2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第八章 第六節(jié) 利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系含答案

14版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第八章第六節(jié)利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第六節(jié)利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.考情分析考點(diǎn)考法:高考題常以平行、垂直關(guān)系為載體,考查空間向量的運(yùn)算、直線的方向向量、平面的法向量的應(yīng)用.線面、面面關(guān)系是高考熱點(diǎn),主要在解答題中體現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱此向量a為直線l的方向向量.注:①一條直線l有無窮多個(gè)方向向量(非零向量),這些方向向量之間互相平行.②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量.(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.【微點(diǎn)撥】(1)直線的方向向量不唯一,一般取直線上兩點(diǎn)構(gòu)成其一個(gè)方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用賦值法求出平面的一個(gè)法向量.2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λmα⊥βn⊥m?n·m=0【微點(diǎn)撥】利用法向量證明線面平行時(shí),直線的方向向量與平面的法向量垂直是線面平行的必要條件,應(yīng)注明直線在平面外.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是()A.若兩平面的法向量平行,則兩平面平行B.若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行C.若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行D.若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行【解析】選AB.易知AB正確;C中向量a和b所在的直線可能重合;D中a所在的直線可能在平面內(nèi).2.(選擇性必修一P30例3·變形式)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k).若α∥β,則k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解析】選C.因?yàn)棣痢桅?所以兩平面的法向量平行,所以-21=-42=k3.(選擇性必修一P32例4·變形式)若直線l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),則有()A.l∥α B.l⊥αC.l與α斜交 D.l?α或l∥α【解析】選B.由a=-n知,n∥a,則有l(wèi)⊥α.4.(忽視線在平面內(nèi))若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=-2,1A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交【解析】選C.因?yàn)閍=1,0,2,所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α.【巧記結(jié)論·速算】1.若v是直線的方向向量,則λv(λ≠0)也是直線的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,則μn(μ≠0)也是平面的法向量.【即時(shí)練】兩條不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則l1與l2的位置關(guān)系是________.

【解析】因?yàn)関2=-2v1,所以v1∥v2.又l1與l2不重合,所以l1∥l2.答案:平行【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題角度1線面平行[例1]如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BCD.【證明】如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OP所在射線分別為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0),則AC=(x0,y0-2,-2).因?yàn)锳Q=3QC,所以Q34因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),所以M(0,2,1).又因?yàn)镻為BM的中點(diǎn),故P0,所以PQ=34又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為a=(0,0,1),故PQ·a=0.又因?yàn)镻Q?平面BCD,所以PQ∥平面BCD.角度2面面平行[例2]如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn),證明平面EFG∥平面PBC.【證明】由題意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為正方形,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).因?yàn)镋F=(0,1,0),BC=(0,2,0),所以BC=2EF,所以BC∥EF.又因?yàn)镋F?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC,同理可證GF∥PC,從而得出GF∥平面PBC.又因?yàn)镋F∩GF=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.【解題技法】利用空間向量證明線面、面面平行的方法(1)證明線面平行的常用方法:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個(gè)向量平行;③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明面面平行常用的方法:①利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都平行于另一個(gè)平面;②證明兩個(gè)平面的法向量平行;③證明一個(gè)平面的法向量也是另一個(gè)平面的法向量.提醒:運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系時(shí),仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時(shí),仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【證明】建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE(1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一個(gè)法向量,則n1⊥DA得x1令z1=2,則y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因?yàn)镕C1·n1=-2+2=0,所以FC1又因?yàn)镕C1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(2)因?yàn)镃1設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量,由n2⊥F得x2=0z2=-2所以n2=(0,-1,2),因?yàn)閚1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題角度1線線、線面垂直[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【證明】以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1),B(1,0,0).(1)因?yàn)椤螦BC=60°,所以△ABC為正三角形.所以C(12,32,0),E(14,34設(shè)D(0,y,0),由AC⊥CD,得AC·CD=0,即y=233,則D所以CD=-12,36,0.又因?yàn)锳E所以AE·CD=-12×14+36所以AE⊥CD,即AE⊥CD.(2)(方法一)由(1)知,D0,23所以PD=0,又因?yàn)锳E·PD=34×233所以PD⊥AE,即PD⊥AE.因?yàn)锳B=(1,0,0),所以PD·AB=0.所以PD⊥AB.又因?yàn)锳B∩AE=A,AB,AE?平面ABE,所以PD⊥平面ABE.(方法二)由(1)知,AB=(1,0,0),AE=(14,34,設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則x=0令y=2,則z=-3,所以n=(0,2,-3)為平面ABE的一個(gè)法向量.因?yàn)镻D=0,233,-1因?yàn)镻D∥n,所以PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.角度2面面垂直[例4]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明:AP⊥BC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.【證明】(1)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),所以AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0).所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且點(diǎn)M在線段AP上,所以AM=35AP=(0,95,125)所以BM=BA+AM=-4則AP·BM=(0,3,4)·-4所以AP⊥BM,即AP⊥BM.由(1)知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,所以AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.【解題技法】利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)槠矫鍼BC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=3.所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3).所以BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).因?yàn)锽D·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,所以PA⊥BD,所以PA⊥BD.(2)取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則M12因?yàn)镈M=32,0,3所以DM·PB=32×1+0×0+32×(-所以DM⊥PB,即DM⊥PB.因?yàn)镈M·PA=32×1+0×(-2)+32×(-所以DM⊥PA,即DM⊥PA.又因?yàn)镻A∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.因?yàn)镈M?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.考點(diǎn)三與平行、垂直有關(guān)的綜合問題[例5]如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.(1)若M是A1D的中點(diǎn),求直線CM與平面A1BE所成角的大小;(2)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.【解析】(1)由折疊的性質(zhì)得CD⊥DE,A1D⊥DE.又因?yàn)镃D∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.又因?yàn)锳1C?平面A1CD,所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD,CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE.建系如圖,則C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,23),E(-2,2,0),B(0,3,0),所以A1B=(0,3,-23),A1E設(shè)平面A1BE的法向量為n=(x,y,z),則A1B·取z=3,則x=-1,y=2,所以n=(-1,2,3)為平面A1BE的一個(gè)法向量.又因?yàn)镸(-1,0,3),所以CM=(-1,0,3),所以cos<CM,n>=CM·n|CM||所以CM與平面A1BE所成角的大小為45°.(2)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P滿足條件,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a,0),a∈[0,3],所以A1P=(0,a,-23),DP=(2,a設(shè)平面A1DP的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則ay取y1=6,則x1=-3a,z1=3a,所以n1=(-3a,6,3a).若平面A1DP與平面A1BE垂直,則n1·n=0,所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.因?yàn)?≤a≤3,所以a=-2舍去.所以線段BC上不存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直.【解題技法】1.“是否存在”型問題的兩種探索方式(1)根據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證.(2)利用空間向量,先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo),即找到“存在點(diǎn)”,若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”.2.解決折疊問題的關(guān)鍵解決折疊問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的不變量.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的2倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.【解析】(1)連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,則AC⊥BD.連接SO,由題意知SO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為a,則SO=62a所以S0,0,62a,D-2所以O(shè)C=0,22a,則OC·SD=0.故OC⊥SD.所以AC⊥SD.(2)側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E使得BE∥平面PAC,此時(shí)SE∶EC=2∶1.理由如下:由已知條件知DS是平面PAC的一個(gè)法向量,且DS=22a,0,BC=-2設(shè)CE=tCS(0<t≤1),則BE=BC+CE=BC+tCS=-2又因?yàn)锽E·DS=0,所以22a×-22a+6所以t=13即當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),BE⊥DS.而BE?平面PAC,故BE∥平面PAC.第七節(jié)利用空間向量研究距離問題課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.考情分析考點(diǎn)考法:高考題常以體積為載體,考查空間中點(diǎn)線距、點(diǎn)面距.求空間幾何體的體積是高考熱點(diǎn),主要在解答題中體現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.兩點(diǎn)距即求空間中兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長,轉(zhuǎn)化為向量的模求解.2.點(diǎn)到直線的距離設(shè)A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn),若u是直線l的單位方向向量,AQ是AP在l上的投影向量,設(shè)AP=a,則點(diǎn)P到直線l的距離PQ=|AP|2【微點(diǎn)撥】已知向量a,直線l的單位方向向量為e,則向量a在e方向上的投影向量為acos<a,e>·e,即aa·eae·e=a·3.點(diǎn)到平面的距離公式如圖,點(diǎn)P為平面α外一點(diǎn),點(diǎn)A為平面α內(nèi)的定點(diǎn),過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度,則PQ=|AP·n|n||=|AP·4.異面直線間的距離(1)定義:兩條異面直線間的公垂線段的長即為異面直線間的距離.(2)求解公式:如圖,設(shè)兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為n,這時(shí)分別在a,b上任取A,B兩點(diǎn),則向量AB在n上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則d=|AB·n|n||即兩異面直線間的距離,等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)到平面的距離是該點(diǎn)與平面上點(diǎn)距離的最小值B.點(diǎn)到直線的距離也就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線長度的最小值C.直線l平行于平面α,則直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等D.直線l上兩點(diǎn)到平面α的距離相等,則l平行于平面α【解析】選ABC.由距離的最小性可知AB正確;C中直線l上任意點(diǎn)到平面α的距離相等,正確;D中直線l可能與平面α相交.2.(選擇性必修一P34例6·變形式)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A1A到平面B1D1DB的距離為()A.2 B.2 C.22 D.【解析】選A.由正方體性質(zhì)可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距離就是點(diǎn)A1到平面B1D1DB的距離,連接A1C1,交B1D1于O1(圖略),A1O1的長即為所求,由題意可得A1O1=12A1C1=23.(選擇性必修一P35練習(xí)2·變形式)直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過點(diǎn)A(1,1,1),則點(diǎn)P(-1,2,1)到l的距離為()A.2 B.3 C.6 D.22【解析】選B.直線l的方向向量為m=(1,0,-1),且l過點(diǎn)A(1,1,1),又點(diǎn)P(-1,2,1),則AP=(-2,1,0),則|AP|=5,又因?yàn)锳P·mm=|-所以點(diǎn)P(-1,2,1)到l的距離為(5)24.(不能正確使用公式)若兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是________.

【解析】依題意,平行平面α,β間的距離即為點(diǎn)O到平面β的距離,而OA=(2,1,1),所以平行平面α,β間的距離d=|n·OA||n|答案:2【巧記結(jié)論·速算】1.空間中的距離都是指兩個(gè)點(diǎn)集的元素之間距離的最小值.2.平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.3.平面的平行線到平面的距離以及兩平行平面間的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.【即時(shí)練】如圖正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在線段C1D,AC上,則線段PQ長度的最小值是()A.13 B.C.1 D.4【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),由題意可知,線段PQ長度的最小值為異面直線C1D與AC的公垂線的長度,則AC=(-1,1,0),DC1=(0,1,2),設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥AC,n⊥DC則n·AC=令y=2,則x=2,z=-1,即n=(2,2,-1),故|PQ|min=|DA·n【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一點(diǎn)線距及其應(yīng)用[例1](1)空間中有三點(diǎn)P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),則點(diǎn)P到直線MN的距離為()A.22 B.23 C.3 D.25【解析】選A.因?yàn)镸N=(1,1,1),所以MN的一個(gè)單位方向向量為u=33(1,1,1)因?yàn)镻M=(1,-1,3),故|PM|=12+(-PM·u=33×(1-1+3)=3所以點(diǎn)P到直線MN的距離為PM=11-3=2(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,已知E為CC'上一點(diǎn),且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B,交C'D'于點(diǎn)F,則直線EF與A'B之間的距離為__________.

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,13直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離,BA'=(-1,0,1),BE=(0,1,13),BA'·BE|BA'|=2,|BE|=1+19cos<BA',BE>=BA'·BE|<BA',BE>∈所以sin<BA',BE>=1-(所以直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離為|BE|sin<BE,BA'>=103×9510答案:38【解題技法】向量法求點(diǎn)到直線的距離的方法方法一:(1)求直線的方向向量.(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.(3)利用勾股定理求解.方法二:在直線上設(shè)出垂線段的垂足的坐標(biāo),利用共線和垂直求出垂足坐標(biāo),再求向量的模.方法三:(1)求直線的方向向量;(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值,進(jìn)而求出正弦值;(3)求出所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量的模,再乘以夾角的正弦值即為所求.提醒:平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖,ABCD-EFGH是棱長為1的正方體,若P在正方體內(nèi)部且滿足AP=35AB+12AD+23AE,則A.34 B.45 C.56 【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),則AP=35(1,0,0)+12(0,1,0)+23(0,0,1)=(35,12所以AP在AB上的投影向量的長度為AP·ABAB所以點(diǎn)P到AB的距離|AP|2考點(diǎn)二點(diǎn)面距及其應(yīng)用[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(1)求證:AD⊥PB;(2)(一題多法)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.【解析】(1)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,BD,(圖略)因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,∠BAD=60°,所以AD=AB=BD.因?yàn)镺為AD的中點(diǎn),所以BO⊥AD.在△PAD中,PA=PD,O為AD的中點(diǎn),所以PO⊥AD.因?yàn)锽O∩PO=O,所以AD⊥平面POB.因?yàn)镻B?平面POB,所以AD⊥PB.(2)方法一:由題意及(1)易知OP=1,BO=3,PB=2,所以O(shè)P2+BO2=PB2,所以O(shè)P⊥OB,所以O(shè)P,OA,OB兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,1),所以AP=(-1,0,1),PB=(0,3,-1),PC=(-2,3,-1),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則n·所以x=0不妨取y=1,則n=(0,1,3),所以點(diǎn)A到平面PBC的距離d=|AP·n方法二:因?yàn)镻A=PD,∠APD=90°,所以PO=12AD=1,由題意及(1)知PB又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,記A到平面PBC的距離為h,S△PBC=12則由VA-PBC=VP-ABC得23h=13×12×2×2sin120°×1,所以h即A到平面PBC的距離為32【解題技法】求點(diǎn)面距的步驟(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP,α內(nèi)兩不共線向量,平面α的法向量n).(4)求距離d=|AP提醒:求線面距、面面距可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=12AB=12AA1=2,BC1=23,M為線段AB(1)證明:BC1⊥CM;(2)若E為A1C1的中點(diǎn),求點(diǎn)A1到平面BCE的距離.【解析】(1)因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C,C1B?平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,在△BCC1中,BC=2,BC1=23,CC1=AA1=4,所以BC2+BC12=CC12,所以CB因?yàn)锳B∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以C1B⊥平面ABC.又因?yàn)镃M?平面ABC,所以C1B⊥CM.(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,23,0),A1(-2,23,4),E(-1,23,2),BC=(2,0,0),BE=(-1,23,2),設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),則n·BC=0令y=3,則n=(0,3,-3).又因?yàn)锳1C=(4,-2故點(diǎn)A1到平面BCE的距離d=|0×4+(-22.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點(diǎn).求:(1)直線MN與平面OCD的距離;(2)平面MNR與平面OCD的距離.【解析】(1)因?yàn)镺A⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,所以O(shè)A⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AO所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因?yàn)镸,R分別為OA,AD的中點(diǎn),則MR∥OD,因?yàn)镸R?平面OCD,OD?平面OCD,所以MR∥平面OCD,因?yàn)锳D∥BC且AD=BC,R,N分別為AD,BC的中點(diǎn),則CN∥RD且CN=RD,所以四邊形CDRN為平行四邊形,所以RN∥CD,因?yàn)镽N?平面OCD,CD?平面OCD,所以RN∥平面OCD,因?yàn)镸R∩RN=R,MR,RN?平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,因?yàn)镸N?平面MNR,所以MN∥平面OCD,設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),則n·DC=2x=0n·所以,直線MN與平面OCD的距離為d1=|NC·n||(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,則平面MNR與平面OCD的距離為d2=|NC·n||【加練備選】

如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),直線AC到平面PEF的距離為________.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),PE=(1,12,-1),PF=(1設(shè)平面PE