北師版九上數(shù)學(xué)2.4用因式分解法求解一元二次方程教學(xué)課件

第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)1.因式分解法的定義.當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)

?

的乘積時(shí)，可把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，

這兩個(gè)一元一次方程的解就是原一元二次方程的解，這種解一

元二次方程的方法稱為因式分解法.一次因

式

2.用因式分解法求解一元二次方程的一般步驟.一般步驟示例（3

x2＝8

x

＋3）一整

理首先將原方程化為一般形式

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）3

x2－8

x

－3＝0二化

積將

ax2＋

bx

＋

c

因式分解（

x

－3）（3

x

＋1）＝0一般步驟示例（3

x2＝8

x

＋3）三轉(zhuǎn)化令每一個(gè)因式為0，轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)一元一次方程

x

－3＝0，或3

x

＋1＝0四求解解每一個(gè)一元一次方程，它

們的解就是原一元二次方程

的解.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練

用因式分解法解下列方程：（1）3

x2＝2

x

；（2）5

x

（

x

＋1）＝6（

x

＋1）；（3）2

x

（

x

－3）＝3

x

－9；（4）（

x

－3）2＝（2

x

＋1）2.【思路導(dǎo)航】先因式分解，再解方程：（1）變形后，提取公因

式

x

；（2）變形后，提取公因式（

x

＋1）；（3）變形后，提

取公因式（

x

－3）；（4）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解.

【點(diǎn)撥】因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：若兩個(gè)因式的積

為0，則這兩個(gè)因式至少有一個(gè)因式等于0.因式分解的常用方法

有：提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十

字相乘法.這幾種方法需要靈活并熟練運(yùn)用.

用因式分解法解下列方程：（1）（

x

＋8）（7

x

－5）＝0；

（2）（6

x

－1）2＝6

x

－1；

（3）

x

（4

x

＋11）＝8

x

＋22；

（4）2（

x

－3）＝

x2－9.解：

x1＝3，

x2＝－1.

【思路導(dǎo)航】（1）用公式法；（2）移項(xiàng)后，用平方差公式進(jìn)

行因式分解；（3）用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解；（4）把

（

x

＋4）看作一個(gè)整體，用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，再

解方程.

（3）原方程可變形為（

x

－1）（

x

－5）＝0.∴

x1＝1，

x2＝5.（4）原方程可變形為[（

x

＋4）－1][（

x

＋4）－3]＝0.∴（

x

＋4）－1＝0，或（

x

＋4）－3＝0.∴

x1＝－3，

x2＝－1.【點(diǎn)撥】通過對(duì)比此題中的各種解法，我們可以知道：①解一

元二次方程，優(yōu)先選擇因式分解法；②若無法進(jìn)行因式分解，

再考慮公式法.其中，“十字相乘法”需要熟練掌握.同時(shí)需要注

意的是，公式法能處理所有一元二次方程，但是計(jì)算量較大，

可作為最后的解題手段.

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（2）（3

x

－4）2＝（4

x

－3）2；解：

x1＝－1，

x2＝1.（3）3

x2＋2

x

－5＝0；

（4）（

x

－3）（

x

＋1）＝5.解：

x1＝－2，

x2＝4.

已知一元二次方程

x2－（2

k

＋1）

x

＋

k2＋

k

＝0.（1）求證：該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）已知△

ABC

的兩邊

AB

，

AC

的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，且第三邊

BC

的長(zhǎng)為5.當(dāng)△

ABC

是等腰三角形時(shí)，求

k

的值.【思路導(dǎo)航】（1）先計(jì)算出Δ的值，然后根據(jù)判別式的大小即

可得到結(jié)論；（2）先用因式分解法求出方程的解，再進(jìn)行分類

討論，最后求出

k

的值.（1）證明：∵Δ＝[－（2

k

＋1）]2－4（

k2＋

k

）＝1＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）解：∵

x2－（2

k

＋1）

x

＋

k2＋

k

＝0，∴

x2－[

k

＋（

k

＋1）]

x

＋

k

（

k

＋1）＝0.∴（

x

－

k

）[

x

－（

k

＋1）]＝0.∴

x1＝

k

，

x2＝

k

＋1.∵

k

＜

k

＋1，∴

AB

≠

AC

.

①當(dāng)

AB

＝

k

，

AC

＝

k

＋1，且

AB

＝

BC

時(shí)，

k

＝5，三邊長(zhǎng)5，

5，6能組成三角形，符合題意.②當(dāng)

AB

＝

k

，

AC

＝

k

＋1，且

AC

＝

BC

時(shí)，

k

＋1＝5.解得

k

＝4.

三邊長(zhǎng)4，5，5能組成三角形，符合題意.綜上所述，

k

的值為4或5.【點(diǎn)撥】對(duì)于含參數(shù)的一元二次方程，若題目中的條件涉及根

的值，可用十字相乘法求根，或者直接用公式法求根，且求出

的根含有參數(shù).對(duì)于一元二次方程與實(shí)際結(jié)合的問題，最后一定

要檢查解是否符合題意.

已知關(guān)于

x

的方程

kx2－（4

k

－3）

x

＋3

k

－3＝0.（1）求證：無論

k

取何值，該方程都有實(shí)數(shù)根；（1）證明：當(dāng)

k

≠0時(shí)，Δ＝[－（4

k

－3）]2－4

k

（3

k

－3）＝4

k2－12

k

＋9＝（2

k

－3）2≥0.∴無論

k

取何值（

k

≠0），原方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)

k

＝0時(shí)，方程變?yōu)?

x

－