《數(shù)學》復習人教A（新高考）-立體幾何熱點問題

教材·高考·審題答題立體幾何熱點問題內(nèi)容索引三年真題考情教材鏈接高考教你如何審題///////123//////////////滿分答題示范熱點跟蹤訓練///////45///////三年真題考情1核心熱點真題印證核心素養(yǎng)線、面位置關系與空間角2020·全國Ⅲ卷，19；2020·全國Ⅰ卷，18；2020·新高考Ⅰ，20；2019·全國Ⅰ卷，18；2019·全國Ⅱ卷，17；2018·全國Ⅲ卷，19直觀想象，數(shù)學運算，邏輯推理立體幾何中的折疊問題2020·天津卷，17；2019·全國Ⅲ卷，19；2018·全國Ⅰ卷，18直觀想象，數(shù)學運算，邏輯推理立體幾何中的開放問題2020·江蘇卷，22；2019·北京卷，16；2019·天津卷，17；2018·全國Ⅱ卷，20直觀想象，數(shù)學運算，邏輯推理教材鏈接高考2線面位置關系與空間角

(老教材選修2－1P109例4)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F. (1)求證：PA∥平面EDB；

[試題評析]

1.本例包括了空間向量在立體幾何中最主要的兩個應用：(1)證明或判定空間中的線面位置關系，(2)求空間角.(2)求證：PB⊥平面EFD；[試題評析]

2.教材給出的解法雖然都用到了向量，但第(1)(2)題仍然沒有脫離線面平行、線面垂直的判定定理，第(3)題是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解.(3)求二面角C－PB－D的大小.[試題評析]

3.除了教材給出的解法外，我們還可以利用相關平面的法向量解答本題，其優(yōu)點是可以使幾何問題代數(shù)化.【教材拓展】(2021·福州質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3. (1)求異面直線PB與CD所成角的大小； 解由題意可知AB，AD，AP兩兩垂直， 以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立如圖所示的空間直角坐標系， 則P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，3，0)，【教材拓展】(2)求點D到平面PBC的距離.【鏈接高考】(2020·天津卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M為棱A1B1的中點. (1)求證：C1M⊥B1D；【鏈接高考】(2)求二面角B－B1E－D的正弦值；【鏈接高考】(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.教你如何審題3立體幾何中的折疊問題【例題】(2019·全國Ⅲ卷)圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②. (1)證明：圖②中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

[自主解答] (1)證明

由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 所以AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面.(2)求圖②中的二面角B－CG－A的大小.1.折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關系，尤其是隱含的垂直關系.一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.探究提高【嘗試訓練】(2)求直線BC1與平面AC1D所成角的正弦值.滿分答題示范4【例題】(2)求二面角F－AE－P的余弦值；【規(guī)范訓練】(2)在(1)的條件下，求直線AB與平面BDF所成角的正弦值.5熱點跟蹤訓練1.(2020·全國Ⅲ卷)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1. (1)證明：點C1在平面AEF內(nèi)；1.(2020·全國Ⅲ卷)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1. (2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A－EF－A1的正弦值.2.(2021·成都診斷)在如圖所示的多面體中，四邊形ABEG是矩形，梯形DGEF為直角梯形，平面DGEF⊥平面ABEG，且DG⊥GE，DF∥GE，AB＝2AG＝2DG＝2DF＝2. (1)求證：FG⊥平面BEF.2.(2021·成都診斷)在如圖所示的多面體中，四邊形ABEG是矩形，梯形DGEF為直角梯形，平面DGEF⊥平面ABEG，且DG⊥GE，DF∥GE，AB＝2AG＝2DG＝2DF＝2. (2)求二面角A－BF－E的大小.3.(2020·全國Ⅱ卷)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；3.(2020·全國Ⅱ卷)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

(1)證明

因為側(cè)面BB1C1C是矩形且M，N分別為BC，B1C1的中點， 所以MN∥CC1.

又由已知得AA1∥CC1， 故AA1∥MN.

因為△A1B1C1是正三角形， 所以B1C1⊥A1N.

又側(cè)面BB1C1C是矩形， 所以B1C1⊥MN.3.(2020·全國Ⅱ卷)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (2)設O為△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

作NQ⊥AM，垂足為Q，則NQ⊥平面ABC.設Q(a，0，0)，則4.(2021·江南十校聯(lián)考)已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一點E滿足2AE＝ED.現(xiàn)將△CDE沿CE折起使點D移動至P點處，使得PA＝PB. (1)求證：平面PCE⊥平面ABCE；

(1)證明依題意得PE＝PC＝2， 分別取線段AB，CE的中點O，M， 連接△POM的三邊(如圖)， 則PM⊥EC，由PA＝PB， 得PO⊥AB.①

又OM為梯形ABCE的中位線， ∴OM∥BC， 由BC⊥AB，得OM⊥AB，②又PO∩OM＝O，從而AB⊥平面POM，則AB⊥PM.在平面ABCE中，AB與CE相交.∴PM⊥平面ABCE，故平面PCE⊥平面ABCE.4.(2021·江南十校聯(lián)考)已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一點E滿足2AE＝ED.現(xiàn)將△CDE沿CE折起使點D移動至P點處，使得PA＝PB. (2)求二面角B－PA－E的余弦值. (2)解過點O作PM的平行線為z軸，分別以OA，OM為x，y軸建立空間直角坐標系，5.(2021·長沙模擬)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E為CD的中點. (1)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在， 求AP的長；若不存在，說明理由；ss5.(2021·長沙模擬)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E為CD的中點. (2)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長.

解(2)連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝2得AD1⊥A1D. ∵CD