《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第2節(jié)　兩直線的位置關(guān)系

第八章

第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行(2)兩條直線垂直當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線

．k1＝k2

平行

k1·k2＝－1

垂直2．兩直線相交唯一解

無解

無數(shù)個解

3．距離公式4．對稱問題(2a－x0，2b－y0)

1．兩直線平行的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2．兩直線垂直的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.3．點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式．

(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2. (

) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1. (

) (3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交． (

) (4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．(

)

解析

(1)兩直線l1，l2有可能重合．

(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0， 則l2的斜率不存在．×

×

√

√

D

3．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．－9

4．(2021·武漢聯(lián)考)若直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c＝ (

) A．－2B．－4C．－6D．－8B

5．(2020·淮南二模)設(shè)λ∈R，則“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的 (

) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析當λ＝－3時，兩條直線的方程分別為6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此時兩條直線平行；若兩條直線平行， 則2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)， 所以λ＝－3或λ＝1，經(jīng)檢驗，兩者均符合，綜上，“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要條件， 故選A.A

4

考點分層突破題型剖析考點聚焦2【例1】已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行； 解

法一當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；考點一兩直線的平行與垂直///////師生共研【例1】已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (2)當l1⊥l2時，求a的值． 解

法一當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，

l1與l2不垂直， 故a＝1不成立； 當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2， 故a＝0不成立； 當a≠1且a≠0時，1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．2．在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．感悟升華【訓練1】(1)經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是 (

) A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0A

BD

考點二兩直線的交點與距離問題///////師生共研D

【例2】(2)(2021·廣州模擬)已知點P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是______________．[0，10]

1.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．2．利用距離公式應(yīng)注意：(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為對應(yīng)相等．感悟升華【訓練2】(1)(多選題)(2020·濟寧調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為(

) A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0BD

【訓練2】(2)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為________________．5x＋3y－1＝0

【例3】過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________________． 解析設(shè)l1與l的交點為A(a，8－2a)， 則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4，0)在直線l上， 所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.考點三對稱問題///////多維探究角度1點關(guān)于點對稱x＋4y－4＝0

感悟升華【例4】一束光線經(jīng)過點P(2，3)射在直線l：x＋y＋1＝0上，反射后經(jīng)過點Q(1，1)，則入射光線所在直線的方程為__________________．角度2點關(guān)于線對稱5x－4y＋2＝0

感悟升華【例5】(1)(2021·成都診斷)與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程是(

) A．3x－4y＋5＝0 B．3x－4y－5＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x＋4y＋5＝0

解析設(shè)所求直線上點的坐標(x，y)， 則關(guān)于x軸的對稱點(x，－y)在已知的直線3x－4y＋5＝0上， 所以所求對稱直線方程為3x＋4y＋5＝0， 故選D.角度3線關(guān)于線對稱D

【例5】(2)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是________________________

解析設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)， 則P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為P′(x0，y0)，x－2y＋3＝0

由點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2有兩種處理方法：(1)在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用點關(guān)于直線的對稱的方法求出這兩點關(guān)于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程．(2)設(shè)點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關(guān)于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．感悟升華【訓練3】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：

(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；【訓練3】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； 解在直線m上取一點，如M(2，0)， 則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上．設(shè)對稱點為M′(a，b)，【訓練3】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：

(3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l′的方程． 解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點， 如P(1，1)，N(4，3)， 則P，N關(guān)于點A的對稱點P′，N′均在直線l′上． 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.

法二設(shè)Q(x，y)為l′上任意一點， 則Q(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為Q′(－2－x，－4－y)， ∵Q′在直線l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0.具有某些共同特點的所有直線的全體稱為直線系，直線系方程問題是高中數(shù)學中的一類重要問題，在解題中有著重要的應(yīng)用．在直線方程求解中，可以由特定條件設(shè)出直線系方程，再結(jié)合題目中其他條件求出具體直線，這個解題思路在解決許多問題時，往往能起到化繁為簡，化難為易的作用．活用直線系方程一、相交直線系方程【例1】已知兩條直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點為P，求過點P且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程． 解法一解l1與l2組成的方程組得到交點P(0，2)，法三設(shè)所求直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因為直線l與l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直線l的方程為4x＋3y－6＝0.二、平行直線系方程【例2】已知直線l1與直線l2：x－3y＋6＝0平行，l1與x軸、y軸圍成面積為8的三角形，請求出直線l1的方程．【例3】已知直線方程3x－4y＋7＝0，求與之平行且在x軸、y軸上的截距和是1的直線l的方程．三、垂直直線系方程【例4】求經(jīng)過A(2，1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程． 解因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直， 所以設(shè)直線方程為x－2y＋c＝0，又直線過點A(2，1)， 所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0， 即所求直線方程為x－2y＝0.思維升華課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3C

2．已知直線l過點(0，7)，且與直線y＝－4x＋2平行，則直線l的方程為(

) A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7 C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7

解析過點(0，7)且與直線y＝－4x＋2平行的直線方程為y－7＝－4x， 即直線l的方程為y＝－4x＋7， 故選D.D

B

A

5．(2020·豫西五校聯(lián)考)過點P(1，2)作直線l，若點A(2，3)，B(4，－5)到它的距離相等，則直線l的方程為 (

) A．4x＋y－6＝0或x＝1 B．3x＋2y－7＝0 C．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 D．3x＋2y－7＝0或x＝1C

6．(多選題)(2021·泰安調(diào)研)已知直線l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，則下列說法正確的是 (

) A．當a＝－1時，直線l與直線x＋y＝0垂直

B．若直線l與直線x－y＝0平行，則a＝0 C．直線l過定點(0，1) D．當a＝0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等 解析

對于A項，當a＝－1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，顯然與x＋y＝0垂直， 所以正確；AC

對于B項，若直線l與直線x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正確；對于C項，當x＝0時，有y＝1，所以直線過定點(0，1)，所以正確；對于D項，當a＝0時，直線l的方程為x－y＋1＝0，在兩軸上的截距分別是－1，1，所以不正確．D

解析由題意，直線y＝－3x＋b與直線y＝ax＋2關(guān)于直線y＝－x對稱，所以直線y＝ax＋2上的點(0，2)關(guān)于直線y＝－x的對稱點(－2，0)在直線y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直線y＝－3x－6上的點(0，－6)關(guān)于直線y＝－x的對稱點(6，0)在直線y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，CD

二、填空題9．(2020·南昌重點中學聯(lián)考)已知直線l1：y＝2x，則過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心且與直線l1垂直的直線l2的方程為________________．x＋2y－3＝0

10．直線x－2y－3＝0關(guān)于定點M(－2，1)對稱的直線方程是_______________． 解析設(shè)所求直線上任一點(x，y)， 則關(guān)于M(－2，1)的對稱點(－4－x，2－y)在已知直線上， ∴所求直線方程為(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.x－2y＋11＝0

11．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則PQ的最小值為________．12．以點A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)為頂點的四邊形ABCD的面積為________．25

C

解析

A關(guān)于直線x＝0的對稱點是A′(－3，－1)，關(guān)于直線y＝x的對稱點是A″(－1，3)，由角平分線的性質(zhì)可知，點A′，A″均在直線BC上，所以直線BC的方程為y＝2x＋5.故選C.ABD

解析

對于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1與l2都互相垂直恒成立，故A正確；對于B，直線l1：ax－y＋1＝0，當a變化時，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒過定點A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，當a變化時，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒過定點B(－1，0)，故B正確；