行四邊形法則判斷與的角平分線的關系，從而判斷C；注意到與同向的情況，可否定C；利用平面向量的線性運算和三點共線的條件得到的比例，從而利用比例的性質(zhì)與三角形面積的特點判定D.【詳解】對于A，因為，即，所以，則為鈍角，故A錯誤；對于B，因為、分別表示向量、方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線重合，又，可得，又，所以向量的方向與的角平分線重合，所以點的軌跡一定通過的內(nèi)心，故B正確；對于C，因為，，所以，當時，，此時與同向，夾角不是銳角，故C錯誤；對于D，因為，所以，延長交于，如圖所示.

因為共線，所以存在實數(shù)，，因為共線，所以，所以，所以，所以，所以，所以，則，故D正確.故選：BD.27．在中，下列說法正確的是（

）A．若，則是等腰三角形B．若，，則為等邊三角形C．若點是邊上的點，且，則的面積是面積的D．若分別是邊中點，點是線段上的動點，且滿足，則的最大值為【答案】ABD【分析】由單位向量，向量垂直判斷A,由夾角公式及模長判斷B,由平面向量基本定理確定M位置判斷C,由三點共線及平面向量基本定理將表示為t的二次函數(shù)求最大值判斷D.【詳解】對A,分別表示與同向的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量，由，可得的平分線與垂直，故是等腰三角形，故A正確；對B,由題意，,則，，故，又，則，即，故為等邊三角形，故B正確；對C,若點是邊上的點，設，則，即，結合，知，則點是邊上的靠近B的三等分點，則的面積是面積的，故C錯誤；對D，如圖所示：

因為在上，即，，三點共線，設，又因為，所以，因為，則，，令，時，取得最大值為．故D正確．故選：ABD.28．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則B．若，則符合條件的有兩個C．若點為所在平面內(nèi)的動點，且，則點的軌跡經(jīng)過的垂心D．已知是內(nèi)一點，若分別表示的面積，則【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理及比例的性質(zhì)判斷A，根據(jù)正弦定理及大邊對大角判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運算得垂直判斷C，根據(jù)向量的運算得出比例關系判斷D.【詳解】由正弦定理知，所以可得，由可得，故A正確；由正弦定理可知，即，解得，又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B錯誤；因為，所以，所以點的軌跡經(jīng)過的垂心，故C正確；因為，所以，設的中點分別為，如圖，則，即，所以，故D正確.故選：ACD29．若M是內(nèi)一點，且滿足，則與的面積之比為．【答案】/【分析】設為的中點，連接，則由題意可得為的中點，從而可求得結果.【詳解】設為的中點，連接，則，因為，所以，所以為的中點，所以，所以,故答案為：30．已知在中，角所對的邊分別為，若的面積，.(1)求角的大??；(2)若，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意結合面積公式得，代入正弦定理把角化成邊變形即可.（2）由可得，結合可得，由，結合向量加法法則變形分析得，繼而可得答案.【詳解】（1），得，則，，由正弦定理將角化成邊得，移項得，兩邊同時除以得，又，.（2）因為，由（1）知，，，，，，取中點為，連接，延長至點，使，，，即，可得，則.考點04：平面向量之三角形四心問題一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．（4）垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.31．已知為三角形內(nèi)一點，且滿足和，則角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到為的垂心，，，利用、得，，解得，即可求解.【詳解】由題意可得，所以，同理可得，，故為的垂心，又，所以，即，所以，同理.由為的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，相乘得，所以（負根舍去），又，所以.故選：B32．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【分析】取線段的中點，則，依題可得，即可得答案.【詳解】取線段的中點，則.動點滿足：，，則，即，所以，又，所以三點共線，即點的軌跡是直線，一定通過的重心.故選：A.33．已知，向量，，滿足條件，．則是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】首先由條件判斷點是的重心和外心，再根據(jù)幾何性質(zhì)判斷三角形的形狀.【詳解】如圖，點是的中點，所以，因為，即，即，則點三點共線，且，所以點是的重心，又，所以點是的外心，則，即，所以，同理，則，

所以是等邊三角形.故選：C34．已知點P在所在平面內(nèi)，若，則點P是的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義可得平分，平分，結合三角形內(nèi)心定義判斷即得.【詳解】在中，由，得，即，由，同理得，顯然，即與不重合，否則，同理，則，即，，于是平分，同理平分，所以點P是的內(nèi)心.故選：D35．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點，且，則以下正確的是（

）A．點為的內(nèi)心 B．點為的外心C． D．為等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積運算律，結合向量加減計算判斷得解.【詳解】在中，由為的垂心，得，由，得，則，即，又，顯然，同理得，因此點為的外心，B正確，無判斷ACD成立的條件.故選：B36．設點O是所在平面內(nèi)任意一點，的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點O不在的邊上，則下列結論正確的是（

）A．若點O是的重心，則B．若點O是的垂心，則C．若，則點O是的外心D．若O為的外心，H為的垂心，則【答案】ACD【分析】根據(jù)重心分中線長度為，結合向量的線性運算可判斷A，根據(jù)垂心的性質(zhì)及向量的線性運算判斷B，根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積運算可得O到頂點距離相等即可判斷C，根據(jù)垂心的性質(zhì)利用數(shù)量積運算，化簡可得垂直兩個不共線向量，即可得解判斷D.【詳解】取中點，如圖，因為點O是的重心，所以，故A正確；因為點O是的垂心，所以，故，故B錯誤；因為，所以，同理可得，所以，即為外心，故C正確；如圖，因為，所以，兩式相減可得，同理可得，若，該平面向量同時垂直于，，顯然不可能，所以，即，故D正確.故選：ACD37．在中，有如下四個命題，其中正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．內(nèi)一點滿足，則是的重心C．若，則的形狀為等腰三角形D．若，則必為的垂心【答案】BD【分析】對于A，由可得角為銳角，對于B，由向量加法和共線及三角形重心概念判斷，對于C，對轉(zhuǎn)化為，再兩邊同平方即可判斷，對于D，由向量運算性質(zhì)和三角形垂心概念可判斷【詳解】對A，由可得，所以，由此僅可得為銳角，但可能為鈍角三角形，A錯；對B，設的中點為，由可得，所以，所以G是的重心,B對；對C，由可得，兩邊同平方化簡得，由此可得的形狀為直角三角形，C錯；對D，由可得，即，故，所以，所以點在邊的高上，同理可得點也在其它兩邊的高上，所以點為的垂心，D對.故選：BD.38．下列說法中，正確的是（

）A．若，則或B．在平行四邊形中，C．在中，若，則是鈍角三角形．D．內(nèi)有一點，滿足，則點是三角形的重心【答案】CD【分析】A選項，舉出反例；B選項，利用向量減法法則得到答案；C選項，根據(jù)條件得到為鈍角，C正確；D選項，作出輔助線，利用向量基本定理得到，故點是三角形的重心.【詳解】A選項，若，滿足，但不滿足或，A錯誤；B選項，在平行四邊形中，，故B錯誤；C選項，在中，若，則為鈍角，故是鈍角三角形，C正確；D選項，取的中點，連接，則，又，故，則點是三角形的重心，D正確..故選：CD39．點O是平面上一定點，A，B，C是平面上的三個頂點，，分別是邊AC，AB的對角.有以下四個命題：①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；②動點P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；④動點P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數(shù)為.【答案】2【分析】根據(jù)的外心、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點、角平分線的交點、中線的交點、高的交點，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進而判斷每個命題的正誤.【詳解】①當動點P滿足時，則點P是的重心，所以①不正確；②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點P集合中，因此②正確；③變形為，而，表示點A到邊的距離，設為，所以，而表示邊的中線向量，所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點集合中，所以③正確；④當時，的垂心與點A重合，但顯然此時垂心點P不滿足公式，所以④不正確；故答案為：2.40．中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，點P是所在平面內(nèi)的動點，滿足.射線BP與邊AC交于點D.若，則面積的最小值為.【答案】【分析】首先根據(jù)向量的幾何意義，確定是的角平分線，再根據(jù)余弦定理，以及三角形的面積公式和基本不等式，求得最小值，即可求解.【詳解】表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位向量，根據(jù)向量加法的幾何意義可知，點在的角平分線上，即是的角平分線，由，得，，所以，依題意，根據(jù)三角形的面積公式有，整理得，所以，即，當且僅當時等號成立，所以面積的最小值為.故答案為：考點05：極化恒等式解決向量數(shù)量積問題（1）平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設，則，①②①②兩式相加得：（2）極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式①平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.②三角形模式：（M為BD的中點）AABCM41．在平行四邊形ABCD中，，，，點P在CD邊上，，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意結合數(shù)量積的幾何意義可得點P與點D重合，再利用余弦定理求出，結合勾股定理逆定理可得，從而可求得答案.【詳解】由，得在上的投影向量的模，因為，，所以在上的投影為，所以如圖1，得，點P與點D重合，因為，，，所以，所以，所以，所以，故選：A.42．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，若正八邊形的邊長為2，P是正八邊形八條邊上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由投影向量的定義得到當在上時，取得最大值，進而得到答案.【詳解】由投影向量的定義可知，當在上時，取得最大值，延長交的延長線于點，的最大值為，其中正八邊形的外角為，故，故，，故，所以最大值為.故選：B43．已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，且，當時，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，根據(jù)條件得到，利用數(shù)量積的幾何意義，即可求出結果.【詳解】因為，如圖，取中點，又，所以，即，結合平面向量數(shù)量積的幾何意義，又，得到，故選：B.44．在中，已知，，若點為的外心，點滿足的點，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)幾何關系，轉(zhuǎn)化向量，再計算數(shù)量積，結合數(shù)量積的幾何意義，求數(shù)量積的值.【詳解】，,，，，.故選：D45．已知在邊長為2的菱形中，，點滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)相似比可得，即可利用數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】如圖，設與交于點，過點作的平行線交于點.因為，所以，所以，因為四邊形是邊長為2的菱形，，所以，且，所以在上的投影向量為，所以.故答案為：

46．已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，且滿足，為原點，，求的取值范圍．【答案】【分析】分析可知點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓面內(nèi)（包括邊界），注意到三點共線，結合數(shù)量積的幾何意義分析求解.【詳解】由題意可知：在復平面內(nèi)對應的點為，因為，，可知點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓面內(nèi)（包括邊界），因為，即，可知三點共線，且，設在方向上的投影向量為，則，可得，所以的取值范圍為.故答案為：.47．如圖，在梯形中，.點在陰影區(qū)域（含邊界）中運動，則的取值范圍為.【答案】【分析】求出和，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，分析在上的投影向量即可得解.【詳解】作，垂足為F，記的中點為E，由可知，梯形為等腰梯形，，所以，，則，所以，，所以，由數(shù)量積的幾何意義可知，受在上的投影影響，由圖可知，當點P在BC上時，在上的投影向量為，數(shù)量積取得最小值，當點P與點D重合時，在上的投影向量為，數(shù)量積取得最大值.所以，即.故答案為：48．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點在以的中點為圓心，為半徑的半圓上，則的最大值為．

【答案】9【分析】在上的投影向量是，由向量數(shù)量積的幾何意義，，求的最大值即可【詳解】如圖，過向作垂線，垂足為，則在上的投影向量是，

在上的投影向量可能與同向，也可能與反向，在本題中與的夾角為銳角，所以是同向的，由向量數(shù)量積的幾何意義，．由等邊三角形邊長為3，，得，即半圓的直徑為2，過點作直線的垂線，與直線的夾角為，，則圓心到直線的距離為1，所以直線與圓相切，記切點為，當點在半圓上運動到與重合時，，最大，取最大值，最大值為．故答案為：9.49．如圖，在△ABC中，，，，則．【答案】【分析】由得，再利用平面向量加法運算結合數(shù)量積運算求得結果.【詳解】由,可知，,則故答案為：．50．如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長為1，點是陰影區(qū)域內(nèi)的一個動點（包括邊界），O，A在格點上，則的取值范圍是.【答案】【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】，即的等于與在方向上的投影的乘積，，結合圖形可知，所以的取值范圍為.故答案為：.考點06：等和線解決平面向量系數(shù)和問題題型一：問題（系數(shù)為1）題型二：問題（系數(shù)不為1）題型三：問題（1）平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然。（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當?shù)群途€恰為直線時，；②當?shù)群途€在點和直線之間時，；③當直線在點和等和線之間時，；④當?shù)群途€過點時，；⑤若兩等和線關于點對稱，則定值互為相反數(shù)；51．如圖，在中，若為上一點，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用將用表示，由共線定理推論即可求得.【詳解】因為所以由,因三點共線，由共線定理推論可得，解得故選：A.52．如圖，在正方形中，,和相交于點G，且F為上一點（不包括端點），若，則的最小值為（

）A． B． C． D．15【答