《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第3節(jié)　直線、平面平行的判定與性質

第七章

第3節(jié)直線、平面平行的判定與性質知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外

平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α平面內的一條直線一條直線與此文字語言圖形表示符號表示性質定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b交線(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質定理2.平面與平面平行文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內的兩條與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β相交直線性質定理兩個平面平行，則其中一個平面內的直線

于另一個平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的

平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行交線1.平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關系的轉化1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(

) (2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(

) (3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

) (4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(

)

解析

(1)若一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內，故(1)錯誤. (2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤. (3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.×××√2.下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是 (

) A.直線a上有無數(shù)個點不在平面α內

B.直線a與平面α內的所有直線平行

C.直線a與平面α內無數(shù)條直線不相交

D.直線a與平面α內的任意一條直線都不相交 解析

因為a∥平面α，所以直線a與平面α無交點， 因此a和平面α內的任意一條直線都不相交，故選D.D3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_________________.

解析

∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形.平行四邊形

4.(2021·鄭州調研)平面α∥平面β的一個充分條件是 (

) A.存在一條直線a，a∥α，a∥β B.存在一條直線a，a?α，a∥β C.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

解析

若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A； 若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B； 若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C； 故選D.D5.已知α，β表示兩個不同的平面，直線m是α內一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的 (

) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析

由α∥β，m?α，可得m∥β；反過來，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件.A6.(多選題)(2020·青島質檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，下列四個推斷 中正確的是 (

) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1

解析

∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點， ∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1， ∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D， ∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；AC∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤.故選AC.考點分層突破題型剖析考點聚焦21.設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是 (

) A.α內有無數(shù)條直線與β平行

B.α內有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面 解析若α∥β，則α內有無數(shù)條直線與β平行，當α內無數(shù)條直線互相平行時，α與β可能相交； 若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交； 若α，β垂直于同一個平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件.

根據(jù)兩平面平行的判定定理知，若一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之也成立.

因此B中條件是α∥β的充要條件.考點一與線、面平行相關命題的判定///////自主演練B2.(多選題)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是 (

) A.若m∥α，m∥β，則α∥β B.若m∥α，n∥α，則m∥n C.若m⊥α，n⊥α，則m∥n D.若α⊥γ，α⊥β，則γ與β可能平行，也可能相交 解析對于A，若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β，所以A錯誤.

對于B，若m∥α，n∥α，則m與n可能是異面直線，相交直線或平行直線，所以B錯誤.

對于C，若m⊥α，n⊥α，由線面垂直的性質定理知m∥n，C正確.

對于D，若α⊥γ，α⊥β，則γ與β可能相交或平行，D正確.CD3.(多選題)(2021·濰坊調研)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結論正確的是

(

) A.AD1∥BC1 B.平面AB1D1∥平面BDC1 C.AD1∥DC1 D.AD1∥平面BDC1

解析

如圖，因為AB綉C1D1， 所以四邊形AD1C1B為平行四邊形.

故AD1∥BC1，從而A正確； 易證BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，

BD∩DC1＝D，ABD故平面AB1D1∥平面BDC1，從而B正確；由圖易知AD1與DC1異面，故C錯誤；因為AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故D正確.1.判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.2.(1)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確.感悟升華角度1直線與平面平行的判定【例1】(2019·全國Ⅰ卷)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面 是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，

BB1，A1D的中點. (1)證明：MN∥平面C1DE； 證明

如圖，連接B1C，ME.

因為M，E分別為BB1，BC的中點， 由題設知A1B1綉DC，考點二直線與平面平行的判定與性質///////多維探究可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.【例1】(2019·全國Ⅰ卷)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面 是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，

BB1，A1D的中點. (2)求點C到平面C1DE的距離.

解過點C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE， 故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE， 故CH的長即為點C到平面C1DE的距離.

由已知可得CE＝1，C1C＝4，1.利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關鍵是在平面內找到一條與已知直線平行的直線.2.利用面面平行的性質證明線面平行時，關鍵是構造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形.感悟升華【訓練1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面

ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G

和AP作平面交平面BDM于GH.求證：GH∥平面PAD.

證明如圖，連接AC交BD于點O，連接MO， 因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以O是AC的中點.又M是PC的中點， 所以AP∥OM.

根據(jù)直線和平面平行的判定定理， 則有PA∥平面BMD.

因為平面PAHG∩平面BMD＝GH， 根據(jù)直線和平面平行的性質定理，所以PA∥GH.

因為GH?平面PAD，PA?平面PAD， 所以GH∥平面PAD.證明因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.因為P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可設平面PBC∩平面PAD＝PM，又因為BC?平面PBC，所以BC∥PM，因為EF∥平面PAD，EF?平面PBC，所以EF∥PM，從而得EF∥BC.因為E為PB的中點，所以F為PC的中點.設點C到平面PBD的距離為d，在應用線面平行的性質定理進行平行轉化時，一定注意定理成立的條件，通常應嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行.感悟升華【訓練2】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF

是矩形，M是線段EF的中點. (1)求證：AM∥平面BDE； 證明如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.

因為O，M分別為AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形， 所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.

又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE， 所以AM∥平面BDE.【訓練2】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF

是矩形，M是線段EF的中點. (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m， 試分析l與m的位置關系，并證明你的結論.

解

l∥m，證明如下： 由(1)知AM∥平面BDE， 又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM， 同理，AM∥平面BDE， 又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM，所以l∥m.【例3】(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：

(1)B，C，H，G四點共面； 證明

∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點， ∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.考點三面面平行的判定與性質///////典例遷移【例3】(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

證明

∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.

又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB， ∴A1G綉EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.【遷移1】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.

證明

如圖所示，連接A1C交AC1于點M， ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴M是A1C的中點，連接MD， ∵D為BC的中點， ∴A1B∥DM. ∵A1B?平面A1BD1，

DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質及D，D1分別為BC，B1C1的中點知，D1C1綉B(tài)D，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.解

連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應用(1)兩平面平行，分別構造與之相交的第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內的兩條直線是相交直線.感悟升華【訓練3】(2020·成都聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中， 平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，

AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點. (1)證明：平面BMN∥平面PCD； 證明連接BD，如圖所示. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD為正三角形. ∵M為AD的中點，∴BM⊥AD. ∵AD⊥CD，CD，BM?平面ABCD，∴BM∥CD.

又BM?平面PCD，CD?平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分別為AD，PA的中點，∴MN∥PD.又MN?平面PCD，PD?平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.【訓練3】(2020·成都聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中， 平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，

AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點. (2)若AD＝6，求三棱錐P－BMN的體積.

解在(1)中已證BM⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，BM?平面ABCD， ∴BM⊥平面PAD.∵PA＝PD，PA⊥PD，AD＝6，∵M，N分別為AD，PA的中點，課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3一、選擇題1.下列命題中正確的是 (

) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面

B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α

解析

A中，a可以在過b的平面內；B中，a與α內的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確.D2.如果AB，BC，CD是不在同一平面內的三條線段，則經(jīng)過它們中點的平面和直線AC的位置關系是 (

) A.平行 B.相交

C.AC在此平面內 D.平行或相交 解析把這三條線段放在正方體內可得如圖，顯然AC∥EF，AC?平面EFG，∵EF?平面EFG，故AC∥平面EFG，故選A.A3.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有

(

) A.0條

B.1條

C.2條

D.1條或2條 解析如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH. ∵EF?平面BCD，GH?平面BCD， ∴EF∥平面BCD.

又∵EF?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD， ∴EF∥CD.

又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH. ∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH， 所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條.C4.(多選題)(2021·山東名校聯(lián)考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BB1，DD1，A1B1的中點，則下列說法正確的是 (

) A.B1D∥平面A1FC1 B.CE∥平面A1FC1 C.GE∥平面A1FC1 D.AE∥平面A1FC1

解析

作出圖形如圖所示，觀察可知，B1D∥FO，CE∥A1F，AE∥C1F，又FO?平面A1FC1，A1F?平面A1FC1，C1F?平面A1FC1， 所以選項A，B，D正確； 因為GE∥A1B， 所以GE與平面A1FC1相交，所以選項C錯誤.ABD5.(多選題)(2021·武漢質檢)已知m，n，l為三條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列說法正確的是 (

) A.若m∥α，α∥β，則m∥β B.若α∥γ，β∥γ，則α∥β C.若m⊥α，n⊥β，α∥β，則m∥n D.若m∥l，n∥l，則m∥n

解析

對于A，若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，故A錯誤； 對于B，若α∥γ，β∥γ，則α∥β，故B正確； 對于C，若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故C正確； 對于D，若m∥l，n∥l，則m∥n，故D正確.BCD解析如圖所示，延長AE交CD于H，連接FH，則△DEH∽△BEA，因為平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，B所以FH∥D1G.又四邊形CDD1C1是平行四邊形，所以△DFH∽△C1GD1，所以FD1＝C1G，DF＝CG，解析

根據(jù)題意，因為EF∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中點，所以F是CD的中點.8.設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題. ①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.

可以填入的條件有________________(填序號).

解析由面面平行的性質定理可知，①正確； 當m∥γ，n∥β時，n和m可能平行或異面，②錯誤； 當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點， 所以m∥n，③正確.①或③9.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H

分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點

M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件

_________________________________________________時， 就有MN∥平面B1BDD1(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可， 不必考慮全部可能情況).

解析

連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N， 則FH∥DD1，HN∥BD， 且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D， ∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH， 則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.點M在線段FH上(或點M與點H重合)

三、解答題10.(2020·綿陽診斷)如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面

ABCD，點E、F分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝2. (1)證明：EF∥平面PCD； 證明取PC的中點G，連接DG，F(xiàn)G. ∴DE∥FG且DE＝FG， ∴四邊形DEFG為平行四邊形， ∴EF∥DG， 又∵EF?平面PCD，DG?平面PCD， ∴EF∥平面PCD.10.(2020·綿陽診斷)如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面

ABCD，點E、F分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝2. (2)求三棱錐F－PCD的體積.

解∵EF∥平面PCD， ∴F到平面PCD的距離等于E到平面PCD的距離， ∴VF－PCD＝VE－PCD ∵PA⊥平面ABCD，11.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，

M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：

(1)BE∥平面DMF； 證明如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O， 因為四邊形ADEF為平行四邊形， 所以O為AE的中點.

連接MO，則MO為△ABE的中位線， 所以BE∥MO， 又BE?平面DMF，MO?平面DMF， 所以BE∥平面DMF.11.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，

M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：

(2)平面BDE∥平面MNG.

證明因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點， 所以DE∥GN， 又DE?平面MNG，GN?平面MNG， 所以DE∥