高中數(shù)學(xué) 8.3解三角形的應(yīng)用舉例(一)活頁訓(xùn)練 湘教版必修4

8.3解三角形的應(yīng)用舉例(一)雙基達(dá)標(biāo)(限時(shí)20分鐘)1．有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改成10°，則斜坡長為 ()．A．1 B．2sin10°C．2cos10° D．cos20°解析原來的斜坡、覆蓋的地平線及新的斜坡構(gòu)成等腰三角形，這個(gè)等腰三角形的底邊長就是所求．答案C2．如圖，為了測量障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù) ()．A．α、a、b B．α、β、γC．a(chǎn)、b、γ D．β、a、b解析因a、b、γ可使用測量工具測得，而且可直接由余弦定理得到AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).答案C3．在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，則下列式中一定成立的是()．A．a(chǎn)＝eq\f(bsinA,cosB) B．c＝acosB＋bcosAC．b＝eq\f(csinA,cosC) D．a(chǎn)＝c·cotB答案B4．如圖，A、B兩點(diǎn)間的距離為________．解析AB2＝32＋32－2×3×3cos45°＝32×(2－eq\r(2))，∴AB＝3eq\r(2－\r(2)).答案3eq\r(2－\r(2))5．在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°解析如圖，易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·60°＝200eq\r(3)m．故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.答案200(eq\r(3)＋1)m6．如圖所示，為了測量河對(duì)岸兩個(gè)建筑物C，D兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊選取點(diǎn)A，B ，測得∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝45°，又已知AB＝eq\r(3)km，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，試求C，D兩點(diǎn)之間的距離．解由已知得∠BAD＝120°，∠ADB＝30°，∠ABC＝75°，∴∠ADB＝∠ABD.在△ABD中，AD＝AB＝eq\r(3).在△ABC中，AC＝sin∠ABC·eq\f(AB,sin∠ACB)＝sin75°·eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠CAD＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)·cos75°＝5.∴CD＝eq\r(5).所以C，D兩點(diǎn)之間的距離為eq\r(5)km.綜合提高限時(shí)25分鐘7．如圖，已知A，B，C三地，其中A，C兩地被一個(gè)湖隔開，測得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，則A、C兩地的距離為 ()．A．3eq\r(2)km B．3eq\r(3)km C．6km D．3eq\r(6)km解析根據(jù)題意，由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，代入數(shù)值得eq\f(3,sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝3eq\r(2).故選A.答案A8．兩座燈塔A和B與海岸觀測站C的距離相等，燈塔A在觀測站北偏東40°，燈塔B在觀測站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的 ()．A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B9．如圖，A、N兩點(diǎn)之間的距離為________．解析因?yàn)椤螹NA＝180°－120°－30°＝30°，所以MN＝MA＝40.AN2＝2×402－2×402×cos120°＝3×402，所以AN＝40eq\r(3).答案40eq\r(3)10．一船在海面A處望見兩燈塔P、Q在北偏西15°的一條直線上，該船沿東北方向航行4海里到達(dá)B處，望見燈塔P在正西方向，燈塔Q在西北方向，則兩燈塔的距離為________海里．解析如圖，在△ABP中，AB＝4，∠BAP＝60°，∠ABP＝45°，∴∠APB＝75°.由正弦定理得PA＝eq\f(AB·sin∠PBA,sin∠APB)＝eq\f(4sin45°,sin75°)＝4(eq\r(3)－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8，于是PQ＝AQ－AP＝8－4(eq\r(3)－1)＝12－4eq\r(3)，∴兩燈塔間距離為(12－4eq\r(3))海里.答案(12－4eq\r(3))11．如圖所示，一艘海輪以30海里/時(shí)的速度航行，在A處測得海面上的油井P在南偏東60°方向，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30°方向．若海輪沿北偏東60°方向航行80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P，C兩點(diǎn)之間的距離．解在△ABP中，∠ABP＝30°，∠BAP＝120°，AB＝eq\f(40,60)×30＝20，由正弦定理，得BP＝eq\f(ABsin∠BAP,sin∠APB)＝eq\f(20,\f(1,2))×eq\f(\r(3),2)＝20eq\r(3).∵C點(diǎn)在B北偏東60°方向，∠ABP＝30°，∴∠CBP＝90°，且BC＝eq\f(80,60)×30＝40，∴在Rt△PBC中，PC＝eq\r(BP2＋BC2)＝eq\r(3×202＋402)＝20eq\r(7).所以P，C兩點(diǎn)之間的距離為20eq\r12．(創(chuàng)新拓展)為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)．飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟．解方案1：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1：B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)．②第一步：計(jì)算AM，由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sin（α1＋α2）)；第二步：計(jì)算AN，由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sin（β2－β1）)；第三步：計(jì)算MN，由余弦定理MN＝eq\r(AM2＋AN2－2AM·ANcos（α1－β1）).方案2：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2；A、B