高等數(shù)學教程　下冊　第4版 課件 9.1空間向量及其運算

第九章

空間曲線與空間曲面9.1空間向量及其運算在空間取定一點O,作三條互相垂直的數(shù)軸,豎軸它們都以O(shè)為原點,三個坐標軸的正方向符合右手系.坐標軸.即以右手握住

z軸,x軸以角度轉(zhuǎn)向正向y軸時,大拇指的指向稱為空間直角坐標系這三條軸統(tǒng)稱為縱軸就是z

軸的正向.橫軸ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標系共有八個卦限.Ⅶ任意兩個軸所確定的平面稱為坐標面.空間的點P點的P坐標其中x、y、z分別稱為點P的橫坐標、縱坐標和豎坐標.為空間兩點,則空間兩點間距離公式為向量:既有大小又有方向的量.向量表示:零向量:模為0的向量,向量的模:向量的大小.單位向量:模為1的向量.或或或為終點的有向線段.以

為起點,記作分別表示與x軸、y軸和z軸同方向的稱為基本單位向量.空間直角坐標系中,用記作如果兩個非零向量與的方向相同或相反,則稱向量與平行,

記作相等向量:單位向量,大小相等且方向相同的向量.稱

設(shè)向量是以為起點，

為終點，為終點，向量是以坐標系原點O為起點顯然為向量的坐標,并記定義9.1(向量的加法)

設(shè)向量稱為向量與的和,記作這種做兩向量之和的方法叫做向量相加的三角形法則.任取一點A,作向量再以B為起點,作向量

連接AC,則向量注意到

有稱為向量按基本單位向量的分解式稱為向量在x軸、y軸和z軸上的分向量,

稱為向量在x軸、y軸和z軸上的投影.設(shè)向量定理9.1

向量的加法滿足下列運算律(1)交換律(2)結(jié)合律定義9.2(向量與數(shù)的乘法)定義為實數(shù),稱為向量與實數(shù)的數(shù)乘.設(shè)向量定理9.2向量的數(shù)乘滿足下列運算律(1)結(jié)合律(2)第一分配律(3)第二分配律特別地,記

顯然,

稱為的負向量,同方向的單位向量.非零向量與三個坐標軸正向的夾角稱為非零向量

的方向角.方向角的余弦叫做向量的方向余弦非零向量的方向余弦為且解例9.1設(shè)已知兩點計算向量

的模、方向余弦和方向角.定義9.3(向量的數(shù)量積)

設(shè)為向量,是它們夾角.

稱為向量

與的數(shù)量積,即設(shè)為向量,則向量

在向量的上一般地,的投影為向量的數(shù)量積有明確的物理意義：

沿直線從點則力所做的功為移動到點當物體在常力作用下,定理9.3數(shù)量積滿足下列運算律(1)交換律(2)分配律(3)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

其中為任意實數(shù).

則

數(shù)量積的坐標表達式設(shè)向量故

數(shù)量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量垂直的充要條件為設(shè)向量兩向量垂直的充要條件解例9.2設(shè)已知三點且求的夾角.所以

例9.3設(shè)液體流過平面S

上面積為A

的一個區(qū)域,液體在這個區(qū)域上各點處的流速均為(常向量)v,設(shè)向量n

為垂直于S

的單位向量,計算單位時間經(jīng)過這區(qū)域流向n

所指一側(cè)的液體的質(zhì)量(液體的密度為)解單位時間內(nèi)流過此區(qū)域的液體組成一個底面積為A,斜高|v|的斜柱體.這個柱體的斜高與底面的夾角就是v

與n

的夾角.

體積為單位時間內(nèi)經(jīng)過這個區(qū)域流量n所指一方的液體的質(zhì)量為設(shè)為向量,向量

與的向量積.定義向量的模為方向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來確定,

稱為向量積的幾何意義