高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　范周田 第4版 習(xí)題詳解匯 習(xí)題7

習(xí)題7.1（A）組1.指出下列方程的階數(shù)，并指出哪些方程是線性微分方程：(1)解：二階，不是線性微分方程。(2)解：三階，是線性微分方程。(3)解：二階，是線性微分方程。(4)解：一階，不是線性微分方程。2.指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：(1)解：是。(2)解：是。因?yàn)樗浴?3)解：否。因?yàn)樗浴?4)解：是。因?yàn)樗浴?.已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，建立曲線所滿足的微分方程。解::4.用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓對(duì)于溫度的變化率與氣壓成正比,與溫度的平方成反比。解：C為常數(shù)（B）組1．已知曲線上的點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為,且被軸平分，建立曲線所滿足的微分方程。解：由已知得所以2.求曲線族是任意常數(shù)）所滿足的微分方程。解：兩個(gè)任意常數(shù)，則微分方程為二階的方程(1)(2)則由知另外聯(lián)立以上兩式3.如果是可微函數(shù)，且滿足 試求所滿足的微分方程。解：對(duì)方稱(chēng)求導(dǎo)得，另外所以)滿足。4．設(shè)連續(xù)函數(shù)，求滿足的微分方程.解：，兩邊同時(shí)求導(dǎo)有，再求導(dǎo)有故f(x)滿足的微分方程為。習(xí)題7.2（A）組1.求下列微分方程的通解：(1)解：積分得則c為任意常數(shù)(2)解：積分得C為任意常數(shù)(3)解：dy5y=5x(4)解：積分得則。(5)解：由題得則,積分得則。(6)解：變型得(1?x?a)y'=a積分得?1y=?a2.求下列微分方程的特解：(1)解：積分得將代入通解得即得因此方程的特解為。(2)解：積分得將代入通解得即得因此方程的特解為2y(3)解：積分得dln即將代入通解有得因此方程的特解為。(4)解：由題得積分得將代入通解得則方程的特解為3.求下列微分方程的通解或特解：(1)解：令原方程等價(jià)于即(積分得則將代入得若則，檢驗(yàn)得也是方程的解。(2)解：令，原方程化為變型得積分得即將代入得通解。(3)解：即令，原方程化為變型為積分得將代入得通解為。(4)解：令，方程化為則將代入得。(5)解：y則令則解得將代入得將代入得。(6)解：令，則，解得，將y(0)=1代入得c=04.求下列微分方程的通解或特解：(1)解：由一階線性非齊次方程的求解公式得方程的通解為(2)解：則。(3)解：。(4)解：則。(5)解：則由得因此。(6)解：則由得因此。（B）組1．求下列方程的通解或特解(1)解：令x=u+1得令得：，代入得ln[(2)解：令，方程化為解得，C=1，原方程解為y2(3)解：原方程等價(jià)于則由一階線性非齊次方程通解的公式有。(4)解：原方程等價(jià)于則由一階線性非齊次方程的通解公式得則2.求下列微分方程的通解：(1)解：令則原方程等價(jià)于則即（為任意常數(shù)）。(2)解：令則原方程等價(jià)于則即（為任意常數(shù)）。(3)解：令則原方程轉(zhuǎn)化為則將代入得(4)解：令則原方程轉(zhuǎn)化為：將代入得通解為。3.通過(guò)變量替換,求下列微分方程的通解：(1)解：令則代入方程得即解得則將代入后得為方程通解。(2)解：令則代入方程得解得將代入后得為方程的通解。(3)解：令則代入方程得即解得即(為任意常數(shù))將代入得是原方程的通解。(4)解：令則原方程等價(jià)于即將代入得將代入解得。4.設(shè)曲線過(guò)點(diǎn),且它與兩坐標(biāo)軸間的任意切線段均被切點(diǎn)所平分,求這曲線的方程。解：設(shè)切點(diǎn)為,則切線在軸與軸的截距分別為，則解得將代入得。5．設(shè)有連接和的上凸曲線弧，是上任意一點(diǎn)，若曲線弧與直線所圍成的面積為，試求曲線弧的方程。解：設(shè)弧的方程為由題意知求導(dǎo)得(一階線性非齊次方程)將代入得則6.求滿足方程的連續(xù)函數(shù)。解：對(duì)方程求導(dǎo)得（一階線性非齊次方程）將代入得則。習(xí)題7.3（A）組1．求下列可降階的高階微分方程的通解：(1)解：y=160x(2)解：令則原方程為變型為解得即即(3)解：令y'即(4)解：令則將代入方程即則解得即（為任意常數(shù)）(5)解：令y'一階線性非齊次方程解得(6)解：令則原方程為則即解得（B）組1．求下列微分方程的特解:(1)解：令則代入方程有解得積分后得由得即因此方程的特解為由知(2)解：令，則原方程化為解將代入得即解得將代入得即則為方程的特解(3)解：令代入原方程有解得將代入得即將代入得則(4)解：令代入原方程有即積分后得將代入有解得則解得將代入解得則為方程的特解。(5)解：令代入原方程有解得將代入有即令則令原式變?yōu)閷⒋氲脛t為方程通解。(6)解：將代入得將代入得將代入得故習(xí)題7.4（A）組1.驗(yàn)證及都是方程的解,并求該方程的通解。解：代入方程左式有代入線性齊次方程的通解為。2.驗(yàn)證及都是方程的解,并求該方程的通解。解：代入方程左端有代入有該齊次方程的通解為。3.設(shè),,是某二階線性非齊次微分方程的特解,求該方程的通解。解：是對(duì)應(yīng)的二階線性齊次微分方程的特解，則是齊次方程的通解，故是非齊次方程的通解。4.證明：為方程的通解。（為任意常數(shù)）證明：先驗(yàn)證是方程的解，因?yàn)閯t則。再驗(yàn)證為方程的解則因此為方程的通解。5．證明:設(shè)是二階線性非齊次方程的兩個(gè)任意解,則是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。證明：是的兩個(gè)解，即兩式相減有即是對(duì)應(yīng)齊次方程的解。6．設(shè)，是微分方程的兩個(gè)解，求該方程的通解，并寫(xiě)出該方程的具體形式。解：因?yàn)榕c線性無(wú)關(guān)，因此該方程的通解為（為任意常數(shù)）將代入方程得即因此方程得具體形式為。（B）組1.已知是齊次線性方程的一個(gè)解,求該方程的通解。解：設(shè)是方程的解代入方程有則即取得為方程的解，且與線性無(wú)關(guān)因此為方程的通解。設(shè)y1和y2是齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。證明是非齊次線性微分方程的特解，其中提示：將特解代入非齊次線性微分方程，利用y1和y2已知齊次線性方程的通解為,求二階線性非齊次方程的通解。（為任意常數(shù)）解：方法一：根據(jù)第2題的結(jié)論可得方程的一個(gè)特解為即：因此原方程的通解為方法二：其中,求解方程得因此方程的一個(gè)特解為,因此原方程的通解為習(xí)題7.5（A）組1.求下列微分方程的通解或特解:(1)解：方程的特征方程為則則通解為(2)解：方程的特征方程為則則通解為(3)解：方程的特征方程為則則通解為(4)解：方程的特征方程為則則通解為y=(5)解：方程的特征方程為則λ2則通解為y=c(6)解：方程的特征方程為則則通解為求下列微分方程的特解：(1)解：方程的特征方程為則則通解為,兩邊求導(dǎo)得將代入得則方程的特解為。(2)解：方程的特征方程為則則通解為將代入得則方程特解為。（B）組1.(1)解：方程的特征方程為解得則為方程的通解。(2)解：方程的特征方程為解得（二重根）（二重根）則為方程的通解。2.求解下列歐拉方程解：令，則，于是將變換后的記過(guò)分別代入原方程化簡(jiǎn)得其特征方程為，解得通解為因此原方程的通解為。習(xí)題7.6（A）組1.求下列微分方程的通解:(1)解：先求的通解特征方程為則則通解為再求的一個(gè)特解設(shè)是方程的一個(gè)特解，代入方程有則解得即綜上有韋方程的通解。(2)解：先求的通解特征方程為，解得則通解為設(shè)是原方程的一個(gè)特解將代入原方程得得解得即因此原方程的通解為(3)解：先求的通解特征方程為，解得則通解為設(shè)為方程的特解將代入方程有得即因此方程的通解為(4)解：先解齊次方程的通解特征方程為解得則為方程的通解。令為方程的一個(gè)特解，則即設(shè)代入方程有解得即因此為原方程的通解(5)解：先解齊次方程的通解特征方程為解得則方程的通解為再解，設(shè)為該方程的一個(gè)特解，則即設(shè)則解得即則實(shí)部為原方程的一個(gè)特解因此y=c1(6)解：先解齊次方程的通解特征方程為解得則通解為令為方程的解則滿足方程設(shè)則解得因此則為的特解因此為原方程的通解。求下列微分方程的特解(1)解：先解齊次方程特征方程為解得則通解為設(shè)為原方程的一個(gè)特解，則因?yàn)闉樵匠痰耐ń鈱⒋胗薪獾脛t。(2)解：先解齊次方程特征方程為，解得則通解為再解，令為方程的解，則即設(shè)為解，則因此則為原方程的一個(gè)特解因此為原方程的通解將代入有解得因此（B）組1.求下列微分方程的通解(1)解：先解的通解特征方程為，解得則通解為再分別解與的特解設(shè)分別為以上兩個(gè)方程的解，則有則解得因此為原方程的一個(gè)特解即為原方程的通解。(2)解：原方程等價(jià)于先解齊次方程，特征方程為，解得即得通解接下來(lái)分別解，的特解。設(shè)為的特解，則設(shè)為的解則有即設(shè)為方程的特解，則即因此為原方程的一個(gè)特解故為原方程的通解。2．設(shè)函數(shù)滿足方程且，試確定。解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)后整理后先解，其特征方程為，解得通解為令為原方程的解，代入方程有即設(shè)為其一個(gè)特解，代入有得解得因此為方程的通解將代入有解得則。3.求解歐拉方程。解：令則則有將變換后的結(jié)果代入原方程先解齊次方程，其特征方程為，得通解為設(shè)為的一個(gè)特解，解得因此的通解為將代回有為原方程的通解。綜合習(xí)題7（A）組1．求以下列函數(shù)為通解的微分方程.(1)解：特征根為，則特征方程為則微分方程為(2)解：方程有一對(duì)共軛的復(fù)根為，則特征方程為則所求微分方程為(3)解：為特征方程的三重根，因此特征方程為則所求微分方程為(4)解：為齊次方程的通解，為非齊次方程的特解。齊次方程對(duì)應(yīng)的特征根為，則特征方程為齊次方程為設(shè)非齊次方程為，將代入得即所求微分方程為。求解下列微分方程的通解或特解(1),解：即積分后得將代入后得即化簡(jiǎn)后得。(2),解：變型積分后得將代入得即(3),解：由題通解為將代入得即。(4)解：設(shè)，則故則即積分得解得則有解得(5)解：先解齊次方程其特征方程為，解得通解為令代入原方程得即。設(shè)為特解，則即為原方程的一個(gè)特解因此為方程的特解。(6)解：先解齊次方程其特征方程為，解得則通解為設(shè)為方程的特解，代入方程得為方程的一個(gè)特解則通解為。（B）組1.設(shè)方程的一個(gè)特解為,試確定的值,并求該方程的解。解：代入方程得即解得方程為齊次方程的特征方程為，解得通解為令代入原方程得即解得因此為原方程的一個(gè)特解，則為方程的通解。2設(shè)函數(shù)連續(xù),且滿足方程，求。解：方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：即得，令則：，解得，故3設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足方程，求。解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得再求導(dǎo)有，可知齊次方程為，解得設(shè)則，為方程的一個(gè)解則為原方程的一個(gè)特解。又，則，即4設(shè)對(duì)任意,曲線上的點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于,試求的一般表達(dá)式。解：在點(diǎn)處的切線方程為得軸上的截距為由題知對(duì)x求導(dǎo)得即，故（為任意常數(shù)）。已知函數(shù)的圖像在原點(diǎn)與曲線相切，并滿足方程求函數(shù)。解：對(duì)方稱(chēng)求導(dǎo)得齊次方程的特征方程為，解得通解為設(shè)則得為一個(gè)特解則為原方程的一個(gè)特解因此為原方程的通解將代入得則設(shè)是微分方程的一個(gè)解，求該方程滿足條件的特解。解：將代入方程有解得，則方程為，即解齊次方程，即得解得則為原方程的通解。由知，解得則某車(chē)間體積為12000，開(kāi)始時(shí)空氣中含有0.1%的CO2，為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中CO2的含量，用一臺(tái)風(fēng)量為2000的鼓風(fēng)機(jī)通入含0.03%CO2的新鮮空氣，同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6min后，車(chē)間內(nèi)的CO