平面向量的概念與運算

平面向量的概念與運算

知識剖析

知識點一平面向量的概念

1向量的概念

既有大小又有方向的量，常用四，a等表示；向量屈的長度是向量的模，記作|荏|.

PS平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的.

2常見向量的概念

名稱定義特點

零向量長度為0的向量零向量的方向是任意的

單位向量長度為一個單位長度的向量與前共線的單位向量是士瑞

相等向量長度相等且方向相同的兩個向量相等向量有傳遞性

平行向量方向相同或相反的非零向量a,b,

零向量和任何向量平行

（共線向量）記作a//b

相反向量長度相等方向相反的向量a的相反向量記作-a

PS

（1）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；

（2）平行向量無傳遞性！（因為有0）；

（3）因為平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點和終點，兩個向量

平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.

圖一線段48和CO,在①中是AB//CD,在②中是48、C。共線；

CD

①②（圖一）

圖二向量荏和而，對于向量來說共線與平行是同一概念，故①和②的情況是一樣.

①②（圖二）

知識點二平面向量的運算

1向量的加法

①向量加法的三角形法則

已知向量非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點A,作荏，阮=另,則向量而叫做日與3的和，記作3+3,

即,+5=荏+近=(相當于“首尾相接”)

②向量加法的平行四邊形法則

若近=益，而=丸則向量而叫做日與族的和，Sl!a+b=AB+AD=ACt

作圖

(/BCD是平行四邊形)

2向量的減法

①向量減法的幾何意義

已知向量二,b,在平面內(nèi)任取一點。，作a=五,OB=b,則耐=益一九

即a-B可以表示向量3的終點指向向量N的終點的向量.

②一般地，我們有

|a+b|<|a|+|b|

當且僅當21方向相同時等號成立.

③向量的加減法滿足交換律和結(jié)合律

④若。C=xOA+yOB

(1)如圖一，若4,B,C三點共線，則x+y=l；

(2)如圖二，若點。和點C在4B同側(cè),則x+y<l；

(3)如圖三，若點。和點C在4B異側(cè)，則x+y>l；

o

o

A

/c

Cb\

4B4

圖一圖二圖三

特殊的，在三角形A4BC中，點。是BC的中點，則而=9而+3前.

3向量數(shù)乘運算

一般地，我們規(guī)定實數(shù)/I與向量，的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作4出

它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)|4>=囚］訃

(2)當4>0時，版的方向與G的方向相同；當4<0時，發(fā)的方向與日方向相反；

4兩個向量共線

共線定理非零向量a與向量B共線o有且只有一個實數(shù)人使得另=4匯

當;1>0時，4五的方向與日的方向相同；

當a<o時，入五的方向與，方向相反；

當4=0時，Aa=0.

經(jīng)典例題

【題型一】向量的相關(guān)概念

【典題1】給出下列命題

①向量荏與方是共線向量，貝〃，B,C,0四點必在一直線上；

②若五,3滿足間>向且;與』同向,則五>b；

③若2=3,3=0,則己=己；

④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；

⑤若同=\b\,則蒼=B；

⑥若江〃石,b//c,則益〃,

其中正確命題數(shù)是哪些？

【題型二】共線定理

【典題1】點C在直線AB上，且=||而若而=4舐，則2=.

【題型三】向量的加減法

【典題1】若其+力=同一向，則3與3的夾角為.

【典題2】在△ABC中，D,E分別為邊4B,AC的中點，BE與CD交于點P,設方=d,

AC=b,則標=)

廠3.3rnIf,IE

A.-a+-bB.-a+-bC.—CL—bD.-u—b

33334466

【典題3】點。在△ABC的內(nèi)部，且滿足萬？+2而+4沆=6,則AABC的面積與AAOC的面積之比

是.

鞏固練習

1(★)對下列命題:

(1)若向量a與石同向，且同＞|瓦，則2＞另；

(2)若向量同=\b\,貝日與方的長度相等且方向相同或相反；

⑶對于任意向量?叫=而，若值與族的方向相同，則五=a

(4)由于6方向不確定，故6不與任意向量平行；

(5)向量日與石平行，則向量，與另方向相同或相反.

其中正確的命題的個數(shù)為:

2(*)在44口。中，AB=a,AC=b,若點。滿足麗=2比，則而=.(用d、B表示)

3(**)如圖，在回。4cB中，E是4c的中點，F(xiàn)是8C上的一點，5.BC=3BF,若而=+其中

m,nER,則m+幾的值為.

4(**)如圖，在△ABC中，AD=^AB,AE=^AC,BE和CD相交于點尸，則向量Q等于

5(***)設G是△ABC的重心，a,b,t;分別是角A,B,C所對的邊，若a必+b而+c元=I貝必ABC的

形狀是.

6(***)已知點。是△ABC內(nèi)部一點，并且滿足65+2而+3沆=6,ABOC的面積為Si，△A8C的面積

為S2,則自=.

7(★★★)在AABC中，E，F(xiàn)分別為,4C中點,P為線段E尸上任意一點，實數(shù)x,y滿足m+x而+y麗=6,

設UBC,△PCAAPAB的面積分別為S5,52，記3=；11，年=%，則%%取得最大值時，2x+