高中數(shù)學(xué)《分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》教案與分層同步練習(xí)

第六章計(jì)數(shù)原理

《6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》教案

第一課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.通過(guò)實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分

步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.通過(guò)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，提

2.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

原理.

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會(huì)議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從

泉城濟(jì)南前往北京參加會(huì)議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是

乘坐動(dòng)車組，假如這天飛機(jī)有3個(gè)航班可乘，動(dòng)車組有4個(gè)班次可乘.

問(wèn)題這個(gè)政協(xié)委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑可選？

提示該政協(xié)委員共有3+4=7（種）快捷途徑可選.

/口識(shí)梳理

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

正確運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是明確分類的標(biāo)準(zhǔn)并做到不重不漏

完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類

方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同

的方法，那么完成這件事共有N=mXn種不同的方法.

拓展深化

［微判斷］

1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.（X）

提示在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同的方案中，每一種方法都不相同.

2.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.（J）

3.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同

的.3

4.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的

步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成.（J）

［微訓(xùn)練］

1.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種

數(shù)為（）

A.6B.5

C.3D.2

解析由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有3+2=5（種）不同的選法.

答案B

2.一^1b袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩

個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有種不同的取法.

解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6X8=48（種）不同的取法.

答案48

［微思考］

用一個(gè)大寫的英文字母或0?9這10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個(gè)給教室里的座位編

號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

提示因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字0?9共有10個(gè)，所以總共可以編

出26+10=36（種）不同的號(hào)碼.

【課堂互動(dòng)】

題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

【例1】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為一.

解析法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分

成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4

個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+

6+5+4+3+2+1=36（個(gè)）.

法二分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：

個(gè)位數(shù)字是9,則十位數(shù)字可以是1,2,3,…，8中的一個(gè)，故共有8個(gè);

個(gè)位數(shù)字是8,則十位數(shù)字可以是1,2,3,…，7中的一個(gè)，故共有7個(gè);

同理，個(gè)位數(shù)字是7的有6個(gè)；

個(gè)位數(shù)字是2的有1個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=

36（個(gè)）.

答案36

【遷移1】（變條件）若本例條件變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么

這樣的兩位數(shù)有多少個(gè).

解當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9,只有1個(gè).

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7,8,9,共3個(gè).

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個(gè).

同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)，

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1+3+5+7+9=25（個(gè)）.

【遷移2】（變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)）用1,2,3這3個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字

的整數(shù)個(gè).

解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；

第二類為兩位整數(shù)，有12,21,23,32,13,31,共6個(gè)；

第三類為三位整數(shù)，有123,132,231,213,321,312,共6個(gè)，

???由分類加法計(jì)數(shù)原理知共可組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3+6+6=15（個(gè)）.

答案15

規(guī)律方法利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程

<^>~（將完成這件事的方法分成若干冢］

<^>~~］求出每一類的方法數(shù)一）

［將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果）

【訓(xùn)練1】滿足a,be{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax'+2x+b=0有

實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為()

A.14B.13

C.12D.10

解析由關(guān)于x的方程ax?+2x+b=0有實(shí)數(shù)解，得a=0,b￡R或aWO時(shí)，

abWl.

又a,b6{-1,0,1,2},故

若a=-l時(shí)，b=-l,0,1,2,有4種可能；

若a=0時(shí)，b=-l,0,1,2,有4種可能；

若a=l時(shí)，b=-1,0,1,有3種可能；

若a=2時(shí)，b=—1,0,有2種可能.

...由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有(a,b)的個(gè)數(shù)為4+4+3+2=13.

答案B

題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理

【例2】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)P(x,y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0,1,2,3)

內(nèi)取值，則可以組成多少個(gè)不同的點(diǎn)P?

解確定點(diǎn)P的坐標(biāo)必須分兩步，即分步確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo).

第一步，確定橫坐標(biāo)，從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有4種方法；

第二步，確定縱坐標(biāo)，從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，也有4種方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所有不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4X4=16.故可以組成16個(gè)

不同的點(diǎn)P.

規(guī)律方法應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問(wèn)題：

(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某種方法

是不是能完成這件事，也就是說(shuō)要經(jīng)過(guò)幾步才能完成這件事.

(2)完成這件事要分若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺

少哪一步，這件事都不可能完成，即各步之間是關(guān)聯(lián)的，相互依存的，只有前

步完成后步才能進(jìn)行.

(3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，

才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整.

【訓(xùn)練2】用0,1,2,3,4,5,6這七個(gè)數(shù)字共能組成多少個(gè)兩位數(shù)？

解第一步，確定十位數(shù)字，1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字都可以選擇，有6種

方法；

第二步，確定個(gè)位數(shù)字，0,1,2,3,4,5,6七個(gè)數(shù)字都可以選擇，有7種

選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的兩位數(shù)共有6*7=42（個(gè)）.

故可以組成42個(gè)兩位數(shù).

題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例3】現(xiàn)有高一年級(jí)的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7

人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.

⑴選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

（2）每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

（3）推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？

解（1）分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班

學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第

四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法.所以，共有不同的選法N=7+8+

9+10=34（種）.

⑵分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組

長(zhǎng).

所以，共有不同的選法N=7X8X9X10=5040（種）.

（3）分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7X8種不同的選

法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7X9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中

各選1人，有7義10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8X9種不

同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8X10種不同的選法；從三、四班

學(xué)生中各選1人，有9X10種不同的選法.

所以，共有不同的選法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=

431（種）.

規(guī)律方法（1）在處理具體的應(yīng)用題時(shí)，首先必須弄清是“分類”還是“分

步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處

理事件，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.

（2）對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理

的問(wèn)題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、清晰.

【訓(xùn)練3】某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門，其中7人會(huì)

英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少

種不同的選法？

解由題意，知有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，6人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ).

法一分兩類.

第一類：從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)、有6種選法，則說(shuō)日語(yǔ)的有2+1

=3（種）選法.此時(shí)共有6X3=18（種）選法.

第二類：從不只會(huì)英語(yǔ)的1人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，有1種選法，則選會(huì)日語(yǔ)的有

2種選法，止匕時(shí)有IX2=2（種）選法.

所以由分類加法計(jì)算原理知，共有18+2=20（種）選法.

法二設(shè)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后

又要分兩種：（D教英語(yǔ)；（2）教日語(yǔ).

第一類：甲入選.

（1）甲教英語(yǔ)，再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1X2

=2（種）選法；

（2）甲教日語(yǔ)，再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1X6

=6（種）選法.

故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類：甲不入選.可分兩步.

第一步，從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法：第二步，從只會(huì)日語(yǔ)的2人

中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有6X2=12（種）不同的選法.

綜上，共有8+12=20（種）不同選法.

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

2.應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí)，要仔細(xì)區(qū)分原理的不同，分類加法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分

類，不同類之間互相排斥，互相獨(dú)立；分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分步，各步

之間互相依存，互相聯(lián)系.

3.通過(guò)對(duì)這兩個(gè)原理的學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步體會(huì)分類討論思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解

題中的應(yīng)用.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3

次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具從A地到B地

的不同走法的種數(shù)為（）

A.1+1+1=3B.34-4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不對(duì)

解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火

車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走

法.所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3+4+2=9（種）不同的走法.

答案B

2.現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學(xué)生參

加評(píng)選會(huì)議，則不同的選法種數(shù)為（）

A.39B.24

C.15D.16

解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再?gòu)?3名學(xué)生中任選1名，有

13種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3X13=39.

答案A

3.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的

老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

C.12D.9

解析由題意可知E-F共有6條最短路徑，F(xiàn)-G共有3條最短路徑，由分步

乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6X3=18（條）最短路徑，故選B.

答案B

4.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+

bi,其中虛數(shù)有個(gè).

解析第一步取b的數(shù)，有6種方法，第二步取a的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6X6=36（種）方法，即共組成36個(gè)虛數(shù).

答案36

5.從-1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax?+bx+c的

各項(xiàng)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共

有個(gè).

解析一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a,b,c（a70）的一組取值，a的取法有3種，b的

取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有二次函數(shù)的個(gè)數(shù)

為3X3X2=18.其中不同的偶函數(shù)的個(gè)數(shù)為3X2=6.

答案186

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂(lè)新聞

雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有（）

A.24種B.9種

C.3種D.26種

解析不同的雜志本數(shù)為4+3+2=9,從其中任選一本閱讀，共有9種選法.

答案B

2.已知xe｛2,3,7｝,yG｛-31,-24,4｝,則（x,y）可表示不同的點(diǎn)的個(gè)

數(shù)是（）

A.1B.3

C.6D.9

解析可分為兩步完成：第一步，在集合｛2,3,7｝中任取一個(gè)值x有3種方

法；第二步，在集合｛-31,-24,4｝中任取一個(gè)值y有3種方法.根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理知，有3X3=9（個(gè)）不同的點(diǎn).

答案D

3.某體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門，北側(cè)有3個(gè)大門，小李到體育場(chǎng)看比賽，則他

進(jìn)、出門的方案有（）

A.12種B.7種

C.14種D.49種

解析完成進(jìn)、出體育場(chǎng)門這件事，需要分兩步，第一步進(jìn)體育場(chǎng)，第二步出

體育場(chǎng).

第一步進(jìn)門共有4+3=7（種）方法，

第二步出門共有4+3=7（種）方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，進(jìn)、出門的方案有7X7=49（種）.

答案D

4.5名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不

同的報(bào)名方法共有（）

A.10種B.20種

C.25種D.32種

解析每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，各有2種報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，不同的報(bào)名方法共有2，=32（種）.

答案D

5.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面

組”.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的

“平行線面組”的個(gè)數(shù)是（）

A.60B.48

C.36D.24

解析長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”有6X6=36（個(gè)），另外含4個(gè)

頂點(diǎn)的6個(gè)面（非表面）構(gòu)成的“平行線面組”有6X2=12（個(gè)），所以共有36+

12=48（個(gè)）.

答案B

二、填空題

6.已知a￡{2,4,6,8},be{3,5,7,9},則能使log,,b>l的對(duì)數(shù)值有

__________個(gè).

解析分四類，當(dāng)a=2時(shí)，b取3,5,7,9四種情況；

當(dāng)a=4時(shí)，b取5,7,9三種情況；

當(dāng)a=6時(shí)，b取7,9兩種情況；

當(dāng)a=8時(shí)，b取9一種情況，

所以總共有4+3+2+1=10種,又log23=log,9,

所以對(duì)數(shù)值有9個(gè).

答案9

7.用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為

解析由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題.

若個(gè)位數(shù)字為0,前兩位的排法種數(shù)為9X8=72；

若個(gè)位數(shù)字不為0,則確定個(gè)位數(shù)字有4種方法，

確定百位數(shù)字有8種方法，確定十位數(shù)字有8種方法，

所以排法種數(shù)為4X8X8=256.

所以可以組成256+72=328(個(gè))沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).

答案328

8.如圖所示，在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不

通.今發(fā)現(xiàn)A,B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有種.

解析按照焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：

第1類，脫落1個(gè)，有1,4,共2種；

第2類，脫落2個(gè)，有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),

共6種；

第3類，脫落3個(gè)，有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4

種；

第4類，脫落4個(gè)，有(1,2,3,4),共1種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有2+6+4+1=13(種)焊接點(diǎn)脫落的情況.

答案13

三、解答題

9.用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若把每位數(shù)字

比其左鄰的數(shù)字小的數(shù)叫做“漸降數(shù)”，求上述四位數(shù)中“漸降數(shù)”的個(gè)數(shù).

解分三類：

第一類，千位數(shù)字為3時(shí)，要使四位數(shù)為“漸降數(shù)”，則四位數(shù)只有3210,

共1個(gè)；

第二類，千位數(shù)字為4時(shí)，“漸降數(shù)”有4321,4320,4310,4210,共4

個(gè)；

第三類，千位數(shù)字為5時(shí)，“漸降數(shù)”有5432,5431,5430,5421,5

420,5410,5321,5320,5310,5210,共10個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有1+4+10=15個(gè)“漸降數(shù)”.

10.王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語(yǔ)書，4本不同的數(shù)

學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.

(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？

(2)若帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？

(3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，則有多少種不同的

帶法？

解(1)完成的事情是帶一本書，無(wú)論帶外語(yǔ)書，還是數(shù)學(xué)書、物理書，事情都

已完成，從而確定應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5+4+3=12(種)不同的帶

法.

(2)完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理書中各選

1本后，才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5X4X3=60(種)

不同的帶法.

(3)選1本外語(yǔ)書和選1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，有5X4=20種選

法；同樣，選外語(yǔ)書、物理書各1本，有5義3=15種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書

各1本，有4X3=12種選法.即有三類情況，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有

20+15+12=47(種)不同的帶法.

能力提升

11.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共

邊的三角形有個(gè).

解析滿足條件的有兩類：

第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有?=8（個(gè)）；

第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2=8X4=32（個(gè)），

所以滿足條件的三角形共有8+32=40（個(gè)）.

答案40

12.已知集合八={2,4,6,8,10）,B={1,3,5,7,9）,在A中任取一元

素m和在B中任取一元素n,組成數(shù)對(duì)（m,n）,問(wèn)：（1）有多少個(gè)不同的數(shù)對(duì)？

（2）其中所取兩數(shù)滿足m>n的數(shù)對(duì)有多少個(gè)？

解（1）?.?集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9）,在A中任取一元

素m和在B中任取一元素n,組成數(shù)對(duì)（m,n）,先選出m有5種結(jié)果，再選出n

有5種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5X5=25（個(gè)）不同的數(shù)對(duì).

（2）在（1）中的25個(gè)數(shù)對(duì)中所取兩數(shù)滿足m>n的數(shù)對(duì)可以分類來(lái)解，當(dāng)m=2

時(shí)，n=l,有1種結(jié)果；當(dāng)m=4時(shí)，n=l,3有2種結(jié)果；當(dāng)m=6時(shí)，n=

1,3,5有3種結(jié)果；當(dāng)m=8時(shí)，n=l,3,5,7有4種結(jié)果；當(dāng)m=10時(shí)，n

=1,3,5,7,9有5種結(jié)果.綜上所述共有1+2+3+4+5=15（個(gè)）不同的數(shù)

對(duì).

創(chuàng)新猜想

13.（多空題）在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有

種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，

有種不同的方法.

圖1圖2

解析對(duì)于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個(gè)開(kāi)關(guān)或B中的三個(gè)開(kāi)關(guān)

中合上一個(gè)即可，故有2+3=5（種）不同的方法.

對(duì)于圖2,按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：

第一步，合上A中的一個(gè)開(kāi)關(guān)；

第二步，合上B中的一個(gè)開(kāi)關(guān)，

故有2X3=6（種）不同的方法.

答案56

14.（多空題）一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，從中任選1名同學(xué)

參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法種；若從中任選1名女同學(xué)和

1名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法種.

解析根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽共有5+4=

9（種）選派方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參

加學(xué)科競(jìng)賽共有4X5=20（種）選派方法.

答案920

第二課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步

通過(guò)進(jìn)一步應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，提

乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.

升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，

能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風(fēng)很愜

意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟(jì)南辦事，再于次日從濟(jì)南乘汽車

到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？

問(wèn)題上述情境中，小新從棗莊到濟(jì)南共有多少種不同的走法？

提示因?yàn)槌嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一

次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3X2=6（種）不同的走法.

上知識(shí)梳理

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)，要明確是需要分類還是需要分步，有時(shí)，可能既

要分類又要分步

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種類

分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每步依次完成才算完成這件事

不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法都能

（每步中的一種方法不能獨(dú)立完

獨(dú)立完成這件事

成這件事）

注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整

拓展深化

［微判斷］

1.分類計(jì)數(shù)是指將完成這件事的所有方式進(jìn)行分類，每一類都能獨(dú)立完成該事

件.（J）

2.分步計(jì)數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當(dāng)完成所有的步驟時(shí)，這個(gè)事

件才算完成.（J）

3.當(dāng)一個(gè)事件既需要分步又需要分類時(shí)，分步和分類沒(méi)有先后之分.（X）

提示當(dāng)一個(gè)事件既需要分步又需要分類時(shí)，通常要明確是先分類后分步還是

先分步后分類，并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問(wèn)題.

［微訓(xùn)練］

1.有A,B兩種類型的車床各一臺(tái)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都

會(huì)操作兩種車床，丙只會(huì)操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作

這兩種車床，則不同的選派方法有（）

A.6種B.5種

C.4種D.3種

解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，

有1種方法；若選乙、丙，有1種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選

派方法有2+1+1=4（種）.

答案C

2.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，

如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有（）

A.24種B.48種

C.64種D.81種

解析由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不

能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4X3X2=24（種）不同的參賽方法.

答案A

［微思考］

用前6個(gè)大寫英文字母和1?9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A”A2,B”B?,…的

方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？

提示編寫一個(gè)號(hào)碼要先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可

以用樹(shù)形圖列出所有可能的號(hào)碼.如圖：

由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)

碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54（個(gè)）不同的號(hào)碼.

【課堂互動(dòng)】

題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用

[例1]用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，

（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？

（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？

（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解（1）三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有

5種排法，共有5X5X5=5』125（種），即可以排成125個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)

碼.

（2）三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外

共有4種方法，第二、三位可以排0,因此，共有4X5X5=100（種），即可以

排成100個(gè)三位數(shù).

⑶被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4,因此，可以分兩類，一類是

末位數(shù)字是0,則有4X3=12（種）排法；一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2

種排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3

種排法，因此有2X3X3=18（種）排法.因而有12+18=30（種）排法,即可以

排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

【遷移】（變?cè)O(shè)問(wèn)）由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇

數(shù)？

解完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)

位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中

除去用過(guò)的一個(gè)剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下

的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步

乘法計(jì)數(shù)原理知共有2X3X3X2=36（個(gè)）.

規(guī)律方法對(duì)于組數(shù)問(wèn)題，應(yīng)掌握以下原則：

（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般

按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊位置（或特殊元素）優(yōu)先的策略

分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.

（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.

【訓(xùn)練1】從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)

字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.18

C.12D.6

解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，

偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開(kāi)始分析（3種情況），之后

十位（2種情況），最后百位（2種情況），共12種；如果是第二種情況偶奇奇：

個(gè)位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0,一種情況），共6種，因此

總共有12+6=18（種）情況.故選B.

答案B

題型二分配問(wèn)題

【例2】高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，

其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有

（）

A.360種B.420種

C.369種D.396種

解析法一（直接法）

以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為四類：

第一類，四個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；

第二類，有三個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案共有

4X4=16（種）;

第三類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠，其分配方案共

有6X4X4=96（種）；

第四類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，其他班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案有

4X4X4X4=256（種）.

綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（種）.

法二（間接法）

先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即：

5X5X5X5-4X4X4X4=369（種）方案.

答案C

規(guī)律方法選（抽）取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類型及其解法

（1）當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹(shù)形圖法、框圖法或者圖表法.

（2）當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：

①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序

的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.

②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的

抽取方法數(shù)即可.

【訓(xùn)練2]（1）有4位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)

學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是（）

A.11B.10

C.9D.8

（2）從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，

若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有（）

A.280種B.240種

C.180種D.96種

解析（1）法一設(shè)四個(gè)班級(jí)分別是A,B,C,D,它們的老師分別是a,b,c,

d,并設(shè)a監(jiān)考的是B,則剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)，共有3種

不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C,D時(shí)，剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)

也各有3種不同的方法.這樣，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3+3+3=9（種）不

同的安排方法.

法二讓a先選，可從B,C,D中選一個(gè)，即有3種選法.若選的是B,則b

從剩下的3個(gè)班級(jí)中任選一個(gè)，也有3種選法，剩下的兩個(gè)老師都只有一種選

法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3X3X1X1=9（種）不同安排方法.

（2）由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1

人，有4種選法.后面三項(xiàng)工作的選法有5X4X3種，因此共有4X5X4X3=

240（種）選派方案.

答案（DC（2）B

題型三涂色問(wèn)題

【例3】如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計(jì)”四個(gè)區(qū)域分別涂

上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不

同的顏色，有多少種不同的涂色方法？

解創(chuàng)、新、設(shè)、計(jì)四個(gè)區(qū)域依次涂色，分四步.

第1步，涂“創(chuàng)"區(qū)域，有3種選擇.

第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇.

第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選

擇.

第4步，涂“計(jì)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設(shè)”區(qū)域顏色不同，有1種選擇.

所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3X2X1X1=6（種）.

規(guī)律方法求解涂色（種植）問(wèn)題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法

有：

（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；

（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類

加法計(jì)數(shù)原理分析；

⑶對(duì)于涂色（立方體）問(wèn)題將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問(wèn)題.

【訓(xùn)練3】如圖所示，一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四塊，現(xiàn)有四種不同的花

供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種

數(shù)為（）

A.96B.84

C.60D.48

解析依次種A,B,C,D4塊，當(dāng)C與A種同一種花時(shí)，有4X3X1X3=

36（種）種法；當(dāng)C與A所種的花不同時(shí)，有4X3X2X2=48（種）種法.由分類

加法計(jì)數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36+48=84.

答案B

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)最基本，也是最重要的原理，

是解答排列、組合問(wèn)題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題的基礎(chǔ).

3.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨(dú)立完成；應(yīng)用分

步乘法計(jì)數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過(guò)的若干彼此獨(dú)立的步驟.一般

是先分類再分步，分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)好分類方案，防止重復(fù)和遺

漏.若正面分類種類比較多，而問(wèn)題的反面種類比較少時(shí)，則使用間接法會(huì)簡(jiǎn)

單一些.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.已知函數(shù)y=ax?+bx+c為二次函數(shù)，其中a,b,cG{0,1,2,3,4）,則

不同的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.125B.15

C.100D.10

解析若y=ax2+bx+c為二次函數(shù)，則aWO,要完成該事件，需分步進(jìn)行：

第一步，對(duì)于系數(shù)a有4種不同的選法；

第二步，對(duì)于系數(shù)b有5種不同的選法；

第三步，對(duì)于系數(shù)c有5種不同的選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4X5X5=100（個(gè)）.

答案C

2.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.144B.120

C.72D.24

解析剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人（不妨記為甲、乙、丙）選擇就座,

因此，可分三步：甲從4個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有4種不同的選擇；乙從余

下的3個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個(gè)空隙中任

選一個(gè)空隙，有2種不同的選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，任何兩人不相鄰的

坐法種數(shù)為4X3X2=24.故選D.

答案D

3.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采取五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為

止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種

C.20種D.30種

解析由題意知，比賽局?jǐn)?shù)最少為3局，至多為5局.當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為3局時(shí)，

情形為甲或乙連贏3局，共2種；當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為4局時(shí)，若甲贏，則前3局中

甲贏2局，最后一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，

所以共有6種情形；當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為5局時(shí)，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最

后一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4

局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以比賽局?jǐn)?shù)為5局時(shí)共有2X6=

12（種），綜上可知,共有2+6+12=20（種）.故選C.

答案C

4.（ai+a2）?（bi+b^+b：）,（ci+cz+cs+cj的展開(kāi)式中有項(xiàng).

解析要得到項(xiàng)數(shù)分三步：

第一步，從第一個(gè)因式中取一個(gè)因子，有2種取法；

第二步，從第二個(gè)因式中取一個(gè)因子，有3種取法；

第三步，從第三個(gè)因式中取一個(gè)因子，有4種取法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2X3X4=24（項(xiàng)）.

答案24

5.將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰

的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有種.

解析分別用a,b,c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)

放入a,再安排第二塊田，有2種方法b或c,不妨設(shè)放入b,第三塊也有2種

方法a或c.

（1）若第三塊田放c：

abc

第四、五塊田分別有2種方法，共有2X2=4（種）方法.

（2）若第三塊田放a：

aba

第四塊有b或c2種方法：

①若第四塊放c：

abac

第五塊有2種方法；

②若第四塊放b：

abab

第五塊只能種作物c,共1種方法.

綜上，共有3X2X（2X2+2+l）=42（種）方法.

答案42

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.15B.12

C.10D.5

解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其

中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理

知共有偶數(shù)1+2+2=5（個(gè)）.

答案D

2.甲、乙、丙三人踢健子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開(kāi)始踢，經(jīng)

過(guò)4次傳遞后，鍵子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）

A.4種B.5種

C.6種D.12種

解析若甲先傳給乙，則有甲f乙f甲f乙f甲，甲f乙f甲一丙f甲，甲f

乙f丙f乙f甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故

共有3+3=6（種）不同的傳法.

答案C

3.若三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4,另外兩邊長(zhǎng)分別為b,c,

且滿足bW4Wc,則這樣的三角形有（）

A.10個(gè)B.14個(gè)

C.15個(gè)D.21個(gè)

解析當(dāng)b=l時(shí)，c=4；當(dāng)b=2時(shí)，c=4,5；當(dāng)b=3時(shí)，c=4,5,6；當(dāng)

b=4時(shí)，c=4,5,6,7.故共有1+2+3+4=10（個(gè)）這樣的三角形.

答案A

4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7）,從兩個(gè)集合中各取一個(gè)

元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.18B.16

C.14D.10

解析分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標(biāo)，以集合N中的元素為縱坐

標(biāo)，有3X2=6（個(gè)）不同的點(diǎn)，二是以集合N中的元素為橫坐標(biāo)，以集合M中

的元素為縱坐標(biāo)，有4X2=8（個(gè)）不同的點(diǎn)，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有6+

8=14（個(gè)）不同的點(diǎn).

答案C

5.有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同

的涂色方法共有（）

A.4320種B.2880種

C.1440種D.720種

解析第1個(gè)區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個(gè)區(qū)域有5種不同的涂色方

法，第3個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，

第5個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6X5X4X3X4X3=4320（種）不同的涂色方法.

答案A

二、填空題

6.如圖所示為一電路圖，則從A到B共有條不同的單支線路可通

電.

解析按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1

條，下線路中有2義2=4（條）.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3+1+4=

8（條）.

答案8

7.古人用天干、地支來(lái)表示年、月、日、時(shí)的次序.用天干的“甲、丙、戊、

庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、

己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成

組.

解析分兩類：第一類，由天干的‘'甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、

寅、辰、午、申、戌”相配，則有5*6=30（組）不同的結(jié)果；同理，第二類也

有30組不同的結(jié)果，共可得到30+30=60（組）.

答案60

8.4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的

一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，則不同的報(bào)法有種.

解析由于每個(gè)同學(xué)報(bào)哪個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)沒(méi)有限制，因此，每個(gè)同學(xué)都有3種報(bào)名方

法，4個(gè)同學(xué)全部報(bào)完，才算完成這件事，故共有3X3X3X3=81（種）不同的

報(bào)法.

答案81

三、解答題

9.將三個(gè)分別標(biāo)有A,B,C的球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中.

求：（1）1號(hào)盒中無(wú)球的不同方法種數(shù)；

（2）1號(hào)盒中有球的不同放法種數(shù).

解（1）1號(hào)盒中無(wú)球即A,B,C三球只能放入2,3,4號(hào)盒子中，有3?=

27（種）放法；

（2）1號(hào)盒中有球可分三類：一類是1號(hào)盒中有一個(gè)球，共有3X32=27（種）放

法，一類是1號(hào)盒中有兩個(gè)球，共有3X3=9（種）放法，一類是1號(hào)盒中有三

個(gè)球，有1種放法.共有27+9+1=37（種）放法.

10.若直線方程Ax+By=0中的A,B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取

兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？

解分兩類完成.

第1類，當(dāng)A或B中有一個(gè)為。時(shí)，表示的直線為x=0或y=0,共2條.

第2類，當(dāng)A,B都不為0時(shí)，直線Ax+By=0被確定需分兩步完成.

第1步，確定A的值，有4種不同的方法；

第2步，確定B的值，有3種不同的方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共可確定4X3=12（條）直線.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，方程所表示的不同直線共有2+12=14（條）.

能力提升

11.方程ay=b-'x'+c中的a,b,cG{—3,—2,0,1,2,3},且a,b,c互

不相同.在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）

A.60條B.62條

C.71條D.80條

解析利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理結(jié)合分類討論思想求解.

當(dāng)a=l時(shí)：若c=0,則b?有2個(gè)取值，共2條拋物線；若cWO,則c有4個(gè)

取值，b?有2個(gè)取值，共有2X4=8（條）拋物線.

當(dāng)a=2時(shí)：若c=0,則b?有3個(gè)取值，共有3條拋物線；若cWO,當(dāng)c取1

時(shí)，b?有2個(gè)取值，共有2條拋物線；當(dāng)c取一2時(shí)，旨有2個(gè)取值，共有2條

拋物線；當(dāng)c取3時(shí)，有3個(gè)取值，共有3條拋物線；當(dāng)c取一3時(shí)，b?有3

個(gè)取值，共有3條拋物線.

/.a=2時(shí)共有3+2+2+3+3=13（條）拋物線.

同理，a=-2,-3,3時(shí)，共有拋物線3X13=39（條）.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有拋物線39+13+8+2=62（條）.

答案B

12.某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如

下表：（單位：人）

參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)

參加演講社團(tuán)85

未參加演講社團(tuán)230

（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

⑵在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8