2024高考數(shù)學二輪專題復習測試專題強化練三含解析

PAGE專題強化練(三)1．(2024·濟南外國語學校月考)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋b與a－2b共線，則m的值為()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，ma＋b與a－2b共線，則ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4?m＝－eq\f(1,2).答案：D2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實數(shù)λ的值為()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2) D．1解析：因為3a＋2b與λa－b垂直，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λ|a|2＋(2λ－3)a·b－2|b|2＝0.因為a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9，所以12λ－18＝0，即λ＝eq\f(3,2).答案：B＝2，|b|＝3，則(2a－b)·(a＋2b)＝()A．－10 B．－7C．－4 D．－1＋3×2×3×eq\f(1,2)－18＝－1，故選D.答案：D4．已知向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝2，(a－b)·(a＋3b)＝－13，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)＝－13，得a·b＝－1，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(1,2)，因為0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：C5．(2024·哈爾濱師大附中模擬)已知在邊長為3的等邊△ABC中，eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up14(→))，則eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝()A．6 B．9C．12 D．－6解析：eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up14(→))))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|cosA＋eq\f(1,3)|eq\o(BC,\s\up14(→))|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|cosC＝3×3×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×3×3×eq\f(1,2)＝6.答案：A6．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夾角為eq\f(π,6)，則實數(shù)m＝()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)＝eq\r(1＋3)×eq\r(9＋m2)coseq\f(π,6)，即3＋eq\r(3)m＝eq\r(1＋3)×eq\r(9＋m2)×eq\f(\r(3),2)，兩邊平方化簡可得m＝eq\r(3).答案：B7.(多選題)如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點，則下列結論正確的是()A.eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→)) B.eq\o(MC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))C.eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→)) D.eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))解析：eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，A正確；eq\o(MC,\s\up14(→))＝eq\o(MA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→)))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))，B正確；eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(MA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DN,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))，C錯誤；eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，D正確．答案：ABD8．聞名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始終線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設點O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點，則()A.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝3eq\o(HM,\s\up14(→))＋3eq\o(MO,\s\up14(→))B.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝3eq\o(HM,\s\up14(→))－3eq\o(MO,\s\up14(→))C.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(HM,\s\up14(→))＋4eq\o(MO,\s\up14(→))D.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(HM,\s\up14(→))－4eq\o(MO,\s\up14(→))解析：如圖所示的Rt△ABC，其中角B為直角，則垂心H與B重合，因為O為△ABC的外心，所以OA＝OC，即O為斜邊AC的中點，又因為M為BC中點，所以eq\o(AH,\s\up14(→))＝2eq\o(OM,\s\up14(→))，因為M為BC中點，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(AM,\s\up14(→))＝2(eq\o(AH,\s\up14(→))＋eq\o(HM,\s\up14(→)))＝2(2eq\o(OM,\s\up14(→))＋eq\o(HM,\s\up14(→)))＝4eq\o(OM,\s\up14(→))＋2eq\o(HM,\s\up14(→))＝2eq\o(HM,\s\up14(→))－4eq\o(MO,\s\up14(→)).答案：D9.(2024·齊齊哈爾模擬)如圖，在△ABC中，點Q為線段AC上靠近點A的三等分點，點P為線段BQ上靠近點B的三等分點，則eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→)) B.eq\f(5,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(7,9)eq\o(BC,\s\up14(→))C.eq\f(1,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(10,9)eq\o(BC,\s\up14(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(7,9)eq\o(BC,\s\up14(→))解析：eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AQ,\s\up14(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)×eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\f(2,9)(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→)))＝eq\f(5,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(7,9)eq\o(BC,\s\up14(→)).答案：B10．(2024·武漢市部分學校在線學習摸底)已知單位向量eq\o(PA,\s\up14(→))，eq\o(PB,\s\up14(→))，eq\o(PC,\s\up14(→))滿意2eq\o(PA,\s\up14(→))＋3eq\o(PB,\s\up14(→))＋3eq\o(PC,\s\up14(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))的值為()A．eq\f(8,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．1解析：因為2eq\o(PA,\s\up14(→))＋3eq\o(PB,\s\up14(→))＋3eq\o(PC,\s\up14(→))＝0，所以eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(PA,\s\up14(→))，如圖，設BC中點為D，則eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up14(→))，且|eq\o(PA,\s\up14(→))|＝|eq\o(PB,\s\up14(→))|＝|eq\o(PC,\s\up14(→))|＝1，所以P，A，D三點共線，PD⊥BC，|eq\o(PD,\s\up14(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(PC,\s\up14(→))|＝eq\f(1,3)，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝eq\f(4,3)，所以△ABC為等腰三角形，＝eq\f(2\r(6),3)，所以cos∠BAC＝cos2∠CAD＝2cos2∠CAD－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AD,\s\up14(→))|,|\o(AC,\s\up14(→))|)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(AC,\s\up14(→))|cos∠BAC＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(2\r(6),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9).答案：A＝120°，AB＝AD＝1，若點E為邊CD上的動點，則eq\o(AE,\s\up14(→))·eq\o(BE,\s\up14(→))的最小值為()A．eq\f(21,16) B．eq\f(3,2)C．eq\f(25,16) D．3解析：連接BD，取AD中點為O，可知△ABD為等腰三角形，而AB⊥BC，AD⊥CD，所以△BCD為等邊三角形，BD＝eq\r(3).設eq\o(DE,\s\up14(→))＝teq\o(DC,\s\up14(→))(0≤t≤1)，2＝eq\f(3,2)＋eq\o(BD,\s\up14(→))·eq\o(DE,\s\up14(→))＋eq\o(DE,\s\up14(→))2＝3t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(3,2)(0≤t≤1)，所以當t＝eq\f(1,4)時，上式取最小值eq\f(21,16)，選A.答案：A12．(多選題)已知向量e1，e2是平面α內的一組基向量，O為α內的定點，對于α內隨意一點P，當eq\o(OP,\s\up14(→))＝xe1＋ye2時，則稱有序實數(shù)對(x，y)為點P的廣義坐標．若點A、B的廣義坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，關于下列命題正確的是()A．線段A、B的中點的廣義坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))B．A、B兩點間的距離為eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)C．向量eq\o(OA,\s\up14(→))平行于向量eq\o(OB,\s\up14(→))的充要條件是x1y2＝x2y1D．向量eq\o(OA,\s\up14(→))垂直于eq\o(OB,\s\up14(→))的充要條件是x1y2＋x2y1＝0解析：依據(jù)題意得，由中點坐標公式知A正確；只有平面直角坐標系中兩點間的距離公式B才正確，未必是平面直角坐標系因此B錯誤；由向量平行的充要條件得C正確；eq\o(OA,\s\up14(→))與eq\o(OB,\s\up14(→))垂直的充要條件為x1x2＋y1y2＝0，因此D不正確；故選AC.答案：AC13．(2024·廈門模擬)已知向量a＝(x，2)，b＝(2，1)，且a∥b，則|a|＝______．解析：由a∥b得，x·1－2×2＝0，即x＝4，所以|a|＝eq\r(42＋22)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)14．(2024·武漢外國語學校模擬)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，－1)．若(a－μb)⊥b，則實數(shù)μ的值為________．解析：由題意知a－μb＝(－3－2μ，2＋μ)，若(a－μb)⊥b，則2(－3－2μ)＋(2＋μ)·(－1)＝0，化簡得－8＝5μ，解得μ＝－eq\f(8,5).答案：－eq\f(8,5)15.(2024·南通如皋中學檢測)