高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 7.4 高階線性微分方程

則稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān);線性無關(guān).個(gè)函數(shù),如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)

使得

否則,稱為7.4高階線性微分方程7.4.1函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)

n階微分方程的通解中含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),設(shè)是定義在區(qū)間I上的n常數(shù)的獨(dú)立性可以歸結(jié)為函數(shù)的線性相關(guān)性的討論.例1證明函數(shù)在證上線性相關(guān).由三角函數(shù)恒等式有線性相關(guān).例2證明函數(shù)在令x=0,得k1=0.證假設(shè)

線性無關(guān).故,在線性無關(guān).等式兩端對(duì)x

求導(dǎo),再令x=0,得k2=0.依次類推,可得

例3設(shè)可微，令x=0,得k1=0.證設(shè)

且故

線性無關(guān).等式兩端對(duì)x

求導(dǎo),再令x=0,得k2=0.即證明：線性無關(guān).存在不全為零的常數(shù)k1

和k2,使得特別地,只考慮k1≠0的情況即y1(x)可以由y2(x)線性表示.進(jìn)而

數(shù)中至少有一個(gè)函數(shù)可以用其它的函數(shù)線性表示.對(duì)于線性相關(guān)的兩個(gè)函數(shù)與n個(gè)函數(shù)線性相關(guān)是說:這組此時(shí)只用一個(gè)任意常數(shù)C3,以及C3

y2(x)就可以表示和的任意線性組合C1y1(x)+C2

y2(x).說明C1和C2不是獨(dú)立的任意常數(shù).n階非齊次線性微分方程的一般形式為7.4.2線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

稱為(7-7)所對(duì)應(yīng)的n階齊次線性微分方程.其中為已知的連續(xù)函數(shù),且不恒為零.

性質(zhì)2如果y1(x)、y2(x)是方程(7-8)的解,則y1(x)+y2(x)也是方程性質(zhì)1如果y(x)是方程(7-8)的解,則Cy(x)也是方程(7-8)的解,線性微分方程的基本性質(zhì)性質(zhì)3如果y1(x),y2(x)是方程(7-7)的解,則y1(x)-y2(x)也是方程(7-8)的解。其中C

為任意常數(shù).(7-8)的解.稱為(7-9)所對(duì)應(yīng)的二階齊次線性微分方程.特別地,二階非齊次線性微分方程記為其中不恒為零.

方程定理7.1設(shè)函數(shù)是二階非齊次線性微分方程(7-9)的一個(gè)特解,函數(shù)是方程對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程(7-10)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則

是方程(7-10)的通解,其中是任意常數(shù).

是方程(7-9)的通解,其中是任意常數(shù).

證(1)先證明C1y1+C2y2

是方程(7-10)的解.因?yàn)閥1

和y2

是方程(7-10)的解,所以代入方程(7-10),有則是(7-10)的解.由有又因線性無關(guān),所以是獨(dú)立的任意常數(shù).

故是方程(7-10)的通解.是方程(7-8)的通解,一般地,如果是n階非齊次線性微分方程(7-7)函數(shù)是其對(duì)應(yīng)的齊次線

是方程(7-7)的通解,其中是任意常數(shù).

的一個(gè)特解,

性方程(7-8)的n個(gè)線性無關(guān)的特解,

則

定理7.2(疊加原理)

的解,和

則是方程的解.定理