高等數(shù)學教程　下冊　第4版 課件 11.1 二重積分的概念與性質(zhì)_第1頁
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文檔簡介

第十一章重積分11.1二重積分的概念與性質(zhì)11.1.1二重積分的概念柱體體積

=底面積×高

平頂柱體問題11.1求曲頂柱體的體積曲頂柱體體積=?D曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割區(qū)域

D,化整為零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.積零為整2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取極限

i2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零V=3.積零為整x0z

yS:z=f(x,y)4.取極限V2.以平代曲V=1.任意分割區(qū)域

D,化整為零3.積零為整也表示它的面積,定義(1)將閉區(qū)域

D任意分成n個小閉區(qū)域

(2)作乘積

(3)并作和D設(shè)是有界閉區(qū)域

D的有界函數(shù),積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素若和式則稱函零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨近于的極限存在,記為即(4)數(shù)在區(qū)域D上可積，在閉區(qū)域D上的二重積分,此極限為函數(shù)曲頂柱體體積曲頂

即在底D上的二重積分,二重積分的幾何意義當被積函數(shù)小于零時,柱體體積,又可看成是D的面積.數(shù)值上既可看成是以D為底,以1為高的二重積分是柱體的體積的負值．特別地例1

設(shè)D為圓域二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積:RD2.在直角坐標系下用平行于坐二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負.則面積元素為D標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,性質(zhì)1(二重積分的線性性質(zhì))二重積分與定積分有類似的性質(zhì)11.1.2二重積分的性質(zhì)性質(zhì)2(積分對區(qū)域的可加性)

oxyD1D2D1與D2除分界線外無公共點.D性質(zhì)3(保號性)

例的值=().(A)為正(B)為負(C)等于0(D)不能確定為負B進而有性質(zhì)4(積分估值定理)性質(zhì)5(積分中值定理)則設(shè)

,分別是

在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積.則在D上至少存在一點使得

為D的設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),面積,解區(qū)域D的面積例2

不作計算,估計的值,其中D是橢圓閉區(qū)域：在D上，由性質(zhì)5知解故于是

三角形斜邊方程例3

比較積分與的大小,其中D是三角形閉區(qū)域,三頂點各為(1,0),(1,1),(2,0).因此

在D內(nèi)有

(B)

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