高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　范周田 第4版 習(xí)題詳解匯 習(xí)題10

習(xí)題10.1(A)組1．寫(xiě)出下列集合的全部?jī)?nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，并指出是否為開(kāi)集，閉集，連通集，開(kāi)區(qū)域，閉區(qū)域，有界集？(1)解：E為有界開(kāi)區(qū)域，連通集，內(nèi)點(diǎn)為E上所有的店，外點(diǎn)為，邊界點(diǎn)為，聚點(diǎn)為(2)解：E為無(wú)界開(kāi)集，非連通集，內(nèi)點(diǎn)為E，邊界點(diǎn)為，聚點(diǎn)為平面上所有的點(diǎn)。(3)解：E為有界閉區(qū)域，連通集，邊界點(diǎn)以為頂點(diǎn)的三角形三邊上的點(diǎn)，聚點(diǎn)為該閉區(qū)域上所有的點(diǎn)。2．設(shè)，求解：令，，則則即。3.設(shè)，證明。解：4.確定下列函數(shù)的定義域(1)解：，則，則定義域?yàn)?2)解：&y≥0&x≥y(3)解：且，則定義域?yàn)?4)解：，定義域?yàn)?.求下列各極限(1)解：(2)解：(3)解：lim&x→0(4)解：(5)解：(6)解：lim&x→0(B)組1.證明極限．證明：，limr→02.證明極限不存在。解：令，，當(dāng)取不同值時(shí)，極限值不同。3.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1)解：的定義域?yàn)楫?dāng)，且時(shí)，不存在，因此在直線上都間斷，為第二類(lèi)間斷點(diǎn)，在點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)，其他點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn)。(2)解：設(shè)，則，無(wú)論取何值，所以在點(diǎn)連續(xù)，因此在上處處連續(xù)。習(xí)題10．2(A)組1．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)解：(2)解：；(3)解：(4)解：?u(5)解：(6)解：2、(1)設(shè)，求。解：則，，，(2)設(shè)，求。解：則，。3、曲線，在點(diǎn)處的切線對(duì)于軸的傾角是多少？解：曲線在處的切線方向?yàn)椋O(shè)與的夾角為， 4．求下列函數(shù)的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)解：?z?x=4x3?8xy2?2(2)解：；?2z?x(3)解：；；；。(4)解：；；；。5．設(shè)，求及．解：；；；；。6．求函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)．解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此：7.驗(yàn)證函數(shù)z=lnx解：；；則成立。(B)組1.(1)設(shè)，求證：。證明：則(2)設(shè)，求證：。證明：；；則。2.設(shè)其中可導(dǎo)，證明。證明：；即成立。習(xí)題10．3(A)組1．求下列函數(shù)的全微分：(1)解：；(2)解：(3)解：?u?x=yzexyz(4)解：；2.求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。解：；令得3.求函數(shù)在時(shí)的全增量和全微分。解：全增量△令x=2,y=1,△x=0.1,4.求函數(shù)z=exy當(dāng)x=1,y=1,x=0.15,解：；則當(dāng)x=1,y=1,△x=0.15,(B)組1.計(jì)算的近似值。解：；令x=1,y=2,則f(x+即的近似值為2.95。2.設(shè)有一無(wú)蓋圓柱形容器,容器的壁與底的厚度均為0.1cm,內(nèi)高為20cm,內(nèi)半徑為4cm,求容器外殼體積的近似值.解：由題意得，容器外殼體積令，則。習(xí)題10．4組1.求下列全導(dǎo)數(shù)：(1)設(shè)，而，求.解：。(2)設(shè)，而，求.解：。(3)設(shè)，而，求.解：(4)設(shè)，而，求.解：2．設(shè)，而，求.解：=x3．設(shè)，而，求.解：=?24．設(shè)，而，求解：5．設(shè)，而，驗(yàn)證：。解：則。6．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：(1)解：；。(2)解：；；。(3)解：；；。7．設(shè)，而，可微，證明：.證明：則8．求下列函數(shù)的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：(1)解:；???(2)解：；???(3)解：；???(4)解：???9．設(shè)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：。證明：；；;即成立。10．設(shè)（其中函數(shù)可微），證明：證明：；得證。11．設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：。證明：則。12．設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而，證明：(1)證明：同理則，得證。(2)證明：則得證。(B)組1．設(shè)，其中為可微函數(shù)，證明：。解：；；；相加得得證。2．設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明在變換下可以將方程化簡(jiǎn)為。證明：則習(xí)題10．5(A)組1．設(shè)，求．解：令。2．設(shè)，求．解：令；；。3．設(shè)，求．解：令；；；；。4．設(shè)，求證：．證明：F(x,y)=2；；；。5．設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．證明：；；；；。6．設(shè)，求．解：令；；?z7．設(shè)，求．解：；；；8．設(shè)，求。解：令；dydx=?Fx9．求由下列方程組所求確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)求解：方程組兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得得，。設(shè)求解：解：方程組兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，得得，設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：方程組兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得得設(shè)求解：方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得。設(shè)求解：方程組兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得解得方程組兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得解得10．設(shè)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求證。解：。11.設(shè)有三元方程xyzlny+exz=1,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程能確定幾個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)?解：令則因此在鄰域內(nèi)該方程能確定2個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)(B)組1．設(shè)，求。解：對(duì)方稱(chēng)分別求的偏導(dǎo)數(shù)，得解得2.設(shè)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求。解：習(xí)題10.6(A)組1.求下列曲線在給定點(diǎn)處的切線及法平面方程：(1)在處。解：曲線在處的切線方程為 法平面方程為，即。(2)在點(diǎn)處。解：曲線在的切向量為切線方程為化為法平面方程為化為(3)在點(diǎn)處。解：曲線在處的切向量為切線方程為法平面方程為即。2.求曲線上的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面。解：，設(shè)曲線在點(diǎn)的切線平行于平面該平面的法向量為，則，解得或，即所求點(diǎn)為或。3.求曲面上點(diǎn)處的切平面和法線方程。解：曲面在點(diǎn)出的切平面的法向量為n→故所求切平面方程為，即所求法線方程為。4.在曲面上求一點(diǎn)的坐標(biāo),使此點(diǎn)的切平面平行于yOz平面。解：曲面在點(diǎn)切平面的法向量為切平面平行于yoz平面，即解得或5.在曲面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面，并寫(xiě)出該法線的方程。解：曲面在處法線的方向向量因?yàn)榉ň€垂直于平面，則，解得即所求點(diǎn)為，該法線方程為。6.求拋物面在點(diǎn)處的切平面與法線方程,以及法向量的方向余弦。解：拋物面在處切平面的法向量為，則切平面方程為，即法線方程為法線的方向余弦為。7.證明曲面上所有點(diǎn)處的切平面都過(guò)一定點(diǎn)。證明：曲面在處的切平面的法向量為則切平面方程為e因?yàn)?，?x即，因此切平面必過(guò)點(diǎn)。8.試證明曲面上任何點(diǎn)處的切平面方程在各個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和等于。證明：曲面在處切平面的法向量為則切平面方程為各坐標(biāo)軸截距分別為，，則截距之和(B)組1.證明球面與錐面正交。(所謂兩曲面正交是指它們?cè)诮稽c(diǎn)處的法向量互相垂直)。證明：設(shè)兩個(gè)曲面在交點(diǎn)的法向量為滿足，即兩曲面正交。習(xí)題10.7(A)組1.求下列各函數(shù)的駐點(diǎn)和極值：(1)解：解得，駐點(diǎn)，又?2?(?2)?0=4>0，，則為極大值。(2)解：解得或或或或即駐點(diǎn)為處不是極值處不是極值處不是極值處不是極值處為極大值。(3)解：?z?x=2&2e2x，則，因此為極小值。(4)解：解得，駐點(diǎn)為點(diǎn)則，則為極大值。2.要造一個(gè)容積等于定數(shù)的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水池，應(yīng)如何設(shè)計(jì)水池的尺寸，方可使它的表面積最小。解：設(shè)容積為定數(shù)，分別表示水池的長(zhǎng)寬高表面積設(shè)令，得解得為唯一駐點(diǎn)所以當(dāng)長(zhǎng)寬為，高為時(shí)，無(wú)蓋水池的表面積最小。3.在平面上求一點(diǎn)，使得它到及三條直線的距離平方之和最小。解：設(shè)該點(diǎn)為，則該點(diǎn)到的距離平方分別為d則d=x2+y解得為唯一駐點(diǎn)，所以為所求點(diǎn)。4.求半徑為的球中具有最大體積的內(nèi)接長(zhǎng)方體。解：設(shè)球心在圓點(diǎn)，長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高為，則設(shè)解得唯一駐點(diǎn)則當(dāng)長(zhǎng)方體邊長(zhǎng)都等于時(shí)，體積最大為。5.將周長(zhǎng)為定數(shù)的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的一個(gè)圓柱體，問(wèn)矩形的邊長(zhǎng)如何設(shè)計(jì)，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)舉行邊長(zhǎng)為，則為定數(shù)，沿邊長(zhǎng)為的邊繞一圈，圓柱體體積解得唯一駐點(diǎn)即繞長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)所得的圓柱體體積最大為。6.求在條件下的最小值，其中為常數(shù)。并證明不等式解：設(shè)，則，解得唯一駐點(diǎn)則，。7.求曲面上距原點(diǎn)最近的點(diǎn)。解：設(shè)，令，解得&x=±1&y=?1&z=0或即曲面上距原點(diǎn)最近的是或點(diǎn)。8.某公司通過(guò)電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式作銷(xiāo)售某商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi)（萬(wàn)元）和報(bào)紙廣告費(fèi)（萬(wàn)元）間的關(guān)系為求（1）在廣告費(fèi)不受限制情況下的最優(yōu)廣告策略。解：解得，，則為最大值點(diǎn)。（2）在廣告費(fèi)限制1.5（萬(wàn)元）時(shí)，其相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。解：當(dāng)加入限制條件設(shè)得，解得為唯一駐點(diǎn)因此當(dāng)時(shí)，R取最大值。(B)組1.求函數(shù)在條件（為常數(shù)）下的最大值。解：令有&Lλ=則為最大值。2.已知，求的最小值。解：令L則&Lλ=x2+y2+z故最小值為?1習(xí)題10.8(A)組1.求下列個(gè)函數(shù)在指定方向的方向?qū)?shù)：(1)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向；解：由于的方向=的方向余弦為因此(2)在點(diǎn)處沿方向；解：的方向余弦為因此，。(3)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向；解：的方向=的方向余弦為因此。(4)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向.解：曲線在該點(diǎn)的切線方向?yàn)?，則內(nèi)法線方向?yàn)榉较蛴嘞覟?.已知，點(diǎn)，求在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的方向。解：沿梯度的方向上方向倒數(shù)最大，梯度方向?yàn)榍已靥荻鹊姆捶较蛏戏较驅(qū)?shù)最小，。3.求下列各函數(shù)在指定點(diǎn)處的梯度：(1)在點(diǎn)處。解：(2)在點(diǎn)處。解：(3)在點(diǎn)處。解：(4)在點(diǎn)處。解：4.設(shè)有一金屬板在平面上占據(jù)的區(qū)域?yàn)?，已知板上各點(diǎn)的溫度是問(wèn)在點(diǎn)處的一只昆蟲(chóng)應(yīng)沿什么方向運(yùn)動(dòng)才能盡快地逃到較涼的地方。解：昆蟲(chóng)應(yīng)沿的方向(B)組1.設(shè)都是的函數(shù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：(1)解：(2)解：(3)解：由（2）得(4)解：綜合習(xí)題10(A)組1.考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù);②f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);③f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微;④f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.則有(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③①④解：A2.已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則(A)點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)條件無(wú)法判斷(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).解：D。由得。3.證明：極限不存在。解：取，則不存在取，則。4.設(shè)，求。解：?25.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而，，證明：(1)證明：則則。(2)證明：則則6.設(shè)，和具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求?2z?x?y。解：?7.設(shè)，其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求。解：?z?=?28.設(shè)，而是由方程所確定的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明。解：對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)有①對(duì)求導(dǎo)有②聯(lián)立①②得9.設(shè)在處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，，.求。解：令，則，10.設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又及分別由和所確定，求。解：①對(duì)方程求x的導(dǎo)數(shù)得，解得對(duì)方程兩邊求x的導(dǎo)數(shù)得，解得將代入①后有。11.求旋轉(zhuǎn)橢球面上點(diǎn)處的切平面與面的夾角的余弦。解：橢球面在點(diǎn)(?1,?2,3)處切平面的法向量方向?yàn)榈姆ㄏ蛄縿t切平面與面的夾角的余弦為。12.證明曲面上任何點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積為常數(shù)。證明：曲面在處切平面方程為該平面與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為為常數(shù)。13.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：。證明：則得證。14．求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。解：由隱函數(shù)求導(dǎo)得，解得y'=?(x+y)令解得&x=±1&y=?1，則因此極大值為，極小值為。15．若及，證明函數(shù)在條件（定值）下的最小值為，并由此證明不等式。證明