2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章 第七節(jié) 第2課時(shí)　函數(shù)模型及其應(yīng)用含答案

1版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章第七節(jié)第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.3.會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律,了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)及分段函數(shù)為載體,考查利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題,與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)文化、社會(huì)熱點(diǎn)等問(wèn)題是高考熱點(diǎn),常以選擇題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建?！颈貍渲R(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)2.常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)與反比例函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)【微點(diǎn)撥】函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字方針):審題,建模,解模,還原.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加10%出售,后因庫(kù)存積壓降價(jià),若按九折出售,則每件還能獲利B.函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大C.不存在x0,使ax0<x0nD.在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xa(a>0)的增長(zhǎng)速度【解析】選ABC.A打折出售的售價(jià)為100×(1+10%)×910=99(元).×B當(dāng)x=2時(shí),2x=x2=4.×C如a=x0=12,n=14×2.(必修第一冊(cè)P152例6變條件)某校擬用一種噴霧劑對(duì)宿舍進(jìn)行消毒,需對(duì)噴霧完畢后空氣中每立方米藥物殘留量y(單位:毫克)與時(shí)間x(單位:時(shí))的關(guān)系進(jìn)行研究,為此收集部分?jǐn)?shù)據(jù)并做了初步處理,得到如圖散點(diǎn)圖.現(xiàn)擬從下列四個(gè)函數(shù)模型中選擇一個(gè)估計(jì)y與x的關(guān)系,則應(yīng)選用的函數(shù)模型是()A.y=ax+bB.y=a·14x+b(C.y=xa+b(a>0)D.y=ax+bx(a>0,b【解析】選B.由題圖可知,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且散點(diǎn)分布在一條曲線附近,函數(shù)y=a·14x+b的圖象為一條曲線,且當(dāng)a3.(2021·全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010≈1.259)(A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解析】選C.由題意知,lgV=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=11010≈0.4.(建錯(cuò)函數(shù)模型)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)=12x2+2x+20(萬(wàn)元).1萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元,為獲取最大利潤(rùn),該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(A.36萬(wàn)件 B.18萬(wàn)件C.22萬(wàn)件 D.9萬(wàn)件【解析】選B.利潤(rùn)L(x)=20x-C(x)=-12(x-18)2+142,當(dāng)x=18時(shí),L(x)有最大值【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程[例1](多選題)該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后,體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示:根據(jù)圖中提供的信息,下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中,正確的是()A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后,藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用該藥物1單位,兩次服藥間隔小于2小時(shí),一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用該藥物1單位3小時(shí)后,再次服用該藥物1單位,不會(huì)發(fā)生藥物中毒【解析】選ABC.從題中圖象可以看出,首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用,A正確;首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后的血藥濃度達(dá)到最大值,當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí),一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒,B正確;服藥5.5小時(shí)時(shí),血藥濃度等于最低有效濃度,此時(shí)再服藥,血藥濃度增加,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用,C正確;第一次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后,血藥濃度之和大于最低中毒濃度,因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒,D錯(cuò)誤.【解題技法】判斷實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象;(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D→A的方向,以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng);點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),沿B→C→D→A→B的方向,以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)M與點(diǎn)N同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒),△AMN的面積為f(t),規(guī)定A,M,N三點(diǎn)共線時(shí)其面積為零,則點(diǎn)M第一次到達(dá)點(diǎn)A時(shí),y=f(t)的圖象為()【解析】選A.根據(jù)題意,當(dāng)0≤t≤1時(shí),△AMN的面積為f(t)=12·2t·t=t2;當(dāng)1<t≤2時(shí),△AMN的面積為f(t)=12×2×[t-(2t-2)]=2-t;當(dāng)2<t≤3時(shí),△AMN的面積為f(t)=12×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;當(dāng)3<t≤4時(shí),△AMN的面積為f(t)=12×[2-(2=(4-t)2,所以f(t)=t2,考點(diǎn)二應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題[例2](多選題)(2023·新高考Ⅰ卷)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受重視,用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)Lp=20×lgpp0,其中常數(shù)不妨設(shè)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下線閾值,p是實(shí)際聲壓聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車(chē)1060~90混合動(dòng)力汽車(chē)1050~60電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,則()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2【解析】選ACD.燃油汽車(chē)Lp1=20×lgp1p0∈[60,90],所以p1p同理p2p0=10Lpp3p0=10Lp對(duì)于A,由題表知Lp1≥對(duì)于B,②÷③得,p2p3=10Lp2-L對(duì)于C,p3p0=10對(duì)于D,①÷②得,p1p2=10Lp1-Lp220∈[100,102【解題技法】求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題,并進(jìn)行檢驗(yàn).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展,極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類(lèi)果蔬的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=eax+b(a,b為常數(shù)),若該果蔬在6℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí),在24℃的保鮮時(shí)間為8小時(shí),那么在12℃A.72小時(shí) B.36小時(shí)C.24小時(shí) D.16小時(shí)【解析】選A.當(dāng)x=6時(shí),e6a+b=216;當(dāng)x=24時(shí),e24a+b=8,則e6a+be24a+b=2168=27,整理可得e6a=13.于是eb=216×3=648,當(dāng)x=12時(shí),y=e12a+b考點(diǎn)三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題角度1構(gòu)造二次函數(shù)模型[例3]如圖所示,一直角墻角,兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng),在P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是am(0<a<12),4m,不考慮樹(shù)的粗細(xì),現(xiàn)在用16m長(zhǎng)的籬笆,借助墻角圍成一個(gè)矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為Sm2,S的最大值為f(a),若將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是()【解析】選C.設(shè)AD=xm,則CD=(16-x)m,要將樹(shù)圍在矩形內(nèi),則x≥a,16-xS=x(16-x)=-(x-8)2+64,x∈[a,12],若0<a≤8,則當(dāng)x=8時(shí),Smax=64,若8<a≤12,則當(dāng)x=a時(shí),Smax=-a2+16a.綜上有f(a)=64角度2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型[例4]基本再生數(shù)R0與世代間隔T是某流行性傳染病的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在該傳染病初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿(mǎn)足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在該傳染病初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【解析】選B.因?yàn)镽0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r=3.28-16=0.38,所以I(t)=ert=e設(shè)在該傳染病初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為t1天,則e0.38(t+t1)=2e0.38所以t1=ln20.38≈0.角度3構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax+bx[例5]智能輔助駕駛已開(kāi)始得到初步應(yīng)用,其自動(dòng)剎車(chē)的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車(chē)輛與障礙物之間的距離,并結(jié)合車(chē)速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間,當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)始報(bào)警,等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車(chē).若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段,分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0與人的反應(yīng)時(shí)間t1,系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2,制動(dòng)時(shí)間t3,相應(yīng)的距離分別為d0,d1,d2,d3,如圖所示.當(dāng)車(chē)速為v(米/秒),且0<v≤33.3時(shí),通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到表中給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化,且1≤k≤2).階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距離d0=10米d1d2d3=v2(1)請(qǐng)寫(xiě)出報(bào)警距離d(米)與車(chē)速v(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)k=2時(shí),當(dāng)汽車(chē)達(dá)到報(bào)警距離時(shí),若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施,仍以此速度行駛的情況下,汽車(chē)撞上固定障礙物的最短時(shí)間;(2)若要求汽車(chē)在k=1的路面上行駛時(shí)報(bào)警距離均小于50米,則汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在多少以下(單位:米/秒)?【解析】(1)由題意知,d(v)=d0+d1+d2+d3=10+0.8v+0.2v+v220k,即d(v)=10+v當(dāng)k=2時(shí),d(v)=10+v+v240,t(v)=d(v)v=10v+v40+1≥2×即以此速度行駛的情況下,汽車(chē)撞上固定障礙物的最短時(shí)間為2秒.(2)當(dāng)k=1時(shí),d(v)<50,即10+v+v2即v2+20v-800<0,-40<v<20,又0<v≤33.3,故0<v<20,所以汽車(chē)的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下.【解題技法】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)建模:抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型;(2)推理、演算:對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算,得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解;(3)評(píng)價(jià)、解釋:對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論,作出評(píng)價(jià)、解釋,然后返回到原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題中去,得到實(shí)際問(wèn)題的解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠,水渠的過(guò)水橫斷面為底角為120°的等腰梯形(如圖),水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元,為了提高水渠的過(guò)水率,要使過(guò)水橫斷面的面積盡可能大,現(xiàn)有資金3萬(wàn)元,當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí),水渠的深度(即梯形的高)約為(參考數(shù)據(jù):3≈1.732)()A.0.58米 B.0.87米C.1.17米 D.1.73米【解析】選B.如圖設(shè)橫斷面為等腰梯形ABCD,BE⊥CD于E,∠BAD=∠ABC=120°,要使水橫斷面面積最大,則此時(shí)資金3萬(wàn)元都用完,則100×(AB+BC+AD)×100=30000,解得AB+BC+AD=3米,設(shè)BC=x,則AB=3-2x,BE=32x,CE=12故CD=3-x,且0<x<32梯形ABCD的面積S=(3-2x+3-x)當(dāng)x=1時(shí),Smax=33此時(shí)BE=32≈0.即當(dāng)過(guò)水橫斷面面積最大時(shí),水渠的深度(即梯形的高)約為0.87米.2.(2023·朔州模擬)2022年6月5日上午10時(shí)44分,我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭,將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音,已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)d(x)(單位:dB)與聲強(qiáng)x(單位:W/m2)滿(mǎn)足d(x)=10lgx10-12.若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為109A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB【解析】選B.設(shè)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)為x1,則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為109x1,則50=10lgx110-12,解得:x則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為109×10-7=102,將其代入d(x)=10lgx10-12中,得d(102)=10lg3.杭州市于2023年成功舉辦第19屆亞運(yùn)會(huì),本屆亞運(yùn)會(huì)以“綠色、智能、節(jié)儉、文明”為辦會(huì)理念,展示杭州生態(tài)之美、文化之韻,充分發(fā)揮國(guó)際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用,從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展.籌備期間,某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu),并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?chǎng),已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元,每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入80元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬(wàn)臺(tái)且全部售完,每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入G(x)(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)臺(tái))滿(mǎn)足如下關(guān)系式:G(x)=180(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(x)(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)臺(tái))的函數(shù)解析式(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本);(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí),該公司獲得的年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).【解析】(1)由題意知,W(x)=xG(x)-80x-50,所以W(x)=-(2)由(1)知,W(x)=-所以當(dāng)0<x≤20時(shí),W(x)單調(diào)遞增,則W(x)max=W(20)=1150;當(dāng)x>20時(shí),W(x)≤1960-210(當(dāng)且僅當(dāng)x=29時(shí)等號(hào)成立.由于1360>1150,所以當(dāng)年產(chǎn)量為29萬(wàn)臺(tái)時(shí),該公司獲得的年利潤(rùn)最大,為1360萬(wàn)元.第三節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)具體實(shí)例,結(jié)合y=x,y=1x,y=x2y=x,y=x3的圖象,理解它們的變化規(guī)律,了解冪函數(shù).2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、最值、頂點(diǎn)等).考情分析考點(diǎn)考法:主要考查冪函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯命題.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義;②當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增;③當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減;④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),y=xα為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),y=xα為偶函數(shù).2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n).零點(diǎn)式(或兩根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域[4ac(-∞,4ac對(duì)稱(chēng)軸x=-b頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b2a,奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在(-∞,-b2a]上單調(diào)遞在[-b2a,+∞)在(-∞,-b2a]上單調(diào)遞在[-b2a,+∞)【微點(diǎn)撥】對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿(mǎn)足a≠0,當(dāng)題目的條件中未說(shuō)明a≠0時(shí),就要討論a=0和a≠0兩種情況.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)123,41.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.函數(shù)y=2x1B.當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是增函數(shù)C.二次函數(shù)y=a(x-1)2+2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)D.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象恒在x軸下方,則a<0且Δ<0【解析】選AC.A冪函數(shù)的解析式為f(x)=xα,故y=2x13×C當(dāng)a>0時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)×2.(人A必修第一冊(cè)P91練習(xí)T1變條件、變?cè)O(shè)問(wèn))已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)(12,22),則k+α= (A.12 B.1 C.32 D【解析】選C.由題意得k=1,又函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(12,22),所以12α=22,解得α=12,則3.(忽視冪函數(shù)的定義域)已知冪函數(shù)f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),則實(shí)數(shù)【解析】f(x)=x-1且在定義域內(nèi)是減函數(shù),所以a+1>10-2a>0,解得3<a<5.答案:(3,5)4.(忽視區(qū)間限制)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.

【解析】f(x)>2x+m等價(jià)于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.因?yàn)間(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上單調(diào)遞減,所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.因此滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1).答案:(-∞,-1)【巧記結(jié)論·速算】巧識(shí)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【即時(shí)練】1.若冪函數(shù)f(x)=(a2-5a-5)x-12a在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a等于A.1 B.6 C.2 D.-1【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a2-5a-5)x-12a是冪函數(shù),所以a2-5a-5=1,解得a=-1當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x12在(0,+∞)當(dāng)a=6時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以a=-1.2.若冪函數(shù)y=x-1,y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,則m與n的取值情況為 ()A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<mC.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1【解析】選D.冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α>0時(shí),y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且0<α<1時(shí),圖象上凸,所以0<m<1.當(dāng)α<0時(shí),y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞減.不妨令x=2,由圖象得2-1<2n,則-1<n<0.綜上可知,-1<n<0<m<1.【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)[例1](1)已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)·xn2-3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則n的值為A.-3 B.1 C.2 D.1或2【解析】選B.由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,經(jīng)檢驗(yàn)只有n=1符合題意.(2)已知冪函數(shù)y=xpq(p,q∈N*,q>1且p,q互質(zhì))的圖象如圖所示,則 (A.p,q均為奇數(shù),且pqB.q為偶數(shù),p為奇數(shù),且pqC.q為奇數(shù),p為偶數(shù),且pqD.q為奇數(shù),p為偶數(shù),且0<pq【解析】選D.由冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),可知該函數(shù)為偶函數(shù),所以p為偶數(shù),則q為奇數(shù).因?yàn)閮绾瘮?shù)y=xpq的圖象在第一象限內(nèi)向上凸起,且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以0<p(3)若a=(12)

23,b=(15)

23,c=(12)A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c【解析】選D.因?yàn)閥=x23所以a=(12)

23因?yàn)閥=(12)x是減函數(shù)所以a=(12)

23<c=(12)【解題技法】(1)冪函數(shù)圖象的特點(diǎn):掌握冪函數(shù)圖象,首先確定定義域,然后抓住三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.(2)比較冪值大小的方法:在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈Z)的圖象如圖所示,則mA.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.從題圖上看,由于圖象不過(guò)原點(diǎn),且在第一象限單調(diào)遞減,故m2-2m-3<0,即-1<m<3;又從題中圖象看,函數(shù)是偶函數(shù),故m2-2m-3為負(fù)偶數(shù),將m=0,1,2分別代入,可知當(dāng)m=1時(shí),m2-2m-3=-4,滿(mǎn)足要求.2.已知冪函數(shù)f(x)=mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(2,22),設(shè)a=f(m),b=f(n),c=f(ln2),則 ()A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mxn為冪函數(shù),故m=1.又函數(shù)f(x)=mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(2,22),所以(2)n=22,解得n=3,故函數(shù)f(x)=x3,則函數(shù)為增函數(shù).因?yàn)閚>m>ln2,故c<a<b.考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式[例2](1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,并且圖象過(guò)點(diǎn)P(-1,7),則a,b的值分別是 ()A.2,4 B.-2,4C.2,-4 D.-2,-4【解析】選C.因?yàn)閥=ax2+bx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,所以-b2a=1①,又圖象過(guò)點(diǎn)P(-1,7),所以a-b+1=7,即a-b=6②,聯(lián)立①②解得a=2,b(2)(一題多法)已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則f(x)的解析式為_(kāi)_________.

【解析】解法一(利用一般式):設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由題意得4解得a所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.解法二(利用頂點(diǎn)式):設(shè)f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因?yàn)閒(2)=f(-1),所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2+(-1)2=1所以m=12又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,所以n=8.所以f(x)=a(x-12)2+8因?yàn)閒(2)=-1,所以a(2-12)2+8=-1,解得a所以f(x)=-4(x-12)2+8=-4x2+4x+7解法三(利用兩根式):由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)f(x)有最大值8,即4a解得a=-4或a=0(舍去).所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.答案:f(x)=-4x2+4x+7(3)設(shè)二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,被x軸截得的線段長(zhǎng)為22,則f(x)的解析式為_(kāi)_______,f(2)=________.

【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(x-2)=f(-x-2),得4a-b=0①.設(shè)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,由|x1-x2|=b2-4ac|a|=22,所以b2-4ac=8a2②.由已知得c=1③.由①②③解得b=2,a=12,c=1,所以f(x)=12x2+2x+1,答案:f(x)=12x2+2x+1【解題技法】確定二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下:【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知f(x)是二次函數(shù),且滿(mǎn)足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_________.

【解析】由題意,設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因?yàn)閒(0)=1,即c=1,所以f(x)=ax2+bx+1,所以f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,從而有2a=2,所以f(x)=x2-x+1.答案:f(x)=x2-x+12.(2023·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且與直線y=x相切,則滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)f(x)=________.(寫(xiě)一個(gè)即可)

【解析】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以對(duì)稱(chēng)軸x=-b2所以b=0,所以f(x)=ax2+c,聯(lián)立y=ax2+c,y因?yàn)閒(x)的圖象與直線y=x相切,所以Δ=1-4ac=0,所以ac=14當(dāng)a=1時(shí),c=14所以滿(mǎn)足條件的二次函數(shù)可以為f(x)=x2+14答案:x2+14(答案不唯一考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考情提示】二次函數(shù)是高考必考的重要考點(diǎn)之一.主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,尤其是二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的綜合應(yīng)用,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).角度1二次函數(shù)圖象的識(shí)別[例3]設(shè)abc>0,則二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是 ()【解析】選D.因?yàn)閍bc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,那么可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不符合題意;在B中,a<0,b>0,c>0,不符合題意;在C中,a>0,b>0,c<0,不符合題意;在D中,a>0,b<0,c<0,符合題意.【解題技法】識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”角度2二次函數(shù)的單調(diào)性及最值[例4](1)(2023·濟(jì)南模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)滿(mǎn)足f(1)=f(3),則下列不等式成立的是 ()A.f(1)<f(4)<f(2) B.f(4)<f(1)<f(2)C.f(4)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(4)<f(1)【解析】選B.因?yàn)閒(1)=f(3),所以二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,又因?yàn)閍<0,所以f(4)<f(3)<f(2),又f(1)=f(3),所以f(4)<f(1)<f(2).(2)已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-3,若函數(shù)f(x)在[-1,3]上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.

【解析】函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2a當(dāng)-2a-12≤1,即a≥-f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-13,滿(mǎn)足題意當(dāng)-2a-12>1,即a<-f(x)max=f(-1)=-2a-1,所以-2a-1=1,即a=-1,滿(mǎn)足題意.綜上可知,a=-13或-1答案:-13或(3)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.【解析】①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(1)=-2.②當(dāng)a>0時(shí),f(x)=ax2-2x的圖象開(kāi)口向上,且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1a當(dāng)1a<1,即a>1時(shí),f(x)=ax2-2x圖象的對(duì)稱(chēng)軸在[0,1]內(nèi),所以f(x)在[0,1a]上單調(diào)遞減,在[1a,1]上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(1a)=1a當(dāng)1a≥1,即0<a≤1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減所以f(x)min=f(1)=a-2.③當(dāng)a<0時(shí),f(x)=ax2-2x的圖象開(kāi)口向下,且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1a<0,在[0,1]的左側(cè)所以f(x)=ax2-2x在[0,1]上單調(diào)遞減.所以f(x)min=f(1)=a-2.綜上所述,f(x)min=a-2,【解題技法】1.對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵是開(kāi)口方向與對(duì)稱(chēng)軸的位置,若開(kāi)口方向或?qū)ΨQ(chēng)軸的位置不確定,則需要分類(lèi)討論求解.2.二次函數(shù)最值問(wèn)題的類(lèi)型及求解策略(1)類(lèi)型:①對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間都是給定的;②對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)、區(qū)間固定;③對(duì)稱(chēng)軸定、區(qū)間變動(dòng).(2)求解策略:抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸,結(jié)合配方法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想即可完成.角度3與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題[例5]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實(shí)數(shù).(1)對(duì)任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),則k的取值范圍是__________;

(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,則k的取值范圍是__________;

(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),則k的取值范圍是__________.

【解析】(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈[-3,3]時(shí),h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)max=h(3)=86-k,由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范圍為[86,+∞).答案:[86,+∞)(2)由題意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+1