工科數(shù)學(xué)分析 課件 10-5 泰勒級數(shù)

第五節(jié)泰勒級數(shù)工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期主要內(nèi)容泰勒級數(shù)冪級數(shù)的應(yīng)用泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)小結(jié)一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?證明泰勒系數(shù)是唯一的,逐項求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)問題定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定!!!而易見，在x=0點任意可導(dǎo),證明必要性充分性證明二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:例1解由于M的任意性,即得例2解例3解我們來證兩邊積分得即牛頓二項式展開式注意:〇〇注意:〇〇〇注意:〇注意:雙階乘m!!表示：當(dāng)m是不為零的自然數(shù)時，表示不超過m且與m有相同奇偶性的所有正整數(shù)的乘積。如：3!!=1*3=3,6!!=2*4*6=48（另0!!=1）

雙階乘2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.例如例4解例5解例6解例7解三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.主要內(nèi)容泰勒級數(shù)冪級數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用近似計算計算定積分微分方程的冪級數(shù)解法歐拉公式小結(jié)一、近似計算兩類問題:1.給定項數(shù),求近似值并估計精度;2.給出精度,確定項數(shù).關(guān)健:通過估計余項,確定精度或項數(shù).計算圓的面積常用方法:1.若余項是交錯級數(shù),則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項,使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和.例1解余和:例2.解其誤差不超過.二、計算定積分解法逐項積分展開成冪級數(shù)定積分的近似值被積函數(shù)PlotsoftheintegralVisualrepresentationoftheintegral例3解收斂的交錯級數(shù)第四項取前三項作為積分的近似值,得三、微分方程的冪級數(shù)解法解答：當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時,常用冪級數(shù)解法.

問題：什么情況下采用“冪級數(shù)”解法求解微分方程？三-1、特解求法問題解例4比較恒等式兩端x

的同次冪的系數(shù),得小結(jié):無初始條件求解(C是任意常數(shù))定理三-2、二階齊次線性方程冪級數(shù)求法作法比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù),確定y.解例5原方程的通解四、歐拉公式復(fù)數(shù)項級數(shù):復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念由三個基本展開式，我們給出歐拉公式揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系.歐拉公式五、小結(jié)１．近似計算，求不可積類函數(shù)的

定積分;２．微分方程的冪級數(shù)解法，歐拉公式