2021屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)過關(guān)學(xué)案（文理）模塊七 導(dǎo)數(shù)（原卷版）

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課程

模塊七導(dǎo)數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)打指

［高中通用版（學(xué)生版）］

目錄

第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)..........................................................................1

【知識(shí)1】函數(shù)的平均變化率...............................................................1

【知識(shí)3】導(dǎo)數(shù)的概念.....................................................................4

【思考提升1】...........................................................................6

【知識(shí)4】導(dǎo)數(shù)的幾何意義.................................................................6

【探索1】在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程......................................................7

【探索2】過某個(gè)點(diǎn)的切線方程.........................................................7

【探索3】求切點(diǎn)坐標(biāo).................................................................8

【探索4】數(shù)形結(jié)合...................................................................8

【思考提升21..................................................................................................................................9

【知識(shí)5】導(dǎo)數(shù)公式......................................................................10

【探索1】利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..................................................10

【探究2】利用導(dǎo)數(shù)公式研究切線問題..................................................11

【思考提升3】..................................................................12

【知識(shí)6】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則................................................................13

【探索1】利用法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算...................................................13

【探索2】導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用..............................................14

【思考提升4】......................................................................15

【知識(shí)7】復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則......................................................16

【探索11求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..........................................................16

［探索2］復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用........................................................18

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用..............................................................20

【知識(shí)8】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.....................................................20

【探索1】判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性問題................................................20

【探索2】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間..................................................21

【探索3】求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.....................................................21

【探索4】函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用..................................................22

【知識(shí)9】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.....................................................23

【探索1】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍............................................24

【探索2】證明不等式、等式問題.....................................................25

【知識(shí)10】函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù).............................................................27

【探索1】討論不含參函數(shù)的極值問題..................................................28

【探索2】函數(shù)極值在函數(shù)圖像的應(yīng)用..................................................29

【探索3】討論含參函數(shù)的極值問題...................................................29

【探索4】由函數(shù)的極值求參數(shù).......................................................30

【探索5】由函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)問題................................................31

【知識(shí)11】函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)......................................................32

【探索1】在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的最值問題................................................32

【探索2】在開區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的最值問題................................................33

【探索4】由函數(shù)的最值、極值求參數(shù)..................................................34

【探索5】與最值有關(guān)的恒成立問題...................................................36

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)模塊內(nèi)容復(fù)習(xí).....................................................................42

【回顧1】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.......................................................43

【回顧2】函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題..............................................43

【回顧3】導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用...................................................44

第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)

【知識(shí)1】函數(shù)的平均變化率

函數(shù)y=7W從X］到X2的平均變化率

/I,4、取於2)一穴即)

(1)定乂式：7；=--------------

AxX2-X\

(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比.

(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間⑶，?。萆献兓目炻?

(4)幾何意義：已知巴(及，於2))是函數(shù)y=/U)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率二叁D

八%X2-X1

表示割線尸］尸2的斜率.

［例如］一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=10巴其中$表示位移，，表示時(shí)間，求該質(zhì)點(diǎn)從乙=1到尬=2的平

10x4-10x1

均速度

Vj=~/—~?=30.

【例1-1］設(shè)函數(shù)丫=人》)=/一1,當(dāng)自變量X由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為.

【練習(xí)1-1】若函數(shù))，=穴用=/—X在區(qū)間［―2,〃上的平均變化率為2,則￡=.

【例1-2］求函數(shù)丫=於)=/在x=l,2,3附近的平均變化率，取Ar都為:，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？

【反思】求平均變化率的主要步躲

⑴先計(jì)算函數(shù)值的改變量Ay=穴*2)—AM).

(2)再計(jì)算自變量的改變量Ax=X2—X1.

(3)得平均變化率第="之二空2

AvX2~X\

【練習(xí)1?21(1)已知函數(shù)y=ya)=f+2x—5的圖象上的一點(diǎn)A(—1,—6)及鄰近一點(diǎn)伙一1+Av,—6+Ay),

1

(2)如圖所示是函數(shù)y=/(x)的圖象，則函數(shù)式刈在區(qū)間［—1,1］上的平均變化率為；函數(shù)Ar)在區(qū)間［0,2］

上的平均變化率為.

【練習(xí)1-3］若函數(shù)y=y(x)=—"N+x在［2,2+Ax］(A%>0)上的平均變化率不大于-1,求的取值范圍.

1-3］過曲線丫=耳)=心一彳上的兩點(diǎn)P(1,O)和。(1+Ax,△y)作曲線的割線，已知割線尸。的斜率為2,

求Ax的值.

【反思】平均變化率的幾何意義：函數(shù)y=/(x)從?到也的平均變化率的實(shí)質(zhì)是函數(shù)y=/U)圖象上兩點(diǎn)PI(XI,

於D),6(X2,於2))連線PP2的斜率，即廉%=言="丫二，.

【練習(xí)1-4】汽車行駛的路程s和時(shí)間f之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段缶，司，［A,A］,。，目上的平

均速度分別為石”32,石3,則三者的大小關(guān)系為.

【練習(xí)1-5】已知點(diǎn)A(xi，y),8(X2,以)在函數(shù)y=/(x)的圖象上，若函數(shù)人幻從乃到及的平均變化率為小,

則下面敘述正確的是()

A.曲線y=/(x)的割線AB的傾斜角為/B.曲線y=/U)的割線A8的傾斜角為1

C,曲線y=/(x)的割線AB的斜率為一5D.曲線y=/(x)的割線A8的斜率為一坐

2

【練習(xí)1-6】甲、乙兩人走過的路程si(f),S2(f)與時(shí)間r的關(guān)系如圖所示，則在［0,初這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙

兩人的平均速度。甲，的關(guān)系是()

A

B

O

A.vip>vz.B.vq><yz.C.。單=。乙D.大小關(guān)系不確定

【知識(shí)2】瞬時(shí)速度

瞬時(shí)速度

(1)物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(f),則物體在to到r0+A/這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

Ass(fo+A/)-s(fo)

?.如果Ar無限趨近于0時(shí)，?無限趨近于某個(gè)常數(shù)我們就說當(dāng)趨近于0時(shí)，石

的極限是。，這時(shí)。就是物體在時(shí)刻，=加時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度

一八Q

【例如】物體的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s⑺=5尸.則物體在［1,1+Af］這段時(shí)間內(nèi)的平均速度u=守=10

+5Ar(其中A.V=5(1+Ar)2-5=10Ar+5(Ar)2)

Ay

當(dāng)。趨近于0時(shí)，而趨近于10,這時(shí)的平均速度即為當(dāng)/'=1時(shí)的瞬時(shí)速度.

【溫馨提示】簡(jiǎn)單極限的計(jì)算，如lim(10+5AZ)=10,lim(10+5A/)=10+5=15

A7A(->1

【例2】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間《單位：S)的關(guān)系可用函數(shù)S⑺=5+1+1表示，求物體在r=l

s時(shí)的瞬時(shí)速度.

【練習(xí)2-1】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間f(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)5。)=尸+/+1表示，試求

(1)物體的初速度.

(2)在哪一時(shí)刻物體的瞬時(shí)速度為9m/s.

3

【反思】

（1）不能將物體的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時(shí)變化率是導(dǎo)致無從下手解答本類題的常見錯(cuò)誤.

（2）求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟

①求時(shí)間改變量和位移改變量As=s（m+Ar）—s（ro）;

—Av

②求平均速度V=?;

AcAc

③求瞬時(shí)速度，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，右無限趨近于的常數(shù)。即為瞬時(shí)速度，即4守.

【練習(xí)2-2】一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s（f）=/+l做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m,時(shí)間單位：s）,若質(zhì)點(diǎn)M在f=2

s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s,求常數(shù)a的值.

【知識(shí)3】導(dǎo)數(shù)的概念

1.在某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

函數(shù)產(chǎn)危）在x=xo處的瞬時(shí)變化率屈為AX=2}!5）'然我們稱它為函數(shù)>=於）在X=xo

處的導(dǎo)數(shù)，記作，（xo）或y'L，即/（冽尸㈣"=如"°+/螞

2.導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱“導(dǎo)數(shù)”）

對(duì)于函數(shù)>=於），當(dāng)*=必時(shí)，/（沏）是一個(gè)確定的數(shù)，則當(dāng)X變化時(shí)，/⑴便是一個(gè)關(guān)于X的函數(shù)，我們稱

它為函數(shù)y=7&）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)），

而、，r危+.）一段）

即/a）=y=M%一瓦—?

［例如］已知函數(shù)凡￥）=*,則X=i處的導(dǎo)數(shù)［（1）=44-■,----=2是一個(gè)值;

導(dǎo)函數(shù)，a）=jja""+黑””=2%,了⑴是一個(gè)函數(shù).令尤=1,可求得了（1）.

［特別提醒］

區(qū)別聯(lián)系

/（X0）/（X0）是具體的值，是數(shù)值在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)，（X0）是導(dǎo)函數(shù)/（X）

在X=Xo處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某

人幻是函數(shù)JU）在某區(qū)間/上每一點(diǎn)都

八X）一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再

存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)

計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值

4

【例3】⑴若函數(shù)於）可導(dǎo)，則!四膽二然刻

（2）求函數(shù)y=x—:在x=l處的導(dǎo)數(shù).

【反思】（1）用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟

①求函數(shù)的增量Ay=/Uo+Ax）—/（羽）；②求平均變化率黑人*°）：③求極限&I））

（2）瞬時(shí)變化率的變形形式

危o+Ax)—Xxo)火xo—Ax)—/(xo)../xo+nAx)—Xxo)/xo+Ax)—/x0—Ax)

蛔m=婀__=M=購云=

【練習(xí)3-1】已知yu）=3f,/（項(xiàng)）=6,求M）.

【練習(xí)3-2】對(duì)于函數(shù)y=/&）=5,其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是.

【練習(xí)3-3］若可導(dǎo)函數(shù)y（x）的圖象過原點(diǎn)，且滿足總叫叫=一1,則/（0）等于.

【方法小結(jié)】

理解平均變化率要注意以下幾點(diǎn)：

⑴平均變化率蚓三幽表示點(diǎn)（XI,1汨））與點(diǎn)（X2,兀3））連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”.

X2-X\

（2）為求點(diǎn)沏附近的平均變化率，上述表達(dá)式常寫為“"十啰二X初）的形式.

（3）函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢(shì).自變量的改變量Ar取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化

情況.

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)：

（1）取極限前，要注意化簡(jiǎn)黨，保證使Ax-0時(shí)分母不為0.

（2）函數(shù)在M）處的導(dǎo)數(shù)/（尤o）只與項(xiàng)有關(guān)，與Ar無關(guān).

（3）導(dǎo)數(shù)可以描述事物的瞬時(shí)變化率，應(yīng)用非常廣泛.

5

【思考提升1】

【思考1-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=0,x=*r>0)圍成的△048的面積為S⑺,

則5⑺在t=2時(shí)的瞬時(shí)變化率是.

f29+3(L3)2,0&<3,

【思考1-2】若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移單位：m,時(shí)間單位：s)s=/⑺=

十2,1與3.

求：(1)物體在re［3,5］內(nèi)的平均速度;

(2)物體的初速度加；

⑶物體在t=\時(shí)的瞬時(shí)速度.

【知識(shí)4】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)切線的定義：設(shè)是曲線y=/U)的割線，當(dāng)點(diǎn)幾趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線趨近于確定的位置，這

個(gè)確定位置的直線尸T稱為曲線y="x)在點(diǎn)尸處的切線.

(2)導(dǎo)數(shù)/(沏)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)/(沖)表示曲線v=*x)在點(diǎn)(xo,角哨)處的切線的斜率k,即k^f'fa,)

./(^o+Ax)—/(xo)

=螞晨?

(3)切線方程：曲線y=/(x)在點(diǎn)(如，火&))處的切線方程為y—/Uo)=f'(xo)(x—xo).

6

【探索1】在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程

【例4-1】已知曲線C：)，=*+*求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程.

【反思】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟

|求斜率曲線在點(diǎn)(x“J(x.))處切線的斜率|

|與方程卜啊k斜式.匕f(島)寫出切線方程|

|變形式~將點(diǎn)斜式變?yōu)橐话闶?/p>

【練習(xí)4-1】曲線y=f+l在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是.

【練習(xí)4-2］已知直線以一刀一2=0與曲線y=V在點(diǎn)P(l,l)處的切線互相垂直，則%

【探索2】過某個(gè)點(diǎn)的切線方程

【例4-2】求過點(diǎn)(一1,0)與曲線y=~+x+l相切的直線方程.

【反思】過點(diǎn)(為，％)的曲線y=/(x)的切線方程的求法步驟

⑴設(shè)切點(diǎn)(助，Xx0)).

(2)建立方程，(&)=年誓

X\Xo

⑶解方程得左=/(xo),xo,J0,從而寫出切線方程.

【練習(xí)4-3］求函數(shù)y=/a)=r—3f+x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程.

7

【探索3】求切點(diǎn)坐標(biāo)

【例4-3】已知曲線y=2*+4x在點(diǎn)P處切線斜率為16,則點(diǎn)P坐標(biāo)為.

【練習(xí)4-4】已知曲線式x)=f-l在犬=均處的切線與曲線g(x)=l-V在x=xo處的切線互相平行，求必

【反思】求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟

(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).

(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率.

⑶利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo).

【練習(xí)4-5】直線/：y=x+a(aWO)和曲線C：式x)=i—*+1相切，則a的值為，切點(diǎn)坐標(biāo)為

【探索4】數(shù)形結(jié)合

【例4-4】已知函數(shù)兀v)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是()

A.0</(2)勺■'(3)勺(3)—A2)B.0勺■'(2)勺(3)一犬2)</(3)

C.0<f(3)勺(3)一犬2)</(2)D.0<^3)-A2)</(2)勺>'(3)

【反思】導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決.

【練習(xí)4-6】若函數(shù))，=/(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［小燈上是增函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口，句上的圖象可能是()

【練習(xí)4-7】如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)尸(2,y)處的切線是/,則式2)+/(2)等于.

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【思考提升2】

【思考2-1】已知函數(shù)人x)=or2+i(a>o),g(x)=V+fer,若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)

處有公切線，求a,b的值.

【思考2-2】已知曲線y=/+l,是否存在實(shí)數(shù)°,使得經(jīng)過點(diǎn)(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線？若存在,

求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9

【知識(shí)5】導(dǎo)數(shù)公式

1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

原函數(shù)導(dǎo)函教

yu)=c了（力=。

兀v)=x/W=l

危）=》2/(x)=2x

兀V）=：/(*)=-5

*)=5

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

fix）=c（c為常數(shù)）/W=Q

犬x)=/(aGQ*)f(x)=axa~l

於)=sinxf(x)=cos,x

J(x)=cosxf(x)=—sinx

段)="f(x)=ax\na(a>0)

fix)=exf(x)=e

?x)=log融x

f(y-x\na(4>0且存1)

"/1

Xx)=lnx/w="

【探索1】利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例5-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

71x2x

(l)y=sin不；(2)y=；(3)y=lgx；(4?=/；(5)y=2cos3一1.

10

【反思】（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解.

（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，

如根式要化成指數(shù)幕的形式求導(dǎo).

13

如y=F可以寫成），=兀-4,）,=毛@可以寫成）,=/等，這樣就可以直接使用繇函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在

求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤.

【練習(xí)5-1］下列各式中正確的個(gè)數(shù)是（）

①（/丫=7居@（x~［y=x~2；③）=一%一,；④（安丫=會(huì)一,；

@（cosx）z=—sinx；@（cos2）z=—sin2.

A.3B.4C.5D.6

【練習(xí)5-2］（1）已知函數(shù)y（x）=W，則/（一3）等于.

（2）已知人x）=lnx且，。0）=9，則xo=.

【練習(xí)5-3】質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間f的關(guān)系是5=屹，則質(zhì)點(diǎn)在f=4時(shí)的速度為（）

A.---B.-'-

2贊JO^/25

【探究2】利用導(dǎo)數(shù)公式研究切線問題

【例5-2】已知曲線），=/（x）=5，y=g（x）=：,過兩條曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線，求兩切線與x軸所圍成

的三角形面積.

【反思】解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率、切點(diǎn)在切線上及切點(diǎn)

在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決.

【練習(xí)5-4】已知y=h是曲線y=lnx的一條切線，貝!j欠=.

11

【練習(xí)5-5】正弦曲線＞=$山》上切線的斜率等于:的點(diǎn)為（）

兀⑶(兀V3兀勿

B.-，--或---

I3232J

C.(2Z7+工，叵|(ZGZ)(O(jrn、

I32JI32/132J

【思考提升3】

【思考3-1］求拋物線y=f上的點(diǎn)到直線x—y—2=0的最短距離.

【思考3-2】設(shè)曲線），=/i（〃CN*）在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為心,則孫及%的值為（）

A」B.\.C.7,D.1

nn+1n+l

【思考3-3］設(shè)為(x)=sinx,力(x)=fo(x),方(力=/'i(x),…，加G)=/“(x)，"GN,則為oi7(x)=

【思考3-4】設(shè)正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)尸，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線/,則直線/的傾斜角a的取值范圍

是.

【思考3-5】點(diǎn)P是曲線y=e''上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x的最小距離.

【思考3-6】函數(shù)y=f（Q0）的圖象在點(diǎn)（以，點(diǎn)）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為公+】，其中R￡N*,若0

=16,則0+的+45的值是.

12

【知識(shí)6】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.和、差的導(dǎo)數(shù)

火工)士g(x)了=/(x)±g，(x).

知識(shí)點(diǎn)二積、商的導(dǎo)數(shù)

(1)積的導(dǎo)數(shù)

①[/(X),g(x)]'=1(x)e(x)+/U)R'(X).

②[c/U)l'=cHx).

(2)商的導(dǎo)數(shù)

/(X)_/(x)g(x)-/U)g'(x)

(g(x)和)?

g(x)[g(x)]2

【溫馨提醒】[/U)g(x)]%f(x)g'(x),

【探索1］利用法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

【例6-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=3/+xcosx；(2)y=lgx—，；(3)y=(/+3)(e*+lnx)；

(4)y=W+tanx；(5)y=^qrp

【練習(xí)6-1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

2p―3x+5+]f+l

(Dy=(3)y=(x+l)(x+3)(x+5).

x\jx

13

【練習(xí)6-2】已知若/'(xo)+_/Uo)=0,則Xo=.

【練習(xí)6-3】函數(shù)/(x)=xcosx-sinx的導(dǎo)函數(shù)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)

【探索2】導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用

InV

【例6-2]⑴已知函數(shù)/)=7+R(l),試比較犬e)與川)的大小關(guān)系；

(2)設(shè)火x)=(or+〃)sinx+(cx+r/)cosX,試確定常數(shù)a,h,c,d,使得/(x)=xcosx.

[反思](1)中確定函數(shù)犬x)的解析式，需要求出/(1),注意/(1)是常數(shù).

⑵中利用待定系數(shù)法可確定a,h,c,d的值.

完成(1)(2)問的前提是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.

_Y

【練習(xí)6-4】函數(shù)/U)==[+4(l)x，則/(0)=.

【練習(xí)6-5】已知函數(shù)/u)=/(；)cosx+sinx,則/。的值為.

【探索3】切線問題

【例6-3】已知函數(shù)於)=af+bx+3(W0),其導(dǎo)函數(shù)為，(x)=2x—8.

(1)求m6的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=e'sinx+/(x),求曲線g(x)在x=0處的切線方程.

【練習(xí)6-6](1)設(shè)曲線了=智乎在點(diǎn)e，2)處的切線與直線x+ay+l=O垂直，則a=

14

⑵設(shè)函數(shù)/(x)=g(x)+/,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(l))處的切線方程為y=2x+l,則曲線y=_/(x)在點(diǎn)(1,負(fù)1))

處切線的斜率為.

【練習(xí)6-7】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y=af+§(a,6為常數(shù))過點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P

處的切線與直線7x+2y+3=0平行，則a+b的值是.

【方法小結(jié)】

1.導(dǎo)數(shù)的求法

對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特

別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用.首先，在化簡(jiǎn)時(shí)，要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤；其

次，利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要將函數(shù)化為基本初等函數(shù)中的某一個(gè)，再套用公式求導(dǎo)數(shù).

2.和與差的運(yùn)算法則可以推廣

麻|)與X2)土…句M)了=f(xi)均5)±..旬(為).

3.積、商的求導(dǎo)法則

(1)若C為常數(shù)，則［或01=呢功;

(2)[f(x)-g(x)]'=f(^g(x)+fix)g'(x),

[g(x)產(chǎn)3聽0)；

⑶當(dāng)危)=1時(shí)，有［君］'=一瑞(g(x)邦)?

【思考提升4】

t—1

【思考4-1】已知某運(yùn)動(dòng)著的物體的運(yùn)動(dòng)方程為5(。=>-+2尸(位移單位：m,時(shí)間單位：s),則f=ls時(shí)

物體的瞬時(shí)速度為m/s.

【思考4-2］在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)於)=*+/+(〃-l)x+l(aSR)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)

的圖象，則1-1)等于()

15

【思考4-3】設(shè)15)=5,/'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若〃(x)=?鬻，則〃'(5)=.

【思考4-4】在等比數(shù)列｛斯｝中，at—2,as—4,函數(shù)/(x)=x(x—m)…(x—痣)，則f(0)等于()

A.26B.29C.215D.212

【知識(shí)7】復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)的一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)＞=，*〃)和〃=g(x),如果通過變量〃，y可以表示成x

概念的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù))，和〃=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=Ag(x)).

復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=A〃)，〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y/=

求導(dǎo)法則yu'ux,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與〃對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【探索1】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例7-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(2)y=bg2(2x+l)；(3)y=ess"i；(4)y=sin｛2x+§.

⑴尸

【反思】(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟

16

[分號(hào))~[選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù))

[分別1導(dǎo))~I分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)]

I相*.H把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘]

[變量'回代)~~[把中間變量回代]

⑵求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)：③

計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔.

(3)求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù),/(ax+Z?)的導(dǎo)數(shù)

實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想，先把簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)y=A"),“=ar+〃的形式，然后再對(duì)y=?“)與〃

=奴+人分別求導(dǎo)，并把所得結(jié)果相乘.靈活應(yīng)用整體思想把函數(shù)化為y=/(〃)，“=依+。的形式是關(guān)鍵.

【練習(xí)7-1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1?=(/—4)2；(2)y=ln(6.r+4)；(3)y=103jt~2；

sin(3x-：)；

(4)尸、2x—l；(5)y=；(6)y=cos2x.

【例7-2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

/八In3%

⑴產(chǎn)??；

(2)y=x\j1+3；

(3)y=xcos(2x+?sin(2x+兀5

【反思】(1)在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式,

17

對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形，以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的.

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步豚可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運(yùn)用公式，由外及內(nèi)

逐層求導(dǎo).

【練習(xí)7-2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=sin3x+sinx3；

(2)y=xln(l+2r);

(3)y=1(et+e~v).

(4Mx)=(l-2?)10,求了(1).

【探索2】復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【例7-3】設(shè)4》)=111(》+1)+5+1+℃+儀〃，bGR,a,b為常數(shù))，曲線y=/(x)與直線)，=那在(0,0)點(diǎn)相

切，求m匕的值.

【反思】復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，正確的求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提，審題時(shí)注意所給點(diǎn)是不是切點(diǎn)，挖

掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題，尋求切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.

【練習(xí)7-3】已知點(diǎn)尸在曲線》=母匕Q為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，則Q的取值范圍是()

A[O,§B,[|,電c《,y]D[季兀）

【練習(xí)7-4】求曲線y=ln(2x-l)上的點(diǎn)到直線/：2%—)'+3=0的最短距離.

18

19

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

【知識(shí)8】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

［1］導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)可導(dǎo),則在區(qū)間(a,b)內(nèi),

(1)如果/(x)>0,則犬x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)如果f(x)<0,則./(X)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

例如:圖中函數(shù)/(x).

1

y/x0,/(X0))

(X|

K*

導(dǎo)數(shù)值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢(shì)函數(shù)的單調(diào)性

/(x)>0k>0銳角上升遞增

/(x)<0k<0鈍角下降遞減

［2］利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟

(1)確定函數(shù)y=/(x)的定義域：

⑵求導(dǎo)數(shù)y=/(x)；

(3)解不等式/(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間;

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.

【探索1］判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性問題

【例8-1］證明函數(shù)y(x)=￥在區(qū)間(0,2)上是增力口的.

【練習(xí)87】下列函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=x-evC.y=xi~xD.y=\nx~x

【練習(xí)8-2］證明函數(shù)yu)=x+：在(0,1］上是單調(diào)遞減的.

20

【探索2】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例8-2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

⑴y=*—Inx；(2)y—x+^(b>0).

［反思］求函數(shù)y=_/(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)y=/(x)的定義域.

(2)求導(dǎo)數(shù)<=f(x).

(3)解不等式/(x)>0,函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為增函數(shù).

(4)解不等式/(x)<0,函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為減函數(shù).

【練習(xí)8-3］函數(shù)人無)=年+2%把口611)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【練習(xí)8-4］若函數(shù)式x)的導(dǎo)函數(shù)為，(x)=/—4x+3,則函數(shù)/(x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間是

【探索3】求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例8-3］討論函數(shù)/0)=//+》一(a+l)lnx(aeO)的單調(diào)性.

［反思］(1)討論參數(shù)要全面，做到不重不漏.

(2)解不等式時(shí)若涉及分式不等式要注意結(jié)合定義域化簡(jiǎn)，也可轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.

【練習(xí)8-5］設(shè)函數(shù)yU)=e'一以一2,求/(X)的單調(diào)區(qū)間.

21

2

【練習(xí)8-6】已知函數(shù)式x)=x—;+a(2—Inx),a>0,試討論/(x)的單調(diào)性.

【探索4】函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象的應(yīng)用

【例8-4】已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋郇D1,5］，部分對(duì)應(yīng)值如下表../U)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示.

X-1045

危)1221

給出下列關(guān)于函數(shù)段)的說法：

①函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)/U)在［0,2］上是減函數(shù)；

③如果當(dāng)1,f］時(shí)，加0的最大值是2,那么f的最大值為4；

④當(dāng)1<?<2時(shí)，函數(shù)y=y(x)-a有4個(gè)零點(diǎn).其中正確說法的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

［反思］(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(“，力內(nèi)，若/'(x)>0,則y=/(x)在(a,6)上

單調(diào)遞增；如果/(x)<0,則)，=/(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有，(x)=0,則y=/(x)是常數(shù)函數(shù)，不

具有單調(diào)性.

(2)函數(shù)圖象變化得越快，/(x)的絕對(duì)值越大，不是/(x)的值越大.

【練習(xí)8-7］若函數(shù)?r)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象可能為()

【練習(xí)8-8】已知尸=城(幻的圖象如圖所示(其中/⑴是函數(shù)/)的導(dǎo)函數(shù))，則所給四個(gè)圖象中，y=Ax)

的圖象大致是()

D

22

【練習(xí)8-9]在R上可導(dǎo)的函數(shù)y(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式Af(x)<0的解集為

【探索5】利用導(dǎo)數(shù)討論不等式問題

【例8-5】函數(shù)式x)的導(dǎo)函數(shù)〃x)的圖象如圖所示，若△A8C為銳角三角形，則下列不等式一定成立的是()

A./(COSA)0/(COSJB)B.*sinA)<y(cosB)C.y(sin4)/sinB)D./(sin4)次cos3)

【練習(xí)870】定義在R上的函數(shù)火x),若。-1)/(尤)<0,則下列各項(xiàng)正確的是()

A..穴0)+42)>41)B.10)+八2)=2火1)

C.負(fù)0)+犬2)<〃(1)D.10)+逃2)與40)大小不定

【練習(xí)8-11】定義在R上的函數(shù)y(x)滿足./u)=l,/(x)<2,則滿足7(x)>2x—1的x的取值范圍是

【知識(shí)9】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

[1]函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系

定義在區(qū)間(a,位內(nèi)的函數(shù)y=?r)：/(x)>0=^x)單調(diào)遞增；/(x)<0n單調(diào)遞減.

特別提醒：

①若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使/(x)=0,其余的點(diǎn)恒有/(x)>0,則人工)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).

②Ax)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xG(a,6)都有/(x)K)且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上_f(x)不恒

為0.

[21函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x),在區(qū)間(〃，6)上

導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象

越大快比較“陡峭”(向上或向下)

越小遑比較“平緩”(向上或向下)

[31利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題

(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)注意"臨界點(diǎn)'’和“間斷點(diǎn)”：在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外，還要注意

在定義域內(nèi)的間斷點(diǎn).

(3)如果一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“U”連接，而只能用“逗號(hào)”或“和”字等

隔開.

23

【探索1】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

【例9-1](1)若函數(shù)兀v)=fcv-lnx在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是.

(2)若函數(shù)凡t)=履一Inx在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，則4的取值范圍是.

|反思](1)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個(gè)基本思路

①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即/'(x)20(或/'(x)WO)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)

性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢臉參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意；

②先令，(x)>0(或/(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“=”時(shí)|x)是否滿足題意.

(2)恒成立問題的重要思路

①加刃(X)恒成立=>加為(X)max；

②^恒成立今機(jī)W火X)min.

【練習(xí)9-1】若函數(shù)