高中數(shù)學(xué)《組合與組合數(shù)》教案與分層同步練習(xí)

《6.2.2組合與組合數(shù)》教案

（第一課時組合）

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1通.過實例理解組合的概念.通過學(xué)習(xí)組合的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象

2.會解決簡單的組合問題.及邏輯推理素養(yǎng).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

在某次團(tuán)代會上，某班級需要從5名候選人中選擇3人擔(dān)任代表，問共有多少

種選擇方案？這樣的問題就是本節(jié)課要重點研究的問題.

問題如何解決上述情境中的問題？

提示從5名候選人中選取3人擔(dān)任代表，共有10種不同的選擇方法.

A知識梳理

1.組合的概念

一般地，從n個不同元素中取出個元素作為一組,叫做從〃個不同元

素中取出7個元素的一個組合.

2.排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別

從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從〃個不同的元素中取出m5Wn）個

元素，這個是共同點，但排列與元素的順序有關(guān),而組合與元素的順序無關(guān),

只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的，而兩個組合只要元素相

同，不論元素的順序如何，都是相同的.

拓展深化

［微判斷］

1.從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的組合有6個.（X）

提示從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的組合有{a,b},{a,c},

{b,c}3個.

2.從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得6個積.(J)

3.1,2,3與3,2,1是同一個組合.(J)

［微訓(xùn)練］

1.下列問題屬于組合問題的是.

①由1,2,3,4構(gòu)成的雙元素集合；②由1,2,3構(gòu)成的兩位數(shù)的方法；③由

1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法.

答案①

2.甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的火車，相互之間距離均不相等，則車票票價的

種數(shù)是—(假設(shè)票價只與距離有關(guān)).

答案3

［微思考］

兩個相同的排列有什么特點？兩個相同的組合呢？

提示兩個相同的排列需元素相同且元素排列順序相同.兩個相同的組合只要

元素相同，不看元素順序如何.

【課堂互動】

題型一組合概念的理解

【例1】(多空題)給出下列問題：

(l)a,b,c,d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？

(2)a,b,c,d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？

⑶從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù)，有多

少種不同的選法？

(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？

在上述問題中，—是組合問題，是排列問題.

解析(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問

題.

(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題.

(3)3人分別擔(dān)任三個不同職務(wù)，有順序，是排列問題.

(4)3人參加某項相同活動，沒有順序，是組合問題.

答案⑴(4)(2)(3)

規(guī)律方法區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有

無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換

這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明

有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.

【訓(xùn)練1]判斷下列問題是排列問題還是組合問題.

(1)集合｛0,1,2,3,4｝的含三個元素的子集的個數(shù)是多少？

(2)某小組有9位同學(xué)，從中選出正、副班長各一個，有多少種不同的選法？若

從中選出2名代表參加一個會議，有多少種不同的選法？

解(1)由于集合中的元素是不講次序的，一個含三個元素的集合就是一個從

0,1,2,3,4中取出3個數(shù)組成的集合.這是一個組合問題.

(2)選正、副班長時要考慮次序，所以是排列問題；選代表參加會議是不用考慮

次序的，所以是組合問題.

題型二簡單的組合問題

【例2】(多空題)有5名教師，其中3名男教師，2名女教師.

(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有種不同的選法；

(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有種不同的選法；

(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有種不同的選法.

解析(1)從5名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，通過列舉法可得共有

10種不同的方法.

⑵可把問題分兩類情況：

第1類，選出的2名是男教師，有3種方法；

第2類，選出的2名是女教師，有1種方法.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3+1=4(種)不同選法.

(3)從3名男教師中選2名的選法有3種，從2名女教師中選2名的選法有1

種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法3X1=3(種).

答案⑴10(2)4(3)3

規(guī)律方法(1)解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問

題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問

題與取出元素的順序無關(guān).

(2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用.

在分類和分步時，一定注意有無重復(fù)或遺漏.

【訓(xùn)練2】一個口袋內(nèi)裝有大小相同的4個白球和1個黑球.

(1)從口袋內(nèi)取出的3個小球，共有多少種取法？

(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？

解(1)從口袋內(nèi)的5個球中取出3個球，取法種數(shù)是10.

⑵從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是需要從4個白球中取出2個，取法

種數(shù)是6.

(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從4個白球中取出3個球，取法

種數(shù)是4.

題型三雙重元素的組合問題

【例3】某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益活動，若男生甲

和女生乙不能同時參加，則不同的選派方案共有()

A.25種B.35種

C.820種D.840種

解析分3類完成：男生甲參加，女生乙不參加，只需在其余5人中選3人，

有10種選法；男生甲不參加，女生乙參加，只需在其余5人中選3人，有10

種選法；兩人都不參加，只需在其余5人中選4人，有5種選法.所以共有10

+10+5=25(種)不同的選派方案.

答案A

規(guī)律方法本題用到兩個計數(shù)原理解題，兩個原理的區(qū)別在于：前者每次得到

的是最后結(jié)果，后者每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部

分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個步驟全部做完后，整件事情才算完成.

【訓(xùn)練3】某校開設(shè)/類選修課3門，6類選修課5門，一位同學(xué)要從中選3

門.若要求兩類課程中各至少選1門，則不同的選法共有()

A.15種B.30種C.45種D.90種

解析分兩類，/類選修課選1門，8選修課選2門，或者［類選修課選2門，

6類選修課選1門，因此，共有3X10+3X5=45（種）選法.

答案C

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng).

2.排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別

（1）聯(lián)系：二者都是從〃個不同的元素中取加（勿個元素.

⑵區(qū)別：排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.（多選題）給出下列問題：

①從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加2個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少

種不同的選法？

②有4張電影票，要在7人中選出4人去觀看，有多少種不同的選法？

③某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多

少種？

其中是組合問題的是（）

A.①B.②

C.③D.沒有

解析①與順序有關(guān)，是排列問題，②③均與順序無關(guān)，是組合問題，故選

BC.

答案BC

2.在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各數(shù)位之和

為偶數(shù)的共有（）

A.36個B.24個

C.18個D.6個

解析若各位數(shù)字之和為偶數(shù)，則只能兩奇一偶，故在三個奇數(shù)中選二個共有

3種選法，在兩個偶數(shù)中選一個有2種選法，然后對三個數(shù)字全排列，共有

3X2XA；=36（個）.

答案A

3.某班級要從4名男生、2名女生中派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少

有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（）

A.14B.24

C.28D.48

解析可分類完成.第1類，選派1名女生、3名男生，有2X4=8（種）選派方

案；

第2類，選派2名女生、2名男生，有1X6=6（種）選派方案.

故共有8+6=14（種）不同的選派方案.

答案A

4.有4名男醫(yī)生、3名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成1個醫(yī)

療小組，則不同的選法共有種.

解析從4名男醫(yī)生中選2人，有6種選法.從3名女醫(yī)生中選1人，有3種

選法.由分步乘法計數(shù)原理知，所求選法種數(shù)為6X3=18.

答案18

5.（多空題）五個點中任何三點都不共線，則這五個點可以連成條線

段；如果是有向線段，共有條.

解析從五個點中任取兩個點恰好連成一條線段，這兩個點沒有順序，所以是

組合問題，連成的線段共有10（條）.再考慮有向線段的問題，這時兩個點的先

后排列次序不同則對應(yīng)不同的有向線段，所以是排列問題，排列數(shù)是度=20.所

以有向線段共有20條.

答案1020

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.以下四個問題，屬于組合問題的是（）

A.從3個不同的小球中，取出2個排成一列

B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌

C.在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星

D.從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地

解析只有從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星與順序無關(guān)，是組合問題.

答案C

2.從5人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，則不同的選法有（）

A.60種B.36種

C.10種D.6種

解析甲必須參加，因此只要從除甲之外的4人中選2人即可，有6（種）不同

的選法.

答案D

3.從4名女生和2名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，若按性別比例

分層隨機(jī)抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為（）

A.24B.12

C.56D.28

解析由分層隨機(jī)抽樣知，應(yīng)從4名女生中抽取2名，從2名男生中抽取1

名，所以按照分步乘法計數(shù)原理知，抽取2名女生和1名男生的方法數(shù)為6X2

=12.

答案B

4.有5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)

療小組，則不同的選法共有（）

A.40種B.50種

C.60種D.150種

解析由題意知，選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有10X4=40（種）.

答案A

5.用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為

（）

A.720B.780

C.760D.790

解析所有四位數(shù)的個數(shù)為5X6X6X6=1080（個），沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)

有56=300（個），所以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為1080—300=780.

答案B

二、填空題

6.從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎、2名二等獎、3名三等獎，則可

能的決賽結(jié)果共有種.

解析根據(jù)題意，一等獎有6種選法，二等獎由剩余的5名選手中選2人，共

有10種選法，其余的為三等獎，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理所有可能的決賽結(jié)果有

6X10=60（種）.

答案60

7.從4臺甲型電視機(jī)和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少有甲型和乙

型電視機(jī)各1臺，則不同的取法有種.

解析根據(jù)結(jié)果分類：第一類，兩臺甲型機(jī)，有6X5=30（種）；第二類，兩臺

乙型機(jī)，有4X10=40（種）.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有30+40=70（種）不

同的取法.

答案70

8.盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6的六個球，從中任意取出兩個，則這

兩個球的編號之積為偶數(shù)的取法有種.

解析從編號為1，2,3,4,5,6的六個球中任意取出兩個球的方法有

15（種）.

當(dāng)兩個球編號均為奇數(shù)時，得到的編號之積才為奇數(shù)，故取出的兩個球的編號

之積為奇數(shù)的方法有3（種），

所以取出的兩個球的編號之積為偶數(shù)的方法有15—3=12（種）.

答案12

三、解答題

9.袋中裝有大小相同標(biāo)號不同的白球4個，黑球5個，從中任取3個球.

⑴取出的3球中有2個白球，1個黑球的結(jié)果有幾個？

⑵取出的3球中至少有2個白球的結(jié)果有幾個？

解（1）從4個白球中取2個，有6種方法，從5個黑球中取1個，有5種方

法，故取出的3球中有2個白球、1個黑球的結(jié)果有6X5=30（種）.

（2）取出的3球中至少有2個白球，有2白1黑及三白兩種情況，故有6X5+4

=34（種）不同的結(jié)果.

10.從5名男生和4名女生中選出3名學(xué)生參加一次會議，要求至少有1名女

生參加，有多少種選法？

解問題可以分成三類.

第一類，從5名男生中選出2名男生，從4名女生中選出1名女生，有10X4

=40（種）選法；

第二類，從5名男生中選出1名男生，從4名女生中選出2名女生，有5X6=

30（種）選法；

第三類，從4名女生中選出3名女生，有4種選法.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有40+30+4=74（種）選法.

能力提升

11.現(xiàn)有6個白球，4個黑球，任取4個，則至少有兩個黑球的取法種數(shù)是

（）

A.115B.90

C.210D.385

解析依題意根據(jù)取法可分為三類：兩個黑球兩個白球，有6X15=90（種）；

三個黑球一個白球，有4X6=24（種）；四個黑球無白球，有1種.根據(jù)分類加

法計數(shù)原理可得，至少有兩個黑球的取法種數(shù)是90+24+1=115,故選A.

答案A

12.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯

工作（其中有1名青年兩項工作都能勝任）.現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項

任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同

的選法？

解可以分三類.

第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有6*3=18（種）選

法；

第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有4*3=12（種）選

法；

第三類，兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有4*3=12（種）選法.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有18+12+12=42（種）不同的選法.

創(chuàng)新猜想

13.（多選題）下列問題是組合問題的是（）

A.把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本

B.從7本不同的書中取出5本給某個同學(xué)

C.10個人相互寫一封信，共寫了幾封信

D.10個人互相通一次電話，共通了幾次電話

解析A由于書不同，每人每次拿到的也不同，有順序之分，故它是排列問

題；B從7本不同的書中，取出5本給某個同學(xué)，在每種取法中取出的5本并

不考慮書的順序，故它是組合問題；C因為兩人互寫一封信與寫信人與收信人

的順序有關(guān)，故它是排列問題；D因為互通電話一次沒有順序之分，故它是組

合問題.

答案BD

14.（多空題）從1,2,3,6,9中任取兩個不同的數(shù)相乘，則不同的乘積結(jié)果

有種，乘積為偶數(shù)的取法有種.

解析從五個不同的數(shù)中任取兩個數(shù)共有10種不同的取法，不同的乘積結(jié)果有

1X2=2,1X3=3,1X6=2X3=6,1X9=9,2X6=12,2X9=3X6=18,

3X9=27,6X9=54,所以不同的乘積結(jié)果有8種，其中乘積為偶數(shù)的有（1,

2）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（2,9）,（3,6）,（6,9）共7種取法.

答案87

《6.2.2組合與組合數(shù)》教案

（第二課時組合數(shù)）

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

通過研究組合數(shù)公式及解決有限制條件

1.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式.

的組合問題，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運算

2.能解決有限制條件的組合問題.

素養(yǎng).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

某校開展秋季運動會招募了20名志愿者，他們的編號分別是1號，2號，…，

19號，20號.若要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)

工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個標(biāo)號較大的在另一組，那么確保5

號與14號入選并被分配到同一組的選取方法有多少種？

移

問題上述問題情景中，是一個較為復(fù)雜的組合問題，如何用組合數(shù)解決此問

題？

提示由于5號和14號一組，所以其他兩個人只能是1到4號或15到20號中

的兩個，故共有《+《=21（種）方法.

A知識梳理

1.組合數(shù)

從〃個不同元素中取出勿（加個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從〃個不

同元素中取出加個元素的組合數(shù).用符號C：表示.

2.組合數(shù)公式

組合數(shù)公式可以由排列數(shù)公式表示，注意公式的結(jié)構(gòu)

.A：n（z?-1）（77—2）…（7?—/?+1）n].

C=T7?=；=~；/x-加WbT，

nA?ml勿?。╪—m）!

mMri）.

規(guī)定C：=l.

拓展深化

［微判斷］

1.1=5X4X3=60.（X）

皿一y5X4X3

==

提示Cso9AvZ9AV110，

2.C2017=Cz017=2017.（J）

3.“從3個不同元素中取出2個元素合成一組”，叫做“從3個不同元素中取

出2個元素的組合數(shù)”.（X）

提示“從3個不同元素中取出2個元素合成一組”，叫做“從3個不同元素

中取出2個元素的組合”.

［微訓(xùn)練］

1.若比=10,則〃的值為（）

A.10B.5

C.3D.4

解析比=乙器4=1°，解得〃=55=—4舍去）.

ZA1

答案B

2.從9名學(xué)生中選出3名參加“希望英語”口語比賽，不同選法有（）

A.504種B.729種

C.84種D.27種

解析共有選法《=照好=84（種）.

oAZA1

答案c

3.計算C；0+C；；=.

解析C；o+C：：=1+1=2.

答案2

［微思考］

1.下列兩個等式成立嗎？

①C：=CL；②C〉產(chǎn)C：+C?。ㄆ渲小?，mGN,后〃）.

提示成立.它們是組合數(shù)的兩個性質(zhì)，在計算時可直接應(yīng)用.

2.組合數(shù)公式的兩種形式在應(yīng)用中如何選擇？

提示在具體選擇公式時要根據(jù)題目的特點正確選擇.公式戢=本常用于〃為

Am

n1

具體正整數(shù)的題目，一般偏向于組合數(shù)的計算.公式c：=N—————「常用

（〃一勿）!?

于n為字母的題目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的證明.

【課堂互動】

題型一組合數(shù)公式的應(yīng)用

【例1】求值：⑴3C；—2戲；

/Q\「38—nI

5,、、28X7X65X4

解(1)3或-2C；=3Xfi

oAZA1ZA1

0W38-AW3〃,

A9.5W〃W10.5.

0V3〃W21+〃,

?.ZGN*,.\/7=10,

on\zon

?「38-nI03〃z>28?「30z>2?「1_________________

??匕3〃十匕21+〃-匕30ICm-L30IV31-2乂］一31=466.

規(guī)律方法⑴組合數(shù)公式c:=〃"_1）（〃—?…（〃—勿+1）?般用于計

nI

算,而組合數(shù)公式舊加（L加「般用于含字母的式子的化簡與證明.

（2）要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)C：的隱含條件為

mWn,且m,“WN*.

【訓(xùn)練1】⑴計算:端+嚼；

（2）證明:

「98Ipi99_p2Ipl100X99

⑴解^100Iv>200-^1001<>200200

2

=4950+200=5150.

⑵證明黃會(/?—1)!

n—mm\(n—1—/z7)!

題型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題

【例2】如圖，在以為直徑的半圓周上，有異于48的六個點G,

C，…，6,線段4?上有異于48的四個點〃，2,4,D,.

AD,D,D,D,

（1）以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含G點的有多少

⑵以圖中的12個點（包括4,而中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？

解（1）法一可作出三角形C；+C；?C：+CMC；=116（個）.

法二可作三角形比一禧=116（個），

其中以G為頂點的三角形有《+煤?煜+仁=36（個）.

（2）可作出四邊形C：+可?C：+C：?《=360（個）.

規(guī)律方法（1）圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異

面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法.

⑵在處理幾何問題中的組合問題時，應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決.

【訓(xùn)練2】空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內(nèi)，其余點無三點

共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為（）

A.205B.110

C.204D.200

解析法一可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進(jìn)行分類，則

得到所有的取法個數(shù)為C：C；+C《+C畿+窩C；=205.

法二從10個點中任取4個點的方法數(shù)中去掉4個點全部取自共面的5個點的

情況，得到所有構(gòu)成四面體的個數(shù)為C；o-a=2O5.

答案A

題型三分組、分配問題

角度1不同元素的分組分配問題

【例3】6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方

法？

⑴每組2本(平均分組)；

(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；

(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組).

解(1)每組2本，均分為3組的分組種數(shù)為竽="*：*1=15.

A:i6

(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為CWC：=20X3=60.

(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為竿=3%=15.

角度2相同元素分配問題

【例4】將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列放法

的種數(shù).

(1)每個盒子都不空；

(2)恰有一個空盒子；

(3)恰有兩個空盒子.

解(1)先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空

隙各插一塊隔板，故共有《=10(種)放法.

(2)恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并

在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，^|0|000|00|,有C；種插法，然后

將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如10|000||00],有C；種插

法,故共有共?C；=40(種)放法.

(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行.

先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙插一塊隔

板，有C!種插法，如|00|0000|,然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.

①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，

如||00||0000|,有心種插法.

②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|,有C；種插法.

故共有C；?(C：+C；)=30(種)放法.

規(guī)律方法“分組”與“分配”問題的解法

⑴分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：

①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等；

②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有〃組均勻，最后必須除以足；

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.

(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后

再分配.

【訓(xùn)練3】將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的

盒子中.

(1)有多少種放法？

⑵每盒至多一球，有多少種放法？

(3)恰好有一個空盒，有多少種放法？

(4)每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種

放法？

(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？

(6)把4個不同的小球換成20個相同的小球，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的

編號數(shù)，有多少種放法？

解(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒

子，共有4X4X4X4=4'=256(種)放法.

(2)這是全排列問題，共有A；=24(種)放法.

r2rle1

(3)法一先將4個小球分為三組，有聯(lián)」種方法，再將三組小球投入四個盒

子中的三個盒子，有A；種投放方法，故共有萼.

A：=144(種)放法.

法二先取4個球中的兩個“捆”在一起，有C：種選法，把它與其他兩個球共

3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有A；種投放方法，所以共有C：A；=

144(種)放法.

（4）1個球的編號與盒子編號相同的選法有C；種，當(dāng)1個球與1個盒子的編號相

同時，用局部列舉法可知其余3個球的投入方法有2種，故共有C；?2=8（種）

放法.

（5）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，

余下兩個盒子各放一個，由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故

共有C設(shè)=12（種）放法.

（6）（隔板法）先將編號為1,2,3,4的4個盒子分別放入0,1,2,3個球，再

把剩下的14個球分成四組，即在OOOOOOOOOOOOOO這14個球中

間的13個空中放入三塊隔板，共有a=286（種）放法，如

OO|OOOOO|OOO|OOOO,即編號為1,2,3,4的盒子分別放入

2,6,5,7個球.

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2.幾何中的計算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中

的點、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關(guān)系，

將幾何問題抽象成組合問題來解決.

3.分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元

素個數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，

仍然是可區(qū)分的.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名選手參加比

賽，種子選手必須在內(nèi)，那么不同選法共有（）

A.26種B.84種

C.35種D.21種

解析共有C?C；=1Xm分=35（種）選法.

oAZz\1

答案c

2.身高各不相同的7名同學(xué)排成一排照相，要求正中間的同學(xué)最高，左右兩邊

分別順次一個比一個低，這樣的排法種數(shù)是（）

A.5040B.36

C.18D.20

解析最高的同學(xué)站中間，從余下6人中選3人在一側(cè)只有一種站法，另3人

在另一側(cè)也只有一種站法，所以排法有《=20（種）.

答案D

3.直角坐標(biāo)平面X。上，平行直線x=〃（〃=0,1,2,…，5）與平行直線y=

Mn=0,1,2,…，5）組成的圖形中，矩形共有（）

A.25個B.36個

C.100個D.225個

解析從垂直于x軸的6條直線中任取2條，從垂直于y軸的6條直線中任取

2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為森?《=15X15=225.

答案D

4.從7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動，若每天安排

3人，則不同的安排方案共有種（用數(shù)字作答）.

解析安排方案分為兩步完成：從7名志愿者中選3人安排在周六參加社區(qū)公

益活動，有C；種方法；再從剩下的4名志愿者中選3人安排在周日參加社區(qū)公

益活動，有C；種方法.故不同的安排方案共有竊C：=!|*X4=140（種）.

Oz\ZA1

答案140

5.某餐廳供應(yīng)飯菜，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不

同的品種.現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上

不同的選擇，則餐廳至少還需準(zhǔn)備不同的素菜品種種（結(jié)果用數(shù)值表

示）.

解析設(shè)餐廳還需準(zhǔn)備“種不同的素菜.

由題意，得森?e2200,

從而有020,即x（x-1）240.

又x22,xGN*,所以x的最小值為7.

答案7

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法種數(shù)

為（）

A.端?心B.C消79+C梏79

C.以一%D.C200—C3c197

解析至少2件次品包含兩類：（1）2件次品，3件正品，共種，（2）3件次

品，2件正品，共CC%種，由分類加法計數(shù)原理得抽法共有C境97+CC%.

答案B

2.計算：《+《+《=（）

A.120B.240

C.60D.480

7X8,6X7X8,8X9

解析c；+c；+C=120.

2X13X2X12X1

答案A

3.方程C3=C：「的解集為（）

A.{4}B.{14}

C.{4,6}D.{14,2}

（x=2x—4,jx=14—(2*—4),

或《0W2x—4W14,

解析由題意知4W14,

〔xW14,

解得x=4或6.

答案C

4.某中學(xué)從4名男生和3名女生中選4人參加某高校自主招生考試，若這4人

中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）

A.140種B.120種

C.35種D.34種

解析從7人中選4人，共有瑤=35（種）選法，4人全是男生的選法有C；=

1（種）.故4人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為35-1=34.

答案D

5.假如北京大學(xué)給中山市某三所重點中學(xué)7個自主招生的推薦名額，則每所中

學(xué)至少分到一個名額的方法數(shù)為（）

A.30B.21

C.10D.15

解析用“隔板法”.在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，

有《=15（種）分配方法.

答案D

二、填空題

6.計算：c：〃+cAr=.

'0W5一〃W〃，

解析???〈

10-77^/7+1,

9

/./7=5,

...CL+C篇"=C?+C；=l+6=7.

答案7

7.4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少1名，則不同的保送方

案有種.

解析把4名學(xué)生分成3組有《種方法，再把3組學(xué)生分配到3所學(xué)校有A：種

方法，故共有C氏=36（種）保送方案.

答案36

8.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺

階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

解析當(dāng)每個臺階上各站1人時有C渥種站法；當(dāng)兩個人站在同一個臺階上時

有C猛爆種站法.因此不同的站法種數(shù)為C?As+CsCjCe=210+126=336.

答案336

三、解答題

9.（1）以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四面體？

（2）以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四棱錐？

解（1）正方體8個頂點可構(gòu)成C；個四點組，其中共面的四點組有正方體的6個

表面及正方體6組相對棱分別所在的6個平面的四個頂點，故可以確定四面體

心一12=58（個）.

（2）由（1）知，正方體共面的四點組有12個，以這每一個四點組構(gòu)成的四邊形為

底面，以其余的四個點中任意一點為頂點都可以確定一個四棱錐，故可以確定

四棱錐1201=48（4-）.

10.某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當(dāng)車工又能

當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，則有多

少種選法？

解分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，此時選法有C；C：=

75（種）；

第二類，選的4名鉗工中有1名“多面手”，此時選法為的瞰；=100（種）;

第三類,選的4名鉗工中有2名“多面手”，此時選法為C式C：=10（種）.

由分類加法計數(shù)原理，得不同的選法共有75+100+10=185（種）.

能力提升

11.某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中3門課程由于上課時間相同，至多選

1門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，則共有種不同的選修方案.

解析分兩類：第一類，從6門不同時上課的課程中任選4門，有C；種選法；

第二類，在不同時上課的6門課程中選3門，再從3門同時上課的課程中選1

門，有C1XC：種選法.所以不同的選修方案共有以+同?以=75（種）.

答案75

12.從1到6這6個數(shù)字中，取2個偶數(shù)和2個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位

數(shù).試問：

（1）能組成多少個不同的四位數(shù)？

（2）四位數(shù)中，2個偶數(shù)排在一起的有幾個？

（3）2個偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個？（所得結(jié)果均用數(shù)值表示）.

解（1）易知四位數(shù)共有CgA：=216（個）.

⑵上述四位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有C黑翡;用=108（個）.

（3）由（1）（2）知兩個偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有216—108=108（個）.

創(chuàng)新猜想

13.（多選題）若C；2=Cl，則〃等于（）

A.3B.5

C.7D.15

解析由組合數(shù)的性質(zhì)得〃=2〃-3或〃+2〃一3=12,解得〃=3或〃=5,故選

AB.

答案AB

14.（多空題）將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江

大學(xué)三所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送一人.

（1）有種不同的保送方法；

（2）若甲不能被保送到北大，有種不同的保送方法.

解析（1）5名學(xué)生可分成2,2,1和3,1,1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2,

2,1時，共有。」；「°.一=90（種）方法；當(dāng)5名學(xué)生分成3,1,1時，共有

C..C；?A；=60（種）方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有90+60=150（種）

保送方法.

（2）先將五人分成三組，因為要求每組至少一人，所以可選擇的只有2,2,1或

3,1,1,所以有爺1+號=25（種）分組方法.因為甲不能被保送到北大，

所以有甲的那組只有上海交大和浙大兩個選擇，剩下的兩組無限制，一共有4

種方法，所以不同的保送方案共有25X4=100（種）.

答案（1）150（2）100

《6.2.2組合與組合數(shù)》分層同步練習(xí)

【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練】

1.某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散,沒有任何三個村莊在

一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，共需建公路的條數(shù)為（）

A.4B.8C.28D.64

畫由于“村村通”公路的修建是組合問題,故共需要建鬣=28（條）公路.

2.某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動,若選出的4人中

既有男生又有女生,則不同的選法共有（）

A.140種B.120種C.35種D.34種

函若選1男3女有屐仁=4（種）；若選2男2女有CKe18（種）；若選3男1女有

第禺=12（種）.所以共有4+18+12=34（種）不同的選法.故選D.

3.已知第+i-以=Cg,則n等于（）

A.14B.12C.13D.15

隨由題意，得第+i=*+1，故7+8=n+l,解得n=14.

ggA

4.某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務(wù)，任務(wù)是組織

游客參加“祝福祖國征集留言”“歡樂世園共繪展板”“傳遞祝福發(fā)放彩繩”

三項活動，其中1人負(fù)責(zé)“征集留言”，2人負(fù)責(zé)“共繪展板”，3人負(fù)責(zé)“發(fā)放

彩繩”，則不同的分配方案共有（）

A.30種B.60種C.120種D.180種

畫從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板”，

最后剩下的3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有最髭C/60（種）.故選

B.

答案|B

5.安排A,B,C,D,E,F共6名義工照顧甲、乙、丙三位老人,每兩位義工照顧一位

老人,考慮到義工與老人住址距離問題,義工A不安排照顧老人甲，義工B不安排

照顧老人乙,則安排方法共有（）

A.30種B.40種

C.42種D.48種

解困6名義工照顧三位老人,每兩位義工照顧一位老人共有底第=90（種）安排方

法，

其中A照顧老人甲的情況有C式＞30（種），

B照顧老人乙的情況有瑪?shù)?30（種），

A照顧老人甲，同時B照顧老人乙的情況有心瑪=12（種）.

故符合題意的安排方法有90-30-30+12=42（種）.

故選C.

fgc

6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},則集合P的子集中含有3個元素的子集數(shù)

為.

函由于集合中的元素具有無序性,因此含3個元素的子集個數(shù)與元素順序無關(guān),

是組合問題,共有髭=20（個）子集.

答案|20

7.不等式鬃-水5的解集為.

廨洞由鬣-水5,得喂上-水5,/.n2-3n-10＜0.解得-2＜水5.由題設(shè)條件知n22,且n

eN\/.n=2,3,4.故原不等式的解集為{2,3,4）.

葬{2,3,4}

8.若對任意的xeA,則工eA,就稱A是''具有伙伴關(guān)系”的集合.集合M=（-

X

1.0.1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為.

畫具有伙伴關(guān)系的元素組有-1；1多2§3,共4組.所以集合M的所有非空子

集中，具有伙伴關(guān)系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴關(guān)系的元素組中的任

一組、二組、三組、四組.又因為集合中的元素是無序的，所以所求集合的個數(shù)為

禺+第+第+第=15.

答案15

北

9.某區(qū)有7條南北向街道,5條東西向街道.(如圖)

(1)圖中有多少個矩形？

(2)從A點走向B點最短的走法有多少種？

g(l)在7條南北向街道中任選2條,5條南北向街道中任選2條,這樣4條線可

組成一個矩形,故可組成矩形有G-髭=210(個).

(2)每條東西向的街道被分成6段,每條南北向街道被分成4段，從A到B最短的

走法包括10段,其中6段方向相同，另4段方向也相同，每種走法，即是從10段

中選出6段，這6段是走東西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Cf°=

C%=210(種)走法.

【能力提升練】

1.樓道里有12盞燈,為了節(jié)約用電,需關(guān)掉3盞不相鄰的燈,則關(guān)燈方案有()

A.72種B.84種C.120種D.168種

解析|需關(guān)掉3盞不相鄰的燈，即將這3盞燈插入9盞亮著的燈形成的10個空中,

所以關(guān)燈方案共有/o=12O(種).

ggc

2.若鬣的=42,則看=()

A.60B.70C.120D.140

C沿＞42=也產(chǎn)X2X1,

解得n=7,

?n!7!7X6X5X4.4八

??--——=------=-----------=140.

3!(n-4)!31X3!3X2X1

故選D.

3.已知集合A={5},B=U,2},C={1,3,4},從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間

直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo),則確定的不同點的個數(shù)為（）

A.33B.34C.35D.36

畫D所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中不含1的有C>Ag=12（個）；

②所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有1個1的有G?Ag+Ag=18（個）;

③所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有2個1的有瑪=3（個）.

故共有符合條件